学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（辽宁专用，范围：人教版）

**基本信息** 聚焦全等三角形与三角形性质，基础题与综合题梯度分布，通过动态几何、坐标系应用等情境考查抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等图形识别、三角形三边关系|基础概念辨析，如第1题全等图形直观判断| |填空题|8/24|中线面积、网格角度计算|几何直观应用，如第12题网格中全等证角度| |解答题|8/75|动态全等、坐标系综合|综合推理与创新应用，如22题截长补短构造全等，23题结合坐标与对称考查空间观念|

11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________），∴． 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 2 4 5 6 8 9 10 A B B A A C A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 111 12.45° 13.4 15 14.3 15.3或4 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16-20每题8分，21题每题10分，22题每题12分，23题每 题13分。 16.(1)腰长为6cm; (2)底边长为3cm或7cm, 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答 本题的关键。 (1)根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长： (2)设腰长为2acm,分①当2a+a=15-6时，②当2a+a=6时，两种情况讨论，然后得出底边长度. 【详解】(1)解：设底边为xcm,则腰为2xcm, 由题意得x+2x+2x=15, 解得x=3, .腰长为6cm: …4分 (2)解：设腰长为2acm, ①当2a+a=15-6时，得a=3, 腰长2a=6cm …底边长为 5-6-6=3(cm) 6,6,3能构成三角形： ②当2a+a=6时，得a=2, 腰长2a=4cm, 1/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·底边长为 5-4-4=7(cm) 4,4,7 能构成三角形： 综上所述：底边长为3cm或7Cm.…8分 17. 己知，CF+CE,BC,BC=EF,ABC,DEF,SAS,三角形全等的对应角相等 【分析】根据两三角形全等，对应角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可证明AC∥DF, 【详解】略 18.(1)解：如图即为所作， …4分 B (2)解：如图即为所作， 由图可得BC=CB,AB=DC,AC=DB ∴.△ABC≌ADCB(SSS) …8分 19.(1)60° (2)3cm 【分析】(1)根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得∠BAD=40°，∠EAC=80°，再根据平 角定义即可求解； (2)根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】(1)解：AD是△ABC的高线， 219 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠ADB=90° ∠B=50°， .∠BAD=180°-∠ADB-∠B=40° 同理∠EAC=180°-∠E-∠ACE=80°， ∠CAD=180°-∠BAD-∠EAC=60°..4分 (2)解：AD,CE是△ABC的两条高， 8e号4B-CE,5 -BC.AD, CE-1BC.AD 1 4D=AB-CE-4x6-3(cm) BC 8 …8分 20.(1) 解：'△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， .AB=AD,AE=AC, 又：∠BAD=∠CAE=90°， ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE 在△ABE和△ADC中， (AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE '△DAC≌△BAE(SAS) ;3分 (2) ,△DAC≌△BAE. .BE=DC,∠ABE=∠ADC. 又∠BFO=∠DFA,∠ADF+∠DFA=90°， .∠ABE+∠BFO=90°， ∴∠BOF=∠DAF=90°， 即BE⊥DC.6分 3/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3) d dz 设点A到 CD,BE所在直线的距离分别为，， .△DAC≌△BAE, SADAC=SABAE 1 即2 xCDxd-2 xBExd., .CD=BE. .d,=d2 ,即点A到边 CD BE 所在直线的距离相等.…8分 21.(1)证明：BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, 设2ME=∠C8E-ABc=a,∠AcD=∠BcD4c8=B, ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2B∠BOC=180°-∠CBO-∠BC0=180°-a-B ∴.∠BOC=90°+ ∠BAC:…5分 2 (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, A O 平分 B G 图2 BE ∠ABC ..OF=0G. :CD平分∠ACB, ..OG=OH, ∴.OF=OH .0A平分∠BAC.…10分 22.【答案】(1)解：①延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, .∠ADC=90° .∠ADG=180°-∠ADC=90°， ∠B=∠ADG=90°， 419 西学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△ABE和△ADG中， (AB=AD ∠ABE=∠ADG BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS) .AE=AG、∠BAE=∠DAG .∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF ∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=116°-58°=58°， .∠GAF=58°： ②由①知，AE=AG、∠GAF=∠EAF=58°， 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF≌AAGF(SAS) :EF=GF, .GF=FD+DG=FD+BE EF=FD+BE;…4分 (2)结论仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使DH=BE,连接AH,如图2所示： H A E 图2 ∴.HF=DH+FD=BE+FD ∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， 519 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠B=∠ADH, 在△ABE和△ADH中， AB=AD ∠ADH=∠B DH=BE ,.△ABE≌△ADH(SAS) .AE=AH,∠BAE=∠HAD, ∴.∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠HAD+∠EAD=∠HAE, ∠EAF=∠BA0 ∴∠EAF=∠HAEJ 2 ∴AF是∠HAE的平分线， ∴.∠EAF=∠HAF, 在△AEF和△AHF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF AF=AF :∴.△AEF≌△AHF(SAS) :EF =HF, 又：HF=BE+FD, ∴.EF=BE+FD, 结论仍然成立；… …8分 (3)解：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 G 2 A D 图3 :'∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=180° ∴∠ADC=∠ABE, 又AB=AD, 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADG=∠ABE DG=BE '.△ADG≌△ABE(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG EF=GF AF=AF' ∴△AEF≌△AGF(SSS) ∠FAE=∠FAG, .∠FAE+∠FAG+∠GAE=360° .2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， .∠FAE=a, 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠DAB=360°-2C,…12分 23.【答案】(1)解：(1)结论：AC=AM,AC⊥AM.理由如下： A(0,2),B(4,0),D(0,-6) .0A=2,0D=6,0B=4, .AD=OA+OD=8,BC=20B=8, AD=BC,…3分 DE⊥AB,∠AOB=90°， ∴.∠EAD+∠MDA=90°，∠EAD+∠ABO=90°， .∠ABO=∠MDA, 在ACAB与△AMD中， AB=MD ∠ABO=∠MDA AD=BC ∴aCAB≌AAMD(SAS) AC=AM,∠ACO=∠MAD. .∠ACO+∠CAO=90° ∴∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°· AC=AM,AC⊥AM;6分 (2)解：过P作PG1y轴于G,过M作MF⊥y轴于F,如图3， 轴， M 图3 :NH⊥y 8/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠PGA=∠NHD=90°， 由(1)知AC=AM,△CAB≌aAMD,OA=2, B、C关于y轴对称，点A在y轴上，∠AOB=∠AFM=90°， .AC=AB,FM=OA=2(全等三角形对应高相等)，8分 又：DM=AB, .DM AM, ∴.∠MAD=∠MDA, 又，∠DAM=∠PAG, ∠PAG=∠MDA,即∠PAG=∠NDH, 在△PAG与△NDH中， [∠PAG=∠NDH ∠PGA=∠NHD DN=PA .aPAG≌ANDH(AAS) :PG=HN,AG=HD, .AD=GH=8,…10分 在△POG与△NOH中， ∠PGQ=∠NHQ=90 ∠PQG=∠HQN PG=NH aPQG≌aNgH(AAS) i0c=0m0H=4 S.MOn =OH FM=5x4x2=4 .…13分 9/9 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（本题3分）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别，根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【详解】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意． 故选：C． 2．（本题3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】比较每组中两条较短线段的和与最长线段的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、， 能组成三角形，符合题意； B、， 不能组成三角形，不符合题意； C、， 不能组成三角形，不符合题意； D、， 不能组成三角形，不符合题意． 3．（本题3分）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由最小的角及三角形内角和定理，可求出最大的角小于，据此即可解答． 【详解】解：∵最小的角是，， ∴最大的角小于， ∴这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 4．（本题3分）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠和平行线的性质推导出 ，进而求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（本题3分）如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 6．（本题3分）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 7．（本题3分）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 8．（本题3分）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 【答案】C 【分析】连接，利用三角形中线将三角形面积平分，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，，，分别为五边形各边中点， ,，，， 图中阴影部分的总面积是15， ， 五边形的面积是． 9．（本题3分）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 10．（本题3分）下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．（本题3分）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 12．（本题3分）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 13．（本题3分）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 14．（本题3分）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 15．（本题3分）如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：；，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】由题意得：，，， ，与全等， 分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得； 情况2：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得， 综上，的值为或． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。其中：16-20每题8分，21题每题10分，22题每题12分,23题每题13分。 16．（本题8分）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 【答案】(1)腰长为； (2)底边长为或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）设腰长为，分①当时，②当时，两种情况讨论，然后得出底边长度． 【详解】（1）解：设底边为，则腰为， 由题意得， 解得， 腰长为； （2）解：设腰长为， ①当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； ②当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； 综上所述：底边长为或． 17．（本题8分）如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 【答案】 已知，，，，，，，三角形全等的对应角相等 18．（本题8分）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)解：如图即为所作， （2）解： 由图可得， ． 19．（本题8分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 20．（本题8分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】 (1) 解：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； (2) ∵， ，， 又，， ， ， 即． (3) 设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 21．（本题10分）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】 (1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 22．（本题12分）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 23．（本题13分）已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)结论：．理由如下： ， ， ， ， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； (2) 是定值，定值为4 【分析】（1）由得，因此有，根据可证，从而得证； （2）过作轴于，过作轴于，由“全等三角形的对应高相等”得，先根据可证，从而得，进而得，再根据可证，得，即可得的面积． 【详解】（1）解：略； （2）解：过作轴于，过作轴于，如图3， 轴， ， 由（1）知，，， 、关于轴对称，点A在轴上，， ，（全等三角形对应高相等）， 又， ， ， 又， ，即， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定与性质．通过全等三角形的性质及判定来证明线段的位置和数量关系，以及添加辅助线构造全等三角形是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（本题3分）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．（本题3分）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（本题3分）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 9．（本题3分）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（本题3分）下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（本题3分）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 12．（本题3分）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 13．（本题3分）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 14．（本题3分）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 15．（本题3分）如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16-20每题8分，21题每题10分，22题每题12分，23题每题13分。 16．（本题8分）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 17．（本题8分）如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 18．（本题8分）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 19．（本题8分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 20．（本题8分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 21．（本题10分）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 22．（本题12分）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 23．（本题13分）已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（本题3分）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．（本题3分）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． （第4题） （第5题） 5．（本题3分）如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（本题3分）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． （第6题） （第7题） 7．（本题3分）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 （第8题） （第9题） 9．（本题3分）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（本题3分）下列作图中，点到，两边距离相等的是（    ） A．B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（本题3分）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． （第11题） （第12题） 12．（本题3分）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 13．（本题3分）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． （第13题） （第 14题） 14．（本题3分）如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 15．（本题3分）如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16-20每题8分，21题每题10分，22题每题12分，23题每题13分。 16．（本题8分）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 17．（本题8分）如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 18．（本题8分）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 19．（本题8分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 20．（本题8分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 21．（本题10分）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 22．（本题12分）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 23．（本题13分）已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共24分。 11 12 13. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 解：BE=CF BE+CE=一- =EF, AB=DE(已知) 在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF(已知 ( )已证 △ ≌△ ( ·∠ACB=∠F(_),AC∥DF. 18.(8分) B 图1 图2 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(8分) A E F G B 21.(10分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分) A 图1 图 图3 23.(13分) P B H D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！