1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中点、直线、平面的向量表示，涵盖方向向量和法向量的概念及求法。通过“逐点清”分模块梳理，从平面向量复习过渡到空间向量，搭建认知支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是“多维理解-微点助解-微点练明”三层设计，结合正方体、四棱锥实例，用数学眼光抽象空间形式，通过推理训练数学思维，以向量语言精确表达位置关系。学生能深化空间观念，教师可依托分层练习提升教学效率。

1.4　 空间向量的应用 1.4.1　 用空间向量研究直线、平面的位置关系 空间中点、直线和平面的向量表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间中点的位置向量和直线的向量表示 逐点清(二) 空间中平面的向量表示 课时跟踪检测 逐点清(一) 空间中点的位置向量和直线的向量表示 01 多维理解 1.点的位置向量 如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把________称为点P的位置向量. 向量 |微|点|助|解| (1)用点的位置向量表示点时,基点可以任意选取; (2)在确定好基点的情况下,点P的位置向量由点P的位置唯一确定; (3)在空间直角坐标系中,如果选择坐标原点O作为基点,那么空间中点P的位置向量的坐标即为点P的坐标. 2.直线的向量表示 (1)设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点, ①点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t. ②取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,即=+t. (2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量______确定. 唯一 |微|点|助|解| (1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件: ①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个. (3)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线. 微点练明 1.若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　) A.(3,2,1) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(1,2,3) 解析:∵A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,∴直线l的一个方向向量 =(2,4,6),又∵(1,2,3)=(2,4,6),∴(1,2,3)是直线l的一个方向向量. √ 2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b= (　　) A.0 B.1 C. D.3 解析:因为直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,所以=(-1,2-a,b-3),又直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),所以∥m,所以=λm, 所以(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),所以解得 所以a+b=3. √ 3.在空间直角坐标系中,直线l过点A(1,0,-1)且以μ=(2,3,4)为方向向量, M(x,y,z)为直线l上的任意一点,则点M的坐标满足的关系式是 (　　) A.== B.== C.== D.== 解析:由方向向量得∥μ,又因为=(x-1,y,z+1),所以==.故选A. √ 4.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD⁃ A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为_________,直线BC1的一个方向向量为_______________________. 解析:因为DD1∥AA1,=(0,0,1), 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);因为BC1∥AD1,=(0,1,1),故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一) 逐点清(二) 空间中平面的向量表示 02 多维理解 1.空间平面的向量表达式 如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.空间中任意平面由空间一点及两个_________向量唯一确定. 不共线 2.平面的法向量 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的________.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. 法向量 |微|点|助|解| (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行. (3)求平面法向量的方法与步骤 ①求平面ABC的法向量时,要选取平面内两个不共线向量,如,. ②设平面的法向量为n=(x,y,z). ③联立方程组并求解. ④所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 微点练明 1.已知平面α内有两点M(-2,3,1),N(2,4,1),若平面α的一个法向量为n=(6,a,6),则a= (　　) A.- B. C.-24 D.24 解析:由题可得=(4,1,0),因为平面α的一个法向量为n=(6,a,6), 所以n⊥,所以n·=(6,a,6)·(4,1,0)=6×4+a×1+6×0=0, 解得a=-24. √ 2.已知点A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0)都在平面α内,则平面α的一个法向量的坐标可以是 (　　) A. B. C.(2,2,3) D.(2,-2,-1) 解析:由A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0),得=(-2,-1,2),=(-1,1,0), 设n=(x,y,z)是平面α的法向量,则即 取x=2,则y=2,z=3,故n=(2,2,3),则与n=(2,2,3)共线的向量也是法向量, 经验证,只有C正确. √ 3.在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中, E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; 解:由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0), C(0,2,0),E(1,0,2),连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.又因为DD1⊥平面ABCD, AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC,且BD∩DD1=D,则AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一). (2)平面BDEF的一个法向量. 解:=(2,2,0),=(1,0,2). 设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z),则所以 令x=2,得y=-2,z=-1,所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量. (答案不唯一). 4.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形, PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PCD的一个法向量. 解:如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1), C(1,,0),D(0,,0),所以=(1,,-1), =(0,,-1). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z). 则即 令y=1,则z=,x=0,则n=(0,1,), 所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,). 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 解析:因为=(2,4,6),又(1,2,3)=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在空间直角坐标系中,坐标平面Oyz的一个法向量可以是 (　　) A.n=(0,0,1) B.n=(0,1,0) C.n=(1,0,0) D.n=(1,1,1) 解析:设y轴的方向向量j=(0,1,0),z轴的方向向量k=(0,0,1),坐标平面Oyz的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,0,0),故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若平面α的一个法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是 (　　) A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1) C.(3,2,1) D.(2,2,0) 解析:设点Q(x,y,z)在平面α上,因为P(1,1,1),所以=(x-1,y-1,z-1),由·n=(x-1)×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0,得x+2y+3z=6,依次验证选项,只有D满足. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ= (　　) A.-7 B.-5 C.5 D.7 解析:因为=(-1,1,-2),=(-2,0,1),所以n·=-1+λ-2μ=0, n·=-2+μ=0,可得μ=2,λ=5,所以λ+μ=7. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知直线a,b的方向向量分别为a=(1,0,-1),b=(1,-1,0),且直线a,b均平行于平面α,平面α的单位法向量为 (　　) A. B. C.(1,1,1) D.或 解析:设平面α的单位法向量为m=(x,y,z), =1①,因为直线a,b均平行于平面α,所以有⇒由①②③可得x=y=z=或 x=y=z=-,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是(　　) A.(3,2,1) B.(-2,5,4) C.(-3,5,4) D.(2,-4,8) 解析:对于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0; 对于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0; 对于C,=(-4,3,1),n·=1×(-4)+1×3+1×1=0; 对于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的 四面体称为鳖臑.在鳖臑A⁃BCD中,AB⊥平面BCD, ∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的 空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为 (　 ) A.(0,1,0) B.(0,1,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0) √ 解析:根据题意,设BD=AB=CD=1,则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),则=(1,0,0),=(0,1,-1),设平面ACD的法向量为m=(x,y,z), 则有令y=1,可得z=1,则m=(0,1,1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.平面OCB1的法向量n=(x,y,z)为(　　) A.(0,1,1) B.(1,-1,1) C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1) 解析:由题意建立如图所示的空间直角坐标系,∵四边形ABCD是正方形,且AB=,∴AO=OC=1,∴OA1=1,∴A(0,-1,0), B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),∴=(1,1,0),=(0,1,0), 又==(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).∵平面OCB1的法向量为n=(x,y,z),则得y=0,x=-z,结合选项, 可得n=(1,0,-1),故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中, 六面体ABCD⁃A1B1C1D1是棱长为1的正方体, 给出下列结论中,正确的是 (　　) A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2) B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D.平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意,B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),D1(0,1,1).对于A、B,=(-1,1,1),∴向量(-2,2,2)为直线BD1的一个方向向量,故A正确, B不正确;对于C,设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),则 又=(0,-1,1),=(-1,0,1),所以令x=1,可得n=(1,1,1), 故C正确;对于D,设平面B1CD的法向量为m=(a,b,c),则 又=(0,-1,1),=(-1,0,0),所以令b=1,得m=(0,1,1), 故D不正确.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量为__________. 解析:∵A(1,1,t),B(2,2,4),∴=(1,1,4-t).又平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),∴·m=3+1-4+t=0,解得t=0,∴直线AB的一个方向向量为=(1,1,4). (1,1,4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, AD=,则平面SCD的一个法向量为_______________________. (-2,1,-1)(答案不唯一) 解析:由题设,以A为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系,所以D,C(1,1,0),S(0,0,1), 则=(1,1,-1),=.设平面SCD的法向量 为n=(x,y,z),则令y=1, 故n=(-2,1,-1)是平面SCD的一个法向量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为___________________,点P的坐标满足的条件为___________. 解析:直线OA的一个方向向量为=(1,1,1).由题意知OA⊥α, 因为AP⊂α,所以OA⊥AP,=(x-1,y-1,z-1),则·=0, 即x-1+y-1+z-1=0,所以x+y+z=3. (1,1,1)(答案不唯一)　 x+y+z=3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图,已知长方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长AB=2, AD=4,AA'=3.以点D为原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系, 求下列直线的一个方向向量: (1)AA';(6分) 解:由已知可得,长方体顶点A,B,A',D'的坐标分别为A(4,0,0),B(4,2,0), A'(4,0,3),D'(0,0,3). 因为向量=(0,0,3),所以直线AA'的一个方向向量为=(0,0,3). (2)BD'.(4分) 解:因为向量=(-4,-2,3),所以直线BD'的一个方向向量为=(-4,-2,3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD, △PAB是边长为1的正三角形,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°, E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系, 求平面DEF的一个法向量. 解:连接PF,CF,因为△PAB是边长为1的正三角形,PA=PB,F为AB的中点, 所以PF⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PF⊂平面PAB,所以PF⊥平面ABCD. 连接AC,因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形.又F为AB的中点,所以CF⊥AB. 综上可知,直线FB,FC,FP两两垂直, 所以建立以F为原点,FB,FC,FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,如图所示, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由题意,在正△PAB和正△ABC中,FP=FC=,则F(0,0,0),D,E, 所以=,=. 设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则 即 令y=2,则x=,z=-2,即n=(,2,-2), 所以平面DEF的一个法向量为n=(,2,-2)(答案不唯一). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $