奥数培优第14讲 一笔画（应用）（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

人教版小学三年级下册数学竞赛培优讲义★★★★★ 第14讲 一笔画（应用） ——一笔画原理的实际应用：穿门·邮递员·爬棱—— ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 【课程信息】 讲次 第14讲 适用年级 小学三年级下册 专题 一笔画（应用）｜最短路径与最大不重复路径 建议课时 1课时 核心内容 实际问题转化为点线图、添线法、减线法、立体图形爬棱 难度星级 ★★★★☆ 教材对应 人教版三下数学广角（搭配）拓展·奥数专题 配套资源 例题5道·变式5道·习题10道·全解析 【学习目标】 1. 能把穿门、走路、爬棱等实际问题转化为点线图（点=展室/路口/顶点，线=门/街道/棱）。 2. 掌握"添线法"：允许重复走时，把奇点两两配对，重复走最短路径，求出最短全程。 3. 掌握"减线法"：不允许重复时，去掉最短的线段，使图形变成一笔画，求出最大路程。 4. 会判断立体图形爬棱问题，从奇点出发到奇点结束可以不重复爬遍所有棱。 一、知识框架与核心考点 核心思想：能重复就添线，不能重复就减线 考点1 实际问题转化为点线图 穿门问题：每个展室看作一个点，室外也看作一个点，每扇门看作一条线段。 走路问题：每个路口或村庄看作一个点，每条街道或道路看作一条线段。 爬棱问题：立体图形的每个顶点看作一个点，每条棱看作一条线段。 转化后，问题就变成：这个点线图形能不能一笔画？怎样走最优？ 考点2 两大核心方法对比 方法 适用场景 操作方式 目标 添线法 允许重复走（走遍所有线段） 在奇点之间添线（相当于重复走这段路） 使所有奇点变偶点，形成闭合一笔画，重复路程最短 减线法 不允许重复走（每条线段最多走一次） 去掉最少的线段 使起点、终点成为奇点，其余为偶点，去掉的总长度最少 路程计算 —— —— 添线法：总长+重复路程；减线法：总长−去掉路程 考点3 添线法（最短重复路径） ① 转化为点线图，数奇点个数K（K一定是偶数）； ② 闭合一笔画需要0个奇点，要把K个奇点全部变成偶点； ③ 每在两个奇点之间添一条线（重复走这段路），两个奇点同时变成偶点，需要添K÷2条线； ④ 把K个奇点两两配对，选择总长度最短的配对方案（每对之间走最短路）； ⑤ 最短路程 = 所有线段总长度 + 重复走的最短路程总和。 考点4 减线法（最大不重复路径） ① 转化为点线图，数奇点个数K； ② 从A到B的一笔画要求：A和B必须是奇点，其余点全是偶点（共2个奇点）； ③ 如果A、B当前是偶点，需要各去掉1条与它们相连的线段，使它们变成奇点； ④ 其余奇点（不含A、B）需要全部变成偶点，每去掉一条连接两个奇点的线段，两个奇点同时变偶； ⑤ 选择去掉总长度最短的线段组合； ⑥ 最大路程 = 所有线段总长度 − 去掉的最短线段总长度。 考点5 立体图形一笔画 把立体图形的顶点看作点，棱看作线段，数每个顶点连接的棱数（即度数），判断奇点个数。 长方体或正方体：每个顶点连3条棱，8个顶点全是奇点，需要8÷2=4笔画。 从某顶点出发到另一顶点，要求爬过所有棱：如果起点和终点恰好是两个奇点，可以不重复一笔画；否则需要重复爬某些棱。 二、典型例题精析 例1 穿门问题——实际问题转化为点线图 【方法标签】转化思想 · 数奇点 题目：下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果能，应从哪个展室开始走？ 分析：把每个展室看作一个点（A、B、C、D），室外也看作一个点（E），每扇门看作一条线段。能否不重复穿过每扇门，就变成了这个点线图能否一笔画的问题。 详解： 第一步：转化。展室A、B、C、D和室外E共5个点，6扇门对应6条线段。 第二步：数奇点。A连3条线（到E、B、D），B连3条线（到E、A、C），是奇点；C、D、E各连2条线，是偶点。 第三步：判断。图是连通的，且只有A、B两个奇点，符合"2个奇点能一笔画"的条件。 第四步：确定起点。2个奇点的一笔画，必须从一个奇点出发，到另一个奇点结束。 答：能不重复地穿过每一扇门，应从A展室（或B展室）开始走，到B展室（或A展室）结束。 【方法点睛】 解决实际问题的第一步是转化——把展室和室外看作点，把门看作线。转化后再数奇点、用一笔画原理判断，千万不能凭感觉直接试走。 【变式训练】 变式：下图中如果把E到A的那扇门关上（去掉线段E-A），参观者还能不能不重复穿过剩下的门？ 图1变式：展览馆平面图（E-A门已关闭） 【变式答案】 去掉E-A后，A连2条线（到B、D）变偶点，E只连1条线（到B）变奇点，B连3条线还是奇点。奇点为E、B两个，仍然能一笔画，从E或B出发。 例2 邮递员最短路线——添线法（允许重复） 【方法标签】添线法 · 奇点配对 题目：一个邮递员投递信件要走的街道如下图所示，图中的数字表示各条街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 分析：从邮局出发回到邮局是闭合路线，需要0个奇点。走遍所有街道说明每条线段都要走。题目允许重复走，所以用添线法：数奇点、两两配对、重复走最短路。 详解： 第一步：转化并数奇点。把路口看作点、街道看作线段。图中奇点有8个：P1、UL、UM、LM、RM、DM、DR、P2。 第二步：闭合一笔画需要0个奇点，8个奇点要全部变成偶点。每添一条线（重复走一段路）使2个奇点变偶，需要添8÷2=4条线。 第三步：奇点两两配对，选最短路。P1只能和UL配对，距离2千米；P2只能和DR配对，距离2千米；UM和DM配对，走中竖线2千米；LM和RM配对，走中横线2千米。 第四步：验证配对最优。UL只能配P1（P1只有UL一个邻居），DR只能配P2；剩下UM、LM、RM、DM两两配对，无论怎么配都是2千米+2千米。所以重复路程最短=2+2+2+2=8千米。 第五步：算总长。所有街道总长=22千米（图中各段相加）。 第六步：全程=22+8=30千米。 【方法点睛】 添线法的关键是奇点两两配对求最短路程。8个奇点需要添4条线，选择总长度最短的配对方案。注意"只有唯一邻居"的奇点必须优先配对，这是找最优配对的突破口。 【变式训练】 变式：如果图中去掉P1、P2两条尾巴，只剩下6个奇点（UL、UM、LM、RM、DM、DR），邮递员走遍所有街道回到邮局，最短全程是多少千米？（此时街道总长18千米） 图2变式：街道网络图（去掉P1、P2尾巴后，6个奇点） 【变式答案】 6个奇点添3条线。UL只能配UM（距离1千米）或LM（1千米），最优配对：UL-LM（1千米）、UM-DM（2千米）、RM-DR（2千米），重复5千米，全程=18+5=23千米。 例3 最大不重复路径——减线法（不允许重复） 【方法标签】减线法 · 起点终点为奇点 题目：下图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？ 分析：从A到B不许走重复路，就是每条线段最多走一次，用减线法。从A到B的一笔画要求A、B是奇点，其余点全是偶点，所以要去掉最少的线段，使奇点个数变成2个。 详解： 第一步：转化并数奇点。图是3×4网格，共31条线段、20个顶点。边上的非角点有10个（上边3个、下边3个、左边2个、右边2个），每个连3条线，都是奇点；4个角点各连2条线，是偶点。 第二步：A、B在角上，是偶点，要变成奇点。A去掉1条与它相连的线段，B去掉1条与它相连的线段，共去掉2条。注意交互效应：A去掉的线段另一端（上边左数第1个点）恰好是奇点，B去掉的线段另一端（下边右数第1个点）也恰好是奇点，所以这2条线段在使A、B变奇点的同时，还顺手把2个奇点变成偶点——奇点从10个减少到8个。 第三步：其余8个边上的奇点要全部变成偶点。每去掉一条连接两个奇点的线段，两个奇点同时变偶，需要去掉8÷2=4条（上边中段、下边中段、左边上段、右边上段各1条）。 第四步：总共至少去掉2+4=6条线段。每条线段100米，去掉的总长度=6×100=600米。 第五步：所有线段总长=31×100=3100米。 第六步：最大路程=3100−600=2500米。 【方法点睛】 减线法的关键是：起点和终点必须是奇点（偶点要各去一条线），其余奇点两两配对去线，去掉的线段总长度最短，剩下的路程就最大。注意去掉的线段之间不能有公共端点（C组会看到需要特别处理的特殊情况）。 【变式训练】 变式：如果网格改成2×3（2行3列），A在左上角、B在右下角，每个小方格边长还是100米，小明最多能走多少米？（提示：此时奇点有6个） 图3变式：2×3网格（A在左上角，B在右下角） 【变式答案】 2×3网格共17条线段，总长1700米。A、B各去1条，其余4个奇点去2条，共去4条=400米，最大路程=1700−400=1300米。 例4 添线法与减线法——一图两法对比 【方法标签】对比分析 · 综合应用 题目：下图是一个街道网格图，每条小线段都是1千米。问题一：邮递员从A点出发走遍所有街道，最后回到A点，允许重复，最短全程是多少千米？问题二：小明从A点走到B点，不许走重复路，最多能走多少千米？ 分析：同一个图，两个问题条件不同，方法也不同。问题一允许重复、闭合路线，用添线法；问题二不允许重复、从A到B，用减线法。一图两法正好对比两种方法的区别。 详解： 先看问题一（添线法）： ① 图是3×3网格，共24条线段，每条1千米，总长24千米。 ② 奇点有8个：上边2个、下边2个、左边2个、右边2个（各连3条线），4个角点都是偶点。 ③ 闭合路线需要0个奇点，8个奇点添8÷2=4条线。奇点两两配对：上边两个配1条、下边两个配1条、左边两个配1条、右边两个配1条，重复路程=4千米。 ④ 最短全程=24+4=28千米。 再看问题二（减线法）： ⑤ A、B在角上，是偶点，各去掉1条与它们相连的线段，变成奇点（去2条）。注意交互效应：A去掉的线段另一端（上边左数第1个点）是奇点，B去掉的线段另一端（右边下数第1个点）也是奇点，这2条线段同时把2个奇点变成偶点——8个奇点剩6个。 ⑥ 6个奇点中，下边两个（3,1）与（3,2）配对去1条，左边两个（1,0）与（2,0）配对去1条，4个奇点变偶；剩下的上边（0,2）与右边（1,3）两个奇点不相邻，不能直接配对，需要连续去掉两条相连的线段（上边右段与右边上段），使右上角顶点被去掉2次仍保持偶点，(0,2)与(1,3)同时变偶（去2条）。 ⑦ 共去掉2+1+1+2=6条线段=6千米。最大路程=24−6=18千米。 【方法点睛】 核心区别就在能否重复走：能重复就添线（重复走最短的路），不能重复就减线（去掉最短的线段）。同一张图，把条件和目标分清，方法自然就选对了。 【变式训练】 变式：还是这张图，如果邮递员从A点出发走遍所有街道，最后走到B点结束（不回A），允许重复，最短路程是多少千米？ 图4变式：3×3街道网格（A到B，允许重复） 【变式答案】 从A到B结束是"开链"，需要2个奇点。图中A、B是偶点，要变成奇点；8个奇点要全部变成偶点。添线法：A与最近的奇点(0,1)连1条（重复走1千米），B与最近的奇点(2,3)连1条（重复走1千米）；剩下6个奇点两两配对，最短配对为(0,2)-(1,3)重复2千米、(3,1)-(3,2)重复1千米、(1,0)-(2,0)重复1千米。重复路程=1+1+2+1+1=6千米。最短全程=24+6=30千米。 例5 立体图形爬棱——正方体最少爬行 【方法标签】立体图形 · 允许重复 题目：一个正方体木块（如下图），棱长2厘米。一只甲虫从顶点A出发，沿着棱爬行，要爬过所有的棱，最后回到A点。如果允许重复爬某些棱，甲虫最少要爬多少厘米？ 分析：把正方体的顶点看作点、棱看作线段。正方体8个顶点每个连3条棱，全是奇点。从A出发回到A是闭合路线，需要0个奇点，所以要把8个奇点全部变成偶点，用添线法。 详解： 第一步：数奇点。正方体8个顶点全是奇点（每个连3条棱）。 第二步：闭合路线需要0个奇点，8个奇点要添8÷2=4条线（重复爬4条棱）。 第三步：确定重复的棱。8个奇点两两配对，选择相邻的顶点配对，每对之间只隔1条棱，重复的4条棱长度=4×2=8厘米。 第四步：所有棱的总长=12×2=24厘米。 第五步：最少爬行路程=24+8=32厘米。 【方法点睛】 立体图形爬棱问题，本质还是一笔画。把顶点看作点、棱看作线，数奇点，再用添线法或减线法。闭合路线重复4条棱、开链（从一个顶点到对顶点）重复3条棱，是正方体题目的两个常用结论。 【变式训练】 变式：如果甲虫从顶点A出发，爬到与A相对的顶点G结束（不要求回到A），允许重复，最少要爬多少厘米？ 图5变式：正方体（A到对角顶点G，允许重复） 【变式答案】 从A到G开链需要2个奇点。A、G恰好是奇点，其余6个奇点两两配对添3条线，重复3×2=6厘米，最少=24+6=30厘米。 三、易错警示 序号 常见错误 正确做法 1 不把实际问题转化为点线图，直接凭感觉试走 先把展室/路口/顶点看作点，门/街道/棱看作线，转化为点线图再分析 2 允许重复和不允许重复用同一种方法 允许重复用添线法（重复走最短路）；不允许重复用减线法（去掉最短线段） 3 添线法只数奇点个数，不配对求最短路 奇点要两两配对，选择总路程最短的配对方案；"只有唯一邻居"的奇点优先配对 4 减线法忘记起点、终点必须是奇点 从A到B的一笔画，A和B必须是奇点；如果当前是偶点，要各去掉一条连线 5 减线法去掉的线段共用了端点 去掉的线段一般不共用端点；如果确实需要共用（例如例4问题二把右上角顶点去掉2次），该端点被去掉的次数必须是偶数，否则奇偶性会变回去 6 计算总路程时漏加重复部分或漏减去掉部分 添线法：总路程=总长+重复路程；减线法：最大路程=总长−去掉路程 四、方法总结 解一笔画应用问题的一般步骤： 1. 第一步（转化）：把实际问题转化为点线图形，点=地点/展室/顶点，线=门/街道/棱。 2. 第二步（数奇点）：数每个点连接的线条数，标注奇点和偶点，统计奇点个数K。 3. 第三步（选方法）：允许重复走→添线法；不允许重复走→减线法。 4. 第四步（定目标）：闭合路线（回到起点）需要0个奇点；从A到B不回到起点需要2个奇点（A、B）。 5. 第五步（算路程）：添线法：总长+重复最短路程；减线法：总长−去掉最短线段总长。 6. 第六步（验证）：确认奇点个数满足一笔画条件，确认去掉的线段没有公共端点，确认路程计算正确。 五、解题口诀 把本讲的方法编成口诀，边读边想每一步的意思，遇到问题先对口诀找方法。 1. 一画问题并不难，先把图形看一看；交点分成奇和偶，数清奇点最关键。 2. 偶点都能当路过，奇点只能做两端；没有奇点随意走，两个奇点从头开。 3. 奇点若是四个整，两笔才能画得完；奇点再多也不怕，两两配对来添线。 4. 能重复走就添线，不能重复就减线；添线重复最短路，减线去掉最省边。 5. 立体图形看顶点，棱做线来点做点；先数奇点再判断，添线减线照旧办。 6. 遇到问题先转化，点线图里寻答案；学完一画巧应用，生活处处有数学。 六、学习建议 课前准备 ① 复习"一笔画"的判定：0个奇点或2个奇点的连通图形能一笔画。② 准备方格纸和直尺，上课时边画边数。③ 想一想：生活中哪些路线像一笔画？（例如游览路线、快递送件路线） 课中方法 ① 做穿门、走路、爬棱问题时，先动手转化成点线图，再数奇点，不要凭感觉猜。② 每一步计算都标注清楚：总长是多少、重复（或去掉）多少、最终路程多少。③ 学完一个方法，立刻在变式题上试一试，看方法能不能"搬家"。 课后巩固 ① 建立错题本：把做错的题按"选错方法（添线/减线）""配对选错""路程算错"三类归类，错因写在旁边。② 每天做2题保持手感，先做A组再做B组、C组。③ 完成后对照答案逐题批改，重点看解析中的"交互效应"和"配对"两步。 拓展思考 观察身边的路线图（地铁线路图、公园导览图、小区道路图），数一数有多少个奇点，判断能不能一笔画走完。想一想：为什么邮递员送信、洒水车洒水都希望"不重复"却常常做不到？ 七、分层训练 说明：A组为基础过关，B组为能力提升，C组为挑战冲刺。建议先独立完成，再对照参考答案与解析。 A组 基础过关（3题） A1. 判断：一个图形有6个奇点。如果允许重复走闭合路线，需要重复走几段路？如果从A走到B（A、B都是偶点）不允许重复，通常需要去掉几条线段？ A2. 判断：一个邮递员从邮局出发走遍所有街道再回到邮局，如果街道图有4个奇点，他需要重复走2段路。这个说法对吗？为什么？ A3. 一个图形能不能一笔画，与什么有关？请用自己的话说一说判断方法。 B组 能力提升（4题） B4. 邮递员要从邮局出发，走遍下图中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？（图中数字为街道长度，单位：千米） B5. 下图中O为邮局，A、B、C、D、E为村庄。邮递员从邮局出发，能不能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？如果能，应该怎样走？ B6. 一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米（如下图）。一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？ B7. 请你用一句话说出添线法和减线法的核心区别，并举一个生活中的例子说明各自适用的场景。 C组 挑战冲刺（3题） C8. 一个长方体木块（如下图），长4厘米、宽3厘米、高2厘米。一只甲虫从顶点A出发，沿着棱爬行，要爬过所有的棱，最后回到A点。如果允许重复爬某些棱，甲虫最少要爬多少厘米？ 图C8：长方体木块（长4cm×宽3cm×高2cm） C9. 下图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？ C10. 一个正方体木块（如下图），棱长2厘米。甲虫从顶点A出发，沿棱爬行，每条棱最多爬一次（不允许重复），最后爬到与A相对的顶点G结束，最多能爬行多少厘米？ 八、参考答案与详细解析 A组 A1 允许重复闭合路线：重复走3段路；不允许重复从A到B：通常情况下，需要去掉5条线段。 【解析】 ①6个奇点闭合路线需要0个奇点，每添1条线减少2个奇点，需要6÷2=3条，即重复走3段路。 ②从A到B不允许重复：通常情况下，假设 A、B 不与奇点直接相连：A、B是偶点，各去掉1条相连线段（共2条）变成奇点；其余6个奇点两两配对，去掉6÷2=3条。总共2+3=5条。若 A、B 与奇点直接相连，去边时可同时消除奇点，所需线段数可能更少。 A2 对。 【解析】 4个奇点，闭合路线（回到邮局）需要0个奇点，每重复走1段路减少2个奇点，4÷2=2段。 所以需要重复走2段路。 A3 与奇点个数和图形是否连通有关。 【解析】 判断方法：①图形必须连通； ②数奇点个数：0个奇点能一笔画（从任意点出发回到该点）； 2个奇点能一笔画（从一个奇点出发到另一个奇点结束）；超过2个奇点不能一笔画。 B组 B4 全程50千米。 【解析】 ①数奇点：田字格图形中，上边中点、下边中点、左边中点、右边中点各连3条线，共4个奇点。 ②闭合路线需要0个奇点，4个奇点添4÷2=2条线。 ③配对求最短路：上中点与下中点之间走中竖线，距离4千米；左中点与右中点之间走中横线，距离4千米；重复路程=4+4=8千米。 ④街道总长：外框4+4+4+4+5+5=26千米，中横2+2=4千米，中竖2+2=4千米， 总长=26+4+4=42千米（也可逐段相加验证）。 ⑤全程=42+8=50千米。 B5 能，沿环形道路走一圈即可。 【解析】 ①转化：村庄和邮局看作点，道路看作线段。 ②数奇点：O、A、B、C、D、E围成一个环，每个点都连2条线段，全是偶点，共0个奇点。 ③0个奇点的连通图形能一笔画，从任意点出发可以回到出发点。 ④走法：从邮局O出发，依次经过A、B、C、D、E，再回到O，正好经过每个村庄一次且不重复走任何一条路。 B6 最多爬行34厘米。 【解析】 ①木箱8个顶点每个连3条棱，全是奇点。 ②从A出发回到A是闭合路线，需要0个奇点，要把8个奇点全部变偶，去掉8÷2=4条棱。 ③去掉的4条棱必须两两不相邻（没有公共顶点），并且覆盖全部8个顶点。 ④选择总长度最短的4条：去掉2条3厘米的棱和2条4厘米的棱，总长=3×2+4×2=14厘米。 ⑤所有棱长总和=4×(5+4+3)=48厘米。 ⑥最多爬行=48−14=34厘米。 B7 核心区别：能重复就添线，不能重复就减线。 【解析】 添线法用于"允许重复走"的场景，如邮递员走遍所有街道回到邮局； 减线法用于"不允许重复走"的场景，如小明从A到B不许走重复路。 添线是"加上重复走的最短路线"，减线是"去掉最短的线段"； 添线法算总长+重复路程，减线法算总长−去掉路程。 C组 C8 最少爬44厘米。 【解析】 ①长方体8个顶点每个连3条棱，全是奇点。 ②从A出发回到A是闭合路线，需要0个奇点，8个奇点配4对添4条棱。 ③最短配对：把上下对应的顶点两两配对（A与A2、B与B2、C与C2、D与D2），每对之间就是1条竖棱，重复4条竖棱=2×4=8厘米。 ④所有棱总长=4×(4+3+2)=36厘米。 ⑤最少爬行=36+8=44厘米。 C9 最多走3200米。 【解析】 ①图是4×4网格，共40条线段，每条100米，总长4000米。 ②边上的非角点有12个（上边3个、下边3个、左边3个、右边3个），每个连3条线，是奇点；角点连2条线，是偶点。 ③A、B在角上，是偶点，各去掉1条相连线段（共2条）变成奇点。 ④其余奇点配对去线：上边中段、下边右段、左边上段、右边上段各去1条（4条）；最后还剩2个奇点无法直接配对，需要连续去掉两条相连的线段把它们"移走"（第3行左段1条和它下方的竖段1条，共2条）。 ⑤共去掉2+4+2=8条线段，去掉的总长度=8×100=800米。 ⑥最大路程=4000−800=3200米。 具体去掉哪些线段，请看C9图（红色虚线段）。 C10 最多爬18厘米。 【解析】 ①正方体8个顶点全是奇点。 ②从A到G是开链，需要2个奇点，A、G保持奇点不动；其余6个奇点要全部变成偶点，去掉6÷2=3条棱。 ③去掉的3条棱要两两不相邻，并且不能碰到A、G，例如去掉棱B-B2、C-D、A2-D2（覆盖B、B2、C、D、A2、D2这6个顶点）。 ④去掉的棱长=3×2=6厘米。 ⑤所有棱总长=12×2=24厘米。 ⑥最多爬行=24−6=18厘米。 九、本讲小结 本讲是一笔画原理的实际应用，核心是把生活问题转化为点线图形，再用一笔画原理求解。 1. 两大核心方法：添线法（允许重复）在奇点之间添线，重复走最短路径，总路程=总长+重复最短路程；减线法（不允许重复）去掉最短线段，使起点终点为奇点、其余为偶点，最大路程=总长−去掉最短线段。 2. 核心区别：能重复就添线，不能重复就减线。 3. 奇点目标：闭合路线（回到起点）需要0个奇点；从A到B需要A、B为奇点，共2个奇点。 4. 立体图形：顶点看作点、棱看作线，数奇点。正方体8个顶点全是奇点：闭合路线重复4条棱，从一个顶点到对顶点重复3条棱。 5. 解题流程：实际问题→转化为点线图→数奇点→判断能否重复→选添线法或减线法→计算路程→验证。 解题总原则：先转化，再数奇点，分清能不能重复，最后选对方法。 十、老师的话 ✦ 1. 养成"转化"的习惯：遇到实际问题，先想能不能变成点线图，再用数学原理分析。 ✦ 2. 牢记核心区别：能重复就添线，不能重复就减线。这是本讲最重要的一句话。 ✦ 3. 添线法练习：多做几道奇点配对题，体会为什么要选最短配对，把所有配对方案都算一遍。 ✦ 4. 减线法练习：注意起点终点的奇偶性，偶点要变奇点需要去掉一条线；其余奇点可通过"传递"去线。 实际问题转图形，添线减线分得清；能重复就添线，不能重复就减线！ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 祝贺你完成了本讲的学习，少年强，则中国强。奔跑吧，少年！ 学科网（北京）股份有限公司 $