25.2.4 根与系数的关系课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习一般形式、求根公式及根的判别式导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从具体方程探究两根和与积的规律。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过计算、归纳、推导培养数学抽象与推理能力，典例涵盖基础应用、参数求解及实际问题（如矩形周长面积），结合归纳总结常见代数式变形，助力学生用数学语言表达数量关系，既深化知识理解又提升解题能力，为教师提供结构化教学资源。

第二十五章 一元二次方程 25.2.4 根与系数的关系 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：根与系数的关系 难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 复习导入 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 探究新知 知识点1 根与系数的关系 解下列方程并完成填空： （1）x2+5x+6=0; (2)x2+3x-4=0; (3)x2+6x+8=0. 2 3 5 6 1 -4 -3 -4 -2 -4 -6 8 发现：它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 为什么呢？ 探究新知 知识点1 根与系数的关系 方程(x-x1)(x-x2)=0的两根为x1和x2,请将方程化为x2+px+q=0的形式? 得 x2-(x1+x2)x+x1x2=0   于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q 但二次项系数a未必是1，又该如何推导呢？ 根据求根公式可知， 探究新知 知识点1 根与系数的关系 根据求根公式可知， 由此可得 (1)不是一般式的，要化成一般式； (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0； (3)在使用 时，注意“-”不要漏写. 典例解析 题型1 根与系数的关系 例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 （1）解：a=1，b=-6，c=-15. Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=6,x1x2=-15. （2）解：a=3，b=7，c=-9. Δ=b2 -4ac=72-4×3×(-9)=157>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=-,x1x2=-3. （3）解：方程化为4x2-5x+1=0 a=4，b=-5，c=1. Δ=b2 -4ac=(-5)2-4×4×1=9>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2= , x1x2=. 针对训练 1.不解方程,求下列方程中两个根的和与积. (1)2x2-3x+1=0;　　(2)x2-3x+2=10; (3)7x2-5=x+8. 解:(1)x1+x2 = - = , x1x2= = . (2)x1+x2= - = 3, x1x2= = - 8. (3)x1+x2= - = , x1x2= = - . 典例解析 题型1 根与系数的关系 例2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2. 所以：x1•x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. 针对训练 2.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1+x2=1+x2=6， 即：x2=5. 由于x1•x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 针对训练 3.如果关于y的方程y2+2(m-1)2y-9m=0的两实数根互为相反数，那么m的值是( ) A.1 B. -1 C.0 D.±1 4.关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为倒数，则p，q应满足的条件为( ) A.q=1 B.q=1且p2-4q>0 C.p=1 D.q=1且p2-4q≥0 A D 典例解析 题型1 根与系数的关系 例3. 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：设方程的两个根分别是x1 、x2，根据根与系数的关系可知： 归纳总结 总结常见的求值: 针对训练 5.(1)已知x1,x2是一元二次方程3x2=6-2x 的两个根,则x1-x1x2+x2的值 是(　　) A. - 　　 B.　　 C. - 　　 D. (2)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为, x2,则-4+2x2的值 为　 　 ; (3)已知实数m,n满足3m2+6m-5=0,3n2+6n-5=0,且m≠n,则+ = 　 　 . D 2 - 典例解析 题型1 根与系数的关系 例4.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2 =0 的两个实数根，且x12+x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ=4(k-1)2-4k2 ≥ 0 即-8k+4≥ 0. 由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1), x1x2=k2. ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4. 由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得 k1=0 , k2=4 . 经检验,k2 =4 不合题意，舍去. 针对训练 6.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(　　) A．－1或　　 B．－1　　 C.　 　 D．不存在 C 针对训练 7.一个矩形的长和宽恰好是方程x2-5x+3=0的两个根,则矩形的周长和面积分别是(　 　) A.5,3 B.10,3 C.5+ D.10,1 B 8.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根. (1)求实数k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值. 解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根, ∴Δ=32-4(k-2)≥0,解得k≤ . (2)∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=-3,x1x2=k-2. ∵(x1+1)(x2+1)=-1,即x1x2+(x1+x2)+1=-1, ∴k-2-3+1=-1,解得k=3. 归纳总结 ※一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 (1)不是一般式的，要化成一般式； (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0； (3)在使用 时，注意“-”不要漏写. 作业布置 课堂作业:P17习题25.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $