4.1 等式与方程 导图知识卡片+知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题-2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦“等式与方程”核心知识点，系统梳理方程的概念（含定义、解及解方程）和等式的基本性质（性质1加减、性质2乘除），构建从概念理解到性质应用的学习支架，衔接后续一元一次方程学习。 资料以思维导图直观呈现知识结构，通过6类题型讲练（如判断方程、列方程）结合中考真题与分层训练，培养抽象能力、推理意识与模型意识。课中辅助教师教学，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

4.1 等式与方程［同步精编培优讲义］ （知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（解析版）】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点梳理01：方程的概念 2 知识点梳理02：等式的基本性质 2 题型讲练 3 题型一 判断各式是否是方程 3 题型二 等式的性质1 4 题型三 等式的性质2 5 题型四 列方程 6 题型五 判断是否是方程的解 7 题型六 已知方程的解，求参数 8 中考真题演练 9 难度分层训练 12 【基础夯实】 12 【培优拔高】 16 知识点梳理01：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 难点点拨：一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 难点点拨：判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点梳理02：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　 等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 难点点拨： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 题型一 判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 【变式训练1】（24-25七年级上·广西河池·开学考试）下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程. 根据方程的定义，对各选项进行判断即可． 【详解】解：方程的定义是含有未知数的等式． A选项是等式，但不含未知数，不是方程． B选项是代数式，不是等式，不是方程． C选项是代数式，不是等式，不是方程． D选项是含有未知数的等式，符合方程的定义． 故选：D． 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 题型二 等式的性质1 【典例精讲】（26-27七年级上·江苏常州·开学考试）如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 【变式训练1】下列等式变形，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：根据等式的基本性质判断各选项 A，，等式两边同时减，可得，A变形正确； B，若，当时，作为分母无意义，且当时，由可得，B变形错误； C，，等式两边同时乘，可得，符合等式性质，C变形正确； D，，分式有意义可得，等式两边同时乘，可得，D变形正确． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南漯河·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解：选项A，当时，与无意义，因此该变形错误． 选项B，∵，等式两边同时除以，∴可得，因此变形得到错误． 选项C，∵，等式两边同时乘以，∴可得，因此变形得到错误． 选项D，∵，∴，由，等式两边同时除以，可得，变形正确． 题型三 等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如果，那么________． 【答案】 【分析】利用等式的性质，两边同除以即可求出的值． 【详解】解： ， 等式两边同时除以，得， ． 【变式训练1】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：，已知，则_________． 【答案】9 【分析】根据定义得到的表达式，列出关于的方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 【变式训练2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 题型四 列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程，首先列出表示比的相反数大的数的代数式，再根据该数与的差为，列出等式即可． 【详解】解：的相反数是 ， 比的相反数大的数是 ， 该数与的差为． 故选：B． 题型五 判断是否是方程的解 【典例精讲】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 【变式训练1】（26-27七年级上·全国·课后作业）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1) 解：不是方程的解，理由如下： 将代入方程， 左边， 右边， ∵左边右边， ∴不是该方程的解； (2) 解：是方程的解，理由如下： 将代入方程， 左边， 右边， ∵左边右边， ∴是该方程的解． 【变式训练2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 题型六 已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）是方程的解，则____． 【答案】 【详解】根据方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解． ∵是方程的解， ∴将代入方程：， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义进行计算． 【详解】解：是方程的解， ， 整理得：， 解得：． 【真题演练1】（2025·广西桂林·中考真题）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为 0 ），所得结果仍是等式． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； C、当时，依然成立，故本选项变形错误，符合题意； D、若，则，故本选项变形正确，不符合题意． 【真题演练2】（2025·河南郑州·中考真题）下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A，∵，移项得，∴A变形错误； 对于选项B，∵，系数化为1得，∴B变形错误； 对于选项C，∵，两边同乘6，得，∴C变形正确； 对于选项D，∵，将分子分母同乘10得，变形得，∴D变形错误． 【真题演练3】（2025·安徽宿州·中考真题）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 【真题演练4】（2025·山东济宁·中考真题）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的解，将解代入原方程是解题的关键． 将已知解 代入方程，解出 ■ 的值． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ． 移项得 ． 两边乘以 3 得 ． 移项得 ． 解得 ． 故答案为1． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【详解】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 4．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得． 5．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）如果x与y互为倒数，且，那么______． 【答案】8 【分析】根据倒数的定义得到，再利用比例的基本性质将比例式转化为方程，求出n的值后代入计算的结果． 【详解】解：∵x与y互为倒数， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知是方程的解，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据方程的解的定义，将代入原方程求出的值，再利用绝对值的性质计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 【答案】// 【分析】本题考查了整式的加减运算，等式的性质，将题干中两式相加化简，即可得到b与c满足的数量关系． 【详解】解： ，， 将两式相加得： ； 故答案为：． 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）计算： 【答案】 【分析】先左右两边同乘最小公倍数去分母，再解方程即可． 【详解】解： ． 9．（25-26七年级上·广西玉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 10．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质：性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需根据等式的两条基本性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，进而得出，，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，整体代入求值，解题的关键是掌握等式的基本性质． 通过对已知等式进行变形，求出的值，再整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：已知， 移项得， 根据等式的性质，两边同时除以， 得， 将代入， 得， 故答案为：5． 5．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解，换元法，理解题意，掌握换元法的计算是关键． 通过变量代换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：对于方程 ， 设 ，则， ∴关于y的一元一次方程化为 ， 即 ， 两边乘以 ，得 ， 即 ， 令 ，则 ， 两边减 ，得 ， 这与已知方程 形式相同，且解为 ， 所以， 由 和 ，得 ， 所以 ， 解得，， 故答案为： ． 6．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的整数根， ∴， ∵，且，，，，是五个不同的整数， ∴，，，，也是五个不同的整数， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·北京·期末）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 8．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了列代数式，绝对值非负性，方程的解，化简绝对值，根据题意求出，，，满足的关系化简绝对值是解题的关键． （）根据题意列出等式，由绝对值的非负性求出，的值，再求代数式的值； （）由题意列出代数式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的意义求出最小值； （）由关于的方程有无数解，整理方程，得出，又，故有，代入得到，所以，进而化简绝对值求代数式的值． 【详解】（1）解：由，得：， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由绝对值的几何意义，的最小值为，此时， ∴的最小值为，此时， 故答案为：，； （3）解：整理方程，得：， 方程有无数组解， ∴， ∵， ∴， 把，代入，得，且， ∴， ∴ ． 9．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) ①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①略 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)． 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数． 【答案】（1）减去(或加上)； （2）填法如图； （3） 【分析】本题考查有理数的加减运算和等式的性质，关键是发现幻方的性质：每行、每列、每条对角线的和相等，且中心数为所有数的平均数(即每行和为中心数的3倍)． （1）观察原数“1，2，3，…，9”与新数“，，…，4”的关系：，因此每个数减去(或加上)可得到新数； （2）将原幻方每个数减5，即可得到新幻方； （3）设幻方中第三行第一个数为，通过对角线和第三行的和的关系，推导出与、的代数式． 【详解】（1）解：∵原数“1”变换后为“”，，同理其他数均满足“原数新数”， ∴每个数减去(或加上)； 故答案为：减去(或加上)； （2）解：原幻方(图2)中各数为8，3，4；1，5，9；6，7，2，将每个数减5，得到新数3，，；，0，4；1，2，，填入幻方后满足每行、每列、对角线和为0． （3）解：设幻方中第三行第一个数为， 则根据题意， 整理得． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 4.1 等式与方程［同步精编培优讲义］ （知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（原卷版）】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点梳理01：方程的概念 2 知识点梳理02：等式的基本性质 2 题型讲练 3 题型一 判断各式是否是方程 3 题型二 等式的性质1 3 题型三 等式的性质2 4 题型四 列方程 4 题型五 判断是否是方程的解 4 题型六 已知方程的解，求参数 5 中考真题演练 5 难度分层训练 6 【基础夯实】 6 【培优拔高】 7 知识点梳理01：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 难点点拨：一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 难点点拨：判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点梳理02：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　 等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 难点点拨： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 题型一 判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·广西河池·开学考试）下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 题型二 等式的性质1 【典例精讲】（26-27七年级上·江苏常州·开学考试）如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练1】下列等式变形，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2】（25-26七年级上·河南漯河·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型三 等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如果，那么________． 【变式训练1】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）对任意的数a，定义：，已知，则_________． 【变式训练2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 题型四 列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【变式训练1】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 题型五 判断是否是方程的解 【典例精讲】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27七年级上·全国·课后作业）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 题型六 已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）是方程的解，则____． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【真题演练1】（2025·广西桂林·中考真题）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【真题演练2】（2025·河南郑州·中考真题）下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【真题演练3】（2025·安徽宿州·中考真题）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【真题演练4】（2025·山东济宁·中考真题）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． 5．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）如果x与y互为倒数，且，那么______． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知是方程的解，则_____ ． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）计算： 9．（25-26七年级上·广西玉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 10．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 5．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 6．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为______． 7．（25-26七年级上·北京·期末）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 8．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 9．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 10．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”． 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1，2，3，4，5，6，7，8，9”(如图2)． 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【深入探究】 （1）把图2中的9个数“1，2，3，4，5，6，7，8，9”每个数 ，得到一组新的数“，，，，0，1，2，3，4”． （2）请依据幻方图2的排列方式，将“，，，，0，1，2，3，4”填入到幻方图3中，使得满足图2发现的规律． 【拓展应用】 （3）如图4所示，标注了其中三个数(，，)的位置，请你用含有，的代数式表示出幻方中的数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 4.1等式与方程[同步精编培优讲义] (知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共43题) 【2026-2027学年苏科版数学新教材·七年级上册（原卷版)】 ■山且录导航 思维导图. 2 知识梳理.… 2 知识点梳理01：方程的概念 2 知识点梳理02：等式的基本性质.， 2 题型讲练. 3 题型一判断各式是否是方程.. .3 题型二等式的性质1. 3 题型三等式的性质2 题型四列方程.…… ..4 题型五判断是否是方程的解 …4 题型六已知方程的解，求参数.. 中考真题演练.… 5 难度分层训练.……… 6 【基础夯实】 【培优拔高】……… ……7 第1页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 思维导图 ①等式 5利用等式的基本性质解一元一次方程 等式：表示相等关系的式子， 方法：在等式两边同时进行同一种运算，使方程逐步化为x=a(a为常数) 等式的基本性质一 解一元一次方程的一般步骤 1,等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式。 2.等式两边都乘（或除以）同一个数除数不能为0)，所得结果仍是等式 去分母→去括号→移项→合并同类项 →系数化为1 常见的等量关系式 注意事项 (1)速度×时间=路程，用等式表示：0.5=150： (1)每一步都要依据等式的基本性质： (2)正方形纸片的面积等于四部分面积之和，用等式表示： (2)移项要变号： (a+b)2=a2+2ab+2 (3》每一步都要化简】 (3)盐的质量+水的质量=盐水的质量，用等式表示：x+10x■550 第4章一元一次方程 (4)最后结果要写成r=a(a为常整)的形式， 2方程 4.1等式与方程 6列一元一次方程解应用题的一般步骤 方程：含有未知数的等式叫作方程。 ()审整，弄清楚已知星和未知量，找出题中的等量关系 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解。 (2)设未知数： 解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 (3)列方程： (4)解方程 列方程的步骤 (5)检验： (1)审题。找出等量关系 4方程的书写注意事项 《6)写答. 4 (2)设未知数： 自 (1)等号要写在等式的中问： (3)根据等量关系列出方程。 (2)等号左右两边要左右对齐！ 7常用的基本数量关系 (3)未却数要写在等号的左边，已知数要写在 ()左边托盘物品的质量=右边托盘中物品的质量 ☒等式与方程的联系与区别 等号的右边： (4)相网的项合井后再写方程： 项目 等式 方程 (5)单位要统一 (2)胜的场数+负的场数=总场数 含义 表示相等关系的式子 含有来知数的等式 (6)结果要化成最简影式」 胜场得分+负场得分■总分： (3)长方形的长×宽=面积： 星否含有未知数 不一定 一定含有 判断一个式子是否是方程 (4)路程一速度×时间： 是否是等式 一定是 一定是 (1)是等式： (5)盐水问题：盐的质量+水的质量=盐水的质量 举例 2+3=5,=b 2r+1=5.x-3=0 (6)总价■单价×数量： (7)比例关系：部分量=总量×百分比 典型等量关系式举例 路程一速度×时间 正方形面积 ,盐的质量+水的质量一盐水的质量 总价■单价×数量 部分量一总量×百分比 = S=(a+b) p=qn 部分量=总量×百分比 知识梳理 知识点梳理01：方程的概念 1.定义：含有未知数的等式叫做方程 难点点拨：一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 难点点拨：判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值： ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是， 3.解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点梳理02：等式的基本性质 1.等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式 2.等式的性质： 第2页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等， 数学语言表示：如果a=b,那么a士c=b士c. 等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 数学语言表示：如果a=b,那么ac=bc 如果a=b,c≠0，那么g=b 难点点拨： (1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形： (2)等式性质2中，C≠0这一条件必不可少。 山题型讲练 题型一判断各式是否是方程 【典例精讲】(25-26七年级下·福建泉州·期末)下列各式中，属于方程的是( ) A.6-4=2 B.+1 C.x>5 D.2X+3=7 【变式训练1】(24-25七年级上·广西河池·开学考试)下列四个式子中，是方程的是( A.3+2=5 B.a2 +2ab+b2 C.2x-3 D.X=1 【变式训练2】(25-26七年级上·陕西延安·阶段检测)下列各式中，是方程的有 (填序号) ①2-5=-3；②3x-5=-2:③y-6;④6-4a=2a+3. 题型二等式的性质1 【典例精讲】(26-27七年级上·江苏常州·开学考试)如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要 放( )个小白球 QoCp A.4 B.5 C.6 D.7 【变式训练1】下列等式变形，错误的是( A.若a=b,则a-b=0 B.若a=b,则=-1 C.若a=b,则ac=bc D.若=，则a=b 【变式训练2】(25-26七年级上·河南漯河·期末)下列等式变形正确的是( 第3页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 A由x=y,得=名 B.由-3x=-3y,得x=-y C.好=1，得x= D.x=y,得品 题型三等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中)如果6x=10,那么x=」 【变式训练1(26-27七年级上广东深圳开学考试)对任意的数a,定义：f(a)=2a+1,已知f(x+1)=21, 则x=」 【变式训练2】(25-26七年级下·吉林长春·期末)如果x=y,那么根据等式的性质下列变形一定正确 的是( A.x+2=y-2B.7x=7y C.9-x=y-9 D.ix=gy 题型四列方程 【典例精讲】(25-26七年级上·黑龙江大庆·期末)若一个数x的3倍与5的和等于10，据此可列方程为： 【变式训练1】(25-26七年级上·上海宝山·阶段检测)现有一包15g的果汁粉，用水冲泡成浓度为6% 的饮料，需要加多少水（浓度=溶质质量÷溶液质量）·设需要加克水，则可以列出方程： 【变式训练2】(25-26七年级上·河北沧州·阶段检测)“比a的相反数大3的数与b的差是6”用等式表 示为( A.a+3-b=6 B.-a+3-b=6 C.b-3-a=6 D.-a-3-b=6 题型五判断是否是方程的解 【典例精讲】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试)下列方程中，解为x=2的是( A.4x+8=0 B.-X+2=0 C.2x=2 D.1-X=3 【变式训练1】(26-27七年级上·全国·课后作业)x=一2是下列方程的解吗？ (1)2x+3=5x: (2)(x-1)2=9. 【变式训练2】(25-26七年级下·河南南阳·期末)x=1是下列哪个方程的解( A.6=5-X B.2x+2=3x+3C.÷=1 D.x2=x 第4页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型六已知方程的解，求参数 【典例精讲】(25-26七年级上河南郑州期末)若x=-2是方程2x+a=1的解，则a的值为( A.3 B.5 C.-3 D.-5 【变式训练1】(25-26七年级上·湖南株洲·期末)x=1是方程2x+1=m的解，则m=一。 【变式训练2】(24-25七年级上·河北石家庄·期末)己知x=4是方程mx-2=m+10的解，则m的值 为( A.4 B.-3 C.-4 D.3 ■山中考真题澳练 【真题演练1】(2025·广西桂林·中考真题)下列等式变形中，不正确的是( A.若x=y,则x+3=y+3 B.若-名则x=y C.若m2x=m2y,则x=y D.若-5x=-5y,则x=y 【真题演练2】(2025·河南郑州·中考真题)下列解方程过程中，变形正确的是() A.由2x-1=5得2x=5-1 B.由-5x=6得x=-8 C.-=1得2x-3x=6 D.=0+0.2得=30x+1+0.2 【真慰演练3】《2025·安徽宿州·中考真慰）对于任意的有理数0，b:,如果满足+号-岩那么我们称 这一对数a,b为“特殊数对”，记为(a,b).若(m,n)是“特殊数对”，则18m+8n-4=」 【真题演练4】(2025·山东济宁·中考真题)某书上有一道解方程的思：4，+1=x,■处在印刷时被 油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x=2,那么■处的数字是 【真题演练5】(2025·上海·中考真题)请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由. (1)如果ac2=bc2,那么a=b. (2)如果a+c=b-c,那么a=b. (3)如果a=b,那么=台 (4)如果a+5=b+5,那么a=b. 第5页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 山难度分层训练 【基础夯实】 1.(25-26七年级上·湖南湘潭·期末)根据等式的性质，下列变形不正确的是( A.如果a=b,那么a-x=b-x B.如果x=y,a=b,那么x+a=y+b C.如果am=bm,那么a=b D.如果x=y,那么mx=my 2.(25-26八年级下·宁夏银川·期末)下列说法中错误的是( A.若a<b,则a+1<b+1 B.若-2a>-2b,则a<b C.若a<b,则ac<bc D.若>，则a>b 3.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末)阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知2a-b=3, 求代数式6a-3b-1的值.”可以这样解：6a-3b-1=3(2a-b)-1=3×3-1=8.根据阅读材料， 解决问题：若x=3是关于x的一元一次方程mx+n=2的解，则代数式9m+3n+1的值是( A.7 B.6 C.5 D.3 4.(25-26七年级上·湖北荆州·期末)若x=2是关于x的方程3x+k=5的解，则k的值为一一一 5.(24-25七年级上·四川自贡·开学考试)如果x与y互为倒数，且=名那么24n=一一 6.(25-26七年级上河北邯郸阶段检测)已知x=-3是方程2x+10=2引a-1的解，则(a-1)2= 7.(25-26七年级上·福建福州·期末)已知a、c、m都是有理数，且a+2b+c=m,b-a+2c=-m, 那么b与c满足的数量关系是： 8.(25-26七年级上·陕西减阳·开学考试)计算：名x+(750-x)=710 第6页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 9.(25-26七年级上·广西玉林·期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方 程为“美好方程”.例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”. (1)若关于x的方程2x+m=0与方程4x-2=x+7是“美好方程”，求m的值： (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n,求n的值. 10.(2526七年级上·山东德州·阶段检测)已知a,b为定值，关于x的方程=1-24“，无论k为何 值，它的解总是2.求ab. 【培优拔高】 1.(25-26七年级上·河南信阳·期末)下列利用等式的基本性质变形，错误的是( A.如果-2x=-2y,那么x=y B.如果=那么a=b C.如果a=b,那么a-6=b-6 D.如果x2=5x,那么x=5 2.(25-26七年级上·河北唐山·期末)相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的 图案，史称“洛书”·就是我们今天的幻方，三阶幻方又叫九宫格.由三阶幻方可以衍生出许多有特定规 律的新幻方.在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上 的数字之和相等，则a-b-c+d的值为( ) d 5 a） m (3) b 第7页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 A.5 B.-4 C.3 D.0 3.(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等.图①、② 所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( 的四O△A△&凸四△△品日A △ ① ② ③ A.4个球 B.5个球 C.6个球 D.7个球 4.(25-26七年级上·湖南长沙·期末)已知2m2-6m+3=0,则代数式-m2+3m+的值为一 5.(2526七年级上·全国·期末)已知关于x的一元一次方程06+3=2015x+k的解是x=-2,那么 关于y的一元一次方程-6=2015y-2018-k的解是 2026 6.(23-24九年级下·浙江杭州·自主招生)己知a1,a2,a3,a4,as是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9 的五个不同的整数，若b是关于x的方程(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)(x-as)=2009的整数根，则b的 值为一一一 7.(25-26七年级上·北京·期末)已知两个整式M=x+y,N=x-y,将整式M与整式W求和后得到 整式A1=2x.此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上M+2N的结果记为A2,记作第 二次求和操作；将第二次求和操作的结果A2加上2M+3N的结果记为A3,记作第三次求和操作；将第三次 操作的结果A3加上3M+4W的结果记为A4,记作第四次求和操作，·，以此类推 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：A2=_ 一，A3=一（用含x,y的代数式表示)： ②观察前三次的结果，猜想A=_一（用含n,xy的代数式表示)· (2)【初步应用】 当y=3x时， ①A6=-—: ②若关于x的方程2A6-5A3+48=m(（GA1+2)有无数个解，则m= (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，(Am-A3)[(m-2)x2+k-1-(m-1)y+xmyk+1是关于x,y的五次三项式（其 中m和k均为整数)，则m+k的值为 第8页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 8.(25-26七年级上·湖北武汉·期末)若a、b为有理数，规定：f(a)=|a-2引，g(b)=b+3引，例：f(-3)= |-3-2=5,9(-2)=|-2+3=1. (1)若f(a)+g(b)=0,求3a-5b的值； (2)直接写出f(a-1)+g(a-1)的最小值为_一一-，此时a的取值范围为_一一-： (3)若有理数a、b、c满足|a-b+c+3引=a+b+c-3,且关于x的方程ax-2c=2a-cx有无数解，f(2b- 4)≠0，求|a+2b+c+5引-la+b+c+6-|-7-b的值 9.(25-26七年级上·浙江台州·期末)幻方是中国古代重要的数学成就.在每个小方格中各填入一个数， 如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方 a 7 6 6 6 5 5 图1 图2 图3 (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数 记作a,b,写出a,b满足的数量关系： (②)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a,b,c,写出a,b,c满足的数量关 系 第9页共10页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 10.(25-26七年级上·湖北黄石·期末)综合实践 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，吴老师在数学活动课中带领同学探究“填幻方”， 【基本感知】 图1是“洛书”，“洛书”就是在一个9方格幻方中填入数字“1,2,3,4,5,6,7,8,9”（如图2）. 8 3 4 5 6 7 n 图1 图2 图3 图4 从图2中，我们可以观察到以下规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等， 【深入探究】 (1)把图2中的9个数“1,2,3,4,5,6,7,8,9”每个数，得到一组新的数“-4，-3，-2，-1， 0,1,2,3,4”. (2)请依据幻方图2的排列方式，将“-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4”填入到幻方图3中，使得满 足图2发现的规律. 【拓展应用】 (3)如图4所示，标注了其中三个数(m,n,0)的位置，请你用含有m,n的代数式表示出幻方中的数x. 第10页共10页