专题6：运算律（思维拓展）北师大版数学四年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题6：运算律 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：四则混合运算顺序 3 考点二：加法运算律 4 考点三：乘法交换律与结合律 5 考点四：乘法分配律 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：混合运算顺序错误 9 易错点 2：连减去括号不变号 9 易错点 3：乘法结合律和分配律混淆 9 易错点 4：乘法分配律漏乘项 9 易错点 5：交换位置忘带符号 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版四年级上册第五单元《运算律》核心内容，以 “顺序规范→运算定律→简便优化→综合应用” 为主线，系统覆盖整数四则混合运算顺序、加法运算律与简便计算、乘法运算律与简便计算、运算律综合拓展应用四大核心模块，渗透凑整思想、建模思想、转化思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从四则混合运算的运算顺序入手，掌握有括号、无括号的运算规则；探索加法交换律、结合律，能运用加法运算律进行凑整简便计算；探索乘法交换律、结合律、分配律，能运用乘法运算律进行简便计算；拓展减法的性质、除法的性质、乘法分配律的变式，提升简便计算的灵活性；延伸错中求解、拆分凑整、提取公因数等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升运算能力与简便计算思维。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 四则混合运算顺序 无括号两级运算；有括号运算；同级运算 顺序法、分步计算法 先算加减后算乘除；括号漏变号 加法运算律 加法交换律；加法结合律；连减的性质 凑整法、抵消法 交换位置忘带符号；连减减和变加 乘法运算律 乘法交换律；乘法结合律；连除的性质 凑整法、拆分法 结合律和分配律混淆；拆分错误 乘法分配律 分配律基本形式；分配律逆用；分配律拓展 提取公因数法、拆分法 分配律漏乘其中一项；公因数找不准 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 分步计算法 混合运算 ①看运算顺序；②分步算；③合并结果 先乘除，后加减，有括号，先算里 加法凑整法 加法简便计算 ①找凑整组合；②交换结合；③计算结果 见 99 凑 1，见 25 找 4，凑整巧算 乘法凑整法 乘法结合律 ①拆分因数；②结合凑整；③计算结果 见 25 找 4，见 125 找 8，相乘凑整 提取公因数法 乘法分配律 ①找相同因数；②提取公因数；③乘剩余和 找相同，提出来，剩括号，合起来 差量法 错中求解 ①算差量；②找对应；③求正确结果 看错数，算出差，对应除，得原数 三、数学思维提升 1. 凑整思想 核心要点：通过运算律将算式中的数凑成整十、整百、整千，使计算简便，培养凑整意识与优化计算能力。 专题示例：计算加法时把能凑成整百的数结合，乘法时把 25 和 4 结合，就是凑整思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立各运算律的字母模型，掌握固定的简便计算方法，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：加法结合律、乘法分配律，就是典型的运算律模型。 3. 转化思想 核心要点：将复杂的算式通过运算律转化为简单的口算，将新知转化为旧知，培养转化迁移与运算能力。 专题示例：连减转化为减和，连除转化为除积，就是转化思想的应用。 4. 应用意识 核心要点：运用运算律解决生活中的计算问题，体会简便计算的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算购物总价、工程总量，用运算律简便计算，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：四则混合运算顺序 能力进阶（★★★）—— 带括号的混合运算 题目：计算，说一说运算顺序。 解题步骤： ① 四则混合运算中，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的；括号外同级运算从左到右。 先算括号里的加法：② 再算括号外的乘法：③ 最后算除法：验证：按顺序分步验算，结果正确。 【答案】120 【知识点睛】本题考查四则混合运算的运算顺序，对应教材核心重难点。 核心顺序： 1. 只有加减或只有乘除，同级运算从左到右依次计算； 2. 既有加减又有乘除，先算乘除，后算加减； 3. 有括号的，先算小括号里面的，再算括号外面的。 易错警示：先算乘法再算加法，搞错运算顺序。 思维拓展（★★★★）—— 漏看括号的错中求解 题目：小马虎计算时，漏看了小括号，算成了。他算出的结果和正确结果相差多少？ 解题步骤： ① 先把正确的算式用乘法分配律展开： ② 错误的算式是，两个算式都有，相差的部分就是。 ③ 验证：假设□里是 2，正确结果，错误结果，相差，符合计算。 【答案】相差 472。 【知识点睛】本题是混合运算错中求解的经典奥数题型，考查运算顺序与乘法分配律的结合应用。 解题关键：漏看括号会改变运算顺序，正确的是括号里的每个数都乘括号外的数，错误的只乘了第一个数；两者的差就是括号外的数乘括号里后面的数，再减去多算 / 少算的部分。 解题方法：将正确算式展开，和错误算式对比，相同部分抵消，不同部分就是相差的结果。 易错警示：直接认为相差 8，忽略乘法分配律的展开。 考点二：加法运算律 能力进阶（★★★）—— 加法结合律凑整 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 观察数字特点，278 和 122 能凑成整百，145 和 55 能凑成整百，运用加法交换律和结合律分组凑整。 ② 交换位置，分组结合： ③ 验证：按从左到右顺序计算，，，结果一致。 【答案】600 【知识点睛】本题考查加法交换律和结合律的简便计算，对应教材重难点。 核心定律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，； 加法结合律：三个数相加，先把前两个相加，或者先把后两个相加，和不变，。 解题技巧：加法简便计算，找能凑成整十、整百、整千的数，交换位置后结合凑整。 易错警示：交换加数位置时，忘记带着前面的符号走。 思维拓展（★★★★）—— 连减的性质 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 观察减数的特点，128 和 172 能凑成整百，根据连减的性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 ② 转化计算： ③ 验证：按顺序计算，，结果一致。 【答案】156 【知识点睛】本题是加法运算律的拓展奥数题型，考查连减的性质与简便计算。 核心性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个减数的和，字母表示：。 反过来也成立：，去括号时，括号前面是减号，括号里要变号。 解题技巧：连减算式中，两个减数能凑整时，用减和的方法简便计算。 易错警示：括号里还是减号，不变号，写成。 考点三：乘法交换律与结合律 能力进阶（★★★）—— 乘法结合律凑整 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 观察数字特点，25 和 4 相乘得 100，125 和 8 相乘得 1000，把 32 拆成，再用乘法结合律分组凑整。 ② 拆分结合： ③ 验证：按顺序计算，，结果一致。 【答案】100000 【知识点睛】本题考查乘法结合律的简便计算，对应教材重难点。 核心定律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，； 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个，或者先乘后两个，积不变，。 解题技巧：乘法简便计算，见 25 找 4，见 125 找 8，没有就拆分出对应的因数，再结合凑整。 易错警示：把 32 拆成，误用乘法分配律。 思维拓展（★★★★）—— 积不变规律的应用 题目：用简便方法计算，你能想出两种不同的简便方法吗？ 解题步骤： ① 方法一：拆分因数结合凑整，把 24 拆成，用乘法结合律。 ② 方法二：利用积不变规律，一个因数扩大几倍，另一个缩小相同倍数，积不变。 125 扩大 8 倍变成 1000，24 缩小 8 倍变成 3，积不变。 ③ 验证：按顺序计算，两种方法结果都正确。 【答案】3000，两种方法见解析。 【知识点睛】本题是乘法运算律的拓展奥数题型，考查积不变规律的灵活应用。 核心规律：积不变规律 —— 一个因数乘一个数（不为 0），另一个因数除以相同的数，积不变。 适用场景：当有因数是 125、25 等特殊数时，可以通过扩缩凑整，简化计算。 易错警示：一个乘一个除，倍数不同，导致积变化。 考点四：乘法分配律 能力进阶（★★★）—— 乘法分配律基本应用 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 运用乘法分配律，两个数的和乘一个数，等于两个数分别乘这个数，再相加。 ③ 验证：先算括号里，，结果一致。 【答案】148 【知识点睛】本题考查乘法分配律的基本应用，对应教材重难点。 核心定律：乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，字母表示：。 反过来也成立：，叫提取公因数。 易错警示：分配律只乘第一个数，漏乘第二个，写成。 思维拓展（★★★★）—— 提取公因数（隐藏公因数） 题目：用简便方法计算。 解题步骤： ① 观察数字特点，72 和 36 是 2 倍关系，根据积不变规律，把转化为（72 缩小 2 倍，23 扩大 2 倍，积不变）。 ② 转化后出现相同的因数 36，提取公因数计算： ③ 验证：按顺序计算，，，结果正确。 【答案】3600 【知识点睛】本题是乘法分配律的经典奥数题型，考查隐藏公因数的提取与积不变规律的结合。 解题关键：当算式中没有明显的相同因数时，观察数字的倍数关系，利用积不变规律转化出相同的因数，再用乘法分配律提取公因数简便计算。 解题步骤：找倍数关系→转化出相同因数→提取公因数→计算结果。 易错警示：转化时倍数搞错，导致积变化。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：混合运算顺序错误 错误示例：。 正确分析：两级运算先算乘除后算加减，正确结果是。 修正方法：先乘除，后加减，有括号先算括号里。 易错点 2：连减去括号不变号 错误示例：。 正确分析：括号前面是减号，去括号要变号，正确的是。 修正方法：减号去括号，括号里加变减，减变加。 易错点 3：乘法结合律和分配律混淆 错误示例：。 正确分析：括号里是乘号，用乘法结合律，正确的是。 修正方法：括号里是加减用分配律，括号里是乘除用结合律。 易错点 4：乘法分配律漏乘项 错误示例：。 正确分析：括号里的每个数都要乘括号外的数，正确的是。 修正方法：分配律，分别乘，不漏项。 易错点 5：交换位置忘带符号 错误示例：。 正确分析：交换位置要带着前面的运算符号，正确的是。 修正方法：搬家带符号，前面是什么符号，带什么走。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 计算：（ ） 2. 计算：（ ） 3. 计算：（ ） 4. 计算：（ ） 5. 计算：（ ） 6. 计算：（ ） 7. 计算：（ ） 8. 计算：（ ） 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎计算时，漏看括号算成，结果相差多少？ 10. 用简便方法计算： 11. 用简便方法计算： 12. 用简便方法计算： 13. 用简便方法计算： 14. 用简便方法计算： 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】140 解题步骤： ① 先算除法：； ② 再算减法：。 【知识点睛】考查混合运算顺序。核心：先除后减。易错警示：50。 2. 【答案】1500 解题步骤： ① 乘法分配律：。 【知识点睛】考查乘法分配律。核心：分别相乘再相加。易错警示：1004。 3. 【答案】265 解题步骤： ① 加法交换律结合律：。 【知识点睛】考查加法凑整。核心：交换结合凑整百。易错警示：165。 4. 【答案】900 解题步骤： ① 拆分 36 为，。 【知识点睛】考查乘法结合律。核心：拆分凑整。易错警示：800。 5. 【答案】326 解题步骤： ① 把 198 看成，。 【知识点睛】考查凑整减法。核心：多减要加回。易错警示：324。 6. 【答案】4500 解题步骤： ① 提取公因数 45：。 【知识点睛】考查分配律逆用。核心：提取公因数凑整。易错警示：4455。 7. 【答案】9 解题步骤： ① 连除的性质：。 【知识点睛】考查连除性质。核心：连除等于除积。易错警示：225。 8. 【答案】264 解题步骤： ① 乘法分配律：。 【知识点睛】考查分配律应用。核心：拆数凑整。易错警示：254。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】195。 解题步骤： ① 正确展开：； ② 相差：。 【知识点睛】考查漏看括号错中求解。核心：展开对比差量。易错警示：200。 10. 【答案】9000。 解题步骤： ① 拆分 72 为，。 【知识点睛】考查乘法结合律拓展。核心：见 125 找 8。易错警示：8000。 11. 【答案】33300。 解题步骤： ① 转化公因数：； ② 提取公因数：。 【知识点睛】考查隐藏公因数提取。核心：积不变转化公因数。易错警示：99900。 12. 【答案】8955。 解题步骤： ① 把 199 看成，。 【知识点睛】考查分配律凑整。核心：接近整百数拆分。易错警示：9045。 13. 【答案】16。 解题步骤： ① 拆分 45 为，。 【知识点睛】考查连除性质拓展。核心：拆除数连除。易错警示：8。 14. 【答案】1100。 解题步骤： ① 转化：； ② 提取公因数：。 【知识点睛】考查隐藏公因数。核心：倍数转化公因数。易错警示：22200。 1 学科网（北京）股份有限公司 $