专题2 绝对值（6知识点+11大题型）同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义系统梳理绝对值的核心知识点，从概念（几何意义为数轴上点到原点距离，代数意义为正数本身、负数相反数、0的0）到性质（非负性），再到化简方法（零点分段法）和综合应用（比较大小、最值、方程、实际问题），构建层层递进的学习支架。 资料亮点在于题型分类系统（11类含基础到压轴），典例与变式结合，通过几何直观（如最值问题）和实际应用（质量、数轴动点）培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师高效授课，课后分层练习助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题02 绝对值 必备知识 知识点01： 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 特别提醒 在利用绝对值代数意义去绝对值符号时，一定要先判断绝对值里面式子的正负性，如果正负性不确定，要分情况讨论。例如化简|x-2|，需要分x>2、x=2、x<2三种情况讨论，不能直接写成x-2或者2-x。 不要错误认为|a|一定是正数，|a|其实是非负数，最小的绝对值是0，不是1。 计算绝对值时，要先计算绝对值符号内的运算，再求绝对值，不能先拆分符号再计算。例如|3-5|要先算3-5=-2，再算|-2|=2，不能写成|3|-|5|=3-5=-2。 知识点02：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点03： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点04: 基于绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 知识点05：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 知识点06：绝对值的应用 针对一元一次绝对值方程 ： 1. ：方程有两个不相等的解， 或 ； 2. ：方程有唯一解，； 目录 题型01 绝对值非负性求值 题型02 数轴位置型绝对值化简 题型03 零点分段法化简多绝对值 题型04 绝对值方程求解 题型05 绝对值几何意义求最值 题型06 绝对值与代数式范围综合 题型07 绝对值新定义阅读创新题 题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点 题型09 A组 基础巩固 题型10 B组 拔高提升 题型11 C组 思维拓展 典例精析 题型01 绝对值非负性求值 【典例1】1．（2025七年级上·全国·专题练习）如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】C 【分析】直接根据绝对值的非负性判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故a+1一定是非负数， 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 【变式1-1】已知，则的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 题型02 数轴位置型绝对值化简 【典例2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 【变式2-1】有理数在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ______，_______， ______； (2)计算：． 【详解】（1）解：∵表示数的点、数的点在原点两侧，且与原点的距离相等， ∴数与数互为相反数， ∴， 又由数轴可得，，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：由数轴可知，， ∴， 又∵， ∴． 题型03 零点分段法化简多绝对值 【典例3】阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简时，先确定零点值分别为___________和___________． (2)仿照上面的做法，化简． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：； （2）解：由题意， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 综上，． 【变式3-1】综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 【详解】（1）解：令， 解得：，， ∴和的零点值为，4； （2）解：令， 解得：，， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式． 题型04 绝对值方程求解 【典例4】数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【答案】0或 【详解】解：方程为， 绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论： 当时，，，方程化为， 整理得，解得，不符合题意，舍去； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 故方程为或． 从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍， ∴方程的几何意义为：， 当时，方程为，解得(舍去)； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 故答案为：0或． 【变式4-1】下列说法正确的序号是_______． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 题型05 绝对值几何意义求最值 【典例5】如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点可以是N或P． 当原点在 M 时，，当原点在R时，，此时都不符合题意， 故原点只能是N或P． 故选：C． 【变式5-1】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离；弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或， 故答案为：，或； （2），表示点到和的距离相等，即点为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等， 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得：， 的值为， 故答案为：． 【变式5-2】阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 题型06 绝对值与代数式范围综合 【典例6】已知且． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：且， ，， ， ，， 当时，； 当时，； （2）解：， ，或，， 当，时， ； 当，时， ， 的值为6或． 【变式6-1】已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． （2）由|可知，即，找出满足条件的和组合，再计算的值。 【详解】（1），， 或，或； ， 当，时，； 当，时，； （2）， ，即， 当，时，，成立，； 当，，，成立，． 的值为或． 题型07 绝对值新定义阅读创新题 【典例7】规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【详解】解：结论（1）：由得，因绝对值非负，故，，代入，故结论成立； 结论（2）：当时，，而，二者不等，故结论不成立； 结论（3）：由得，解得时（另一解矛盾），存在，满足，故结论不成立； 结论（4）：，分三段讨论：当时为；当时为；当时为，则最小值为，故结论成立； 故选：C． 【变式7-1】规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】B 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或，故（1）正确； ∵，，， ∴，， ∴ ，故（2）正确； ∵， ∴， ∴且， 解得：，， ∴，故（3）正确； ∵， ∴表示数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和， ∵时，数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和最小， ∴的最小值为，故（4）错误， 综上所述：正确的结论有（1）（2）（3）， 故选：B． 题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点 【典例8】如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且， ∴点C所对应的数是2， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 经过秒，点P与点Q表示的数分别是和， ∴， 解得或． 1．的绝对值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：． 2．化简的结果是（    ） A．5 B． C．0 D．不确定 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题考查绝对值的化简运算，先根据绝对值的性质求出的值，再添加前面的负号得到最终结果． 【详解】解：∵负数的绝对值是它的相反数， ， ． 故选：B． 3．下列实数中，是的绝对值的是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可得出结果． 【详解】解：． 4．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：的绝对值是． 5．式子时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、绝对值的几何意义 【分析】根据绝对值为0的条件：若，则，求解关于x的方程即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 6．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【详解】解：∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值． ∴分别计算各选项的绝对值∶，，，． 比较大小得， ∴对应的点与原点距离最近． 7．按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是______饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 【答案】甜味 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解题意，正确求出各数的绝对值是解题关键．找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， ， 最符合标准的一种食品是甜味饼干， 故答案为：甜味． 8．检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是________号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 【答案】3 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义，解决本题的关键求出各数的绝对值． 根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后选取绝对值最小的数即可． 【详解】解：各数的绝对值分别为，，，， 则绝对值最小的数是， 即最接近标准长度的是三号． 故答案为：． 9．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 10．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，早在两千多年前的《九章算术》中，就有负数，的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：∵根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数， 又∵是负数，的相反数为， ∴， 故选A． 11．等于（　　） A．2023 B． C．1 D．0 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值的性质． 【详解】解：． 12．若，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的定义，互为相反数的两个数绝对值相等，据此求解的值． 【详解】解：∵， ∴． 13．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与4 B．与4 C．与 D．与2 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义、化简多重符号、有理数加法运算 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两数之和为0． 根据相反数的定义，计算各选项中的数并判断是否互为相反数即可． 【详解】解：，4与4相等，不是相反数； 与4的和为，不是相反数； ，，互为相反数； 与2的和为，不是相反数； ∴互为相反数的是选项C中的两个数． 故选：C． 14．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义、化简多重符号 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，求绝对值． 先化简各选项中的数，再根据相反数的定义判断是否互为相反数即可． 【详解】解：，与是同一个数，不是互为相反数； ，3与只有符号不同，互为相反数； ，与是同一个数，不是互为相反数； ，与是同一个数，不是互为相反数； 故选：B． 15．如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． 【答案】4/四 【知识点】求一个数的绝对值、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，根据绝对值的定义计算出对应数的绝对值，再将绝对值进行大小比较，即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ， 从轻重的角度看，从左至右第4个球最接近标准． 故答案为：4． 16．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为__________． 编 号 体重情况 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 17．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)，3， (2)沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，绝对值的含义． （1）根据绝对值的含义，数轴上两点之间的距离可得答案． （2）结合数轴上两点之间的距离可得答案． 【详解】（1）解：∵，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度，，， ∴，，． 故答案为：，3， （2）解：沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度，能爬行到距离原点2个单位长度的位置． 18．某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【答案】 解：检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量，理由如下： ，，，，，， ∵偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量， ， ∴最小， ∴检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量． 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较的实际应用 【分析】偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量，据此求解即可． 【详解】略 19．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值的其他应用 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明越接近标准质量，先计算各选项偏差的绝对值，然后比较大小即可得到结果． 【详解】∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，偏差的绝对值越小，越接近标准质量， 计算得 ，，，， ，即 ， 最接近标准质量的是． 20．如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用，比较绝对值，即可求解． 【详解】解：因为， 所以的排球质量最接近标准质量， 故选：D． 21．关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【答案】D 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题需结合绝对值的代数定义与几何意义，相反数的定义，根据绝对值的代数定义和几何意义逐一判断即可． 【详解】解：A、表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为，而当时，；当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 22．一名足球守门员进行短距离折返跑冲刺练习，一组跑7次．规定：从球门线中点位置出发，向场地中央方向跑动的距离都记为正数；相反地，跑回球门线方向的跑动距离记为负数．教练将他的跑动距离记录如下： 序 1 2 3 4 5 6 7 单位：米 根据记录数据，完成这组练习后这位守门员一共跑了____米． 【答案】104 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查有理数加法的实际应用，做题的关键是审清题意，正确列式，熟练掌握有理数的运算法则．根据题意，计算每次跑动距离的绝对值之和即可． 【详解】解：由题意得， （米）， 即完成这组练习后这位守门员一共跑了104米． 故答案为：104． 23．某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 【答案】4 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了绝对值的实际应用，深刻理解绝对值的实际含义是解题的关键．分别计算每个乒乓球的直径与标准直径的差的绝对值，即绝对值最小的最接近标准直径，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，，，， 故合格的有编号3和编号4的乒乓球， 又， 编号4的乒乓球的直径最接近标准直径． 故答案为：4． 24．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 25．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1) 解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． (2) 解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值 必备知识 知识点01： 绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 特别提醒 在利用绝对值代数意义去绝对值符号时，一定要先判断绝对值里面式子的正负性，如果正负性不确定，要分情况讨论。例如化简|x-2|，需要分x>2、x=2、x<2三种情况讨论，不能直接写成x-2或者2-x。 不要错误认为|a|一定是正数，|a|其实是非负数，最小的绝对值是0，不是1。 计算绝对值时，要先计算绝对值符号内的运算，再求绝对值，不能先拆分符号再计算。例如|3-5|要先算3-5=-2，再算|-2|=2，不能写成|3|-|5|=3-5=-2。 知识点02：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点03： 利用绝对值比较大小 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点04: 基于绝对值几何意义的最值 绝对值的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，拓展到两个数时，的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离。基于这一几何意义，可以探究出一类含绝对值代数式的最值规律： 1. 单变量多绝对值和的最值规律 对于形如（其中）的代数式，其几何意义是数轴上动点x到n个定点的距离之和。规律如下： 2. 含绝对值差的最值规律 对于形如（a<b）的代数式，其几何意义是动点x到a的距离减去动点x到b的距离，根据三角形三边关系（数轴上三点的距离关系）可得：最大值为，最小值为，当动点x在b右侧时取得最大值，在a左侧时取得最小值。 知识点05：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 知识点06：绝对值的应用 针对一元一次绝对值方程 ： 1. ：方程有两个不相等的解， 或 ； 2. ：方程有唯一解，； 目录 题型01 绝对值非负性求值 题型02 数轴位置型绝对值化简 题型03 零点分段法化简多绝对值 题型04 绝对值方程求解 题型05 绝对值几何意义求最值 题型06 绝对值与代数式范围综合 题型07 绝对值新定义阅读创新题 题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点 题型09 A组 基础巩固 题型10 B组 拔高提升 题型11 C组 思维拓展 典例精析 题型01 绝对值非负性求值 【典例1】如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【变式1-1】已知，则的相反数为 ． 题型02 数轴位置型绝对值化简 【典例2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【变式2-1】有理数在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空： ______，_______， ______； (2)计算：． 题型03 零点分段法化简多绝对值 【典例3】阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简时，先确定零点值分别为___________和___________． (2)仿照上面的做法，化简． 【变式3-1】综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式． 题型04 绝对值方程求解 【典例4】数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【变式4-1】下列说法正确的序号是_______． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 题型05 绝对值几何意义求最值 【典例5】如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-1】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 【变式5-2】阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 题型06 绝对值与代数式范围综合 【典例6】已知且． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式6-1】已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型07 绝对值新定义阅读创新题 【典例7】规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【变式7-1】规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则； （3）若，则；（4）式子的最小值是2． 其中正确的是（    ） A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点 【典例8】如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且． (1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； 【变式8-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒． (1)，两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______； (2)点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度； (3)①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________； ②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数； (4)请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度． 1．的绝对值是（    ） A． B． C．5 D． 2．化简的结果是（    ） A．5 B． C．0 D．不确定 3．下列实数中，是的绝对值的是（     ） A．2026 B． C． D． 4．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 5．式子时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 7．按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“、”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是______饼干． 威化 咸味 甜味 酥脆 8．检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是________号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 9．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 10．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，早在两千多年前的《九章算术》中，就有负数，的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 11．等于（　　） A．2023 B． C．1 D．0 12．若，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 13．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与4 B．与4 C．与 D．与2 14．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． 16．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为__________． 编 号 体重情况 17．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 18．某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 19．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 20．如图，检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，这4个排球中质量最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 21．关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 22．一名足球守门员进行短距离折返跑冲刺练习，一组跑7次．规定：从球门线中点位置出发，向场地中央方向跑动的距离都记为正数；相反地，跑回球门线方向的跑动距离记为负数．教练将他的跑动距离记录如下： 序 1 2 3 4 5 6 7 单位：米 根据记录数据，完成这组练习后这位守门员一共跑了____米． 23．某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 24．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 25．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $