1.2.5 空间中的距离-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间中的距离问题，系统讲解用向量方法求解两点间、点到直线、点到平面、平行直线及平行平面距离，通过课前自主落实概念，课堂分题型梯度进阶，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点是采用梯度进阶式教学，以思维建模总结解题步骤（如点到直线距离四步法）培养数学思维，结合直三棱柱、正方体等实例引导用数学眼光抽象空间关系，用向量语言表达距离公式。助力学生提升空间观念和运算能力，为教师提供结构化资源，便于分层教学。

1.2.5 空间中的距离 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 能用向量方法解决两点间的距离、点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.体会向量方法在解决几何问题中的作用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间中两点之间的距离、点到直线的距离 (1)空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的__________.因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，所以可通过向量来求空间中两点之间的距离. (2)点到直线的距离：给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条________，这条_______的长称为点A到直线l的距离.点到直线的距离也是这个点与直线上点的____________的长度. 线段长 垂线段 垂线段 最短连线 2.点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条_________，这条________的长称为点A到平面α的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的____________的长度. (2)若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向 量，则点A到平面α的距离d=_________. 垂线段 垂线段 最短连线 3.直线到平面的距离、平面到平面的距离 (1)一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离. (2)如果一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等. (3)当平面与平面平行时，一个平面内_____________到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. (4)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的________，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的_______________. (5)两个平行平面之间的距离，也等于它们的公垂线段的长. 任意一点 公垂线 公垂线段 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)设n是平面α的法向量，点A在平面α内，点B在平面α外，则点B到α的距离为d=.(　　) (2)已知平面α的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，点P(-2，1，4)到平面α的距离为，则x=-1.(　　) √ × 2.在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析：以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|==7. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　点到直线的距离 [例1]　如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1， AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的 距离. 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，B(0，0，0).直线A1C1的一个方向向量=(-4，3，0)，=(0，3，1)，所以点B到直线A1C1的距离d===. |思|维|建|模| 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离. 针对训练 1.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=1，BC=2， AA'=3，点M是AD的中点，求点M到直线B'D'的距离. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，M(1，0，0)， D'(0，0，3)，B'(2，1，3)，=(-1，0，3)， =(2，1，0)，所以点M到直线B'D'的距离为==. 题型(二)　点到平面的距离 [例2]　如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 上、下底面的中心，AB=AA1=2. (1)求平面PBC的一个法向量； 解：因为P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接OA，OB，OC，OP，所以OA，OB，OP两两互 相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，因为AB=AA1=2，所以OA=OC=OB =2，OP=AA1=2， 所以B(0，2，0)，C(-2，0，0)，P(0，0，2)， 所以=(0，2，-2)，=(-2，0，-2). 设平面PBC的一个法向量为m=(x，y，z)， 则⇒取z=1， 则x=-1，y=1，所以m=(-1，1，1)， 所以平面PBC的一个法向量为(-1，1，1). (2)求点O到平面PBC的距离. 解：由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1，1，1)，又=(0，2，0)， 所以点O到平面PBC的距离d===， 所以点O到平面PBC的距离为. |思|维|建|模| 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 针对训练 2.如图，将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成 直二面角，求点D到平面ABC的距离. 解：设O是BD的中点，连接OA，OC，由于折叠前四边形ABCD是正方形，边长为，所以OA=OB=OC=OD=1.依题意，平面ABD⊥平面BCD且交线为BD，OA⊂平面ABD，OA⊥BD，所以OA⊥平面BCD，由于OC⊂平面BCD，所以OA⊥OC， 则OA，OC，OD两两相互垂直， 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，1，0)，B(0，-1，0)，A(0，0，1)，C(1，0，0)，=(0，2，0)，=(0，1，1)， =(1，1，0)，设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)， 则故可设n=(1，-1，1)， 所以点D到平面ABC的距离为==. [例3]　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边 长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N， R分别是OA，BC，AD的中点.求： (1)直线MN与平面OCD的距离； 题型(三)　线面距与面面距 解：因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0， 0，1)，N(2，1，0)，R(0，1，0)， 因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD， 因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD，所以MR∥平面OCD， 因为AD∥BC且AD=BC，R，N分别为AD，BC的中点， 则CN∥RD且CN=RD， 所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN∥CD， 因为RN⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，所以RN∥平面OCD，因为MR∩RN=R，MR，RN⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD， 因为MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD， 设平面OCD的一个法向量为n=(x，y，z)，=(2，0，0)， =(0，-2，2)，则 取y=1，可得n=(0，1，1)，=(0，1，0)， 所以直线MN与平面OCD的距离为d1===. (2)平面MNR与平面OCD的距离. 解：因为平面MNR∥平面OCD，所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===. |思|维|建|模| 　　线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 3.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯 形，AB∥CD且∠ADC=90°，AD=1，CD=， BC=2，AA1=2，E是CC1的中点，求直线A1B1与 平面ABE的距离. 针对训练 解：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距离就是 点A1到平面ABE的距离.如图，以D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0).过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF=， ∴B(1，2，0)，∴=(0，2，0)，=(-1，-，1). 设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)， 则即 ∴y=0，x=z，不妨取n=(1，0，1). ∵=(0，0，2)，∴点A1到平面ABE的距离d===. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为 (　　) A.2 B. C.2 D.2 √ 解析：因为=(2，-1，2)，=(1，-2，4)，所以在上的投影数量为==4.设点C到直线AB的距离为d，则d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，=(-1，-1，2)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　) A.1 B. C. D. √ 解析：因为=(-1，-1，2)，平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，所以点A到平面α的距离为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以=，=(0，0，1)，所以在上的投影数量为==，所以点C1到直线EC的距离d= ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且=，N为B1B的中点，则||为(　　) A.a B.a C.a D.a √ 解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N. 设M(x，y，z).∵点M在上且=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴(x-a，y，z)=(-x，a-y，a-z)， ∴x=a，y=，z=.于是M. ∴||= =a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=6，点E，F分别为棱BB1，AC的中点，则点C1到平面A1EF的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：如图，取A1C1的中点G，连接FG，以F为坐标原点， FB，FC，FG所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则F(0，0，0)， A1(0，-1，6)，E(，0，3)，C1(0，1，6)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以=(0，-1，6)，=(，0，3)，=(0，1，6)，设平面A1EF的一个法向量为n=(x，y，z)，所以令z=1，解得x=-，y=6，所以平面A1EF的一个法向量为n=(-，6，1)，所以点C1到平面A1EF的距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，P是A1B1的中点，则点A到平面MNP的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AM，则A(0，0，0)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，P(1，0，2)，所以=(-1，2，-1)，=(0，1，-2)，=(0，2，1)，设平面MNP的一个法向量为u=(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则令y=2，则x=3，z=1， 所以平面MNP的一个法向量u=(3，2，1)， 所以点A到平面MNP的距离为==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=6，AB，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三等分点，O为△BCD的重心，则O到直线EF的距离为(　　) A.2 B.1 C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(6，0，0)，C(0，6，0)，D(0，0，6)，E(3，0，0)，F(0，0，4)，得O(2，2，2)，=(-3，0，4)，取a==(-1，2，2)，u==(-3，0，4)=， 则a2=9，a·u=，所以点O到直线EF的距离为 =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在四棱锥S-ABCD中，=(4，-1，0)，=(0，3，0)，= (-3，1，-5)，则这个四棱锥的高h为__________.  解析：设平面ABCD的一个法向量为n=(x，y，z)，则所以x=y=0，所以取n=(0，0，1)， 所以此四棱锥的高h===5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，2，1)，B(2，1，m)，C(0，1，2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：______________________________________.  解析：因为=(1，-1，m-1)，=(-1，-1，1)，所以点C到直线AB的距离d==≥，解得1-≤m≤1+. 1(答案不唯一，只要1-≤m≤1+即可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为__________.  解析：因为B1D1∥BD，B1D1⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1，又B1D1∩AD1=D1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两平行平面间的距离 等于点B到平面AB1D1的距离.如图，以D为坐标 原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)， B(a，a，0)， C(0，a，0)，A1(a，0，a)， a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B1(a，a，a)，D1(0，0，a)，则=(0，a，a)，=(-a，-a，0)，=(0，-a，0).设平面AB1D1的一个法向量为n=(x，y，z)，则即令x=1，则y=-1，z=1，则n=(1，-1，1)，则点B到平面AB1D1的距离d===a，所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为_________.  解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，取BC中点为E，连接EO，EP，则EP⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，以点E为原点，分别以，，为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 且底面ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形，则D(2，1，0)，M(1，-1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)，则N，O(1，0，0)，则=，=，=(1，1，0).设平面DMN的一个法向量为n=(x，y，z)，则 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得令z=7，则y=-，x=2，所以n=(2，-，7)，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离，则d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，A'(0，0，2)，B'(1，0，2)，D'(0，2，2)，E和F分别是棱DD'和BB'的中点，求CE与A'F之间的距离. 解：因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点， 则E(0，2，1)，F(1，0，1).又=(-1，0，1)， =(1，0，-1)，且直线CE与A'F无公共点，所以CE∥A'F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又因为=(-1，0，1)，=(0，2，-1)， 所以在上的投影数量为===. 所以点F到直线CE的距离d===. 因此CE与A'F之间的距离为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°，求点D到平面ACE的距离. 解：取AB的中点O，连接OE.因为△AEB是等腰 直角三角形，所以OE⊥AB，OE=OA=1.由已知得， 平面ABCD⊥平面AEB，平面ABCD∩平面 AEB=AB，所以OE⊥平面ABCD.以O为坐 标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 (其中z轴平行于BC)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则C(0，1，2)，A(0，-1，0)，E(1，0，0)，D(0，-1，2)， 所以=(0，0，2)，=(1，1，0)，=(0，2，2). 设平面ACE的一个法向量为n=(x，y，z)，则 即令y=1，∴n=(-1，1，-1).故点D到平面ACE的距离d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图，已知ABCD是矩形，点P为平面ABCD 外一点，PA⊥平面ABCD，若点E为PB的中点， PA=AB=1，BC=2. (1)求证：AE⊥平面PBC；(7分) 解：证明：已知ABCD是矩形，所以AB⊥AD， 又PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD，如图，以A为原点， AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立 空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，E，所以=，=(0，2，0)，=(1，0，-1)， 则·=0+0+0=0，·=+0-=0， 故AE⊥BC，AE⊥PB，又BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC， 所以AE⊥平面PBC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在边BC上是否存在一点G，使点D到平面PAG的距离为?若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由.(8分) 解：设G(1，a，0)且a∈[0，2]， 设平面PAG的一个法向量为n=(x，y，z)， 又=(0，0，1)，=(1，a，0)， 则解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 令y=1，则n=(-a，1，0)， 又=(0，2，0)，则点D到平面PAG的距离为==， 整理得a2=1， 解得a=1或a=-1(舍去)，故BG=||=1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $