1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“空间中的平面与空间向量”核心知识点，以平面法向量的定义及性质为基础，构建线面、面面平行与垂直的向量表示方法，衔接三垂线定理及其逆定理，形成从概念理解到定理应用的梯度学习支架。 资料通过“思维建模”环节提炼方法步骤，如求法向量的一般步骤、证明平行垂直的策略，培养学生逻辑推理能力与数学思维。结合正方体、四棱锥等模型例题及分层训练，引导学生用数学眼光观察空间形式，用向量坐标语言表达关系，课中助力教师梯度教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.2　空间中的平面与空间向量 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　[课时目标] 1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.　 2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用. 3.会利用空间向量证明线面、面面的平行和垂直. 1.平面法向量的定义 如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α. 2.平面法向量的性质 (1)如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. (2)如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都平行. (3)如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量一定与向量n垂直,即·n=0. 3.线、面平行或垂直的向量表示 (1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔l⊥α;n⊥v⇔l∥α或l⊂α. (2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则n1⊥n2⇔α1⊥α2;n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合. 4.三垂线定理及其逆定理 (1)射影 ①已知空间中的平面α以及点A,过A作α的垂线l,设l与α相交于点A',则A'就是点A在平面α内的射影(也称为投影); ②图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F',称为图形F在平面α内的射影. (2)三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. (3)三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 基础落实训练 1.(多选)直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为 (　　) A.-2 B.- C. D.2 解析:选BC　线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±. 2.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为 (　　) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 解析:选C　显然a与b不平行,设平面的法向量为n=(x,y,z),则有 ∴令z=1,得x=-2,y=1, ∴n=(-2,1,1). 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D与BD1的位置关系为 (　　) A.相交 　　　B.平行 C.垂直 　　　D.无法判断 解析:选C　因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AB⊥平面ADD1A1,故BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D,因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1. 题型(一)　求平面的法向量 [例1]　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 解:(1)由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2), 连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD. 又因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC, 且BD∩DD1=D,BD,DD1⊂平面BDD1B1, 则AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量(答案不唯一). (2)由(1)知=(2,2,0),=(1,0,2). 设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则所以 令x=2,得y=-2,z=-1, 所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量(答案不唯一). 　　|思|维|建|模|　求平面法向量的一般步骤 　　[针对训练] 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PCD的一个法向量. 解:如图,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),D(0,,0),所以=(1,,-1),=(0,,-1). 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z). 则即 令y=1,则z=,x=0,则n=(0,1,), 所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,). 题型(二)　利用法向量证明空间中的平行关系 [例2]　如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明: (1)MN∥平面CC1D1D; (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 证明:(1)以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0), D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1). 由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D, 所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D, 所以MN∥平面CC1D1D. (2)由(1)知=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量,由于=(0,2,0),=(0,1,-1),则 即=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量, 又平面MNP与平面CC1D1D不重合,所以平面MNP∥平面CC1D1D. |思|维|建|模| 1.证明面面平行的方法 设平面α的一个法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的一个法向量为n2=(a2,b2,c2),则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R). 2.应用向量法证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示,即用平面向量基本定理证明线面平行. 　　[针对训练] 2.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC. 证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形, 所以AB,AP,AD两两垂直, 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). 所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0). 设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的一个法向量, 由n1⊥,n1⊥, 即得 令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1). 设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的一个法向量, 由n2⊥,n2⊥, 即得 令z2=1,则x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1), 所以n1∥n2,又平面EFG与平面PBC不重合,所以平面EFG∥平面PBC. 题型(三)　利用法向量证明空间中的垂直关系 [例3]　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱BB1,CD,AA1的中点.求证:平面ADE⊥平面A1D1F. 证明:以D为原点,向量,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为1. 则D(0,0,0),A(1,0,0), E,C1(0,1,1), M,=(1,0,0), =,=. 设平面A1D1F的一个法向量为n=(x,y,z), 则⇒ 令y=2,则n=(0,2,1). ∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0, ∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F. |思|维|建|模| 利用向量法证明线、面垂直的策略 1.用向量坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量. (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 2.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直. [提醒]　解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示. 　　[针对训练] 3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB,A1C的中点. (1)求证:MN∥平面BCC1B1; (2)求证:MN⊥平面A1B1C. 证明:(1)依题意得,∠A1B1C1=90°,BB1⊥B1C1 ,BB1⊥A1B1,以B1 为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系B1xyz,则B1(0,0,0),A1(-2,0,0),C(0,2,2),M(-1,0,2),N(-1,1,1),∴=(0,1,-1),=(-2,0,0).由题意得A1B1⊥平面BCC1B1, ∴=(-2,0,0)为平面BCC1B1的一个法向量. ∵·=-2×0+0×1+0×(-1)=0, ∴MN⊥B1A1,又MN⊄平面BCC1B1, ∴MN∥平面BCC1B1 . (2)连接B1C.由(1)得,=(0,2,2),=(2,0,0),=(0,-1,1). 设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z), 则即令z=1,得n=(0,-1,1),∴n=,∴MN⊥平面A1B1C. 题型(四)　三垂线定理及逆定理的应用 [例4]　如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分别是△ABC和△PBC的垂心,求证:OQ⊥平面PBC. 证明:如图,连接AO并延长交BC于点E,连接PE.∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心), ∴PE⊥BC(三垂线定理), ∴点Q在PE上. 则由 ⇒BC⊥平面PAE⇒BC⊥OQ. ① 连接BO并延长交AC于点F,则BF⊥AC. 连接BQ并延长交PC于点M,则BM⊥PC. 连接MF. ∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC, ∴BF⊥PC(三垂线定理). ∵⇒PC⊥平面BMF⇒PC⊥OQ. ② 由①②知,OQ⊥平面PBC. |思|维|建|模| (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题.对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”,将其转化为空间两直线的垂直问题,用三垂线定理证明. (2)当图形比较复杂时,要认真观察图形,证题的思维过程是“一定二找三证”,即“一定”是定平面和平面内的直线,“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影,“三证”是证直线垂直于射影或斜线. 　　[针对训练] 4.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是CC1中点,求证:AB1⊥A1M. 证明:连接AC1,如图所示. ∵==,==,∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1, ∴∠AC1C=∠MA1C1, ∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°,∴A1M⊥AC1. ∵ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴B1C1⊥CC1. 又∵B1C1⊥A1C1,A1C1 ∩CC1=C1, ∴B1C1⊥平面AC1,由三垂线定理知,AB1⊥A1M. [课时检测] 1.已知平面α的一个法向量为n=(4,-4,8),=(-1,1,-2),则直线AB与平面α的位置关系为 (　　) A.AB⊂α 　B.AB⊥α C.AB与α相交但不垂直 　D.AB∥α 解析:选B　由题设知n=-4,即n∥,又n是平面α的法向量,所以AB⊥α. 2.在空间直角坐标系中,a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量,n=(2,t,4)为平面α的一个法向量,且l∥α,则t= (　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 解析:选C　因为l∥α,所以a=(1,2,1)与n=(2,t,4)垂直,故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3. 3.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A.平行或直线在平面内 B.不能确定 C.相交但不垂直 D.垂直 解析:选A　因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内. 4.已知向量n为平面α的一个法向量,l为直线l的一个方向向量,则l∥n是l⊥α的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　向量n为平面α的一个法向量,l为直线l的一个方向向量,若l∥n,则向量l为平面α的一个法向量,l⊥α,充分性成立;若l⊥α,则向量l为平面α的一个法向量,l∥n,必要性成立,则l∥n是l⊥α的充要条件. 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱DD1上,直线AC1⊥平面A1BM,则点M的位置是 (　　) A.点D B.点D1 C.DD1的中点 D.不存在 解析:选A　如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,M(0,0,t),0≤t≤1,A(1,0,0),C1(0,1,1),B(1,1,0),A1(1,0,1),=(-1,1,1),=(0,-1,1),=(-1,-1,t).∵·=-1×0+1×(-1)+1×1=0,∴AC1⊥BA1.∵直线AC1⊥平面A1BM,BM⊂平面A1BM,∴AC1⊥BM,∴·=0,∴-1×(-1)+1×(-1)+1×t=0,解得t=0,此时点M与点D重合. 6.已知m,n是两条不同直线,方向向量分别是m,n;α,β,γ是三个不同平面,法向量分别是α,β,γ,下列命题正确的是 (　　) A.若α·γ=0,β·γ=0,则α⊥β B.若m∥α,m·n=0,则n∥α C.若m·α=0,n·α=0,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β 解析:选D　若α·γ=0,β·γ=0,可知平面α,β同时垂直于平面γ,但无法确定平面α与β的位置关系,故A错误;若m∥α,m·n=0,可知m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故B错误;若m·α=0,n·α=0,可知m∥α或m⊂α,n∥α或n⊂α,但无法确定直线m,n的位置关系,故C错误;若m∥α,m∥β,可知m⊥α,m⊥β,垂直于同一条直线的两平面平行,故D正确. 7.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则 (　　) A.A1C⊥AB1 B.A1B与AD1所成角为60° C.D1D⊥AF D.A1G∥平面AEF 解析:选ABD　以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),G(2,2,1),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).=(0,2,2),=(-2,2,-2),·=4-4=0,所以A1C⊥AB1,故A正确; =(0,2,-2),=(-2,0,2),cos<,>===-,所以向量与向量的夹角是120°,A1B与AD1所成的角为60°,故B正确;=(0,0,2),=(-2,2,1),则·=2≠0,故C错误;设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),=(-1,2,0),=(-1,0,1),由取x=2,可得m=(2,1,2),又=(0,2,-1), m·=2-2=0,∴m⊥.∵A1G⊄平面AEF,∴A1G∥平面AEF,故D正确.故选ABD. 8.(5分)设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为　　　　.  解析:因为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,所以v∥u,所以α∥β. 答案:平行 9.(5分)已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面α,β,γ的一个法向量,则α,β,γ三个平面中互相垂直的有　　　　对.  解析:因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,所以a,b,c中任意两个都不垂直,即α,β,γ中任意两个都不垂直. 答案:0 10.(5分)在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且 |n|=,则n的坐标为　　　　　　　　.  解析:根据题意可得=(-1,-1,2),=(1,0,2),设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,则可得 又∵|n|==, 则=,解得y=4或y=-4,当y=4时,x=-2,z=1; 当y=-4时,x=2,z=-1.∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1). 答案:(-2,4,1)或(2,-4,-1) 11.(5分)已知空间三点A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,-3).若直线AB上存在一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为　　　　　　;若空间中点N满足BN⊥平面ABC,则符合条件的一个点N的坐标是　　　　　.  解析:设M(x,y,z),A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,-3),∵=(1,-1,0),=(2,1,-4),=(x,y,z-1),=(x-1,y-2,z+3),∴由题意,得∴x=-,y=,z=1.∴点M的坐标为. 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则n·=x-y=0,n·=2x+y-4z=0. 令x=1,则y=1,z=.∴n=. 设点N的坐标为(a,b,c),则=(a,b,c-1). 由题知,∥n,即==. ∴点N的坐标满足(4k,4k,3k+1),其中k≠0. 令k=1,则N(4,4,4). 答案:　(4,4,4)(满足(4k,4k,3k+1),k≠0均可) 12.(10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E,F分别是DC,A1B1的中点.求证: (1)四边形BFD1E为平行四边形;(5分) (2)B1E⊥平面AED1.(5分) 证明:(1)以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),E(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,2,1),F(1,1,1),B(1,2,0),所以=(0,-1,1),=(0,-1,1),所以=, 又B,F,D1,E四点不共线,所以四边形BFD1E为平行四边形. (2)由(1)知=(1,1,1),=(1,-1,0), 所以·=1×0+1×(-1)+1×1=0,·=1×1+1×(-1)+1×0=0, 所以⊥,⊥, 即EB1⊥ED1,EB1⊥EA. 又因为ED1∩EA=E,ED1,EA⊂平面AED1. 所以B1E⊥平面AED1. 13.(15分)如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱DD1上的一点,且D1E=2DE. (1)若点F满足=2,求证:CF∥平面A1EC1;(9分) (2)底面ABCD内是否存在一点P,使得PD1⊥平面A1EC1?若存在,求出线段DP的长度;若不存在,请说明理由.(6分) 解:(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,所以A1(3,0,3),C1(0,3,3),E(0,0,1),C(0,3,0),B1(3,3,3),B(3,3,0),所以=(-3,3,0),=(3,0,2). 设平面A1EC1的一个法向量n=(x,y,z),则令x=2,解得y=2,z=-3,所以平面A1EC1的一个法向量n=(2,2,-3).若=2,则==(0,0,3)=(0,0,2),所以=+=(3,0,0)+(0,0,2)=(3,0,2),所以n·=2×3-3×2=0,所以n⊥.又CF⊄平面A1EC1,所以CF∥平面A1EC1. (2)假设底面ABCD内存在一点P,使得PD1⊥平面A1C1E,设P(a,b,0)(0≤a≤3,0≤b≤3),又D1(0,0,3),所以=(a,b,-3).又平面A1EC1的一个法向量n=(2,2,-3),所以∥n,所以==,解得a=2,b=2,所以底面ABCD内存在一点P,使得PD1⊥平面A1EC1,此时DP==2. 14.(15分)如图1,在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥DC,如图2. (1)求证:A1E⊥平面BCDE;(6分) (2)判断在线段EB上是否存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(9分) 解:(1)证明:∵DE⊥AB,AB∥DC,∴DE⊥DC,∵A1D⊥DC,A1D∩DE=D,A1D,DE⊂平面A1DE,∴DC⊥平面A1DE,A1E⊂平面A1DE,∴DC⊥A1E,∵A1E⊥DE,DC∩DE=D,DC,DE⊂平面BCDE,∴A1E⊥平面BCDE. (2)由题意,以EB,ED,EA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则DE=2,A1(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2,0),D(0,2,0), ∴=(-2,0,2),=(2,2,0),设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y,z), 则令x=-, 则m=(-,1,-),设P(t,0,0)(0≤t≤2), 则=(t,0,-2),=(0,2,-2), 设平面A1DP的一个法向量为n=(a,b,c), 则取n=, ∵平面A1DP⊥平面A1BC, ∴n·m=-2+-t=0,解得t=-3, ∵0≤t≤2,∴在线段EB上不存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC. 学科网（北京）股份有限公司 $