第1章 1.3 第1课时 集合的并集与交集运算-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合的并集与交集运算核心知识点，前承集合的基本概念，后续可延伸至补集等综合运算。通过问题导思、新知构建、典例分析、规律方法总结及对点练，搭建从具体实例到抽象概念再到运算应用的学习支架。 该资料以核心素养为导向，用Venn图和数轴直观表达集合运算培养直观想象，通过定义辨析与性质推导提升数学抽象，结合例题与分层练习强化数学运算。任务驱动设计含链教材典例与变式探究，课中助力教师引导教学，课后帮助学生巩固知识查漏补缺。

1.3　集合的基本运算 第1课时　集合的并集与交集运算 学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，提升数学抽象、数学运算的核心素养． 2.能使用Venn图或数轴表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用，培养直观想象及数学运算的核心素养． 任务一　并集 (阅读教材P10—11，完成探究问题1) 问题1.观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3，4}．你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 提示：集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的． 1.并集 2.并集的运算性质 (1)A⋃B＝B⋃A，A⋃A＝A，A⋃∅＝A． (2)A⋃B＝A⇔B⊆A，A⊆(A⋃B)． ［微思考］　集合A⋃B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 提示：不一定等于． ［微提醒］　(1)A⋃B仍是一个集合．(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．可用图形表示： (链教材P10例1)(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0}，N＝{x|x2－2x＝0}，则M⋃N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} (2)(链教材P10例2)设集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝，则A⋃B＝(　　) A． B．{x|－2＜x＜1} C．{x|－1≤x＜0} D．{x|－2＜x≤1} 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)M＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，故M⋃N＝{－2，0，2}．故选D． (2)由A＝{x|－2＜x＜0}，B＝．故选D． 求集合并集的两种基本方法 1.定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． 2.数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解． 对点练1.(1)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M⋃N等于(　　) A．{x|x＜－5，或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3，或x＞5} (2)(多选)满足{1，3}⋃A＝{1，3，5}的集合A可能是(　　) A．{5} B．{1，5} C．{1，3} D．{1，3，5} 答案：(1)A　(2)ABD 解析：(1)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示． 可知M⋃N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．故选A． (2)由{1，3}⋃A＝{1，3，5}，知A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5.故选ABD． 任务二　交集 (阅读教材P11—12，完成探究问题2) 问题2.观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，你能说出集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B． 1.交集 2.交集的运算性质 (1)A⋂B＝B⋂A，A⋂A＝A，A⋂∅＝∅． (2)A⋂B＝A⇔A⊆B，(A⋂B)⊆A． ［微提醒］　A⋂B仍是一个集合，A⋂B中的任意元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A⋂B． ［微思考］　如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？ 提示：A⋂B＝∅． (链教材P12练习T2)(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} (2)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M⋂N＝　　　　． 答案：(1)A　(2){x|－1＜x＜1} 解析：(1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A⋂B＝{2}．故选A． (2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示． 由图知M⋂N＝{x|－1＜x＜1}． 求集合交集的基本方法 1.对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． 2.对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 对点练2.(1)已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|－2＜x＜2}，则A⋂B＝(　　) A．{－1，0} B．{x|0≤x＜2} C．{0，1} D．{0，1，2} (2)(双空题)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A⋃B＝　　　　，A⋂B＝　　　　　　． 答案：(1)C　(2)R　{x|4≤x＜5} 解析：(1)因为B＝{x∈Z|－2＜x＜2}＝{－1，0，1}，A＝{x|x≥0}，所以A⋂B＝{0，1}．故选C． (2)如图，借助数轴可知A⋃B＝R，A⋂B＝{x|4≤x＜5}． 任务三　根据并集与交集运算求参数范围 已知集合A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a＜x＜4}，若A⋃B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|3≤a＜4} B．{a|－1＜a＜4} C．{a|a≤－1} D．{a|a＜－1} 答案：C 解析：利用数轴，若A⋃B＝R，则a≤－1，所以实数a的取值范围是{a|a≤－1}．故选C． ［变式探究］　1.(变条件)将本例中“A⋃B＝R”变成“A⋃B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a＜4时，若要满足A⋃B＝A，则B⊆A，必有a≥3，则3≤a＜4. 综上，实数a的取值范围是{a|a≥3}． 2.(变条件)将本例中集合B变为“B＝{x|a＜x≤4－a}”，且“A⋃B＝R”变为“A⋂B＝∅”，求实数a的取值范围． 解：当a≥4－a，即a≥2时，集合B为空集，满足题意；当a＜2时，则有a≥－1且4－a＜3， 故有1＜a＜2. 综上，实数a的取值范围是{a|a＞1}． 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤 第一步：若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； 第二步：将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集； 第三步：解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． ［注意］　当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解． 对点练3.(1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A⋂B＝{2}，则A⋃B＝(　　) A．{0，2} B．{0，5} C．{0，2，2，5} D．{0，2，5} (2)设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}．若M⋂N＝N，则实数t的取值范围是　　　　． 答案：(1)D　(2){t|t≤2} 解析：(1)若A⋂B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A⋃B＝{0，2，5}．故选D． (2)由M⋂N＝N，得N⊆M．故当N＝∅，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立；当N≠∅时，由图得 解得＜t≤2.综上可知，所求实数t的取值范围是{t|t≤2}． 任务再现 (1)并集的概念及运算．(2)交集的概念及运算．(3)根据集合间的运算求参数范围 方法提炼 观察法、图示法、数形结合、分类讨论 易错警示 (1)无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键．(2)在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一特殊情况 1.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A⋂B等于(　　) A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．{－1，0，1，2，3} 答案：B 解析：因为A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，所以A⋂B＝{0，1}．故选B． 2.设集合A＝，B＝，则A⋃B＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为A＝，B＝，所以A⋃B＝．故选C． 3.若集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A⋂B≠∅，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：{a|a≥－1} 解析：A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，由A⋂B≠∅，得a≥－1. 4.若集合A＝{x|－3≤x＜1}，B＝{x|x≤a}，且A⋃B＝{x|x＜1}，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：{a|－3≤a＜1} 解析：因为A＝{x|－3≤x＜1}，B＝{x|x≤a}，A⋃B＝{x|x＜1}，所以－3≤a＜1. 课时分层评价4　集合的并集与交集运算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M⋂N＝(　　) A．{0} B．{0，3} C．{1，3，9} D．{0，1，3，9} 答案：B 解析：由于M＝{0，1，3}，所以N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}，故M⋂N＝{0，3}．故选B． 2.设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A⋃B＝{－1，0，2}，则实数m＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 答案：A 解析：因为A＝{0}，B＝{2，m}，且A⋃B＝{－1，0，2}，所以－1∈B，所以m＝－1.故选A． 3.已知集合A＝，B＝，则(　　) A．A⋂B＝∅ B．A⋃B＝R C．B⊆A D．A⊆B 答案：D 解析：A＝，B＝{y|y≥0}，所以A⋂B＝．故B错误；由已知得A⊆B．故C错误，D正确．故选D． 4.已知集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞－2}，C＝{x|x＞－1}，则(A⋂B)⋃C＝(　　) A．{x|－1＜x＜0} B．{x|x＞－1} C．{x|－2＜x＜0} D．{x|x＞－2} 答案：D 解析：由A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞－2}，得A⋂B＝{x|－2＜x＜0}，所以(A⋂B)⋃C＝{x|x＞－2}．故选D． 5.(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　) A．M⋂N＝N B．M⋃N＝N C．(M⋂N)⊆N D．N⊆(M⋂N) 答案：BC 解析：因为M⊆N，所以M⋂N＝M，M⋃N＝N，(M⋂N)⊆N．故选BC． 6.(多选)集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 答案：CD 解析：因为M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，所以M⋂N＝{1，3}．故选CD． 7.设集合A＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A⋂B＝　　　　　　　． 答案：{x|3≤x＜5} 解析：因为A＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A⋂B＝{x|3≤x＜5}． 8.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A⋃B中元素的个数为　　　　． 答案：6 解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A⋃B＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A⋃B中元素的个数为6. 9.设集合M＝{x|－4＜x＜3}，N＝{x|t＋2＜x＜2t－1，t∈R}．若M⋂N＝N，则实数t的取值范围是　　　　． 答案：{t|t≤3} 解析：由M⋂N＝N，得N⊆M．故当N＝∅，即t＋2≥2t－1，即t≤3时，M⋂N＝N成立；当N≠∅时，由图得无解． 综上可知，所求实数t的取值范围是{t|t≤3}． 10.(10分)设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A⋂B＝{2}，C＝{2，－3}． (1)求a，b的值及A，B； (2)求(A⋃B)⋂C． 解：(1)因为A⋂B＝{2}，所以2∈A，且2∈B， 故4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0， 即a＝－8，b＝－5， 所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}． (2)因为A⋃B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}， 所以(A⋃B)⋂C＝{2}． (11—13每小题5分，共15分) 11.已知a∈R，集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}．若M⋃N有三个元素，则M⋂N＝(　　) A．{0，1} B．{0，－1} C．{0} D．{1} 答案：C 解析：因为集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M⋃N有三个元素，则a2＝a且a≠±1，解得a＝0.此时M⋂N＝{0}．故选C． 12.(多选)设集合M＝{x|a＜x＜3＋a}，N＝{x|x＜2，或x＞4}，则下列结论中正确的是(　　) A．若a＜－1，则M⊆N B．若a＞4，则M⊆N C．若M⋃N＝R，则1＜a＜2 D．若M⋂N≠∅，则1＜a＜2 答案：ABC 解析：对于A，若a＜－1，则3＋a＜2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a＞4，则M⊆N，故B正确；对于C，若M⋃N＝R，则解得1＜a＜2，故C正确；对于D，若M∩N＝∅，则不等式无解，故若M⋂N≠∅，则a∈R，故D错误．故选ABC． 13.(双空题)某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有　　　　人，同时参加数学和化学小组的有　　　　人． 答案：5　8 解析：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组．因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理小组的有15－6－4＝5(人)．设同时参加数学和化学小组的人数为x，则只参加数学小组的人数为26－6－x＝20－x，只参加化学小组的人数为13－4－x＝9－x．又总人数为36，即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36，所以44－x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． 14.(10分)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－2x＋b＝0}． (1)若A⋂B＝，求实数a，b的值及集合A，B； (2)若A≠∅且A⋃B＝B，求实数a和b满足的关系式． 解：(1)若A⋂B＝，则3∈，3∈， 所以3a－1＝0，9－6＋b＝0，解得a＝，b＝－3， 所以A＝＝＝，B＝＝， 综上：a＝，b＝－3，A＝，B＝. (2)若A≠∅，则a≠0，此时A＝{x|ax－1＝0}＝． 又A⋃B＝B，所以A⊆B， 即∈{x|x2－2x＋b＝0}， 所以 所以实数a和b满足的关系式为b＝－(b≤1)． 15.(5分)(双空题、新定义)定义集合P＝{x|a≤x≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R．已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，则集合M⋂N的“长度”的最小值是　　　　；若m＝，集合M⋃N的“长度”大于，则n的取值范围是　　． 答案：　 解析：集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x｜1≤x≤2}的子集.由可得1≤m≤，由可得≤n≤2.要使M∩N的“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大值或m取最大值、n取最小值时才成立.当m＝1，n＝2，M∩N＝，“长度”为－＝，当m＝，n＝，M∩N＝，“长度”为－＝，故集合M∩N的“长度”的最小值是；若m＝，M＝，要使集合M∪N的“长度”大于，故n－＜－或n＞＋，即n＜或n＞，又≤n≤2，故≤n＜或＜n≤2，所以n的取值范围是. 16.(15分)已知集合A＝为非空集合，B＝． (1)当a＝8时，求A⋂B，A⋃B； (2)求能使A⊆成立的实数a的取值范围． 解：(1)当a＝8时，集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}＝{x|17≤x≤19}， B＝， 由集合交集和并集的定义与运算，可得A⋂B＝． (2)由非空集合A＝， 因为A⊆解得6≤a≤9， 所以实数a的取值范围是{a|6≤a≤9}． 学科网（北京）股份有限公司 $