1.1.1.1 空间向量及其线性运算-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，通过类比平面向量，系统梳理空间向量的定义、表示方法及特殊向量（零向量、单位向量等），再逐步推广至加减运算、数乘运算，构建从概念到运算的完整学习支架。 该资料以“逐点清”分层设计为亮点，通过“微点助解”辨析易混概念培养数学眼光，“典例+变式”强化运算推理发展数学思维，“课时检测”分层练习提升数学语言表达，课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算. 逐点清(一)　空间向量的有关概念 [多维理解] 1.空间向量的概念 定义 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量 长度 或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示 方法 ①几何表示:用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. ②字母表示:用字母a,b,c,…表示,若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或|| 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量,记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 |微|点|助|解| (1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没规定方向,单位向量有无数个,它们的方向并不确定,故它们不一定相等.而所有的零向量都相等. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等、方向相同. [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 解析:选C　零向量与它的相反向量相等,A错误;任意一个非零向量与其相反向量不相等,但它们的模相等,B错误;同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小,C正确;将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球,D错误. 2.给出下列命题:①零向量没有方向;②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;③若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为 (　　) A.4　　　　　　 B.3 C.2 D.1 解析:选D　任何一个向量都是有方向的,故①错误;当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,起点和终点不一定相同,故②错误;根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向也要相同,但③中向量a与b的方向不一定相同,故③错误;命题④显然正确;空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错误. 3.(多选)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 (　　) A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 解析:选ABC　由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量分别为,,,,,,,,共8个,故D错误. 逐点清(二)　空间向量的加减运算 [多维理解] 项目 语言叙述 图形表示 加法 运算 三角形 法则 首尾顺次相接,首指向尾为和 a+b=+= 平行 四边形 法则 共起点为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 a+b=+= 减法 运算 三角形 法则 共起点,连终点,方向指向被减向量 a-b=-= 加法 运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) |微|点|助|解| (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=. (2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0. (3)空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 [微点练明] 1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则--= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　--=+-=-=. 2.(多选)在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量的是 (　　) A.(+)- B.(-)- C.(-)+ D.(-)- 解析:选ABC　如图,(+)-=-=+=;(-)-=-=;(-)+=+=;(-)-=(-)-=+=. 3.在正六棱柱ABCDEF⁃A1B1C1D1E1F1中,化简-+++,并在图中标出化简结果. 解:在正六棱柱ABCDEF⁃A1B1C1D1E1F1中,四边形AA1F1F是平行四边形,所以=.同理= ,=,由正六棱柱性质可知=,所以-+++=-+(++)=+=,所以化简结果如图所示. 逐点清(三)　空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb |微|点|助|解| (1)λa=0⇔λ=0或a=0. (2)λ的正负影响λa的方向,λ绝对值的大小影响λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. [典例]　如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1);(2);(3). 解:(1)∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=a+c+=a+b+c. (2)∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c. (3)∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+a+c+b=a+b+c. 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变,试用a,b,c表示向量. 解:因为P,N分别是C1D1,BC的中点, 所以=++=+(-)+=-a+b-c. 2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上,且=”,其他条件不变,如何表示? 解:=+=++=a+b+c. 　　|思|维|建|模| (1)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,运用三角形法则或平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. (2)空间向量线性表示的常用结论 ①=-; ②在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,有=++; ③若O为空间中任意一点,则点P是线段AB中点的充要条件是=(+);若G为△ABC的重心,则=(++). 　　[针对训练] 1.如图,在斜四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则= (　　) A.a-b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析:选A　依题意,=+=+=+(-)=--=a-b-c. 2.如图,在空间四边形ABCD中,已知点G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果. (1)+-; (2)(+-); (3)++. 解:(1)连接EF,∵G是△BCD的重心,∴=.又=,∴由向量加法的三角形法则可知,++=++=+=.在图中标出,如图所示. (2)连接AH,∵F,H分别为AD,BC的中点,∴(+-)=(2-)=-=-=.在图中标出,如图所示. (3)++=+(-)+(-)=+(+)=+=+=.在图中标出,如图所示. [课时检测] 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.向量与的长度相等 B.在空间四边形ABCD中,与是相反向量 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 解析:选AD　向量与是相反向量,长度相等,A正确;在空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不一定相反,B错误;空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,C错误;由空间向量的有关概念与性质知D正确. 2.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选C　如图,与向量大小相等,方向相同的向量有,,,共3个. 3.化简:(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)= (　　) A.2a+b-2c B.2a+b-2c C.2a-b-2c D.2a-b-2c 解析:选B　原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c. 4.下列命题中,正确的是 (　　) A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若|a|>|b|,则a>b C.若a=b,则|a|=|b| D.若|a|=|b|,则a=b 解析:选C　若a与b为相反向量,则a≠b,但|a|=|b|,故A、D错误;向量的模可以有大小之分,但是向量不可以比较大小,故B错误;向量相等,则其模相等,方向相同,故C正确. 5.在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,若=a,=b,=c,则= (　　) A.-a+b-c B.a-b+c C.a-b-c D.a+b-c 解析:选B　由题意,得=-=-(-)=a-b+c,故选B. 6.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则+(+)= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,因为E为棱BC的中点,所以+(+)=+×2=+=. 7.(多选)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,则 (　　) A.-= B.-=2 C.= D.= 解析:选AC　-=+=,A正确,B不正确.=,C正确,D不正确. 8.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=2,则以下结论正确的是 (　　) A.=++ B.=-+- C.=-+ D.=+- 解析:选D　因为=2,所以=,=-=+-=+-=+(-)-=+-. 9.(多选)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则选项中为正确命题的是 (　　) A.+与+是一对相反向量 B.-与-是一对相反向量 C.-与-是一对相等向量 D.(+++)与(+++)是一对相反向量 解析:选AD　对于A,取AD,B1C1的中点M,N(图略),则+=2,+=2,两者是一对相反向量;对于B,-=,-=,两者是一对相等向量;对于C,-=,-=,两者是一对相反向量;对于D,设四边形ABCD、四边形A1B1C1D1的中心分别为P,Q,分别取AB,CD的中点E,F,A1B1,C1D1的中点G,H(图略),则(+++)=+=2,(+++)=+ =2,两者是一对相反向量. 10.(多选)如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,P是CA1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设=a,=b,=c,则下列选项正确的为 (　　) A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c) C.=a+b+c D.=a+b+c 解析:选AD　因为P是CA1的中点,所以=(+)=(++)=(a+b+c),故A正确,B错误;因为点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,所以=+=+=+(-)=+=(+)+ =a+b+c,故C错误,D正确. 11.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,-+=　　　　.  解析:-+=+-=+=. 答案: 12.(5分)光岳楼,亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为,则++=　　　　. 解析:如图,延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,=,∴++=++= ++=+=+=. 答案: 13.(5分)在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点,H是EF上的点,且=,记=x+y+z,则x,y,z的值分别为　　　　　　. 解析:连接OE,OF,因为=,E,F分别是AB,BC的中点,所以=+=+=+(-)=+=×(+)+×(+)=++,故x=,y=,z=. 答案:,, 14.(10分)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量,写出: (1)的相等向量,的相反向量;(3分) (2)用另外两个向量的和或差表示;(3分) (3)用三个或三个以上向量的和表示.(4分) 解:(1)根据正方体棱与棱之间的关系,的相等向量有,,;的相反向量有,. (2)用“首尾规则”求解,如果只在含的三角形中考虑,有=+,=+,=-,=-.(答案不唯一) (3)用“首尾规则”求解,则=++,=++++.(答案不唯一) 15.(10分)在平面四边形ABCD中,E,F分,所成的比为λ,即==λ,则有=+. (1)拓展到空间,写出空间四边形ABCD类似的命题,并加以证明;(6分) (2)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点,利用上述(1)的结论表示.(4分) 解:(1)在空间四边形ABCD中,E,F分,所成的比为λ,即==λ,则有=+.证明如下: =++=++=(+)++(+)=++++=+. (2)由(1)的结论可得=+=+. 学科网（北京）股份有限公司 $