2.3.2 圆的一般方程-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，课前通过自主预习落实基础，衔接圆的标准方程，课堂采用梯度进阶式教学，从概念理解到方程互化再到实际应用，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于通过“思维建模”总结判断方法与解题步骤，培养数学思维，结合圆拱桥等实际问题引导学生用数学眼光观察现实世界。题型分层且实例丰富，助力学生用数学语言表达，既提升学生解题能力，又为教师提供系统教学资源。

2.3.2 圆的一般方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解圆的一般方程及其特点，能进行圆的一般方程与标准方程的互化. 2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(______________)称为圆的一般方程.圆心为________________，半径为__________________. D2+E2-4F>0   2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F>0 表示以为圆心， 为半径的圆 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 |微|点|助|解| (1)圆的一般方程形式上的特点 ①x2，y2的系数均为1； ②没有xy项； ③D2+E2-4F>0. (2)在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但配方后却有着明确的几何意义，表示圆心， 表示半径. (3)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(　　) (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.(　　) (3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆，则E≠0.(　　) (4)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　) √ √ × × 2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 (　　) A.(-1，2)，3 B.(1，-2)，3 C.(-1，2)，1 D.(1，-2)，1 解析:将圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=9， 所以圆心坐标为(-1，2)，半径为3. √ 3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆，则m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2) B.(-2，2) C.[-2，2] D.(-∞，-2)∪(2，+∞) √ 解析:法一:配方法　将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程为+(y-1)2=-2.由该方程表示圆可得-2>0，解得m<-2或m>2. 法二:判别式法　由圆的一般方程表示圆的条件得m2+(-2)2-4×3>0，即m2-8>0，解得m<-2或m>2. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　圆的一般方程的概念 [例1]　已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆. (1)求t的取值范围； 解:由题意，方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示圆， 则满足D2+E2-4F=(t+1)2+t2-4(t2-2)=2t+9>0，解得t>-， 即t的取值范围为. (2)若圆的直径为6，求t的值. 解:由圆的直径为6，可得r= = =3， 解得t=. |思|维|建|模| 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. [提醒]　在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数. 针对训练 1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 (　　) A.(-6，+∞) B.[-6，+∞) C.(-∞，6] D.(-∞，6) 解析:由方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0可得(x+k)2+(y-2)2=6-k，所以当r=>0时表示圆，解得k<6. √ 2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆，当半径最小时，方程为(　　) A.x2+=1 B.x2+(y-1)2=2 C.x2+= D.x2+= √ 解析:由题意得a=0，则x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0，x2+=1+b2+，则r2=1+b2+=b2-b+，对称轴为b=，代入得最小值为，此时圆的方程为x2+=. 题型(二)　求圆的一般方程 [例2]　已知圆过P(4，-2)，Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程. 解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0　①， 将P，Q坐标代入①得 令x=0，由①得y2+Ey+F=0　④，据题设知|y1-y2|=4，其中y1，y2是④的两根.所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，　⑤解由②③⑤组成的方程组得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. 若本例条件变为圆过A(4，2)，Q(-1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程. 变式拓展 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0，得x2+Dx+F=0，所以x1+x2=-D. 令x=0，得y2+Ey+F=0，所以y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2，即D+E+2=0　①. 又因为圆过点A，Q，所以16+4+4D+2E+F=0　②. 1+9-D+3E+F=0　③. 解①②③组成的方程组得D=-2，E=0，F=-12. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. |思|维|建|模| 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组. (3)解此方程组，求出D，E，F的值. (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 针对训练 3.已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l:2x-y-3=0上，则圆C的方程为 (　　) A.x2+y2-6x-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0 C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0 √ 解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标为， 因为圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l:2x-y-3=0上， 所以解得 所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0. 4.已知A(0，0)，B(2，0)，C(2，-2)，D(m，-1)四点共圆，则实数m的值为 (　　) A.±1 B.+1 C.-1 D.1± √ 解析:设过四点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，将A(0，0)，B(2，0)，C(2，-2)代入可得 解得所以圆的方程为x2+y2-2x+2y=0，将D(m，-1)代入圆的方程得m2-2m-1=0，解得m=1±，故选D. [例3]　某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为10 m，上面载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥? 题型(三)　与圆有关的实际应用问题 解:以圆拱桥的横截面与水面的交线所在的直线为x轴，过圆拱最高点且垂直于水面的直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，设圆拱所在圆的圆心坐标为(0，a)，半径为r(r>0)，则圆的方程为x2+(y-a)2=r2. 分别将点(0，5)，(15，0)代入上式，得 解得∴圆的方程为x2+(y+20)2=625.∵船宽为10 m，水面到船顶高为4 m，∴判断该船能否通过该桥，即判断点(5，4)与圆的位置关系.∵52+(4+20)2=601<625，∴点(5，4)在圆内，故该船能顺利通过该桥. 　|思|维|建|模|　解决与圆有关的实际问题的步骤 5.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形(长、宽分别为8 m、4 m)和圆弧构成，截面总高度为6 m，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度|AB|=6 m. (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； 针对训练 解:以圆弧的顶点O为坐标原点，为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，故圆心在y轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为x2+y2+Ey=0，易知，点(4，-2)在圆上，将(4，-2)的坐标代入圆的一般方程得16+4-2E=0，E=10，则该圆弧所在圆的一般方程为x2+y2+10y=0. (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米? 解:令x=3代入圆的方程得y2+10y+9=0，解得y=-1或y=-9(舍去)， 由于隧道的总高度为6米，且6-1-0.5=4.5(米)， 因此，车辆通过隧道的限制高度为4.5米. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 解析:根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0，所以m>-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为 (　　) A.4，-6 B.-4，-6 C.-4，6 D.4，6 √ 解析:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(-2，3)，∴-=-2， -=3，∴D=4，E=-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析:因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆，又方程可化为+(y-a)2=-a2-3a，故圆心坐标为，r2=-a2-3a.又r2>0，即-a2-3a>0，解得-4<a<0，故该圆的圆心在第四象限.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.圆心在射线y=x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为(　　) A.x2+y2-8x-6y=0 B.x2+y2-6x-8y=0 C.x2+y2+8x+6y=0 D.x2+y2+6x+8y=0 √ 解析:因为圆心在射线y=x(x≤0)上，故设圆心为(a≤0)，又半径为5，且经过坐标原点，所以 =5，解得a=-4或a=4(舍去)，即圆的圆心坐标为(-4，-3)，则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25，即x2+y2+8x+6y=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知圆C上有三个点A(0，)，B(2，)，C(1，0)，则圆C的面积为(　　) A.π B.π C.π D.π √ 解析:由题意，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∴解得D=-2，E=-，F=1， 故圆的一般方程为x2+y2-2x-y+1=0⇔(x-1)2+=， 故圆的半径r=，圆的面积S=πr2=π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A，B，C，D四点，其中A(-2，0)，B(0，-3)，点C在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为，则圆E的方程为(　　) A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6 C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设C(c，0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD=(c+2)(d+3)=. 又因为|OA|·|OC|=2c=|OB|·|OD|=3d，解得c=3，d=2(舍负)， 因此圆心E，r2=，圆E的方程为+=， 即x2+y2-x+y=6，故B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知两点A(-1，0)，B(0，2)，点P是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是 (　　) A.2，(4-) B.(4+)，(4-) C.，4- D.(+2)，(-2) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:将圆方程化为标准方程得(x-1)2+y2=1，所以圆心(1，0)到直线AB:2x-y+2=0的距离为d=，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是+1，最小值是-1，又|AB|= ，故△PAB面积的最大值和最小值分别是(4+)，(4-). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若点P(1，1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是_____________.  解析:易知解得-2<k<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知圆C:x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称，则圆心C的坐标为_____________.  解析:由已知得4+m2-16>0，解得m>2或m<-2，圆C:(x+1)2+=-3，圆心为， 若圆C关于直线x+2y-3=0对称，则-1-×2-3=0， 解得m=-4，所以圆心C坐标为(-1，2). (-1，2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为___________________.  解析:因为圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C 在直线x+y-1=0上，所以---1=0，即D+E=-2，① 又r= =，所以D2+E2=20，②　 联立①②可得或又圆心在第二象限， 所以-<0，D>0，所以故所求的圆的方程为x2+y2+2x-4y+3=0. x2+y2+2x-4y+3=0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知直线l:ax+by-3=0经过点(a，b-2)，则原点到点P(a，b)的距离可以是_________________.  解析:由于直线l:ax+by-3=0经过点(a，b-2)，即a2+b(b-2)-3=0，即a2+(b-1)2=4，故P(a，b)在以(0，1)为圆心，2为半径的圆上，由于02+(0-1)2<4，即原点在该圆内，故|OP|∈[1，3]，则原点到点P(a，b)的距离可以是2. 2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围；(5分) 解:原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4，若方程表示一个圆， 则-m2+3m+4>0，解得-1<m<4，即实数m的取值范围是(-1，4). (2)求圆的周长的最大值.(5分) 解:圆的半径r==≤，当且仅当m=时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为5π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-4，0)，C(4，-4). (1)求△ABC外接圆O1的方程；(5分) 解:设△ABC外接圆O1的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 由已知可得方程组 解得 则圆O1的方程为x2+y2+2x+8y-8=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)判断点M1(3，-1)，M2(2，-3)是否在这个圆上.(5分) 解:圆O1的标准方程可化为(x+1)2+(y+4)2=25. 把点M1(3，-1)的坐标代入圆O1的方程，得(3+1)2+(-1+4)2=25， 即点M1的坐标满足圆O1的方程，所以点M1在这个圆上， 把点M2(2，-3)的坐标代入圆O1的方程得(2+1)2+(-3+4)2=10≠25， 即点M2的坐标不满足圆O1的方程，所以点M2不在这个圆上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)设△ABC的顶点坐标是A(0，a)，B(-，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程；(7分) 解:设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0，a)，B(-，0)，C(，0)，∴ 解得D=0，E=3-a，F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当a变化时，圆M是否过某一定点?请说明理由.(8分) 解:圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由 解得x=0，y=-3. ∴圆M过定点(0，-3). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $