第2章 2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“一元二次不等式及其解法”核心知识点，在初中一元一次函数与方程、不等式联系的基础上，构建二次函数与一元二次方程、不等式的关联，通过函数零点及图象直观求解不等式，形成完整知识支架。 该资料以园艺师围矩形区域等问题情境抽象出不等式，培养数学抽象与数学建模素养，借助函数图象分析解集体现数形结合与直观想象，含参数不等式分类讨论发展逻辑推理，典例、分层评价设计助力课中教学与课后查漏补缺。

单元学习五　二次函数与一元二次方程、不等式 ［单元整体设计］　本单元在初中学习一元一次函数与方程、不等式的联系的基础上，用二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，借助二次函数求解一元二次不等式，用一元二次不等式解决实际问题．用函数理解方程和不等式是数学的基本方法，通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性．学习计划2课时． 　　本单元重难点是二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式．在学习的过程中，体会函数思想与数形结合的思想方法，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． 第1课时　一元二次不等式及其解法 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养． 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，培养数学抽象的核心素养． 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学抽象、数学运算的核心素养． 4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数形结合的思想方法，培养直观想象、数学运算的核心素养． 任务一　一元二次不等式的概念 (阅读教材P50，完成探究问题1、2) 问题1.园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 提示：设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x) m． 由题意，得(12－x)x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}， 整理得x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}． 问题2.给出下面四个不等式： (1)x2－x－6＞0；(2)x2－x－6≤0； (3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5＜0. 以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：每个不等式含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a≠0，a，b，c均为常数 下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0； ②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有　　　　(填序号)． 答案：②④ 解析：由一元二次不等式的定义知，符合要求的有②、④． 一元二次不等式概念中的关键词 1.一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． 2.二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 对点练1.(多选)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是(　　) A．x＋＜－1 B．x2＋mx－1＞0 C．x3＋＋1＜0 D．x2＜1 答案：BD 解析：由于x＋＜－1和x3＋＋1＜0不满足一元二次不等式的定义，故A、C错误；选项B、D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故B、D正确．故选BD． 任务二　二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系 (阅读教材P50—51，完成探究问题3、4) 问题3.二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有几个交点？其交点与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 提示：有两个交点．函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根． 问题4.能否从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20＜0的解集呢？ 提示：能．从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－12x＋20＜0的解集为{x|2＜x＜10}． 1.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． ［微思考］　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是该函数图象与x轴的交点吗？ 提示：不是．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是该函数图象与x轴交点的横坐标． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ (链教材P52例1、例2、例3)求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3＜0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1＞0； (4)－x2＋6x－10＞0. 解：(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝． 画出二次函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 结合图象得原不等式的解集为． (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝. 画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，结合图象得原不等式的解集为. (3)因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－．画出二次函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 结合图象可得原不等式的解集为． (4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0. 因为Δ＝－4＜0， 所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为∅． 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； 第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式； 第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； 第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象； 第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集． ［注意］　不等式的解集必须写成集合的形式， 若不等式无解，则应说解集为空集． 对点练2.求下列不等式的解集： (1)x2＋x＜0； (2)4x2－4x＋1＞0； (3)x2－3x＋2＞0. 解：(1)不等式x2＋x＜0可化为x(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜0， 所以不等式的解集为{x|－1＜x＜0}． (2)易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝．画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图所示． 结合图象得原不等式的解集为． (3)不等式x2－3x＋2＞0可化为(x－1)(x－2)＞0， 解得x＜1，或x＞2. 所以不等式的解集为{x|x＜1，或x＞2}． 任务三　含参数的一元二次不等式的解法 角度1　二次项系数不含参数 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0. 解：原不等式可化为(x＋1)(x－a)＜0，所以x2＋(1－a)x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a． 又函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}． 角度2　二次项系数含有参数 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.(a＜1) 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1； ②当a＜0时，原不等式化为(x－1)＞0，解得x＜，或x＞1； ③当0＜a＜1时，即＞1，解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为． 1.对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论． 2.若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 对点练3.当a≥0时，求关于x的不等式ax2＋(1＋2a)x＋2＜0的解集． 解：由ax2＋(1＋2a)x＋2＜0， 得(ax＋1)(x＋2)＜0. ①当a＝0时，原不等式即为x＋2＜0，解得x＜－2. ②当a＞0时，方程(ax＋1)(x＋2)＝0的两根分别为x1＝－＜0，x2＝－2. 当a＝(x＋2)2＜0，该不等式无解； 当－＜x＜－2； 当－． 综上，当a＝0时，不等式解集为{x|x＜－2}； 当0＜a＜时，不等式解集为；当a＝时，不等式解集为⌀； 当a＞时，不等式解集为. 任务再现 (1)一元二次不等式的概念及解法．(2)含参数的一元二次不等式的解法 方法提炼 数形结合法、分类讨论法 易错警示 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准 1.下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 答案：D 解析：根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．故选D． 2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集为(　　) A． B． C．∅ D． 答案：D 解析：原不等式可化为(3x＋1)2≤0，所以3x＋1＝0，所以x＝－．故选D． 3.不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　) A． B． C． D．R 答案：C 解析：3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3，或x≤－．故选C． 4.若0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－)＜0的解集为　　　　． 答案： 解析：因为0＜m＜1，所以＞1＞m，故原不等式的解集为． 课时分层评价14　一元二次不等式及其解法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.函数y＝x2－4x＋4的零点为(　　) A．(2，0) B．(0，4) C．±2 D.2 答案：D 2.“－2＜x＜4”是“x2－x－6＜0”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，因为－2＜x＜4⇒/ －2＜x＜3，－2＜x＜3⇒－2＜x＜4，故“－2＜x＜4”是“x2－x－6＜0”的必要不充分条件．故选A． 3.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1.故选A． 4.设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集为(　　) A．{x|x＜－n，或x＞m} B．{x|－n＜x＜m} C．{x|x＜－m，或x＞n} D．{x|－m＜x＜n} 答案：B 解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)＜0，由m＋n＞0，得m＞－n，所以不等式的解集为{x|－n＜x＜m}．故选B． 5.(多选)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2，则(　　) A．当a＞0时，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为{x|x1＜x＜x2} B．当a＞0时，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为{x|x＜x1，或x＞x2} C．若不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＞0 D．若不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x2＞0 答案：AD 解析：当a＞0时，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，所以不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，故A正确，B错误；若不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则a＜0，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向下．又函数y＝ax2＋2x＋1的图象过定点(0，1)，则x1＜0，x2＞0，故C错误，D正确．故选AD． 6.(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　) A．不等式的解集可以为{x|x＞3} B．不等式的解集可以为R C．不等式的解集可以为∅ D．不等式的解集可以为{x|－1＜x＜3} 答案：BD 解析：对于A，假设结论成立，则无实数解，故A错误；对于B，当a＝1，b＝0时，不等式x2＋3＞0恒成立，则解集是R，故B正确；对于C，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3＞0，则解集不可能为∅，故C错误；对于D，假设结论成立，则解得符合题意，故D正确，故选BD. 7.使式子有意义的实数x的取值范围是　　　　． 答案：{x|－1＜x＜0} 解析：分析知应使－x2－x＞0，即x2＋x＜0，所以－1＜x＜0，所以实数x的取值范围是{x|－1＜x＜0}． 8.不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为　　． 答案：{x|－2＜x≤－1，或3≤x＜4} 解析：由x2－2x－3≥0得x≤－1，或x≥3；由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.所以－2＜x≤－1，或3≤x＜4.所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1，或3≤x＜4}． 9.已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集为　　　　　　　　． 答案：{x|x＜5a，或x＞－a} 解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a．因为2a＋1＜0，所以a＜－，所以－a＞5a．结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞－a}． 10.(10分)求下列不等式的解集： (1)2＋3x－2x2＞0； (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (3)x2－2x＋3＞0. 解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，所以(2x＋1)(x－2)＜0，解得－＜x＜2， 故原不等式的解集为． (2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，所以(2x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－，或x≥1，故原不等式的解集为. (3)对于方程x2－2x＋3＝0，因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，所以原不等式的解集是R． (11—13每小题5分，共15分) 11.(新定义)在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围是(　　) A．{x|0＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1} C．{x|x＜－2，或x＞1} D．{x|－1＜x＜2} 答案：B 解析：根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜1，故不等式的解集是{x|－2＜x＜1}．故选B． 12.(多选)下列关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＞0的解集讨论正确的是(　　) A．当a＝1时，解集为∅ B．当a＞1时，解集为{x|x＞a} C．当a＜1时，解集为{x|x＞1，或x＜a} D．无论a取何值，解集均不为空集 答案：CD 解析：原不等式可化为(x－1)(x－a)＞0. A × 当a＝1时，原不等式为(x－1)2＞0，解得x≠1. B × 当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1，或x＞a}． C √ 当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞1，或x＜a}． D √ 函数y＝x2－(a＋1)x＋a的图象开口向上，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集． 13.若a＜0，则关于x的不等式a(x＋1)(x＋)＜0的解集为　　　　　　　　． 答案： 解析：因为a＜0，所以原不等式等价于(x＋1)＞0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－＞0＞－1，所以原不等式的解集为. 14.(10分)解关于x的不等式x2－x－a2＋a＜0(0≤a≤1)． 解：由x2－x－a2＋a＜0， 得(x－a)［x－(1－a)］＜0. 因为0≤a≤1， 所以①当1－a＞a，即0≤a＜时，a＜x＜1－a； ②当1－a＝a，即a＝时，＜0，不等式无解； ③当1－a＜a，即＜a≤1时，1－a＜x＜a． 综上所述，当0≤a＜时，解集为{x|a＜x＜1－a}； 当a＝时，解集为∅； 当＜a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a}． 15.(5分)若“0＜x＜1”是“(x－a)［x－(a＋2)］≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：{a|－1≤a≤0} 解析：由(x－a)［x－(a＋2)］≤0，得a≤x≤a＋2.要使“0＜x＜1”是“(x－a)［x－(a＋2)］≤0”的充分不必要条件，则有所以－1≤a≤0.故实数a的取值范围是{a|－1≤a≤0}． 16.(15分)关于x的不等式组的整数解组成的集合为A． (1)当k＝－2时，求集合A； (2)若集合A＝∅，求实数k的取值范围； (3)若集合A中有2 026个元素，求实数k的取值范围． 解：(1)当k＝－2时，原不等式组可化为解得 解得－＜x＜－1. 所以满足条件的整数x＝－2，故A＝． (2)解不等式x2－x－2＞0得{x|x＜－1，或x＞2}， 不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0可化为(2x＋5)(x＋k)＜0. 因为集合A＝∅，所以－3≤－k≤－2，解得2≤k≤3. 所以实数k的取值范围是{k|2≤k≤3}． (3)由(2)得不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0可化为(2x＋5)(x＋k)＜0. 当－k＜－时，原不等式组的解集为. 由A中有2 026个元素可得A＝{－3，－4，…，－2 028}(借助数轴找到2 026个整数)， 所以－2 029≤－k＜－2 028，解得2 028＜k≤2 029. 当－k＞－时，由题意得－k＞2，原不等式组的解集为． 由A中有2 026个元素可得A＝{－2，3，4，…，2 027}(借助数轴找到2 026个整数，注意－2是A中的元素)， 所以2 027＜－k≤2 028， 解得－2 028≤k＜－2 027. 所以实数k的取值范围是{k|2 028＜k≤2 029，或－2 028≤k＜－2 027}． 学科网（北京）股份有限公司 $