第3章 3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的概念及其表示，从初中“变量说”过渡，通过分析解析式、图象、表格等实例，引导学生抽象出集合与对应关系刻画的函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合典例分析，强化数学抽象和数学建模素养，如通过矩形面积构建函数关系。采用规律方法总结与分层评价，助力学生掌握三要素应用，也为教师提供系统教学与评价支持。

3.1.1 函数的概念 第1课时 函数的概念(一) 　 第三章 函数的概念与性质 单元学习六 函数的概念及其表示 　　单元整体设计　函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，是重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终，是高中数学课程的一条主线，是解决数学问题的基本工具．通过本章的学习，掌握用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；掌握函数的性质；通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法；掌握利用函数构建模型，解决问题．提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模的核心素养．根据上述内容，本章计划分四个单元进行整体设计，学习计划11课时． 　　本单元内容是在初中学习函数概念的基础上，引导学生利用“变量说”对典型事例进行分析，感悟引入“集合——对应说”的必要性，并通过对具体实例共同特征的归纳，抽象概括出函数的概念；引导学生体会不同表示法的特点，能根据问题的特点选择合适的表示法表示函数；让学生学会用严谨的符号语言刻画函数的单调性、奇偶性等性质的方法，并能用函数的概念与性质解决简单的问题．学习计划4课时． 　　本单元内容重点是建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念．难点是从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念、理解函数的对应关系f．在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象、数学建模和数学运算的核心素养． 任务一　函数的概念 1 任务二　函数三要素的应用 2 任务三　构建函数关系的问题情境 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语 言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，培养数学抽 象的核心素养． 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，培养数 学抽象、数学建模的核心素养． 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，提升数学运 算的核心素养． 任务一　函数的概念 返回 问题导思 (阅读教材P60－62，完成探究问题1、2、3) 问题1.阅读教材本节的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？ 提示：它们有相同的解析式，也就是对应关系．但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同． 问题2．请同学们继续阅读教材上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别． 提示：是函数．由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象． 问题3.通过对教材中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？ 提示：不同点：教材中的问题1，2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系．共同点：①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示；②都有一个对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 新知构建 函数的概念 概念 一般地，设A，B是______________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 ___的取值范围A 值域 与x的值相对应的___值的集合 {f(x)|x∈A} 非空的实数集 任意一个数x 唯一确定 x y 微思考 在函数的概念中，集合B是函数的值域吗？ 提示：不是．值域是集合B的子集． 微提醒 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．(2)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示 函数． 典例 1 √ (1)(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是 A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 C．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：x→y2＝x D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0 √ √ 选项A、B、D中对集合A中任意实数x，按给定的对应关系f，在集合B中都有唯一实数y与之对应，因此选项A、B、D符合函数的定义．选项C中，对于A中元素1，按对应法则f，在B中有元素－1和1与之对应，不符合函数的定义．故选ABD． √ (2)(多选)下列图形表示y是x的函数的是 √ √ 选项A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故选项A中的图形不是函数图象，其余B、C、D均符合函数定义．故选BCD． 规律方法 1.判断一个对应关系是否为函数的方法 规律方法 2.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 注意　函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”． √ 对点练1.(1)某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是 A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 由于同学的姓名不是数字，故A、D错误；对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，若班级中有两位身高相同的同学，则这个身高对应两个不同同学的数学成绩，故C错误．故选B． √ (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 对于①，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不能表示；对于②，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②可以表示；对于③，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不能表示；对于④，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不能表示；对于⑤，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以⑤可以表示．故选C． 返回 任务二　函数三要素的应用 返回 问题导思 (阅读教材P62－63，完成探究问题4) 问题4.初中我们学习过二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，反比例函数f(x)＝(k≠0)，你能说出两个函数的定义域、值域与对应关系吗？ 提示：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R．当a＞0时，值域是； 当a＜0时，值域是，对应关系是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 反比例函数的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝(k≠0)． 新知构建 一次函数、二次函数与反比例函数的定义域和值域 1.一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域是____，值域是____． 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是___，值域是B，当a＞0时，B＝；当a＜0时，B＝． 3.反比例函数y＝(k≠0)的定义域是_________，值域是__________． R R R {x|x≠0} {y|y≠0} 角度1　求函数的定义域 (链教材P65例2(1))求已知函数的定义域： (1)y＝； 解：由题意得，解得x＝1， 所以函数的定义域是{1}． 典例 2 (2)y＝(x－1)0＋． 解：由题意得，解得x＞－1且x≠1， 所以函数的定义域是{x|x＞－1，且x≠1}． 规律方法 已知解析式求函数定义域的一般方法 1.如果f(x)是整式，其定义域是实数集R(通常省略不写)． 2.如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合． 3.如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合． 4.如果f(x)是由以上几部分式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合． 5.f(x)＝x0的定义域是{x|x∈R，且x≠0}． 对点练2.求下列函数的定义域： (1)y＝； 解：由题意得， 即 所以函数的定义域是． (2)y＝－． 解：要使函数有意义，则解得x≥1， 所以函数的定义域是{x|x≥1}． 角度2　求函数值 (1)(双空题)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域是______________，值域为______________． 典例 3 {x|－2≤x≤4} {y|－2≤y≤3} 根据函数y＝f(x)的图象知，定义域是{x|－2≤x≤4}，值域为{y|－2≤y ≤ 3}． √ (2)已知函数f(x)由下表给出，则f的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 x x≤1 1＜x＜2 x≥2 f(x) 1 2 3 因为∈{x｜x≤1}，所以f＝1，则10f＝10，所以f＝f(10).又因为10∈{x｜x≥2}，所以f(10)＝3.因此f＝3.故选D. 规律方法 求函数值的方法 1.已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． 2.求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注意　求f(a)时，a必须是f(x)定义域内的取值． 对点练3.(1)(双空题)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)， 则f(2)＝___，f(g(2))＝___． 因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6，所以f(g(2))＝f(6)＝＝. (2)已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝______． 16 因为f(x)＝－1. 又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16. 返回 任务三　构建函数关系的问题情境 返回 (链教材P63例1)已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系： (1)y＝； 解：设矩形的长为x，宽为y，那么y＝.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，y的取值范围B＝{y｜y＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽. 典例 4 (2)y＝2x＋； 解：设矩形的长为x，周长为y，那么y＝2x＋.其中x的取值 范围A＝{x｜x＞0}，y的取值范围B＝{y｜y≥4}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋. (3)y＝． 解：设矩形的长为x，对角线长为y，那么y＝.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，y的取值范围B＝{y｜y≥2}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长. 规律方法 根据函数关系构建问题情境的策略 1.分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系． 2.从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围． 3.既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系． 对点练4.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝4来描述． 解：y＝4是含有根式的函数，它的定义域是［0，＋∞)，值域是B＝［0，＋∞)，对应关系f把［0，＋∞)中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数4，如果对x的取值范围作出限制，如x∈(0，＋∞)，那么可以构建如下情境： 正方形的面积为x，周长为y，则y＝4， 其中x的取值范围是A＝{x|x＞0}，y的取值范围是B＝{y|y＞0}，对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的周长4． 课堂小结 返回 任务再现 (1)函数的概念．(2)函数的三要素．(3)求简单函数的定义域和函数值．(4)构建问题情境 方法提炼 定义法、图象法、数学建模 易错警示 (1)函数概念的理解．(2)对符号f(x)的认知错误 随堂评价 返回 √ 1.下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是 选项D中，对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义．故选D． √ 2.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，是从A到B的函数的有 A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x √ √ 根据函数定义可得A中的每一个元素在B中都能找到唯一与之对应的元素.对于A，y＝x∈[0，1]⊆B，故A正确；对于B，y＝x∈[0，2]⊆B，故B正确；对于C，y＝x∈[0，4]⊆B，故C正确；对于D，y＝x∈[0，8]，不是集合B的子集，故D错误.故选ABC. 3.(2025·广东汕头质量监测) 函数y＝的定义域是_________________________． 由题意可得解得x≠－3且x≤3， 所以函数y＝的定义域是. 4.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是_____． 1 因为f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，所以f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝－1，所以a·(a－1)2＝0，则a＝0，或a＝1.又a＞0，因此a＝1. 返回 课时分层评价 返回 1.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是 √ 选项A中的定义域不是{x|－2≤x≤2}，选项C中图形不满足唯一性，选项D中的值域不是{y|0≤y≤2}，只有选项B满足题意．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是 A．M＝R，N＝{x∈R|x＞0}，f：x→|x| B．M＝N，N＝N*，f：x→|x－1| C．M＝{x∈R|x＞0}，N＝R，f：x→x2 D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→ √ 对于A，当集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)＝＋的定义域是 A． B．{x|x≥－2} C． D． √ 由题意得解得即x≥－2，且x≠.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(新情境)托马斯说：“函数是近代数学的思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1，1，2}到集合N＝{1，2，4}的函数的是 A．y＝2x B．y＝x＋1 C．y＝|x| D．y＝x2＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，可知函数的定义域是M＝{－1，1，2}．对于A，按照对应关系y＝2x，函数的值域为E＝{－2，2，4}⊈N，故A错误；对于B，按照对应关系y＝x＋1，函数的值域为E＝{0，2，3}⊈N，故B错误；对于C，按照对应关系y＝|x|，函数的值域为E＝{1，2}⊆N，故C正确；对于D，按照对应关系y＝x2＋1，函数的值域为E＝{2，5}⊈N，故D错误．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝，那么集合A可能是 A． B． C． D． √ √ √ 由题意得，x2＝4，即x＝2，或x＝－2，故A可能为{2}或{－2}或．故选ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列函数满足f(2x)＝2f(x)的是 A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝－x √ √ √ 对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝4x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域是_______________ _________． {x|0＜x＜1，或1 ＜x≤2} 观察函数的图象，图象上所有点的横坐标构成的集合为{x|0＜x＜1，或1＜x≤2}，即为定义域． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，函数f(x)的图象是曲线ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，2)，(1，0)，(3，1)，则f(f(1))的值为___． 2 根据图象知，f(1)＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)，g(x)分别由表给出： 则方程g(f(x))＝3的解集为__________． x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 {1，3} 根据题意，若方程g(f(x))＝3，必有f(x)＝1，则有x＝1或3，即方程g(f(x))＝3的解集为{1，3}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)记函数f(x)＝的定义域是A，g(x)＝(a＜1)的定义域是B． (1)求A； 解：由2－≥0，得≥0，解得x＜－1，或x≥1，即A＝{x|x＜－1，或x≥1}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：由(x－a－1)(2a－x)≥0， 得(x－a－1)(x－2a)≤0. 由a＜1，得a＋1＞2a，所以B＝{x|2a≤x≤a＋1}． 又B⊆A，所以2a≥1或a＋1＜－1，即a≥，或a＜－2. 又a＜1，所以≤a＜1，或a＜－2. 故当B⊆A时，实数a的取值范围是． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点 A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．至多有一个 √ 根据函数的概念可知，对于定义域中的任意一个数x，都有唯一确定的函数值y与之对应．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y ＝10－2x，则此函数的定义域是______________． 因为△ABC的底边长大于0，所以y＝10－2x＞0，所以x＜5.又两边之和大于第三边，所以2x＞10－2x，所以x＞，所以此函数的定义域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有____个． 3 由题意知，满足条件的对应关系有①：1，2对应7，3对应8，4对应9；②：1对应7，2，3对应8，4对应9；③：1对应7，2对应8，3，4对应9，所以一共有3个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知函数f(x)＝． (1)若f(a)＝2，求a的值； 解：因为f(x)＝，且f(a)＝2， 所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：f＝－f(x)． 解：证明：由已知得f， －f(x)＝－， 所以f＝－f(x)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，±1至少含有一个，±2至少含有一个，要求的同族函数的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝(x∈{x|x＞0})来描述． 解：直角三角形的面积为6，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y＝．其中，x的取值范围是A＝{x|x＞0}，y的取值范围是B＝{y|y＞0}．对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 函 数 的 概 念 与 性 质 返回 $