1.2 菱形的性质与判定 新课预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础巩固-中档应用-综合拓展三层设计，实现从概念理解到动态几何应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形性质（角度、面积、定义）|简单单选（如第2题面积计算）和概念辨析填空（如第9题命题判断）| |中档应用|判定条件、性质与坐标结合|判定多选（如第4题条件选择）和性质应用填空（如第10题坐标求解）| |综合拓展|作图、折叠综合、实际应用|尺规作图（第14题）和动态几何解答（第17题折叠问题）|

1.2 菱形的性质与判定 新课预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，菱形中，，则（    ） A．60° B．30° C．25° D．15° 2．如图，在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（    ） A．96 B．48 C．24 D．12 3．具有四条边都相等的性质的四边形是（    ） A．任意四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 4．如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　）    ①；②平分；③；④； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 7．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 8．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 二、填空题 9．已知下列命题： ①若，则；②若，则；③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的是______．（请直接填写序号） 10．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 11．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是________．（填一个正确条件即可） 12．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 13．教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是__________． 三、解答题 14．如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 15．菱形景观造型广泛应用于园林设计，结合菱形性质解答问题： 某园林打造菱形景观造型，整体四条边长度全部相等，单条边长为8米，其中一组对角角度相等，结合菱形基础数据； (1)计算该菱形景观整体的外围周长； (2)结合菱形对角线基础规律，简述菱形对角线具备的两项核心特点． 16．如图，已知中，、为、边上的中线，M、N是、的中点． (1)四边形为平行四边形吗？为什么？ (2)连接，当线段与线段有怎样的关系时，四边形是菱形？为什么？ 17．综合与实践：折纸中的数学 [问题背景] 在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6． 老师提出问题：如图1，把Rt△ABC沿着直线DE折叠，D、E分别是AB和BC上的点，顶点B的对应点B'恰好落在线段AC的中点处，求CE的长． 接下来各学习小组先解决老师提出的问题，然后动手操作起来，发现很多有趣的数学问题，请你解决他们提出的问题． [解决问题] (1)“勤奋“小组解答老师提出的问题的过程如下：（填空） 解：由折叠可知，B'E＝　 　 设CE＝x，则B'E＝6﹣x； 在Rt△B'CE中，由勾股定理列方程得，　 　 解得x＝　 　；即CE的长为　 　 (2)[深入探究]“奋斗”小组将直角三角形纸片ABC按图2方式折叠，点B'落在线段AC上，发现当四边形B'EBD为菱形，求B'C的长有点困难； “夺冠“小组的思路是：连接B'B，过点B'作B'F⊥AB于点F，根据等积法，⋯. 请你参照“夺冠”小组的思路或其他方法求出B'C的长． (3)[拓展探究]“探究”小组发现，如图3，若E是BC的中点，点D在线段AB运动，将直角三角形纸片ABC按图3方式折叠，连接AB'，AB'是否存在最小值；若存在，请你直接写出AB'的最小值；若不存在，请简要说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D B D A C 1．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠B=∠D=120°，由菱形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠B=∠D=120°， ∴∠1=30°， 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 2．【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半，即可求解． 【详解】解：根据题意得：菱形的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半是解题的关键． 3．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，根据“菱形的四边相等”即可求解． 【详解】解：具有四条边都相等的性质的四边形是菱形， 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解． 【详解】解：①，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； ②平分，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ③，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ④，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 综上所述，由②③④可证得四边形是菱形． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 5．【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 6．【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 8．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 9．【答案】④ 【知识点】证明四边形是菱形、写出命题的逆命题、判断命题真假、全等三角形的性质 【分析】通过交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用有理数的平方、零指数幂的意义、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质判断各命题的真假． 【详解】 【点睛】本题考查原命题、逆命题的真假，熟练掌握有理数的平方、零指数幂的性质、全等三角形的定义、菱形的性质等知识是解题的关键． 10．【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用菱形的性质求线段长、已知两点坐标求两点距离 【分析】首先根据菱形的性质得到，，推出轴，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在轴上， ∴轴，即轴， ∵点的坐标为， ∴，点B的横坐标为3， ∴点B的纵坐标为， ∴点的坐标为． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】证明四边形是菱形、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】 【知识点】垂线段最短、利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】连接，，证明，推出，得到当共线，即时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，即时，取得最小值，最小值为的长， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即的最小值为． 13．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、利用菱形的性质求面积 【分析】设直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据题意列出二元一次方程组，求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】∵如图，根据裁剪，得到四个全等的直角三角形，设直角三角形的短直角边为，长直角边为， 据题意，，解得， ∴菱形面积为． 14．【答案】如图，点即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】由作图可得，，则四边形是菱形 【详解】解：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交，交点即为点． 15．【答案】(1)32（米） (2)对角线互相垂直且互相平分 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】（1）利用菱形的性质，四条边长度全部相等求周长即可； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且互相平分． 【详解】（1）解：（米）， 答：该菱形景观整体的外围周长32（米）； （2）解：由菱形的性质，对角线互相垂直且互相平分． 16．【答案】(1) 四边形为平行四边形，理由如下： 的边、上的中线、相交于点O， 为的中位线， 且， M、N分别是、的中点， 为的中位线， 且， 且， 四边形是平行四边形 (2) 当时，四边形是菱形，理由如下： 连接， 点E、M分别是、的中点， 是的中位线， ． 当时， 由（1）知，． ． 又由（1）知，四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 当时，四边形是菱形． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线； （1）由已知中给出的中线与中点的条件，可以证明为的中位线，为的中位线，然后由中位线定理可以得到且，根据平行四边形判定定理，可以得到四边形为平行四边形； （2）由中位线定理可得到是的中位线，而为的中位线，所以可以得到当时，四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】(1)BE，x2+42＝（6﹣x）2，，； (2)CB′＝3； (3)AB′的最小值为﹣3 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求线段长、三角形三边关系的应用、角平分线的性质定理 【分析】（1）设CE＝x，则BE＝6﹣x；在Rt△B'CE中，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题． （2）如图2中，作B′H⊥AB于H．连接BB′．首先证明B'C＝B'H，设B'C＝B'H＝x，构建方程即可解决问题． （3）如图3中，连接AE，E B'，A B'．在△A B'E中，利用三角形长三边关系即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点B'落在AC的中点， ∴CB'＝AC＝4， 设CE＝x，则BE＝6﹣x， 由折叠得：B'E＝BE＝6﹣x， 在Rt△B'CE中，由勾股定理得x2+42＝（6﹣x）2， 解得：x＝， 即CE的长为． 故答案为：BE，x2+42＝（6﹣x）2，，； （2）解：如图2中，作B'H⊥AB于H．连接B B'． ∵EB＝E B'，DB＝D B'，BE＝BD， ∴BE＝EB'＝B'D＝DB， ∴四边形BEB′D是菱形， ∴∠B'BD＝∠B'BE， ∵B'C⊥BC，B'H⊥AB， ∴B'C＝B'H，设B'C＝B'H＝x． 在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∵S△ABC＝S△BCB'+S△ABB'， ∴•AC•BC＝•BC•x+•AB•x，即×6×8=×6x+×10x， ∴x＝3， ∴CB'＝3． （3）解：如图3中，连接AE，E B'，A B'． 在Rt△ACE中，∵AC＝8，EC＝3， ∴AE＝＝＝， ∵EB＝EC＝EB'＝3， ∴点B'在以点E为圆心，3为半径的圆上， ∴AB'≥AE﹣B'E，（当A、B'、E三点共线时取等号）， ∴AB'≥﹣3， ∴AB'的最小值为﹣3． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质及其应用、角平分线的性质定理、菱形的性质、勾股定理、圆的定义、三角形的三边关系、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系，借助勾股定理列方程进行解答，属于中考压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $