1.3 空间向量及其运算的坐标表示(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦空间向量及其运算的坐标表示，通过飞机航线位置确定的情境导入，引导学生从平面直角坐标系自然过渡到空间直角坐标系的建立，搭建二维到三维的学习支架，衔接点的坐标表示、向量运算及应用等核心内容。 资料以问题链驱动探究，结合微思考、分层训练及n维向量拓展，帮助学生深化空间向量坐标运算的理解，培养直观想象与数学抽象素养，例题与训练题注重逻辑推理和数学运算能力的提升，助力学生形成用数学语言表达空间关系的习惯。

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 课标要求 情境导入 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置（数学抽象、直观想象）． 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象、数学运算）． 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题（逻辑推理、数学运算）． 　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 问题　在平面中，我们可选定一点O和一个单位正交基底{i，j}来建立平面直角坐标系，类似地，你认为应如何建立空间直角坐标系？ 1.空间直角坐标系及相关概念 （1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：　　　　　　　，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个　　　　　　　　； （2）相关概念：　　　叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过　　　　　　的平面叫做坐标平面，分别称为　　　平面，　　　　平面，　　　平面，它们把空间分成八个部分． 2.右手直角坐标系 如图，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向　　　　的正方向，食指指向　　　　的正方向，如果中指指向　　　　的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3.空间点的坐标 在单位正交基底{i，j，k}下，=xi＋yj＋zk，其对应的有序实数组　　　，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中　　　叫做点A的横坐标，　　　叫做点A的纵坐标，z叫做点A的　　　坐标． 【微思考】 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 角度1　点的坐标表示 （链接教材P18例1（1））已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标． 规律方法 求空间一点P的坐标的两种方法 （1）利用点在坐标轴上的投影求解； （2）利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标． 角度2　求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）． （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标． 规律方法 　　空间点的对称问题的解题策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解； （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 训练 1　（1）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　； （2）如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB=6，AA1=4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC=1∶3. ①以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； ②以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． 知识点二　空间向量的坐标表示及运算 问题　（1）在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，借助几何直观如何确定它们的坐标（x，y，z）？ （2）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a•b的坐标表示吗？ 1.空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a=xi＋yj＋zk．有序实数组　　　　　　叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=　　　　　　． 2.空间向量运算的坐标表示 （1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b=　　　　　　 减法 a－b=　　　　　　 数乘 λa=　　　　　　（λ∈R） 数量积 a•b=　　　　　　 （2）设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=　　　　　　．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标　　　　起点坐标． （链接教材P18例1）在△ABC中，A（2，－5，3），=（4，1，2），=（3，－2，5）． （1）求顶点B，C的坐标； （2）求•； （3）若点P在AC上，且=，求点P的坐标． 规律方法 空间向量坐标运算的规律 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定（终点坐标减去起点坐标）； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程（组），求出其坐标． 训练 2　（1）（2026•江门高二调研）若a=（－1，2，－1），b=（1，3，－2），则（a＋b）•（a－b）=（　　） A．－8　 B．－10 C．8　 D．10 （2）如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面．M，N分别是AB，PC的中点，并且PA=AB=1，试建立适当的空间直角坐标系，求出向量，，的坐标． 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示 问题　类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b的坐标表示吗？ 设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），则有： （1）平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a=λb⇔　　　　，　　　　，　　　　（λ∈R）； （2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a•b=0⇔　　　　　　　　． 【微思考】 若a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），a∥b，则一定有==成立吗？ （链接教材P20例2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点． 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH； （2）A1G⊥平面EFD． 规律方法 向量平行、垂直的应用 （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明． 训练 3　（1）已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k=（　　） A．1　 B． C．　 D． （2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE． 知识点四　空间夹角、距离的计算 问题　类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示推导出空间两点的距离公式吗？ 1.若a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），cos〈a，b〉==　　　　　　　　． 2.空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2=||=　　　　　　　　． 提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|；（2）求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式． （链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=，AA′=2，点N是A′A的中点． （1）求||； （2）求cos〈，〉的值． 规律方法 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题． 训练 4　在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2. （1）求BP的长； （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值． 1.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　） A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量－的坐标相同 2.〔多选〕（2026•山东潍坊高二期末）已知向量a=（1，－2，－2），b=（6，－3，2），则下列结论正确的是（　　） A．a＋b=（7，－5，0） B．a－b=（5，－1，4） C．a•b=8 D．|a|= 3.（2026•湖南怀化高二质检）已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为　　　　． 4.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点E，F的坐标； （2）求证：A1F⊥C1E． 　向量概念的推广 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维向量空间，a=（a1，a2，…，an）． 对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算． 设a=（a1，a2，…，an），b=（b1，b2，…，bn），则 a±b=（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）； λa=λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan），λ∈R； a•b=（a1，a2，…，an）•（b1，b2，…，bn）=a1b1＋a2b2＋…＋anbn； |a|=． n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的“距离”|AB|=． 【迁移应用】 某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai=（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i=1，2，…，30），其中aij表示成绩，i不同表示不同的同 学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩． 答案 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 知识点一　 导入新知 问题　提示：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系． 学习新知 1.（1）x轴、y轴、z轴　空间直角坐标系Oxyz　（2）O　每两条坐标轴　Oxy　Oyz　Ozx　2.x轴　y轴　z轴 3.（x，y，z）　x　y　竖 微思考 提示： 点的 位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的 形式 （x，0，0） （0，y，0） （0，0，z） 点的 位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的 形式 （x，y，0） （0，y，z） （x，0，z） 【例 1】　解：因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方形的对角线长为4，正四棱锥的高为2． 所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，2）． 【例 2】　解：（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）． （2）由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2，1，－4）． （3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x=2×2－（－2）=6， y=2×（－1）－1=－3，z=2×（－4）－4=－12， 所以P3的坐标为（6，－3，－12）． 训练 1　（1）（2，－3，1）　解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）． （2）解：①在正方形ABCD中，AB=6， ∴AC=BD=6，从而OA=OC=OB=OD=3． ∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），C1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）． ②同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）． 知识点二　 导入新知 问题　（1）提示：如图，过点A分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，依次交x轴，y轴，z轴于点B，C，D．可以证明在x轴，y轴，z轴上的投影向量分别为，，，且=＋＋．设点B，C，D在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，那么点A（向量）的坐标为（x，y，z）． （2）提示：若空间向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），则a＋b=（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b=（a1－b1，a2－b2，a3－b3），λa=（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a•b=a1b1＋a2b2＋a3b3． 学习新知 1.（x，y，z）　（x，y，z） 2.（1）（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　（a1－b1，a2－b2，a3－b3）　（λa1，λa2，λa3）　a1b1＋a2b2＋a3b3　（2）（x2－x1，y2－y1，z2－z1）　减去 【例 3】　解：（1）设B（x，y，z），C（x1，y1，z1）， 所以=（x－2，y＋5，z－3）， =（x1－x，y1－y，z1－z）， 因为=（4，1，2）， 所以解得 所以点B的坐标为（6，－4，5）． 因为=（3，－2，5）， 所以解得 所以点C的坐标为（9，－6，10）． （2）因为=（－7，1，－7）． 所以•=－21－2－35=－58. （3）设P（x2，y2，z2），则=（x2－2，y2＋5，z2－3）， =（9－x2，－6－y2，10－z2）， 于是有（x2－2，y2＋5，z2－3）=（9－x2，－6－y2，10－z2）， 所以 解得 故点P的坐标为（，－，）． 训练 2　（1）A　由题知a＋b=（－1＋1，2＋3，－1－2）=（0，5，－3），a－b=（－1－1，2－3，－1＋2）=（－2，－1，1），则（a＋b）•（a－b）=0×（－2）＋5×（－1）＋（－3）×1=0－5－3=－8.故选A． （2）解：因为PA=AB=AD=1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系如图所示．所以==0i＋1j＋0k=（0，1，0），=－=－i＋0j＋0k=（－1，0，0），=＋＋=－＋＋=－•＋＋（＋）=－＋＋（＋＋）=＋=0i＋j＋k=（0，，）． 知识点三　 导入新知 问题　提示：a∥b⇒（a1，a2，a3）=λ（b1，b2，b3）（λ∈R）⇒a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3；a⊥b⇒a•b=a1b1＋a2b2＋a3b3=0. 学习新知 （1）a1=λb1　a2=λb2　a3=λb3 （2）a1b1＋a2b2＋a3b3=0 微思考 提示：不一定，当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a∥b⇔==． 【例 4】　证明：如图，以A为坐标原点，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1）．由中点坐标公式，得E（1，1，），F（1，，0），G（，1，0），H（，，1）． （1）=（1，0，1），=（，0，），=（－，－，）． 因为=2，•=1×（－）＋1×=0， 所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH． （2）=（，1，－1），=（1，－，0），=（1，0，）． 因为•=－＋0=0，•=＋0－=0， 所以A1G⊥DF，A1G⊥DE． 因为DF⋂DE=D，DF，DE⊂平面EFD，所以A1G⊥平面EFD． 训练 3　（1）D　ka＋b=（k－1，k，2），2a－b=（3，2，－2），（ka＋b）•（2a－b）=3（k－1）＋2k－4=0，解得k=． （2）证明：如图，建立空间直角坐标系， 设AC⋂BD=N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为（，，0），（0，0，1）． ∴=（－，－，1）． 又点A，M的坐标分别是（，，0），（，，1）， ∴=（－，－，1）． ∴=．又NE与AM不共线， ∴NE∥AM． 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE． 知识点四　 导入新知 问题　提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，=－=（x2－x1，y2－y1，z2－z1）， 于是||== ， 所以P1P2=||= ， 因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=||= ． 学习新知 1. 2. 【例 5】　解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． （1）由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）． 则=（1，－1，1）， ||==． （2）由题意，得B（0，1，0），C（0，0，0），A′（1，0，2），B′（0，1，2）． 因为=（1，－1，2），=（0，1，2）， 所以||==， ||==， •=1×0＋（－1）×1＋2×2=3， cos〈，〉===． 训练 4　解：（1）如图，建立空间直角坐标系． ∵∠ADC=∠DAB=90°， AB=4，CD=1，AD=2， ∴A（2，0，0），C（0，1，0）， B（2，4，0）． 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD=60°． 在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=2． ∴P（0，0，2）． ∴BP= =4． （2）由（1）得，=（2，0，－2）， =（－2，－3，0）， ∴cos〈，〉= ==－， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为． 随堂自测 1.D　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不正确；因为=－，所以D正确，故选D． 2.AC　因为a=（1，－2，－2），b=（6，－3，2），所以a＋b=（7，－5，0），故A正确；a－b=（－5，1，－4），故B不正确；a•b=1×6＋2×3－2×2=8，故C正确；|a|==3，故D不正确．故选A、C． 3.　解析：∵=（0，3，3），=（－1，1，0），∴||=3，||=，•=0×（－1）＋3×1＋3×0=3，∴cos〈，〉==，又∵〈，〉∈［0，π］，∴〈，〉=． 4.解：（1）E（a，x，0），F（a－x，a，0）． （2）证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a）， ∴=（－x，a，－a），=（a，x－a，－a）， ∴•=－ax＋a（x－a）＋a2=0， ∴⊥，∴A1F⊥C1E． 【教材挖掘】 迁移应用 解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即 ai=（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）， 其中aij为第j门课程的平均成绩． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $