陕西省西安市第八十九中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试题

XC 2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．B 8．D 二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，若有两个正确选项，则选对一个得2分，全部选对得4分；若有三个正确选项，则选对一个得1分，选对两个得2．5分，全部选对得4分；有选错的得0分． 9．BD 10．ACD 11．ACD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13． 14． 15． 16． 四、解答题 本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）证明：由直三棱柱性质可得，， 又由，分别是，的中点，得，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面． （5分） （2）由，，得，所以， 又，所以平面，故平面， 所以点到平面的距离为， 由是的中点，得点到平面的距离为， 故． （10分） 18．解：（1）把正弦曲线向左平移个单位长度得到的函数图象， 再把曲线上各点的横坐标变为原来的得到的函数图象， 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的函数图象， 故的解析式为． （3分） （2）当时，， 故当，即时，取得最小值为． （7分） （3）由，得， ，，， ． （12分） 19．解：（1）在职人员借阅文学类图书总量：（册）， 中学生借阅教辅类图书总量：（册）， 因为3885>3040，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大． （4分） （2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为0.4，中学生借阅科技类的概率为0.2， 三人借阅相互独立，“至少有2册科技类图书”包含三种情况： ①2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ②仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③3人均借科技：， 总概率为． （8分） （3）由题易知， 在职人员的5个占比分别为：，，，，， 故 ， 故； （9分） 大学生的已知占比为：，，， 因此未知占比满足， 由，，得，， 即，都小于均值0.2，因此，， 所以 ， 因此：； （11分） 中学生的已知占比为：，，， 因此未知占比满足， 由，，得，， 因此，， 所以 ， 因此：． （13分） 综上：． （14分） 学科网（北京）股份有限公司 $ XC 2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分100分，时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 4．已知函数是奇函数，则实数的值是 A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如右频率分布直方图，则下列说法错误的是 A． B．样本中成绩在的频数为50 C．样本成绩的中位数在内 D．样本成绩的平均数在内 7．在矩形中，，，设矩形所在平面内一点满足，则 A． B． C． D． 8．在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足数学模型：，其中为环境容纳量，为增长率，为常数．某实验小组做培养变形虫的实验，初始时，在培养皿中放入个变形虫，观察到时，种群数量为，已知环境容纳量，根据上面的模型，可估算变形虫种群的增长率为（参考数据：，．） A． B． C． D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 A． B．为钝角三角形 C．外接圆的半径为 D．的面积为 10．下列说法正确的有 A．若，，则 B．当时，的最小值为 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若命题“，”的否定为真命题，则实数 11．已知函数，则 A．为偶函数 B．的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．在上的值域为 12．已知函数，，．则下列说法正确的是 A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数的定义域为________． 14．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 15．已知，则________． 16．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18．（本小题满分12分） 把正弦曲线（函数的图象）向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，最后把曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值； （3）若，，求的值． 19．（本小题满分14分） 某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得 到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母，，，（，，，均大于0）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 各类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% 中学生 500 15.2 25% 20% 40% 假设每位读者的每次借阅情况互不影响，用频率估计概率． （1）在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，需说明理由； （2）在该市图书馆的所有读者中随机选出2位大学生和1位中学生，已知这3人每人借阅了1册书，且3人借阅情况相互独立，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； （3）为分析同一类读者的偏好，该市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为、、，求这三个“偏好度”的大小关系． 学科网（北京）股份有限公司 $