2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，系统梳理确定直线位置的几何要素（点和方向），通过倾斜角定义与范围、斜率定义及计算公式、倾斜角与斜率关系、方向向量与法向量等内容，构建从几何直观到代数表达的完整学习支架。 该资料采用“逐点理清式”教学设计，结合“多维理解+微点助解+微点练明”结构，如倾斜角旋转分类讨论、斜率范围计算等实例，培养学生几何直观（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）与符号表达（数学语言）能力。课中辅助教师系统授课，课后通过课时检测与练习帮助学生查漏补缺。

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.结合图形，探索确定直线位置的几何要素:点和方向. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围. 逐点清(一)　直线的倾斜角 [多维理解] 定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角 范围 0°~180°，特别地，与x轴平行或重合的直线，倾斜角为0°；与x轴垂直的直线，倾斜角为90° |微|点|助|解| (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 倾斜 角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角. (　　) (2)一条直线的倾斜角可以为-30°. (　　) (3)倾斜角为0°的直线有无数条. (　　) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1). (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为 (　　) A.α+40° B.α-140° C.140°-α D.α+40°或α-140° 解析:选D　根据题意，画出图象，如图所示. 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α+40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D. 3.已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　.  解析:设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°. 答案:135° 4.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　.  解析:有两种情况:①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 答案:60°或120° 逐点清(二)　直线的斜率 [多维理解] 1.斜率定义及公式 定义 一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k=tan θ为直线l的斜率；当θ=90°时，称直线l的斜率不存在 公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k=，当x1=x2时，直线l的斜率不存在 2.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α <180° 斜率 (范围) 0 (0，+∞) 不存在 (-∞，0) |微|点|助|解| (1)斜率公式中k的值与A，B两点在该直线上的位置无关. (2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (3)与x轴平行或重合的直线的斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率. (　　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tan α. (　　) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知经过点P(3，m)和Q(m，-2)的直线的斜率为2，则m的值为 (　　) A.-1 B.1 C.2 D. 解析:选D　由k==2，得m=. 3.已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是 (　　) A.(5，8) B.(5，+∞) C. D. 解析:选C　由题意得>1，即(m-5)<0，解得5<m<. 4.若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m+2)三点共线，则实数m的值为 (　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 解析:选D　因为3≠1，所以直线AB斜率存在.又A，B，C三点共线，则kAB=kAC，即=，解得m=3. 5.已知直线l1经过点M(-4，3)，N(8，-2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半，则直线l2的斜率为　　　　　　.  解析:设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k1=tan α==-，由于α∈[0，π)，所以sin α=，cos α=-，所以直线l2的斜率k2=tan===5. 答案:5 逐点清(三)　直线的方向向量与法向量 [多维理解] 1.直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (1)a=(1，0)是所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量，b=(0，1)是所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量，c=(1，1)是所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量. (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线. (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则=(x2-x1，y2-y1)是直线l的一个方向向量. 2.直线的方向向量与斜率的关系 (1)如果直线l的倾斜角为θ，则a=(cos θ，sin θ)为直线l的一个方向向量. 如果直线l的斜率为k，则a=(1，k)为直线l的一个方向向量. (2)如果a=(u，v)为直线l的一个方向向量，则 当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； 当u≠0时，直线l的斜率是存在的，且k=tan θ=. |微|点|助|解| (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a=(0，1)； (2)斜率存在时的直线的方向向量a=(1，k)； (3)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ，sin θ). 3.直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. (1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直. (2)当x0，y0不全为0时，若a=(x0，y0)为直线l的一个方向向量，则v=(y0，-x0)为直线l的一个法向量；若v=(x0，y0)为直线l的一个法向量，则a=(y0，-x0)为直线l的一个方向向量. |微|点|助|解| (1)任意直线都有方向向量和法向量. (2)直线的方向向量和法向量都不唯一. (3)直线的方向向量和法向量都是非零向量. [微点练明] 1.直线l过点A(-1，3)和B(3，2)，则直线l的法向量为 (　　) A.(-1，4) B.(2，5) C.(5，-2) D.(-1，-4) 解析:选D　由题意得=(3，2)-(-1，3)=(4，-1)为直线l的一个方向向量，∴直线l的法向量v=(-1，-4). 2.已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ= (　　) A.0 B. C. D. 解析:选B　由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k==.又k=tan θ，所以tan θ=.因为θ∈[0，π)，所以θ=. 3.若直线l1与l2的法向量分别为v1=(2，-3)，v2=(3，-1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为 (　　) A.k1>k2 B.k1=k2 C.k1<k2 D.不确定 解析:选C　∵v1=(2，-3)，则l1的方向向量a1=(-3，-2)，∴斜率k1==. ∵v2=(3，-1)，则l2的方向向量a2=(-1，-3)， ∴斜率k2==3，∴k2>k1. 4.若直线l的倾斜角为，方向向量为e=(-1，a)，则实数a的值是 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　∵直线l的方向向量为e=(-1，a)，∴直线l的斜率为k==-a.又直线的倾斜角α=，∴斜率k=tan=-=-a，解得a=. 5.已知直线l经过点A(1，4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为　　　　.  解析:不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)，则k=，所以可以取x=1，则y=2，此时直线l的一个方向向量为(1，2)(答案不唯一). 答案:(1，2)(答案不唯一) 逐点清(四)　直线的倾斜角与斜率的综合应用　　　　　 [典例]　(1)若直线l过定点P(1，0)，且与以A(-1，2)，B(2，)为端点的线段相交(包括端点)，则其倾斜角的取值范围是 (　　) A.∪ B.∪ C. D. 解析:选D　如图所示，因为直线l过定点P(1，0)，且与以A(-1，2)，B(2，)为端点的线段相交，可得kPB==，kPA==-1，所以直线l的斜率不存在或满足k≤-1或k≥，所以直线l的倾斜角的取值范围是. (2)已知直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为　　　　.  解析:如图，∵kAP==1， kBP==-， ∴k∈(-∞，- ]∪[1，+∞). 答案:(-∞，- ]∪[1，+∞) 　　[变式拓展] 　若将本例(2)中“P(1，0)”改为“P(-1，0)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围. 解:∵P(-1，0)，A(2，1)，B(0，)， ∴kAP==，kBP==. 如图可知，直线l斜率的取值范围为. |思|维|建|模| 数形结合法解决范围问题 　　已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围，如果直线PA，PB的斜率都存在，则步骤如下: (1)连接PA，PB； (2)由k=求出kPA，kPB； (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围. 　　[针对训练] 1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是 (　　) A.k1>k2>k3 B.k3>k1>k2 C.k2>k1>k3 D.k2>k3>k1 解析:选C　由k=tan α，结合y=tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3. 2.已知A(3，3)，B(-4，2)，C(0，-2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解:(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==，直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是. [课时检测] 　　　　　　　　　　　 　　　　　 1.如图，直线l的倾斜角为 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析:选D　由题图易知l的倾斜角为45°+105°=150°. 2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 (　　) A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5) 解析:选D　对于D，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 3.已知倾斜角为的直线过A(1，0)，B(0，m)，则m= (　　) A. B.- C.- D. 解析:选C　由题意得=tan，解得m=-，故选C. 4.过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为 (　　) A.-60° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　因为直线过点A(0，4)，B(，1)，所以kAB==-.设直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tan θ=-，解得θ=120°，故选C. 5.在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为 (　　) A.-2 B.0 C. D.2 解析:选B　由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°= +(-)=0. 6.若三点A(2，-3)，B(4，3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于 (　　) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析:选C　因为kAB=kAC，又kAB==3，kAC==，所以3=，即b=6. 7.在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在的直线的方向向量为a=(-，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为 (　　) A.-2 B.0 C. D.2 解析:选B　∵a=(-，0)，∴BC所在直线的斜率为0. 又△ABC为等边三角形， ∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴kAB+kAC=tan 60°+tan 120°=0. 8.若直线l的法向量为v=(1，a2+1)，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　∵直线l的法向量为v=(1，a2+1)， ∴直线l的方向向量a=(a2+1，-1)， k==-. 又a2+1≥1， ∴0<≤1. ∴k∈[-1，0)， ∴tan θ∈[-1，0).∵θ∈[0，π)， ∴θ∈. 9.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a，0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a= (　　) A. B. C.1 D. 解析:选B　设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α=，由题可知tan 2α=kAC=，tan α=kAB=，所以=，解得a=.故选B. 10.直线l过点M(-1，2)，且与以P(-4，-1)，Q(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A. 　　　　B.(-∞，-2]∪[1，+∞) C.[-2，1] 　　　　D.∪[1，+∞) 解析:选D　∵直线l过点M(-1，2)，且与以P(-4，-1)，Q(3，0)为端点的线段相交，如图所示，∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM==1，kMQ==-，则k≥1或k≤-，∴k∈∪[1，+∞). 11.若斜率为2的直线经过点A(-2，3)，B(2m+1，1)，则实数m=　　　　.  解析:kAB===2，解得m=-2. 答案:-2 12.若经过点P(1-a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率<0，解得a<.所以实数a的取值范围是. 答案: 13.已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为　　　　　.  解析:由题意知，kPA=-1.若点P在x轴上，则设P(m，0)(m≠1)，则=-1，解得m=3；若点P在y轴上，则设P(0，n)，则=-1，解得n=3.故点P的坐标为(3，0)或(0，3). 答案:(3，0)或(0，3) 14.(10分)已知直线l经过两点A(-1，m)，B(m，1)，当m取何值时， (1)直线l与x轴平行?(2分) (2)直线l与y轴平行?(2分) (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1).(2分) (4)直线的倾斜角为45°?(2分) (5)直线的倾斜角为锐角?(2分) 解:(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k==0，∴m=1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m=-1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故直线l的斜率k=，即=，解得m=. (4)由题意可知，直线l的斜率k=1，即=1，解得m=0. (5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得-1<m<1，故m的取值范围为(-1，1). 15.(10分)已知a>0，b>0，且向量u=(a，3)和v=(1-b，2)都是直线l的法向量.求+的最小值. 解:∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v， ∴2a-3(1-b)=0， 即2a+3b=3， ∴(2a+3b)=1，且a>0，b>0. ∴+=·(2a+3b) ==+2 ≥+2×2=， 当且仅当=，即a=b=时，等号成立. ∴+的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $