3.1函数的概念及其表示 第2课时 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的区间表示、定义域求解及同一函数判断，通过复习上节课集合表示的繁琐问题导入，衔接函数概念与三要素，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于结构化呈现知识，如区间三规则、求定义域步骤、判断同一函数三步法，结合数学语言规范表达与数学思维逻辑推理，分层设计练习适配不同学生，帮助学生形成严谨思维，教师可高效开展分层教学。

3.1　函数的概念及其表示 区间、定义域与同一函数 人教A版　必修第一册　·　第三章　函数的概念与性质 本节共 4 课时　·　第2课时 1 本节导览 3.1　函数的概念及其表示　共4课时 第一课时 函数的概念与三要素 第二课时 区间、定义域与同一函数 第三课时 函数的表示法与求解析式 第四课时 分段函数及其应用 本课时的位置 2 复习回顾 问 默写函数的定义，并说出函数的三要素。 明确　设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的 对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A。 三要素：定义域、对应关系、值域。 3 学习目标 1．会用四种区间记号表示相应的数集，会在数轴上标出区间 2．会求含分式、偶次根式、零次幂的具体函数的定义域 3．会由 f(x) 的定义域求 f(g(x)) 的定义域，反之亦然（★） 4．会按三步判断两个函数是不是同一个函数 4 导入 上节课我们写了很多这样的集合： {t | 0≤t≤}　　{x | x≥－3，且 x≠－2} 每次都要写花括号、竖线、不等式，太长了。 研究函数时常会用到这类连续的数集，数学上给了它们一套更省事的写法。 这就是区间。 5 区间的规定 教材第64页　设 a，b 是两个实数，且 a＜b a≤x≤b 闭区间 [a，b] a＜x＜b 开区间 (a，b) a≤x＜b 半开半闭区间 [a，b) a＜x≤b 半开半闭区间 (a，b] a 与 b 都叫做相应区间的端点。 6 区间的数轴表示 实心点表示端点包括在区间内，空心点表示不包括在内。 a b [a，b] a b (a，b) a b [a，b) a b (a，b] 7 无穷区间 R 可以用区间表示为 (－∞，＋∞) “∞”读作无穷大，“－∞”读作负无穷大，“＋∞”读作正无穷大。 x≥a →　[a，＋∞) x＞a →　(a，＋∞) x≤b →　(－∞，b] x＜b →　(－∞，b) ∞ 是趋势，不是数，取不到，所以这一端永远配小括号。 8 练一练 问 把下列集合改写成区间。 （1）{x | －1＜x≤5}　　（2）{x | x≥2} （3）{x | x≠3}　　　　（4）{x | 0≤x≤} 答案　（1）(－1，5]　　（2）[2，＋∞) （3）(－∞，3)∪(3，＋∞)　　（4）[0，0.5] 第（3）题挖掉一个点就成了两段，两段之间用 ∪ 连接，不用逗号。 9 用区间的三条规则 前小后大 写 [a，b] 必须 a＜b，写成 [3，1] 是错的 ∞ 配小括号 写 [2，＋∞] 是硬伤，阅卷时最常见的扣分点 两段之间用 ∪ {1，2，3} 写不成区间；{x | x≠0} 要写成 (－∞，0)∪(0，＋∞) 10 求定义域 教材第65页 如果只给出解析式 y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是 指能使这个式子有意义的实数的集合。 ①　分式的分母不等于 0 ②　偶次根式的被开方数大于或等于 0 ③　零次幂的底数不等于 0 ④　几个式子相加减，取各自定义域的交集 ⑤　实际问题还要受实际意义的限制 11 例2（1） 教材第65页 问 已知下面的函数 f(x)，求它的定义域。 f(x) ＝ ＋ 解　使 √(x＋3) 有意义的 x 的集合是 {x | x≥－3}； 使分式有意义的 x 的集合是 {x | x≠－2}。 所以定义域是 {x | x≥－3，且 x≠－2}，即 [－3，－2)∪(－2，＋∞)。 12 例2（2） 教材第65页 问 求 f(－3) 与 f(x) 在 x 取 时的值。 解　f(－3)＝＋ ＝0＋(－1)＝－1； 当 x 取 时，x＋3＝ ，x＋2＝ ， 所以函数值＝ ＋ 　　　　　＝ ＋ 。 （代入后先通分，再把根式的分母有理化。） 13 例2（3） 教材第65页 问 当 a＞0 时，求 f(a) 与 f(a－1) 的值。 解　因为 a＞0，所以 f(a)、f(a－1) 有意义。 f(a)＝＋； f(a－1)＝＋ 　　　＝ ＋。 f(a－1) 是把整个 a－1 代进去，解析式里每一处 x 都要换，不是 f(a)－1。 14 ★拔高探究 优生班课上完成，普通班选做 问 已知 f(x＋1) 的定义域是 [－1，3]，求 f(x) 的定义域，再求 f(2x) 的定义域。 提示：f 后面括号里的东西，取值范围永远是 f 的定义域。 解　由 x∈[－1，3]，得 x＋1∈[0，4]。 f 作用的对象是 x＋1，所以 f(x) 的定义域是 [0，4]。 再由 0≤2x≤4，得 x∈[0，2]，所以 f(2x) 的定义域是 [0，2]。 （普通班替代：已知 f(x) 的定义域是 [0，4]，求 f(x＋1) 的定义域，答案 [－1，3]。） 15 什么叫同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的 函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 值域由定义域和对应关系决定，所以只看这两条 仅有对应关系相同、定义域不同，不是同一个函数 字母不同不影响判断：y＝x2（x∈R）与 u＝t2（t∈R）是同一个函数 16 例3（1）（2） 教材第66页 问 下列函数中哪个与函数 y＝x 是同一个函数？ （1）y＝　　　（2）u＝ 解　（1） ＝x，定义域是 {x | x≥0}，与 R 不同， 　　所以不是同一个函数。 （2） ＝v，定义域是 R，对应关系也相同， 　　所以是同一个函数。 17 例3（3）（4） 教材第66页 问 （3）y＝　　（4）m＝n2÷n 解　（3） ＝|x|，定义域是 R，与 y＝x 相同； 　　但当 x＜0 时，|x|＝－x≠x，对应关系不同，所以不是同一个函数。 　　取 x＝－2 检验：y＝x 得 －2，y＝ 得 2。 （4）＝n，定义域是 {n | n≠0}，与 R 不同，不是同一个函数。 第（3）小题：定义域相同，也未必是同一个函数。全节最重要的反例。 18 判断同一函数的三步 第一步 各自求定义域（不许先化简） 第二步 定义域不同，直接判否，不必再看对应关系 第三步 定义域相同，再化简比对应关系，逐个自变量看函数值 19 当堂检测 问 1．f(x)＝＋的定义域是（　　） A．[，＋∞)　　B．[，3)　　C．[，3)∪(3，＋∞)　　D．(3，＋∞) 问 2．已知 f(x) 的定义域是 [0，4]，则 f(x2) 的定义域是＿＿＿＿。 答案　1．C。由 2x－1≥0 得 x≥0.5，由 x－3≠0 得 x≠3，取交集。 　　误选 B 是漏了 x＞3 的部分。 2．[－2，2]。由 0≤x2≤4 得 －2≤x≤2。 20 本课时小结 区间三条规则：前小后大 / ∞ 配小括号 / 两段之间用 ∪ 求定义域一句话：先定域，后化简 抽象函数：括号里的整体范围始终是 f 的定义域 同一函数三步：求域 → 比域 → 比关系 作业：课时作业（二）；预习教材第67—68页三种表示法。 21 题型　求具体函数的定义域 问 求下列函数的定义域： （1）f(x)＝；　（2）f(x)＝。 解　（1）由 x2－3x＋2≠0，得 x≠1 且 x≠2， 　　定义域为 (－∞，1)∪(1，2)∪(2，＋∞)。 （2）由 4－x≥0 得 x≤4，由 |x|－1≠0 得 x≠±1， 　　定义域为 (－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，4]。 22 练一练　判断同一函数 问 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．y＝x 与 y＝　　　　B．y＝|x| 与 y＝ C．y＝x2 与 y＝(x＋1)2　　D．y＝x＋1 与 y＝ 答案　D。A 项： 的定义域是 {x | x≠0}，与 R 不同； B 项： 的定义域是 [0，＋∞)，与 R 不同； C 项：定义域都是 R，但 x＝0 时函数值分别为 0 与 1，对应关系不同； D 项： ＝x＋1，定义域相同、对应关系相同。 23 本课时易错提醒 1．∞ 这一端永远用小括号，[2，＋∞] 是错的 2．两段区间之间用 ∪，不用逗号；孤立的几个数写不成区间 3．求定义域不许先化简 4．几个式子相加减，定义域取交集不取并集 5．定义域相同也未必是同一个函数：y＝x 与 y＝ 6．f(a－1) 是把整个 a－1 代进去，不是 f(a)－1 24 本课时结束 下一课时　函数的表示法与求解析式 25 $