(教案)第4章 4.1 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 学习任务目标 1．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程； 2．能进行实数指数幂的运算. 有理数指数幂的运算性质有哪些？ 答案：有理数指数幂的运算性质有： (1)am·an＝am＋n(m，n∈Q) (2)(am)n＝amn(m，n∈Q) (3)(ab)m＝ambm(m∈Q) 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　无理数指数幂及实数指数幂的运算性质 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质． (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)α，β是实数，当a>0时，(aα)β＝(aβ)α. (√) (2)当a>0，b>0时，(a＋b)(a－b)＝aπ－bπ. (√) (3)当a>0时，(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－2. (×) (4)(a)2＝a2. (×) (5)(3－2)×()－2＝. (√) 2．填空： (1)＝. (2)已知5α＝3,5β＝2，则 ①5α＋β＝6；②5α－β＝； ③5－3α＝；④5＝. 无理数指数幂的运算 计算下列各式的值： 解：(1)原式＝ 实数指数幂的化简与求值 【例1】已知a＋a＝3(a＞0)，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3). 解：(1)将a＋a＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7. (2)对(1)中的式子两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47. ＝a＋a－1＋1＝8. 【例2】已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求的值． 解：＝ ＝.① 因为x＋y＝12，xy＝9，② 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 因为x＜y，所以x－y＝－6.③ 将②③代入①得＝＝－. 1．若a＞1，b＞0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于2. 2．已知a2x＝＋1，求的值． 解：＝ ＝a2x＋a－2x－1＝(＋1)＋－1 ＝＋1＋－1－1＝2－1. 无理数指数幂及实数指数幂的运算性质 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质． (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． ·说明 (1)无理数可以作为指数； (2)无理数指数幂的近似值可以利用逼近的方式得到． 化简指数幂的几个常用技巧 (1)－p＝p(ab≠0)； (2)a＝(a)m，a＝(a)n(a使式子有意义)； (3)1的代换，如1＝a－1·a,1＝aa(a使式子有意义)等； (4)乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b(a，b均使式子有意义)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $