1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册　

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过导语衔接空间几何体基本元素与向量工具，以位置向量、方向向量、法向量为核心，搭建从平面向量到空间向量的学习支架，为后续立体几何问题解决奠定基础。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合长方体、正方体实例，运用待定系数法推导方向向量和法向量，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。课堂小结梳理知识清单与方法，随堂及课时练习强化应用，助力学生深化理解，教师提升教学效率。

空间中点、直线和平面的向量表示 第一章　1.4.1　第1课时 学习目标 1.理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示方法.(重点) 2.理解并会求直线的方向向量和平面的法向量.(难点) 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 导语 3 内容索引 01 02 03 空间中平面的向量表示 随堂演练 空间中点的向量和直线的向量表示 04 课时对点练 01 空间中点的向量和直线的向量表示 问题 1 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题 2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？ 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t. 如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ① 将=a代入①式，得=+t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得= ，即= . (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ ，即=+ . 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的　　　　　唯一确定. 知识梳理 ta t ta t 方向向量 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 注意点 10 　如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA'； 例1 解： 由已知可得，长方体顶点A，B，A'，D'的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A'(4，0，3)，D'(0，0，3). 因为向量=(0，0，3)，所以直线AA'的一个方向向量为(0，0，3). 11 　如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB=2，AD=4，AA'=3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (2)BD'. 例1 解： 因为向量=(-4，-2，3)，所以直线BD'的一个方向向量为(-4，-2，3). 12 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点确定的向量都可以作为直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 反思感悟 13 　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是 A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) 跟踪训练1 √ √ 解析： ∵=(1，1，3)，M，N在直线l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量. 14 (2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 √ 解析： 由题意知a∥b，则设b=λa，λ∈R，即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)， 所以，解得x=-1. 15 02 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得= . xa+yb 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+ + .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. x y 3.空间中任意平面由空间一点及两个　　　　向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的　　　　.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 不共线 法向量 注意点 (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 19 　 (课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； 例2 解： 因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量. 20 　 (课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (2)求平面MCA1的法向量. 例2 解： 因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2). 因此=(-3，2，0)，=(0，-2，2). 设n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量， 21 　 (课本例1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (2)求平面MCA1的法向量. 例2 解： 则n2⊥，n2⊥. 所以所以 取z=3，则x=2，y=3. 于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量. 22 已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 例2 解： 答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量). ∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)， ∴=(1，2，0)，=(-1，0，2)， 设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)， 则 23 已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. 例2 解： 令x=1，则y=-，z=， ∴n=， 即平面SCD的一个法向量为n=， ∵x轴⊥平面SAB， ∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量. 25 求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 反思感悟 26 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； 跟踪训练2 解： 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2). (1)设平面BDD1B1的法向量为n=(x1，y1，z1)， ∵=(2，2，0)，=(0，0，2)， ∴ 27 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； 跟踪训练2 解： 令x1=1，则y1=-1，z1=0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一) 28 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (2)平面BDEF的一个法向量. 跟踪训练2 解： 设平面BDEF的法向量为m=(x2，y2，z2). ∵=(2，2，0)，=(1，0，2)， ∴ 令x2=2，则y2=-2，z2=-1， ∴平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一) 29 课堂小结 1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量. 2.方法归纳：待定系数法、赋值法. 3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 30 04 随堂演练 1 2 3 4 1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是 A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k √ √ 解析： 由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意. 2.已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z等于 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析： 由题意知=(-1，2-y，z-3)， 因为m∥，所以==， 解得y=，z=，所以y-z=0. 1 2 3 4 1 2 3 4 3.已知平面α的一个法向量为n，若直线AB满足=λn(λ∈R)，则 A.AB∥α B.AB⊂α C.AB⊥α D.直线AB与平面α的位置关系不确定 解析： ∵=λn，∴∥n， ∵n为平面α的一个法向量，∴AB⊥平面α. √ 1 2 3 4 4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　. 解析： 由题意得e⊥， 则·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0， 故x+2y-3z=0. x+2y-3z=0 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 题号 1 2 3 4 5 答案 B AC A B (答案不唯一) 题号 6 8 9 11 12 答案 -1 ABC 2∶3∶(-4) B 7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)， 即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一) (2)由题意得=(x-2，y-2，z-2)， ∵是平面α的法向量， 则·=0，即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0. ∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0. 化简得x-y+z-2=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 连接FP，FC，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA=PB，F为AB的中点， 所以FP⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，FP⊂平面PAB， 所以FP⊥平面ABCD，因为FB，FC⊂平面ABCD，所以FP⊥FB，FP⊥FC， 连接AC，因为AB=BC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又F为AB的中点，所以FC⊥FB. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直， 所以以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意，AB=1，FP=FC=， 则F(0，0，0)，D，E， 所以=，=， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令y=2，则x=，z=-2，即n=(，2，-2)， 所以平面DEF的一个法向量为n=(，2，-2)(答案不唯一). 10. 1.已知直线l过点A(0，0，1)，且直线l的一个方向向量为a=(1，1，2)，若点M(x，y，4)在直线l上，则 A.x+y=2 B.x+y=3 C.x+y=4 D.x+y=5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由题意，=(x，y，3)，且∥a，所以存在实数λ，使得=λa，即(x，y，3)=λ(1，1，2)=(λ，λ，2λ)， 所以 所以x+y=2λ=3. 2.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论中正确的是 A.直线BD1的一个方向向量为(-2，2，2) B.直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面B1CD的一个法向量为(1，-1，-1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1). 对于A，B项，可知=(-1，1，1)， 所以向量(-2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面B1CD1的法向量为n=(x，y，z)，则 又=(0，-1，1)，=(-1，0，1)， 所以 令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 对于D项，设平面B1CD的法向量为m=(a，b，c)，则 又=(0，-1，1)，=(-1，0，0)， 所以 令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正确. 3.已知平面α={P|n·=0}，其中点P0(-1，2，5)，平面α的法向量n=(1，1，1)，则下列各点在平面α内的是 A.A(1，2，3) B.B(0，3，6) C.C(1，1，1) D.D(0，0，0) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 对于A，=(2，0，-2)，则 n·=2×1+0×1+(-2)×1=0，则点A在平面α内，故A正确； 对于B，=(1，1，1)，则 n·=1×1+1×1+1×1=3≠0，则点B不在平面α内，故B错误； 对于C，=(2，-1，-4)，则 n·=2×1+(-1)×1+(-4)×1=-3≠0，则点C不在平面α内，故C错误； 对于D，=(1，-2，-5)，则 n·=1×1+(-2)×1+(-5)×1=-6≠0，则点D不在平面α内，故D错误. 4.已知点A(1，-2，0)，直线AB的一个方向向量为a=(-3，4，6)，||=2|a|，且与a方向相反，则点B的坐标为 A.(-7，6，12) B.(7，-10，-12) C.(7，-6，12) D.(-7，10，12) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设B(x，y，z)， ∵A(1，-2，0)，∴=(x-1，y+2，z)， ∵||=2|a|，且与a方向相反，a=(-3，4，6)， ∴=-2a=(6，-8，-12)， ∴解得 ∴B(7，-10，-12). 5.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2，1，1)与n2=(0，2，1)为其 法向量，若α∩β=l，则直线l的一个方向向量为________________________. (写出一个方向向量的坐标)  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (答案不唯一) 解析： 设直线l的方向向量为d=(x，y，z)， 则所以 令y=1，则z=-2，x=，所以直线l的一个方向向量为d=. 6.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设平面ABC的法向量是n=(x，y，z)， 又=(-1，1，0)，=(-1，0，1)， 所以取x=1，得n=(1，1，1)， 因为P(a，1，1)在平面ABC内，=(a-1，1，1)， 则n·=a-1+1+1=0，解得a=-1. 7.已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2). (1)写出直线BC的一个方向向量； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)， 即(-2，2，-2)为直线BC的一个方向向量.(答案不唯一) 解： 7.已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2). (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得=(x-2，y-2，z-2)， ∵是平面α的法向量， 则·=0，即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0. ∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0. 化简得x-y+z-2=0. 解： 8.(多选)已知直线l过点P(1，0，-1)，且平行于向量a=(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是 A.(1，-4，2) B. C. D.(0，-1，1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 综合运用 √ √ 解析： 由题意可知，平面α的法向量垂直于向量a=(2，1，1)和向量，= (1，2，3)-(1，0，-1)=(0，2，4)， 选项A，(2，1，1)·(1，-4，2)=0，(0，2，4)·(1，-4，2)=0，满足垂直，故A正确； 选项B，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满足 垂直，故B正确； 选项C，(2，1，1)·=0，(0，2，4)·=0，满 足垂直，故C正确； 选项D，(2，1，1)·(0，-1，1)=0，但(0，2，4)·(0，-1，1)≠0，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a=(x，y，z)，则x∶y∶z=　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2∶3∶(-4) 解析： 由已知得，=，=， ∵a是平面α的法向量，∴a·=0，a·=0， 即解得 ∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 连接FP，FC，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA=PB，F为AB的中点， 所以FP⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，FP⊂平面PAB， 所以FP⊥平面ABCD，因为FB，FC⊂平面ABCD，所以FP⊥FB，FP⊥FC， 解： 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 解： 连接AC，因为AB=BC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又F为AB的中点，所以FC⊥FB. 综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直， 所以以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 解： 由题意，AB=1，FP=FC=， 则F(0，0，0)，D，E， 所以=，=， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 解： 设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，则 即 令y=2，则x=，z=-2，即n=(，2，-2)， 所以平面DEF的一个法向量为n=(，2，-2)(答案不唯一). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则等于 A. B. C. D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设AM=x，则A1(4，0，2)，M(4，x，0)，=(0，x，-2)， 因为平面MCA1的一个法向量为n=(1，2，1)，则n·=0，即2x-2=0，解得x=1， 故AM=1，MB=3-1=2，故=. 12.已知在空间直角坐标系中，A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则+的最小值为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 依题意，=(-2，3，0)，=(0，-3，6)，=(x-2，y，2)， 设平面ABC的法向量为m=(a，b，c)， 则 令c=1，得m=(3，2，1)， 依题意，m·=0，则3x+2y=4， 则+=(3x+2y) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： =≥ =， 当且仅当x=4-，y=2-4时取等号. THANKS 本课结束 $