3.3函数的应用(一)（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

3.3 函数的应用(一) 第3章 函数 问题引入 因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用，下面我们通过来说明. 例1 为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示. 记户年用水量为时应缴纳的水费为元. (1)写出的解析式； (2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？ 例题 解(1)不难看出，是一个分段函数，而且： 当时，有； 当时， 有； 当时， 有. 因此 例题 解(2)因为， 所以 因此张明一家2015年应缴纳水费元. 由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容. 例题 例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第(限定)年的城镇常住人口为亿.写出的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数. 解：因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以是一次函数， 设，其中，是常数. 注意到2013年是1978年后的第年，因此 即 解得，.因此且. 例题 例2 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第(限定)年的城镇常住人口为亿.写出的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数. 又因为2017年是1978年后的第年， 而且， 所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为亿. 例2中2017年城镇人口的估算还有其他算法，请读者自己尝试. 例题 例3 某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满.已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 分析：可以通过试算来理解题意，如下表所示. 例题 解：设每间房单价提高个元时，每天客房的租金总收入为元. 因为此时每间房单价为元，而客房出租数将减少间， 即为间，所以 . 从而可知，当时，的最大值为. 因此每间房单价提到元时，每天客房的租金总收入最高. 例题 例4 某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 解：设矩形的长为时，场地的面积为. 因为矩形的周长要为，所以矩形的宽为，由 可解得. 又因为， 所以当时，的最大值为.此时矩形的宽为. 即所围矩形是长、宽都为的正方形时，场地面积最大. 想一想：你能用均值不等式求得的最大值吗？ 例题 例5 已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是时，总成本是.设该产品年产量为时的平均成本为. (1)求的解析式； (2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求出最小值. 解(1)：将，代入中，可得， 从而，于是.因此，. 解(2)：因为， 且，即时，上述等号成立. 因此，当年产量为时，平均成本最小，且最小值为. 练习 例1.某区广场车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费一次元. (1)若设自行车和电动车停放的辆次依次为和，保管费收入依次为和元，试写出与的函数关系式. (2)若估计前来停放的4000辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于45%，但不大于60%，试求该车管站这个星期日电动车收入保管费的范围. 答案：(1) (2)的值域是 即收入在1225元至1330元之间. 题型一：一次函数模型 练习 例1.某区广场车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费一次元. (1)若设自行车停放的辆次为，保管费收入依次为元，试写出与的函数关系式； 题型一：一次函数模型 解(1)： 练习 例1.某区广场车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费一次元. (2)若估计前来停放的4000辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于45%，但不大于60%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围. 解(2)：∵ ∴函数在上单调递减， ∴值域是 即收入在元至元之间. 练习 方法技巧： 解决一次函数模型应用题的四个步骤： (1)审题：理解题意，设定变量. (2)建模：建立一次函数关系，并注明定义域. (3)解模：运用一次函数相关知识求解. (4)结论：回归到应用问题中去，给出答案. 练习 题型二：二次函数模型 例2.大理欧亚牧场蓄养了很多奶牛以满足大理市市民们的奶制品需求.已知欧亚牧场中牛群的最大蓄养量为只，为保证牛群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知牛群的年增长量只和实际蓄养量只与空闲率的乘积成正比，正比系数为. (1)写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域； 解(1)：据题意，由于最大蓄养量为只，实际蓄养量为只，则蓄养率为， 故空闲率为，由此可得. 练习 例2.大理欧亚牧场蓄养了很多奶牛以满足大理市市民们的奶制品需求.已知欧亚牧场中牛群的最大蓄养量为只，为保证牛群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知牛群的年增长量只和实际蓄养量只与空闲率的乘积成正比，正比系数为. (2)求牛群年增长量的最大值； 解(2)：∵. 即当时，取得最大值. 练习 例2.大理欧亚牧场蓄养了很多奶牛以满足大理市市民们的奶制品需求.已知欧亚牧场中牛群的最大蓄养量为只，为保证牛群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知牛群的年增长量只和实际蓄养量只与空闲率的乘积成正比，正比系数为. (3)当牛群的年增长量达到最大值时，求的取值范围. 解(3)：由题意知为给牛群留有一定的生长空间，则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，即. ∵当时，，所以，解得. 又∵，∴.故的取值范围为. 练习 方法技巧： 解决二次函数模型应用题的四个步骤： (1)审题：理解题意，设定变量，. (2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域. (3)解模：运用二次函数相关知识求解. (4)结论：回归到应用问题中去，给出答案. 练习 题型三：幂函数模型 例3.包装的一个知识，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的薯片其36克装的售价为4元，其100克装的售价为元，假定该薯片的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与薯片质量成正比且系数为，包装成本与薯片质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为20%，试写出该种饼干200克装的合理售价. 解：设薯片的质量为克，则其售价(单位：元)与之间的函数解析式为 .由题意得：，即① 即②由①②解得，. ∴.当时，. 故这种200克薯片的合理售价为. 练习 方法技巧： 解决幂函数模型应用题的步骤： 首先根据题中的关系建立模型，然后再根据已知数据求解模型中的参数，最后得出结论. 练习 题型四：分段函数模型 例4.已知某商品在近30天内每件的销售价格(元)与时间(天)的函数关系是 该商品的日销量(件)与时间(天)的函数 关系是 (1)写出该种商品的日销售额(元)与时间(天)的函数关系式； (2)求日销量额的最大值. 答案： (2)第25天时，日销售额最大，是1200元. 练习 方法技巧： 解决分段函数模型应用题的步骤： 首先根据题中的关系建立模型，然后再根据已知数据求解模型中的参数，利用分段函数通过相关函数类型求最值或值域的方法，最后得出结论. 课堂小结&作业 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P131的习题；习题. 小结： 数学建模解模的过程： 提炼 问题 收集数据 收集数据 建立函数模型 求模、 检验还原 谢谢学习 Thank you for learning $$