25.2.3　因式分解法 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦因式分解法解一元二次方程，通过竖直上抛实际问题导入，对比配方法、公式法的繁琐，衔接已学的直接开平方法等旧知，建立方程模型，激发学生探究简便解法的欲望。 以“降次转化”为核心，通过“观察—分解—降次”探究过程，结合提公因式、平方差公式等实例（如例1、例2），培养数学思维中的推理意识和运算能力，用“一移二分三化四解”步骤规范表达，体现数学语言的简洁。帮助学生提升代数运算能力和择优解题习惯，为教师提供清晰教学流程和典型例题，提升课堂效率。

25.2.3　因式分解法 教学目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的理论依据（若两个因式乘积为 0，则至少一个因式为 0）；会用“提公因式法、平方差公式、完全平方公式”因式分解，规范求解对应一元二次方程． 2．通过竖直上抛实际问题对比配方法、公式法，经历“观察—分解—降次”的探究过程，总结因式分解法“一移二分三化四解”解题步骤，提升代数运算与转化推理能力． 3．感受因式分解法降次解方程的简便优势，体会“降次转化”是解一元二次方程的核心思想；能根据方程结构选择最优解法，养成观察、择优解题的习惯． 教学重点 掌握因式分解法解一元二次方程的解题步骤；能根据方程结构，选用提公因式、平方差、完全平方公式分解因式解方程． 教学难点 1．准确变形方程，将一侧化为 0 后再因式分解； 2．灵活观察多项式结构，选择合适分解方法； 3．理解“降次转化”的数学思想，区分四种解法适用场景． 教学过程 新课导入 教师导语：前面我们学习了直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程，公式法适用于所有一元二次方程，是通用解法．但对于形如x2＝4这类特殊方程，用平方根意义直接开方会更简单．今天我们继续探究另一类能快速求解一元二次方程的简便方法，先来看一个物理实际问题． 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)约为： 10x－5x2． 【问题】根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 【师生活动】学生分析落回地面高度为 0，列出方程10x－5x2＝0． 【追问】你能用之前学过的配方法、公式法解这个方程吗？计算过程感受如何？ 【设计意图】借助教材过渡句衔接旧知，通过实际问题建立方程模型，对比旧解法的繁琐，激发学生寻找简便解法的探究欲望． 新知探究 一、探究学习 【问题】你能利用学过的方法，解方程10x－5x2＝0吗？ 【师生活动】教师引导学生观察方程，并提示：可以用配方法和公式法解方程． 【答案】解：①配方法： 整理，得5x2－10x＝0． 二次项系数化为1，得x2－2x＝0． 配方，得x2－2x＋1＝1， (x－1)2＝1， 由此可得x－1＝1， x1＝0，x2＝2． ②公式法： 方程化为5x2－10x＝0． a＝5，b＝－10，c＝0． Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×5×0＝100＞0． 方程有两个不等的实数根 即x1＝0，x2＝2． 【设计意图】让学生用已学方法解方程，巩固旧知；整数计算仍能明显感受步骤繁琐，制造认知冲突，激发学生寻找简便解法的探究兴趣． 【问题】观察方程10x－5x2＝0的左右两边，有什么发现？ 【师生活动】学生独立观察方程，找到式子左右两边的特点，并回答：方程的左边是一个二项式，且这个二项式可以进行因式分解，即10x－5x2＝x(10－5x)． 方程的右边是0，所以x(10－5x)＝0． 【问题】在上面问题的基础上，怎样解方程x(10－5x)＝0？ 【师生活动】教师带领学生回忆前面学过的知识：在实数范围内，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0．通过回顾旧识，引导学生找到解这个方程的思路． 【答案】解：因为x(10－5x)＝0， 所以x＝0或10－5x＝0． 所以方程的两个根是x1＝0，x2＝2． 【师生活动】教师引导学生结合物理情境，分别说出x1＝0，x2＝2对应的现实含义，区分初始时刻与落地时刻，体会一元二次方程解的实际意义． 【思考】解方程10x－5x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？ 【师生活动】学生对比配方法、公式法的降次手段，自主发现本题依靠因式分解完成降次，顺势引出因式分解法概念． 【新知】观察解方程的过程，由10x－5x2＝0到x＝0或10－5x＝0的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法． 因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0． 实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程． 适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式． 利用因式分解法解一元二次方程的常用方法 （1）提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． （2）逆用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2来分解因式． 【设计意图】依托实际情境方程对比多种解法，引出因式分解法，理解降次转化的核心数学思想，提升运算择优意识． 二、典例精讲 【例1】解下列方程： （1）x(x－2)＋x－2＝0； （2）5x2－2x－＝x2－2x＋． 【师生活动】学生独立解题，教师巡视纠错． 【答案】解：（1）因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0． 于是得 x－2＝0，或x＋1＝0． x1＝2，x2＝－1． （2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0． 因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0． 于是得 2x＋1＝0，或2x－1＝0， x1＝－，x2＝． 【归纳】在用因式分解法解一元二次方程时，千万不要急于把方程化成一般形式，要先观察方程的特点，能提公因式进行因式分解的就提公因式进行因式分解．如本例中把x－2看作一个整体提公因式进行因式分解的方法比较简单． 【设计意图】通过例1，考查学生对因式分解法解一元二次方程的掌握程度，同时让学生能够意识到使用因式分解可以简化运算，提高运算效率． 【问题】你能根据例1的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ 【师生活动】学生先独立思考，再以小组为单位讨论交流，对解题步骤进行归纳． 【答案】第1步：移项，将方程的右边化为0； 第2步：将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式； 第3步：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程； 第4步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根． 简记为“一移二分三化四解”． 【新知】两种适合因式分解法求解的典型方程形式 （1）解形如x2＋bx＝0的一元二次方程时，将方程的左边运用提公因式法因式分解为x(x＋b)＝0，则x＝0或x＋b＝0，即x1＝0，x2＝－b． （2）解形如x2－a2＝0的一元二次方程时，将方程的左边运用平方差公式因式分解为(x＋a)(x－a)＝0，则x＋a＝0或x－a＝0，即x1＝－a，x2＝a． 【例2】用因式分解法解方程：x2＋2 026x－2 027＝0． 【师生活动】教师带领学生对所给方程进行观察，找到解题思路：可以利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)进行因式分解．要设法找到两个数p，q，使p＋q＝2 026，pq＝－2 027． 【答案】解：原方程可化为(x－1)(x＋2 027)＝0， 于是得x－1＝0或x＋2 027＝0， 所以x1＝1，x2＝－2 027． 【归纳】利用因式分解法解x2＋(p＋q)x＋pq＝0型一元二次方程 形如x2＋(p＋q)x＋pq＝0的一元二次方程可尝试利用因式分解法求解．进行因式分解时，必须保证常数项拆成的两个因数的和为一次项系数，两个因数的积为常数项，另外两根的符号分别与拆分出的两个因数符号一致． 【设计意图】本题训练十字相乘法因式分解解方程，拓展因式分解的适用题型，拓宽学生因式分解解方程的思路，强化观察方程结构择优分解的意识． 【问题】我们已经学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，四种解法各适合什么类型方程？ 【师生活动】学生小组快速交流，教师梳理总结： ①直接开平方法：形如(ax＋b)2＝p(p≥0)，直接开方降次； ②配方法：通用，多用于推导求根公式、求代数式最值； ③公式法：万能解法，所有一元二次方程都适用； ④因式分解法：方程一边为 0，另一边易分解成两个一次因式时优先选用，计算最简便。 【设计意图】梳理四种解法的适用场景，引导学生根据方程结构择优选择解法，深化 “降次转化” 核心思想。 课堂小结 板书设计 　　因式分解法解一元二次方程 　　一、定义：因式分解后降次，转化为两个一元一次方程 二、依据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0 三、常用手段 1．提公因式法 2．平方差、完全平方公式 3．十字相乘法 四、解题步骤：一移、二分、三化、四解 五、四种解法适用场景 1．直接开平：完全平方式 2．配方：通用、求最值 3．公式：万能通用 4．因式分解：易分解、计算简便 课后任务 完成教材第14～15页练习第1题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $