奥数培优第15讲 包含与排除（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

【人教版】小学三年级下册 奥数培优讲义★★★★★ 第 15 讲 包含与排除（容斥原理） 两量重叠计数 · 韦恩图 · 整除计数应用 一、课程信息表 项目 内容 讲次 第15讲 专题 包含与排除（容斥原理）——两量重叠计数与韦恩图 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 整数四则运算；倍数与整除的初步认识（第3、4讲） 核心方法 容斥公式“总量 = A + B − 重叠”；韦恩图（集合圈）分析法；四类基本题型（求合并总量、求都不参加、求都参加、求只参加一项）；整除计数应用 二、学习目标 维度 具体目标 知识与技能 理解包含与排除（容斥）原理，知道“重叠部分被算了两次、合起来时要减去一次”；熟记两量容斥公式“总量 = A + B − 重叠C”；能用韦恩图表示并解决四类基本题型（求合并总量、求都不参加、求都参加、求只参加一项）；会解决整除计数类问题。 过程与方法 经历“读题→找重叠→画韦恩图→定题型→列式计算→检验”的完整解题流程；体会韦恩图把抽象关系变直观的数学思想；能区分“参加A或B”与“只参加A”的不同含义。 思维品质 养成审题习惯，主动寻找题目中的重叠部分；培养画图分析的意识；理解“先合并、再减去重复”的计数思想；形成画图标注、有条理思考的习惯。 情感与应用 感受容斥原理在班级统计、订阅报刊、比赛报名、整除计数等生活中的广泛应用；体会韦恩图直观清晰的表达力；增强用数学方法解决计数问题的信心。 【前言】 同学们，先来动动脑筋，回答下面两个问题。 问题1：小华把两张完全相同的长方形彩纸贴在墙上布置展板。每张彩纸的面积都是24平方厘米，两张彩纸有一部分重叠在一起。请问：它们盖住墙面的总面积一定是48平方厘米吗？ 图1 两张彩纸部分重叠贴在墙上 想：不是。两张彩纸的面积加起来是24+24=48（平方厘米），但有一部分重叠了。重叠部分在“24+24”里被算了两次：算第1张时算了一次，算第2张时又算了一次。要算出盖住墙面的总面积，必须从48平方厘米里减去重叠部分的面积，所以实际盖住的面积比48平方厘米小。 问题2：学校要在正方形草坪的四条边上插小旗，每条边插5面小旗，并且四个角各插1面。请问：四条边上一共要插多少面小旗？ 图2 正方形草坪每边插5面小旗（四个角各1面） 想：4条边，每条边5面，一共5×4=20（面）。但是四个角上的小旗在数边长时被重复数了一次——它既属于横着的边，又属于竖着的边。四个角共多算了4面，所以一共要插 20−4=16（面）小旗。 小结：这两个问题有一个共同点——计算时都遇到了“被重复计算”的部分：问题1里的重叠面积、问题2里的四个角。只要把重复的部分从总数里去掉，就能得到正确的答案。这种“先合起来、再减去重复部分”的方法，就是本讲要学习的——包含与排除（也叫容斥原理）。 核心公式：A、B两部分合在一起的总量 = A + B − A、B重叠部分 一、知识导航 1. 包含与排除原理 已知A、B两部分的数量，C是A、B重叠（重复）的部分，那么A、B两部分合在一起的总量 = A + B − C。 为什么要减去C呢？因为A、B合在一起时，重叠部分C被算了两次：算A时算了一次，算B时又算了一次。所以要从A+B里减去一次C，让重叠部分只算一次。这就是“包含与排除”名字的由来：把两部分“包含”进来，再把重复的“排除”掉。 2. 韦恩图分析法（集合圈） 用两个相交的圆圈分别表示A、B两部分，两个圆圈相交的部分表示重叠部分C。这样的图叫韦恩图，也叫集合圈。画图能让我们一眼看清A、B和重叠部分的关系，如图3所示。 图3 两量韦恩图：A、B与重叠部分C 表1 韦恩图各区域的含义与计算方法 区域 含义 计算方法 只A（左圈不含相交部分） 只属于A、不属于B A − C 只B（右圈不含相交部分） 只属于B、不属于A B − C C（两圈相交部分） 同时属于A和B 题目直接给出，或由公式求出 A∪B（两圈合计） 属于A或B（至少一个） A + B − C 3. 四类基本题型 表2 四类基本题型一览 题型 已知条件 求什么 公式 类型一：求合并总量 A、B、重叠C A或B的总量 总量 = A + B − C 类型二：求都不参加 全班总人数、A、B、重叠C 既不参加A也不参加B的人数 都不参加 = 总人数 −（A + B − C） 类型三：求都参加（重叠） A、B、至少参加一项的人数 同时参加A和B的人数 重叠C = A + B − 至少参加一项人数 类型四：求只参加一项 A、B、重叠C 只参加A或只参加B的人数 只A = A − C；只B = B − C 4. 整除计数中的包含排除 在1～N的自然数中： 能被a整除的数有 N÷a 个（取整数商）； 能被b整除的数有 N÷b 个； 既能被a又能被b整除的数（即能被a×b整除的数）有 N÷(a×b) 个。 所以：能被a或b整除的数 = 能被a整除的个数 + 能被b整除的个数 − 能同时被a和b整除的个数；不能被a、b中任何一个整除的数 = N − 能被a或b整除的数。 5. 解题五步法 ① 读题：找出题中的两部分A、B，以及重叠部分C； ② 画图：画出韦恩图（两个相交的圆圈），相交部分表示C； ③ 标数：把已知数据标到图中对应的区域； ④ 定式：判断属于哪一类基本题型，选择对应的公式； ⑤ 检验：回代检验，确认“只A、只B、C”三个区域都不是负数，且相加等于至少参加一项的人数。 二、易错辨析 表5 常见错误与正确做法对照 错误做法 正确做法 直接把A和B相加，忘记减去重叠部分 A + B − C。重叠部分被算了两次，必须减去一次 把“参加A或B”当成“只参加A” “参加A或B”= A + B − C（至少参加一个）；“只参加A”= A − C 求“都不参加”时，直接用 总人数 − A − B 都不参加 = 总人数 −（A + B − C），要先算至少参加一项的人数 求重叠C时，用 A + B − 全班总人数 重叠C = A + B − 至少参加一项的人数，不是减全班总人数 整除计数中，把能同时被a和b整除的数算成 N÷a + N÷b 能同时被a和b整除 = N÷(a×b)，取整数商 韦恩图里把“只A”区域直接标成A 只A = A − C，只B = B − C，两个圆圈相交的部分才是C 整除计数取商时四舍五入 只取整数商（去尾法），如 100÷3 = 33……1，取33个，不是34个 拼接、焊接问题把两段长度直接相加 拼接后总长 = 两段长之和 − 重叠部分长 六、典例精讲 本讲共安排6道例题，覆盖四类基本题型和整除计数应用。每一道题都要经历“读题→画图→标数→列式→检验”的完整过程，请同学们先自己想一想，再对照分析。 例1【类型一：求合并总量｜彩带打结拼接】 题目：小美有两条彩带，一条长46厘米，另一条长57厘米。她把两条彩带打结连成一条长彩带，打结处重叠的部分长5厘米。连成后这条长彩带长多少厘米？ 分析：两条彩带一共长 46+57=103（厘米），但打结处重叠的5厘米被算了两次——算第1条时算了一次，算第2条时又算了一次。所以要从103厘米里减去重叠的5厘米。 图4 彩带打结拼接示意图 详解： 方法一（先合并、再减去重叠部分）：46 + 57 − 5 = 98（厘米） 方法二（先去掉重叠部分、再相加）：(46 − 5) + 57 = 41 + 57 = 98（厘米） （也可以 46 + (57 − 5) = 46 + 52 = 98（厘米），结果一样。） 答：连成后这条长彩带长98厘米。 方法点睛：拼接（焊接、打结）问题中，重叠部分被算了两次，必须减去一次。两种方法结果相同，方法一更简便；画线段图可以清楚地看出重叠在哪里。 例2【类型一：求合并总量｜社团报名】 题目：三(2)班同学报名参加社团活动。报名书法社团的有24人，报名绘画社团的有31人，两个社团都报名的有9人。这个班报名参加书法社团或绘画社团的一共有多少人？ 分析：A = 书法24人，B = 绘画31人，重叠C = 9人（两个社团都报名）。求“报名书法或绘画”的总人数，属于类型一，用公式 A + B − C。 图5 书法与绘画社团报名人数韦恩图 详解： 方法一（韦恩图分区）： 只报名书法 = 24 − 9 = 15（人） 只报名绘画 = 31 − 9 = 22（人） 两个都报名 = 9（人） 报名书法或绘画 = 15 + 9 + 22 = 46（人） 方法二（公式直接算）： 报名书法或绘画 = 24 + 31 − 9 = 46（人） 答：这个班报名参加书法社团或绘画社团的一共有46人。 方法点睛：两种方法结果一致。公式法计算快，韦恩图分区法看得清，建议都掌握。别忘了检验：15+9+22=46，与总数一致。 例3【类型二：求都不参加｜报刊订阅】 题目：三(5)班一共有48人。其中订阅《探索奥秘》的有19人，订阅《童话世界》的有27人，两种刊物都订阅的有7人。这个班两种刊物都没有订阅的有多少人？ 分析：先算出“至少订阅一种刊物”的人数（订阅《探索奥秘》或《童话世界》），再用全班总人数减去它，剩下的就是两种刊物都没订阅的人数。 图6 报刊订阅情况韦恩图 详解： 第一步：至少订阅一种刊物的人数 = 19 + 27 − 7 = 39（人） 第二步：两种都没订阅的人数 = 48 − 39 = 9（人） 综合列式：48 −（19 + 27 − 7）= 48 − 39 = 9（人） 答：这个班两种刊物都没有订阅的有9人。 方法点睛：求“都不参加”要分两步：先算“至少参加一个”，再用总数去减。不要用“总人数 − A − B”来算，那样会把重叠部分多减一次。 例4【类型三：求都参加（重叠）｜趣味运动会】 题目：三年级举行趣味运动会。三(3)班参加跳绳比赛的有33人，参加踢毽子比赛的有26人，全班48人每人至少参加了一项比赛。两项比赛都参加的有多少人？ 分析：A = 跳绳33人，B = 踢毽26人。每人至少参加一项，说明“参加跳绳或踢毽”的总人数就是全班48人。求重叠C，属于类型三。 图7 趣味运动会参赛情况韦恩图 详解： 33 + 26 = 59（人），59 > 48，说明有人两项比赛都参加了（被重复计算了）。 两项都参加的人数 = 33 + 26 − 48 = 59 − 48 = 11（人） 答：两项比赛都参加的有11人。 方法点睛：已知A、B和“至少参加一项”的总人数，求重叠，用公式变形：重叠C = A + B − 至少参加一项人数。注意：这里的48人是“至少参加一项”的人数（因为每人至少一项），不是含“都不参加”的人。 例5【整除计数应用｜能被2或5整除的数】 题目：在1～90中，能被2或5整除的数有多少个？ 分析：A = 能被2整除的数，B = 能被5整除的数，重叠C = 既能被2又能被5整除的数，也就是能被10整除的数（因为2×5=10）。 图8 1～90中能被2或5整除的数的韦恩图 详解： 能被2整除：90 ÷ 2 = 45（个） 能被5整除：90 ÷ 5 = 18（个） 能同时被2和5整除（能被10整除）：90 ÷ 10 = 9（个） 能被2或5整除 = 45 + 18 − 9 = 54（个） 答：能被2或5整除的数有54个。 方法点睛：整除计数中，重叠部分是能同时被两个数整除的数。像2和5这样相乘正好能同时整除两个数的，重叠部分就是能被它们的乘积整除的数。取整数商时只去尾、不四舍五入。 例6【类型四：求只参加一项｜游泳与骑车】 题目：三(1)班同学参加暑期游泳和骑自行车训练。参加游泳训练的有20人，参加骑自行车训练的有17人，两项都参加的有6人。（1）参加训练的一共有多少人？（2）只参加游泳训练的有多少人？（3）只参加骑自行车训练的有多少人？ 分析：A = 游泳20人，B = 骑车17人，重叠C = 6人。先求“参加训练的总人数”（至少参加一项），再分别求只参加一项的人数，属于类型四。 图9 游泳与骑车训练情况韦恩图 详解： （1）参加训练的总人数 = 20 + 17 − 6 = 31（人） （2）只参加游泳训练 = 20 − 6 = 14（人） （3）只参加骑自行车训练 = 17 − 6 = 11（人） 验证：14 + 6 + 11 = 31（人），与总人数一致。 答：参加训练的一共有31人；只参加游泳训练的有14人；只参加骑自行车训练的有11人。 方法点睛：“只参加一项” = 这项的总人数 − 重叠人数。韦恩图中“只A、只B、重叠C”三个区域相加，正好等于至少参加一项的总人数，可以用来检验。 七、方法总结表 表6 方法总结表 题型 已知条件 核心公式 检验要点 求合并总量 A、B、重叠C 总量 = A + B − C 只A = A−C ≥ 0，只B = B−C ≥ 0 求都不参加 总人数、A、B、重叠C 都不参加 = 总人数 −（A + B − C） 至少参加一项 ≤ 总人数 求都参加（重叠） A、B、至少参加一项人数 重叠C = A + B − 至少参加一项人数 C ≤ A 且 C ≤ B 求只参加一项 A、B、重叠C 只A = A − C；只B = B − C 只A + 只B + C = 至少参加一项 整除计数 范围1～N、除数a、b 能被a或b整除 = N÷a + N÷b − N÷(a×b)（取整） 取整数商，不四舍五入 拼接 / 焊接长度 两段长度、重叠长度 拼接后总长 = 段1 + 段2 − 重叠长 重叠长 ≤ 每段长度 八、解题口诀 包含排除记得牢，两量相加减重叠； 先把A和B相加，减去重叠就没错； 韦恩图画两个圈，相交部分是重叠； 只A等于A减C，只B等于B减C； 求都不参加怎么算，总数减去至少一项； 求都参加也不难，A加B减至少一项； 整除计数用容斥，a的个数加b个数， 减去同时被整除，取整商数别忘记； 拼接重叠也一样，两段相加减重叠； 画圈标数是关键，数据清楚不出错； 算完检验三区域，只A只B加重叠！ 九、习题分层训练 按由易到难分为A、B、C三组，请先独立完成，再对照第十部分的答案与解析。 A组｜基础过关 A1. 学校举行“故事大王”和“数学口算”两项比赛。三(1)班参加“故事大王”比赛的有18人，参加“数学口算”比赛的有15人，两项比赛都参加的有6人。这个班参加比赛的一共有多少人？ A2. 小军有两根绳子，一根长28厘米，另一根长35厘米。他把两根绳子接成一根长绳，接头处重叠了3厘米。接好后这根长绳长多少厘米？ A3. 三(3)班有40人。其中喜欢踢足球的有22人，喜欢打乒乓球的有19人，两项都喜欢的有9人。喜欢踢足球或打乒乓球的一共有多少人？ B组｜能力提升 B4. 三(4)班有45人。订《少年文艺》的有24人，订《小学生数学报》的有21人，两种都订的有10人。这个班两种刊物都没有订的有多少人？ B5. 三(4)班有42人参加秋游前的棋类统计，每人至少会一种棋。会下围棋的有25人，会下象棋的有28人。两种棋都会下的有多少人？ B6. 学校科技节上，参加航模展示的有20人，参加科学小实验展示的有26人，两个展示都参加的有8人。只参加航模展示的有多少人？只参加科学小实验展示的有多少人？ C组｜挑战冲刺 C7. 三(6)班共有52人。参加书法兴趣班的有26人，参加绘画兴趣班的有24人，有9人两个兴趣班都参加。既没有参加书法兴趣班也没有参加绘画兴趣班的有多少人？ C8. 在1～120中，能被3或5整除的数有多少个？ C9.（思维拓展）某班有50名学生。参加语文组的有30人，参加数学组的有25人，参加英语组的有20人。参加语文和数学的有14人，参加语文和英语的有10人，参加数学和英语的有8人，三科都参加的有2人。至少参加一个小组的有多少人？三个小组都没有参加的有多少人？ 提示：C9是“三量容斥”。三个圆圈相交，先加三科人数，减去两两重复的，再加上三科都参加的人数，如图10所示。 图10 三量（三科）韦恩图示意 十、参考答案与详细解析 A组｜基础过关 A1. 27人。解析：参加比赛总人数 = 18 + 15 − 6 = 27（人）。 A2. 60厘米。解析：接好后长绳 = 28 + 35 − 3 = 60（厘米）。 A3. 32人。解析：喜欢足球或乒乓球 = 22 + 19 − 9 = 32（人）。 B组｜能力提升 B4. 10人。解析：至少订一种 = 24 + 21 − 10 = 35（人）；两种都没订 = 45 − 35 = 10（人）。综合：45 −（24 + 21 − 10）= 10（人）。 B5. 11人。解析：每人至少会一种棋，所以“至少会一种”的总人数 = 42人。两种棋都会 = 25 + 28 − 42 = 11（人）。 B6. 只参加航模12人，只参加科学小实验18人。解析：只参加航模 = 20 − 8 = 12（人）；只参加科学小实验 = 26 − 8 = 18（人）。验证：12 + 8 + 18 = 38（人），等于参加展示的总人数（20 + 26 − 8 = 38人）。 C组｜挑战冲刺 C7. 11人。解析：至少参加一个兴趣班 = 26 + 24 − 9 = 41（人）；两个都没参加 = 52 − 41 = 11（人）。综合：52 −（26 + 24 − 9）= 11（人）。 C8. 56个。解析：能被3整除：120÷3 = 40（个）；能被5整除：120÷5 = 24（个）；能同时被3和5整除（能被15整除）：120÷15 = 8（个）。能被3或5整除 = 40 + 24 − 8 = 56（个）。 C9. 至少参加一个小组45人，三个小组都没有参加5人。解析：三量容斥公式：至少参加一个 = A + B + C −（AB + AC + BC）+ ABC = 30 + 25 + 20 −（14 + 10 + 8）+ 2 = 75 − 32 + 2 = 45（人）；三个小组都没参加 = 50 − 45 = 5（人）。 十一、本讲小结 1. 容斥原理的核心：两部分合在一起的总量 = A + B − 重叠部分C。因为重叠部分被算了两次，合起来时必须减去一次。 2. 韦恩图三区域：只A = A − C；只B = B − C；重叠 = C；至少参加一项 = 只A + 只B + C = A + B − C。 3. 四类基本题型： （1）求合并总量：总量 = A + B − C； （2）求都不参加：都不参加 = 总人数 −（A + B − C）； （3）求都参加（重叠）：重叠C = A + B − 至少参加一项人数； （4）求只参加一项：只A = A − C；只B = B − C。 4. 整除计数：能被a或b整除 = N÷a + N÷b − N÷(a×b)（取整数商）；不能被a、b中任何一个整除 = N − 能被a或b整除的个数。 5. 解题流程：读题找A、B、重叠 → 画韦恩图标数据 → 判断题型选公式 → 列式计算 → 检验三区域。 十二、易错警示 + 学习建议 易错警示 1. 直接把A和B相加，忘记减去重叠部分。正确：A + B − C，重叠部分被算了两次，必须减去一次。 2. 混淆“参加A或B”和“只参加A”。正确：“参加A或B”= A + B − C（至少参加一个）；“只参加A”= A − C。 3. 求“都不参加”时，直接用总人数 − A − B。正确：都不参加 = 总人数 −（A + B − C），要先算至少参加一项的人数。 4. 求重叠C时，误用全班总人数。正确：重叠C = A + B − 至少参加一项的人数。只有当每人至少参加一项时，“至少参加一项”才等于全班总人数。 5. 整除计数时，把能同时被a和b整除的数算成 N÷a + N÷b。正确：能同时被a和b整除 = N÷(a×b)，取整数商。 6. 韦恩图里把“只A”区域标成A。正确：只A = A − C，只B = B − C，两个圆圈相交的部分才是C。 7. 整除计数取商时四舍五入。正确：只取整数商（去尾法），如 120÷15 = 8，100÷3 取33个。 8. 拼接问题把两段长度直接相加。正确：拼接后总长 = 两段长之和 − 重叠部分长。 学习建议 1. 拿到题目先画韦恩图，把A、B、重叠三个区域标清楚，数据一目了然。 2. 做题前先判断题型：求合并总量、求都不参加、求都参加（重叠）、求只参加一项，分别对应不同公式。 3. 区分“至少参加一项”和“全班总人数”：前者不包含“都不参加”的人，后者包含。 4. 整除计数问题，先分别算出各类数量，再用容斥公式，注意取整数商。 5. 做完题后检验：只A、只B、重叠C三个数都不为负，且相加等于至少参加一项的人数。 6. 拼接、重叠面积等生活问题，理解“重叠部分被算了两次”的本质，就不会忘记减。 7. 学有余力的同学可以试一试三量容斥（三个圆圈相交），为以后的学习打下基础。 包含与排除真奇妙，两量相加减重叠，韦恩图来帮你忙！计数问题不再难！ 祝贺你完成第15讲的学习！ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $