第1章 1.2.4 二面角（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦二面角的概念、平面角定义及求法，涵盖几何法、面积法、向量法。以黄道面与赤道面夹角的星座由来导入，衔接空间向量基础，构建从概念到多方法求解的学习支架。 其亮点在于通过生活情境培养数学眼光，多种方法对比训练数学思维，向量法坐标运算强化数学语言。如几何法“一作二证三计算”，面积法射影公式，向量法建系求法向量。助力学生发展空间观念和解题能力，为教师提供系统教学资源和多样化教学方法。

1.2.4 二面角 第一章　 §1.2　空间向量在立体几何中的应用 <<< 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角. 2.掌握求二面角的基本方法. 学习目标 导 语 同学们，大家可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你们知道十二星座的由来吗？ 我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面夹角(二面角的平面角)约为23°26'，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来，今天我们研究的问题便是二面角的平面角问题. 一、几何法求二面角的大小 二、二面角与面积之间的联系 课时对点练 三、向量法求二面角的大小 随堂演练 内容索引 几何法求二面角的大小 一 提示　①概念的不同.二面角：是由一条直线出发的两个半平面组成的图形；两个平面所成的角：两个平面相交时，形成四个二面角，其中不小于0°且不大于90°的角称为两个平面所成的角. ②范围的不同.二面角θ的范围：0≤θ≤π，两个平面所成的角θ的范围：0≤θ≤. 二面角与两个平面所成的角有何区别？ 问题1 1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 ，如图中的α，β. 两个半平面 棱 面 知识梳理 2.二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的 .二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的_______ .特别地，平面角是直角的二面角称为 . 平面角 平面角 大小 直二面角 3.二面角的范围：[0，π]. 4.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. 　(课本例2)如图所示三棱锥𝑆－𝐴𝐵𝐶中，平面𝑆𝐴𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝑆𝐴＝𝑆𝐶＝，AB＝BC＝2，且AB⊥BC，求二面角S－AB－C的大小. 例 1 10 设O，E分别为AC，AB的中点，连接SO，OE，SE，如图所示. 因为SA＝SC，所以SO⊥AC，又因为平面SAC⊥平面ABC，所以SO⊥平面ABC， 因此SE在平面ABC内的射影为OE.又因为OE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥OE，从而由三垂线定理可知AB⊥SE，因此∠SEO为二面角S－AB－C的一个平面角. 由AB＝BC＝2且AB⊥BC可知 AC＝＝2， 解 11 又因为SO＝＝1， 而且EO＝BC＝1，从而可知∠SEO＝45°， 即所求二面角大小为45°. 解 12 　已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A－BC－D的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° 例 1 √ 如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝a， ∴∠AED是二面角A－BC－D的一个平面角. 又∵AD＝a，∴∠AED＝60°， 即二面角A－BC－D的大小为60°. 解析 13 (1)利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角的大小. (2)作二面角的平面角的方法 ①定义法；②垂线法；③垂面法. 反 思 感 悟 14 　若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P－BC－A的大小为　　　.  跟踪训练 1 90° 取BC的中点O，连接PO，AO(图略)， 则∠POA就是二面角P－BC－A的一个平面角. 又PO＝AO＝，PA＝， 所以∠POA＝90°. 解析 15 二 二面角与面积之间的联系 提示　作AD⊥BC，则A'D为AD在平面α上的射影，由三垂线定理的逆定 理可知A'D⊥BC，则∠ADA'＝θ，故有cos θ＝. 如图，△ABC在平面α上的射影为△A'BC，二面角A－BC－A'的大小为θ，则cos θ，S△ABC，S△A'BC之间有什么样的关系？ 问题2 已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S'， 平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则 .  cos θ＝ 知识梳理 　已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－PA－C的余弦值. 例 2 19 方法一　如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.因为PC⊥平面ABC， PC⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC. 又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC， 所以BE⊥平面PAC，所以BE⊥PA. 由三垂线定理有BF⊥PA， 所以∠BFE是二面角B－PA－C的一个平面角. 设PC＝1，由E是AC的中点， 解 20 得BE＝，EF＝sin 45°＝，所以BF＝， 所以cos∠BFE＝. 所以二面角B－PA－C的余弦值为. 方法二　(利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE. 因为PC⊥平面ABC， PC⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABC， 又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC， 解 21 所以BE⊥平面PAC， 所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影. 设PC＝1，则PA＝PB＝，AB＝1， 所以在△PAB中，AB边上的高h＝， 所以S△PAB＝.又S△PAE＝S△PAC＝. 设二面角B－PA－C的大小为θ， 由射影面积公式有cos θ＝. 所以二面角B－PA－C的余弦值为. 解 22 对射影面积公式的理解 (1)来源：三垂线定理. (2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者能求出. (3)优势：不需要作出二面角的平面角. 反 思 感 悟 23 四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为 　 　.  跟踪训练 2 或 24 △MPD在平面ABCD上的射影为△ABD，易得S△ABD＝2， 设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为θ， 当M，P在平面ABCD同侧时，S△MPD＝， ∴cos θ＝； 当M，P在平面ABCD异侧时，S△MPD＝， ∴cos θ＝， 则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为. 解析 25 向量法求二面角的大小 三 提示　两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等或互补；如图(1)，θ＝〈n1，n2〉，此时相等；如图(2)，θ＝π－〈n1，n2〉，此时互补. 如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？ 问题3 设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ. θ＝ 或θ＝ ， sin θ＝sin〈n1，n2〉. 〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉 知识梳理 (1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cos θ＝|cos〈n1，n2〉| ＝. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 注 意 点 <<< 29 (课本例3)如图所示，已知四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且SA＝AB＝BC＝3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 例 3 30 依题意，AD，AB，AS两两互相垂直.以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0，0，0)，S(0，0，3)，C(3，3，0)，D(1， 解 0，0)，所以＝(1，0，0)，＝(－1，0，3)，＝(2，3，0). 显然，是平面SAB的一个法向量. 设平面SCD的一个法向量n＝(x，y，z)，则 令x＝3，可得y＝－2，z＝1，此时n＝(3，－2，1). 31 因为cos〈，n〉＝， 所以可知所求角的正弦值为. 解 32 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小. 例 3 33 方法一　如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，取AD的中点F，连接EF，EO，FO， 则C(b，0，0)，B(0，a，0)，P(0，0，a)， ∵，∴D(b，－a，0)， ∴E，O， ＝(b，0，0). 解 34 ∵·＝0， ∴⊥，即OE⊥AC， 又·＝0. ∴⊥，即OF⊥AC. ∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD所成角. cos〈〉＝. ∴平面EAC与平面ABCD所成的角为45°. 方法二　建系如方法一， 解 35 ∵PA⊥平面ABCD， ∴＝(0，0，a)为平面ABCD的法向量， ＝(b，0，0). 设平面AEC的一个法向量为m＝(x，y，z). 由 ∴x＝0，y＝z.取m＝(0，1，1)， cos〈m，〉＝. ∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°. 解 36 利用坐标法求二面角的步骤 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图.用坐标法解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的 法向量n1，n2. (3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos θ＝. (4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 反 思 感 悟 37 (2024·新课标全国Ⅱ)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F分别满足 ，，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4. (1)证明：EF⊥PD； 跟踪训练3 38 由AB＝8，AD＝5， ， 得AE＝2，AF＝4， 又∠BAD＝30°，在△AEF中， 由余弦定理得 EF＝ ＝＝2， 所以AE2＋EF2＝AF2， 证明 39 则AE⊥EF，即EF⊥AD， 所以EF⊥PE，EF⊥DE， 又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE， 所以EF⊥平面PDE， 又PD⊂平面PDE， 故EF⊥PD. 证明 40 (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 41 连接CE，由∠ADC＝90°， ED＝3，CD＝3， 则EC2＝ED2＋CD2＝36， 在△PEC中，PC＝4， PE＝2，EC＝6， 得EC2＋PE2＝PC2， 所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF， 又EC∩EF＝E，EC，EF⊂平面ABCD， 解 42 所以PE⊥平面ABCD， 又ED⊂平面ABCD， 所以PE⊥ED， 则PE，EF，ED两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，3，0)，C(3，3，0)， F(2，0，0)，A(0，－2，0)， 由F是AB的中点，得B(4，2，0)， 解 43 所以＝(3，3，－2)， ＝(0，3，－2)， ＝(4，2，－2)， ＝(2，0，－2)， 设平面PCD和平面PBF的法向量分别为 n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)， 则 解 44 令y1＝2，x2＝， 得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1， 所以n＝(0，2，3)，m＝(，－1，1)， 设平面PCD和平面PBF所成的二面角为θ， 所以|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝， 则sin θ＝， 即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为. 解 45 1.知识清单： (1)几何法求二面角的大小. (2)二面角与面积之间的联系. (3)向量法求二面角的大小. 2.方法归纳：数形结合、转化、代入法. 3.常见误区：二面角的大小与两个平面法向量夹角间的关系易混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β所成角的余弦值为 A.－ B. C. D.以上都不对 √ 因为向量n1与n2的夹角θ满足cos θ＝＝－，故平面α与β夹角的余弦值等于. 解析 1 2 3 4 2.如图，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别于E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为 A. B. C. D. √ 截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD， ∴cos 30°＝，∴，∴SABEF＝. 解析 1 2 3 4 3.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成角的余弦值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 设PA＝AB＝1，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)， ＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1)， 设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得m＝(0，1，1)， 解析 1 2 3 4 易知平面ABP的一个法向量为n＝(0，1，0)， 设平面ABP与平面CDP所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝. 解析 1 2 3 4 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为　 　. 连接AC交BD于点O，如图所示， 因为OA1⊥BD，AC⊥BD， 所以∠A1OA即为二面角A1－BD－A的一个平面角， 在Rt△A1OA中，设AA1＝a， 则AO＝a，tan∠A1OA＝， 所以二面角A1－BD－A的正切值为. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AB B A B C A 题号 11 12 13 14 　15 答案 D C 　B　 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知AB，AD，AF两两互相垂直，如图所示，以点A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设AB＝1，依题意得A(0，0，0)，C(1，1，0)， D(0，2，0)，E(0，1，1)，M. 则＝(－1，0，1)，＝(0，2，0)， 可得·＝0，·＝0. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此，CE⊥AM，CE⊥AD. 又AM∩AD＝A，AM，AD⊂平面AMD， 故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE， ∴平面AMD⊥平面CDE. (2)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)， 由(1)知＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)， 则 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝1，可得y＝1，z＝1，即u＝(1，1，1). 又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1). ∴cos〈u，v〉＝. ∵二面角A－CD－E为锐角，∴其余弦值为. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面A1D1DA， 因为AB∥A1B1，所以A1B1⊥平面A1D1DA， 又因为A1D⊂平面A1D1DA， 所以A1B1⊥A1D，即∠B1A1D＝90°. (2)如图，取AD的中点O，连接A1O， 因为A1A＝A1D，所以A1O⊥AD， 又因为平面A1D1DA⊥平面ABCD， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD， 所以A1O⊥平面ABCD， 所以A1O为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高， 设AB＝a，则AD＝2a，OA1＝a， 所以四棱柱的体积 V＝S矩形ABCD×OA1＝a×2a×a＝2a3＝2，解得a＝1. 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，M(1，0，0)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)， ＝(1，0，－1)， 因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D， 又A1D⊥A1A，A1A∩AB＝A， 所以A1D⊥平面A1B1BA， 所以平面AA1B的一个法向量为n1＝＝(0，1，－1)， 设平面A1BM的法向量为n2＝(x，y，z)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 令x＝1，则n2＝(1，0，1). 设二面角A－A1B－M的一个平面角为θ， 则|cos θ|＝， 所以sin θ＝， 即二面角A－A1B－M的正弦值为. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为PA⊥平面ABCD， 而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以AD∥平面PBC. (2)方法一　以D为原点，的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设AD＝p，DC＝q， 满足p2＋q2＝AC2＝4. 则A(p，0，0)，P(p，0，2)，C(0，q，0)，D(0，0，0). 设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为＝(0，0，2)，＝(－p，q，0)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 取m＝(q，p，0). 设平面DPC的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为＝(p，0，2)，＝(0，q，0)， 所以 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取n＝(2，0，－p). 所以|cos 〈m，n〉|＝ ＝， 又因为p2＋q2＝4，所以， 解得p＝(负值舍去)，即AD＝. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图所示，过点D作DE⊥AC于点E， 再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD， 又平面PAC∩平面ABCD＝AC，DE⊂平面ABCD， 所以DE⊥平面PAC， 因为CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP， 又EF⊥CP，EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面DEF， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以CP⊥平面DEF， 所以DF⊥CP， 根据二面角的定义可知， ∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角， 即sin∠DFE＝，即tan∠DFE＝. 因为AD⊥DC，设AD＝x，0<x<2， 则DC＝， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由等面积法可得，DE＝， 又CE＝， 而△EFC为等腰直角三角形， 所以EF＝， 又DE⊥平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以DE⊥EF， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故tan∠DFE＝， 解得x＝，即AD＝. 基础巩固 1.(多选)若二面角α－l－β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角可能为 A.120° B.60° C.30° D.150° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°. 解析 √ 2.如图，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，二面角D'－AB－D的大小是 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AD'(图略)，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A'， 则AB⊥AD，AB⊥AD'， 所以∠D'AD为二面角D'－AB－D的一个平面角， 四边形ADD'A'为正方形， 据此可知∠D'AD＝45°， 即二面角D'－AB－D的大小是45°. 解析 3.在空间中，“经过点P(x0，y0，z0)，法向量为e＝(A，B，C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x，y，z)满足的关系)是：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0”.如果给出平面α的方程是x－y＋z＝1，平面β的方程 是＝1，则由这两平面所成的角的正弦值是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，平面α，β的法向量分别是m＝(1，－1，1)，n＝(1，－2，－1)，设平面α与平面β所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝， ∴sin θ＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设棱长为1，则A1(0，0，1)， E，D(0，1，0)， ∴＝(0，1，－1)，. 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(x，y，z)， 则有 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝1，∴∴n1＝(1，2，2). 易得平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， ∴|cos〈n1，n2〉|＝， 即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为. 解析 5.已知△ABC是正三角形，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，若S△PAB∶S△ABC＝2∶3，则二面角P－AB－C的大小为 A.30° B.45° C.60° D.120° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设二面角P－AB－C的大小为θ， 因为PA＝PB＝PC， 所以P在平面ABC上的射影O为△ABC的中心， 所以S△OAB＝S△ABC， 又S△PAB＝S△ABC， 所以cos θ＝，所以θ＝60°. 解析 6.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1上不含端点的一点，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为 A. B. C.2 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)， 设AD＝a(0<a<2)， 则点D的坐标为(1，0，a)， ∴＝(1，0，a)，＝(0，2，2). 设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)， 则令z＝－1， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得n＝(a，1，－1). 又平面C1DC的一个法向量为m＝(0，1，0)， ∴cos 60°＝， ∴a＝(负值舍去)，即AD＝. 解析 7.在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成 角的余弦值是　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知， D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，A(0，0，0)， 可知是平面SAB的一个法向量. 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 因为， 所以 令x＝2，则有y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1，1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面SCD与平面SAB所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，n〉|＝ ＝. 解析 8.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D－AB－F为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则等于　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取EF的中点H，连接BH，则∠DBH为FM与BD所成的角(或其补角). 由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2x，AF＝2y，x，y>0， 则B(0，2x，0)，D(0，0，2y)，H(2y，x，0)， 所以＝(2y，－x，0)，＝(0，－2x，2y)， 所以cos θ＝ . 解析 9.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD. (1)证明：平面AMD⊥平面CDE； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知AB，AD，AF两两互相垂直，如图所示，以点A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设AB＝1，依题意得A(0，0，0)，C(1，1，0)， D(0，2，0)，E(0，1，1)，M. 则＝(－1，0，1)，＝(0，2，0)， 可得·＝0，·＝0. 因此，CE⊥AM，CE⊥AD. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又AM∩AD＝A，AM，AD⊂平面AMD， 故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE， ∴平面AMD⊥平面CDE. 证明 (2)求二面角A－CD－E的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)， 由(1)知＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)， 则 令x＝1，可得y＝1，z＝1，即u＝(1，1，1). 又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1). ∴cos〈u，v〉＝. ∵二面角A－CD－E为锐角，∴其余弦值为. 解 10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD＝2AB，M为BC的中点，平面A1D1DA⊥平面ABCD，AA1⊥A1D且A1A＝A1D. (1)证明：∠B1A1D＝90°； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面A1D1DA， 因为AB∥A1B1，所以A1B1⊥平面A1D1DA， 又因为A1D⊂平面A1D1DA， 所以A1B1⊥A1D，即∠B1A1D＝90°. 证明 (2)若此四棱柱的体积为2，求二面角A－A1B－M的正弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AD的中点O，连接A1O， 因为A1A＝A1D，所以A1O⊥AD， 又因为平面A1D1DA⊥平面ABCD， 平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD， 所以A1O⊥平面ABCD， 所以A1O为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高， 设AB＝a，则AD＝2a，OA1＝a， 所以四棱柱的体积V＝S矩形ABCD×OA1＝a×2a×a＝2a3＝2，解得a＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，M(1，0，0)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)， ＝(1，0，－1)， 因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D， 又A1D⊥A1A，A1A∩AB＝A， 所以A1D⊥平面A1B1BA， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以平面AA1B的一个法向量为n1＝＝(0，1，－1)， 设平面A1BM的法向量为n2＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则n2＝(1，0，1). 设二面角A－A1B－M的一个平面角为θ， 则|cos θ|＝， 所以sin θ＝， 即二面角A－A1B－M的正弦值为. 解 11.如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则平面BCD与平面CDA所成角的余弦值为 A.2 B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，因为AB＝BC，所以BO⊥AC，又平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以BO⊥平面ACD，如图建立空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，C，B，D. 所以， . 设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令z＝1，得x＝，y＝1，则n＝(，1，1)， 易知平面CDA的一个法向量为， 所以|cos〈，n〉|＝. 即平面BCD与平面CDA所成角的余弦值为. 解析 12.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成角为θ，则cos θ的取值范围为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，CF⊂平面ACFE，CF⊥AC，所以CF⊥平面ABCD.以点C为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设FM＝λ(0≤λ≤)，则A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，故＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1). 设n1＝(x，y，z)为平面MAB的一个法向量， 由 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取x＝1，则n1＝(1，－λ). 因为n2＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量， 所以cos θ＝. 因为0≤λ≤，所以当λ＝0时，cos θ取得最小值； 当λ＝时，cos θ取得最大值， 所以cos θ的取值范围为. 解析 13.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC， 则二面角B1－A1C－C1的大小为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，建立空间直角坐标系， 则由题意可知B(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)， 设AC的中点为M，连接BM， 则M(1，1，0)，且BM⊥AC， 又由题意知BM⊥CC1， 又AC∩CC1＝C， 所以BM⊥平面A1C1C， 即＝(1，1，0)是平面A1C1C的一个法向量. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z). ＝(－2，2，－2)，＝(－2，0，0)， 所以 令z＝1，可得n＝(0，1，1). 设法向量n与的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角. 所以cos θ＝|cos φ|＝，解得θ＝， 所以二面角B1－A1C－C1的大小为. 解析 14.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为正方形，AB＝1，DS＝2，平面ASD⊥平面ABCD，SD⊥AD，点E为DC上的动点，平面BSE与平面ASD所成的角为θ， 则当θ取最小值时，三棱锥E－ASD的体积为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得DA，DS，DC两两相互垂直， 以点D为坐标原点，DA，DS，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1，0，1)，S(0，2，0)， 设E(0，0，t)，0≤t≤1， 所以＝(－1，2，－1)，＝(－1，0，t－1)， 设平面BSE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令z＝2，则x＝2t－2，y＝t，故n＝(2t－2，t，2)， 又平面ASD的一个法向量为m＝(0，0，1)， 所以cos θ＝|cos〈m，n〉|＝ ＝， 由于0≤t≤1，故当t＝－时，cos θ取得最大值，θ取得最小值， 此时DE＝，三棱锥E－ASD的体积为××2×1×. 解析 15.如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，E为棱AB的中点，点P在侧面CC'D'D上运动，当平面B'EP与平面ABCD，平面CC'D'D所成的角相等时，D'P的最小值为 A. B. C.2 D. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，建立空间直角坐标系Bxyz， 则B'(0，0，4)，E(2，0，0)，＝(2，0，－4). 设P(x，4，z)(0≤x≤4，0≤z≤4)， 则＝(x－2，4，z).易知平面ABCD和平面CC'D'D的一个法向量分别为 n1＝(0，0，1)，n2＝(0，1，0). 设平面B'EP的法向量为n3＝(a，b，c)， 则 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取c＝1，可得a＝2，b＝， 所以n3＝. 由题意，平面B'EP与平面ABCD，平面CC'D'D所成的角相等， 所以|cos〈n1，n3〉|＝|cos〈n2，n3〉|， 则，即|n1·n3|＝|n2·n3|， 所以1＝， 则2x＋z－8＝0或2x＋z＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在侧面CC'D'D上，直线2x＋z－8＝0过点D(4，4，0) 和C'D'的中点(2，4，4)， 在侧面CC'D'D上，直线2x＋z＝0只过点(0，4，0)， 即点C， 取G为C'D'的中点，连接GD，则点P在DG上运动或点P在点C处， 由等面积法可得D'P的最小值为. 解析 16.(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为PA⊥平面ABCD， 而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P， PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. 证明 (2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　以D为原点，的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设AD＝p，DC＝q， 满足p2＋q2＝AC2＝4. 则A(p，0，0)，P(p，0，2)，C(0，q，0)，D(0，0，0). 设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为＝(0，0，2)，＝(－p，q，0)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 取m＝(q，p，0). 设平面DPC的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为＝(p，0，2)，＝(0，q，0)， 所以 取n＝(2，0，－p). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|cos 〈m，n〉|＝＝， 又因为p2＋q2＝4，所以， 解得p＝(负值舍去)，即AD＝. 方法二　如图所示，过点D作DE⊥AC于点E， 再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又平面PAC∩平面ABCD＝AC，DE⊂平面ABCD， 所以DE⊥平面PAC， 因为CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP， 又EF⊥CP，EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面DEF， 所以CP⊥平面DEF， 所以DF⊥CP， 根据二面角的定义可知， ∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即sin∠DFE＝， 即tan∠DFE＝. 因为AD⊥DC，设AD＝x，0<x<2， 则DC＝， 由等面积法可得，DE＝， 又CE＝， 而△EFC为等腰直角三角形， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以EF＝， 又DE⊥平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以DE⊥EF， 故tan∠DFE＝， 解得x＝，即AD＝. 解 第一章　 §1.2　空间向量在立体几何中的应用 <<< $