辽宁北票市高级中学2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

**基本信息** 开学摸底试卷，通过现实情境与梯度问题设计，衔接初高中知识，考查数学抽象、运算推理及模型表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3/30|函数性质、立体几何|结合生活情境，综合考查推理能力与空间观念，体现数学思维的逻辑性|

高三年级开学摸底考试 数学 (考试用时：120分钟演分：130分) 注意事项： 1,若程路，考生务必将自己的经名。准考证号填写在行题卡上， 2。区答选择断时，选出每小是答紫后，用的范把答您卡上对应题日的答客韩号途第。如言政动，间控技排干净 值 后，得这涂其触符室标马。回答套选择愿时，书荐案写在着避卡上，写在本试卷上无效， 工.考试站束后，将木试卷和答题卡一并交网， 第一部分（选择题共58分） 一、选择愿：本题共8小题，每小愿5分，共40分。在每小愿给出的层个选项中，只有一项是符合题 求 目要求的。 1.已知美合A=13,6,B={3x-11>0,则(C8)nA() A36B.L3}c母 么.在复平面内，+计对拉的点位于() A第一象限 B,第二象限 .第三象限 .第四象限 3,在边长为2的正方思ABCD中，E是8的中点，则E元。() A.-2 B,-1 c.1 .2 生.已知等整数列{a,},若马+a=2,期马+a+a=(） 人6 C.3 D.2 玉及线C号舌o>0的条近线方为y.天天分。右盒建c士 的-点，且5，则=(） B.3 c.7 .9 6。学位举办“校园歌手大赛二，某参事同学的参赛曲库中有5首最。分胸是：轩情歌1首，流行然2首 套2有，者他原路三天要经低下-美的属水分州为号}他比到，版以这5家器 杆一首演啡。则他能音饭的概率为() B元 c 贵 .在于面直角坐标系x0中，已知点P(ceo8sn0).2(sm(0+pl,-to0+p儿，若∠0Q号期np= B.0 2+6x+3(xs0) 、ea8小 若面数g(x)=f(x)-3m有4个不同的零点，则实数m的取 值范围是( 到（写）c((2 二。远择愿：本题共3小烟，每小恩6分，共18分。在每小燃给出的四个远项中，有多项符合题目要 求。 9已知a<b<0<e,下列不等式正确的是( B.u'<e ，2”<2 D.log,(-a)<log.(-b) 10已知函数/代-eos(r+p)4>0e>0树<引的邮分图象如图所示，则() 了儿)在[冬上单调纳 息对的复天于A停小 c关于的方是/@-[6到引有：个相异实根 卫将/()的图象向左平移于个单位长度，所得图象对应的函数为奇通数 1L.在棱长为2的正方体BCD-4C,D,中，E为棱CC的中点，F为检4D的中点，则() A.直线40与平面BEF平行 B,四面体E-CD的外装球的表面积为9x C三E-体积为号 .平面F与平面CD的夹角的余值为 9 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 日.在△ABC中，若a=反，∠A=三cmC=则e- 丝。已知△5的顶放只，分别为双曲线c:专卡=>06>0)的左、右集白，点A在C首右支 上，且与C的条素近线垂直.记C的高心率为：，若m∠R5-马，则2： (2 四、解答题共5小题，共分.解答应写出文字说明，演算步夏咬证明过程 15,已知a,b,e分别是A4BC的角A,8.C所对的边，且(a+c)sn4+csinc=bain (1)求B 16,某植物盟种植一种现赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位，四）介于礼52可之同，尾对植物国部分 该种观赏花弃的高度进行测量。所得数据线计如下图所示， ①求a的值： ②若从高度在5,7)门.19)中分层抽样抽取5株，在这5株 中随机轴取3株，记高度在5)内的株数为X,求X的分布 列及数学期型E(X): 可可5792133减度m 3 17.如图，在四收维越D中，四边用D是矩形，A02-2,m1A想，平面PA1L平面AD (1)证明：Ph1平面ACD: 直线心与所成的正孩值为求队 设已知期限：号卡-6>>0小，左右焦点为大，片，上点为A,△优店为正三角形，点引 在稀服上，过F(与x轴不重合)的直线与椭玉交于划，N两点 1)求狮圆E的方程及离心率1 (2在x结上是否存在定点P(与万不重合，使椰占F到直线P,PN的离总相等，若存在，求出 点尹觉标：看不存在，说明理由， 19已知函数f)=k红- (1)材论函数f)的单调性 (2)己知f)在1.)上的最小值为2。求k的值 (3)若f()+x-10恒成立，求k的取值直国.高三年级开学摸底考试 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.B2.A3.B4.C5.D6.D7.C8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.AC 10.ACD 11.BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 122 号 14.13-63 四、解答题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15)由正弦定理a=6。 n4BnC=2R(R为 △ABC外接圆半径)，将原式中的正弦转化为边： C sinA=2R'sin B-2R'sinC=2R' 代入(a+c)sinA+csinC=bsin B, 两边同乘2R得：(a+c)a+c2=b2, 展开整理：a2+ac+c2=b2→a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理cosB=a2+c2-b2 2ac, 代入上式得：c0sB=2 1 2ac=-2 因Be0,,故B=(使120) (2)已知a=2c,b=2,代入(1)中边的关系式 a2 +ac+c2 =b2, 得 (2c)2+(2c)c+c2=22→4c2+2c2+c2=4→7c2 三角形面积公式为SaAB0-方esin B,. 代入a=2c、simB=sin”=),得」 3 s=号2ee9=e 2-2 将e=号代入，得S=5.4-2v3 27 7 【答案】解：(1)依题意可得(0.05+0.075+a+0.15+0.1)×2=1, 16. 即0.375+a=0.5,解得a=0.125: (2)由(1)可知高度在[5,17)的频率为0.05×2=0.1，高度在7,19) 的频率为0.075×2=0.15， 所以分层抽取的5株中，高度在517)的株数为5×o1+0152, 01 0.15 高度在7,19)的株数为×o1+0153, 所以x可取0,1,2， 故是，P得沿x=琴沿 C1010 所以x的分布列为： 0 10 10 所以E(x)=0x是 5*2 36 105: 【详解】(1)由AB⊥AD,PD⊥AB,ADI PD=D,AD、PDc平面PAD 可得AB⊥平面PAD,又PAC平面PAD,故PA⊥AB, 由平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,且PAC平面PAB, 故PA上平面ABCD:证明合理皆可得分6分 (2)以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向 AP的方向为：轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，7分 不妨设PA=1,入>0， 则D1,0,0),B0,2,0),C1,2,0),P(0.0,), PC=(1,2,-),BD=(1-2,0),PD=(1,0,-, i·BD=0 x-2y=0 记平面PBD的法向量为i=(x,yz), iPD=0' 即 x-z=0 令z=2,则x=21,y=元，即可取i=(22,元，2， 设直线PC与平面PBD所成角为O, PC.n 21 则sin0= 6 PC×园V+4+元xV42+22+49 即5422=(22+5)522+4)，524-2522+20=522-1)(22-4)=0， 解得元=1或1=2（负值舍去)，故PA=1或2。…15分 18(1)“4AFF2为正三角形 a=26 c I .e=- a 2 :借效孕点 19 71 [1.9 -1 {d2=b2+c2 a 402 或者 e-h- ，b21 a 2 解得a2=4,b2=3 过F,的直线与x轴不重合，设直线方程：Xmyl m=0时，直线与x轴垂直，由椭圆的对称性可知△PMN为等腰三角形(P与F1不重合)， F1为MN的中点，PF,为△PMN的角分线 ∴F1到直线PM,PN的距离总相等 [x=m-1 3x2+4y2=12 消去x3得(3m2+40y2-6my-9=0 由条件可知△>0恒成立，设M(hN(x:z) 6m 月+h3m+4 ① -9 外h3m+4 ② ---9分 设x轴上点P(a,0) 由于R点到直线P以，PN的距离总相等 :PR为∠MPN的平分线(，≠a为≠a) ·Kw与Kw互为相反数 --10分 kw+Kw=4+,片=A@%-ot%1-0 -a2-a(m%-l-amy2-1-d) h(my-1-d+2(4-1-a)=0 整理得：2my2-0+a0+2)=0 将0②代入上式=18m-(a+D6m=0 3m2+43m2+4 m≠0时，化简得到-18-6a-6=0,解得a÷-4即P(-4,0) 故在x轴上存在定点P(~4,0)使得R点到直线P叫，PW的距离总相等 —15分 19. (1)由题f(x)=x-lnx的定义域为(0，+∞)， re)=6 …1分 若k≤0，∫'(x)<0,则f(x)在(0，+∞）上单调递减，…2分 若50，由f()=k=0.得x= 1 …3分 若xe(0,),则∫(x)<0,所以函数八x)在(0，)上单调递减，…4分 若e(公，+)，测了()>0.所以函数到在（宁+）上单润递增，…5分 综上，当k≤0时f(x)在(0，+0)上单调递减： 当>0时)在(0，子)上单调递减，在(，+m)上单调递增。 …6分 (2)由(1)可知， 当k≤令时)在[1,8]上单调递减，则x)=8),所以8)=8k-h8=2,解得 2+l8不合题意舍去；……… 8>8 当g<1即e1,8时)在处取得最小值，则到名.所以宁 1-n=2,解得k=心，不合题意舍去；…8分 当k≥1时x)在[1,8]上单调递增，则f(x)=f(1),所以f1)=k-nl=2,解得k= 2,合题意；…9分 综上，k的值为2.…10分 （3+e-1≥0恒成立，即k≥+=Cx(0,+0)恒成立，…11分 ()=Itn-seInse' 则(ee 2 令q(x)=x'e+lnr,则g'(x)=(x2+2x)e+>0, 所以g(x)=x2e+lnx在(0，+0)上单调递增，…13分 侣)-n分）<0.g0=e>0, 所以q(x)=x2e'+lnx在(0，+o）上有唯一零点xo,即xe+lnxo=0,…14分 Inx 所以e0=- =-lnxo·e-o 令h(x)=xe,则h'(x)=e'(x+1). 当x∈(0，+e)时，h'(x)=e'(x+1)>0,即h(x)=xe在(0，+e)上单调递增， 所以由，e=n-。·e得h(,)=h(-n,), 所以x0=-lnx0,…16分 当x∈(0，xo)时，9(x)<0,p'(x)>0,则e(x)在(0，xo)上单调递增， 当xe(xo,+∞)时，9(x)>0,p'(x)<0,则p(x)在(x。,+∞)上单调递减， 所以e(到≤e(1e:1-. 由k3tlnr-xe x∈(0，+o)恒成立，得k≥(xe-x-lnx) 所以k≥-1，即k的取值范围是[-1，+∞). ……17分