2.4 一元二次方程的应用课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖传播、增长率等8类问题，实现从概念建模到动态综合应用的进阶，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一问题建模（传播、增长率等）|直接套用公式（单选1病毒传播、填空9感染问题）| |中档|情境综合应用（营销、图形面积）|多步骤等量关系（单选5利润问题、解答14进馆增长率）| |提升|动态与规律探究（动点几何、三角点阵）|跨知识综合（解答17动态三角形面积、18行程规律）|

2.4 一元二次方程的应用 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．有一人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．随着人形机器人成为科技圈热门话题，某数码专营店销售一款家用陪伴人形机器人，2月的销售额为48000元，4月的销售额为243000元，则2月到4月该款人形机器人销售额的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 3．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 5．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ） A． B． C．或 D． 8．某中学组织九年级学生进行篮球比赛，采用单循环制（每两队之间都赛一场），若共安排了场比赛，则参赛的队伍有（  ） A．8支 B．9支 C．10支 D．11支 二、填空题 9．一种电脑病毒在局域网中的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程______． 10．某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是，可列方程____________． 11．伊斯兰数学家塔比伊本库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则几何图形中的某条线段就是方程的一个正根，则这个方程的正根是线段___________    12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是______人． 13．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 三、解答题 14．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 15．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地的两侧分别搭建宽度为的临时舞台矩形和矩形（阴影部分）．若舞台中间矩形（空白部分）的面积为，求正方形绿地的边长． 16．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 17．在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)、出发时，的面积是多少？ (2)、出发几秒时，的面积是？ 18．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C A C C C 1．【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程解题的关键． 2．【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，根据增长率问题的基本公式，设出月平均增长率，列方程求解即可得到结果． 【详解】解：设该款机器人销售额的月平均增长率为， 根据题意得， 解得（舍去）或， 即月平均增长率为． 3．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据利润公式：利润（售价进价）销量，结合降价后售价为元和销量千克，列出方程，即可作答． 【详解】解：∵售价每千克降低x元， ∴实际售价为元，每千克利润为元，每天销量为千克， 依题意，， 即， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设雕像下部高为，则雕像上部高为，根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设雕像下部高为，则雕像上部高为， 根据题意得：，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】过E作于点M，当运动时间为秒时，，利用勾股定理解，可得关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过E作于点M， 由题意知，当运动时间为秒时，，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，， 的长为时点E的运动时间是或， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．本题作答方法不唯一，也可以通过分类讨论求解． 8．【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键，单循环比赛的总场次公式为，其中为队伍数，根据总场次是，列方程求解即可． 【详解】解：设参赛队伍有支，则总比赛场数为， 由得， ， 或， ，（舍）， 参赛的队伍有支， 故选：C． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 根据每轮感染中平均一台电脑感染的电脑台数，结合经过两轮感染后被感染的电脑总数，来建立方程。关键在于理解每轮感染后被感染电脑数量的计算方式，即第一轮感染后被感染的电脑数量加上第二轮感染后被感染的电． 【详解】解：第1轮​​：这1台感染x台，新增x台，总被感染数． 第2轮​​：现有的台被感染的电脑，每台感染x台，新增台，总被感染数为． 两轮后的总数是． 题目说两轮后是121台，因此． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每年增长百分率为 ，根据题意，得． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每年增长百分率为 ，依题意，得 ． 故答案为 ：． 11．【答案】/ 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ， 则方程的其中一个正根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义． 12．【答案】10 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这次会议到会的人数是x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程． 【详解】解：设这次会议到会的人数是x人， 依题意得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：参加这次会议的有10人， 故答案为：10． 13．【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 14．【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 15．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的面积，解一元二次方程，掌握正方形的四边相等是解题的关键，设正方形的边长为，根据正方形的性质可知，再求出矩形的边长，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， 舞台中间矩形（空白部分）的面积为， ， 解得：（舍）， 正方形绿地的边长． 16．【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）点从点开始移动，速度是，点从点开始移动，速度是，时可求出，的长度，且，由此即可求解； （2）根据题意求出点、移动的时间范围，设、出发几秒时，且，由此求出用字母表示的，的长度，即，，根据三角形的面积列出关于的一元二次方程，解方程并判断的取值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，，， ∴，且， ∴在中，， ∴、出发时，的面积是． （2）解：∵，，点从点开始移动，速度是，点从点开始移动，速度是，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动， ∴点从点开始移动，移动的时间为；点从点开始移动，移动的时间是， ∴设、出发几秒时，且，的面积是， ∴，， ∴，整理得，，解方程得，，（舍去）， ∴、出发几秒时，的面积是． 【点睛】本题主要考查动点在三角形中运动的规律问题，掌握动点运动的规律与三角形边长的关系列方程是解题的关键． 18．【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 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