1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，核心知识点包括位置向量、直线方向向量及平面法向量。新课引入承接上节平面向量向空间向量的推广，通过“思考”问题引导学生从已知过渡到新知，搭建学习支架帮助理解点线面的向量描述。 其亮点是以问题驱动探究，结合正方体、长方体等几何体实例，通过逻辑推理推导直线向量表示式和法向量性质，步骤化呈现求法向量过程。培养直观想象与逻辑推理核心素养，学生能提升空间观念和运算能力，教师可借助系统例题和检测高效推进教学。

讲课人： 日期： 1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 学习目标 核心素养 1.能用向量语言描述点、直线和平面. 直观想象 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 逻辑推理 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的立体几何问题. 本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形. 为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来. 探索新知 思考:　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 定点O 图1.4-1 点→点+位置向量 P 向量的坐标 起点的坐标 终点的坐标 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量. 探索新知 思考:　我们知道， 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ．你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? A P l 用向量表示直线 l ,就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意一点 P． 线→点+方向向量 探索新知 • A P • l B 如图， 是直线的方向向量，在直线上取设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数，使得 进一步地，如图示，取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数，使 O 将代入①式，得 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 探索新知 空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定. 注： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： ①是非零向量； ②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 方向向量 探索新知 例1 (1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线AB的一个方向向量为　　　 　，直线BC的一个方向向量为　　 　　. (1，0，0) (0，1，0) (答案不唯一) (2)已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(-1，2，z)两点，则y-z等于 A.0 B.1 C. D.3 √ 探索新知 A 变式练习： 探索新知 我们知道，两条相交直线能确定一个平面. 图1.4-4 探索新知 a b B C P A O 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 探索新知 思考:　给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 我们知道，给定一个定点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的。 利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面． 图1.4-6 l a A P 探索新知 垂直于同一平面的两条直线平行， 故当两条直线 l⊥α，m⊥α 时，直线 l 的方向向量 a 与直线 m 的方向向量 b 共线. m b 注： (1)平面α的法向量为非零向量. (2)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (3)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 小试牛刀 思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.直线l的方向向量a是唯一的.( ) 提示　直线的方向向量有无数个,它们都是共线向量. × 2.设O是空间任意一点,M是线段AB的中点,则=(+).( ) 3.已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),若点M(x,y,z)为线段AB的中点,则x=,y=,z=.( ) 4.平面的法向量有无数个,它们是平行向量.( ) √ √ √ 典例分析 例1.已知长方体中，AB=4，BC=3， =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系. (1) 求平面的一个法向量． (2) 求平面的一个法向量. 分析: (1)平面BCC1B1与y轴垂直,其法向量可以直接写出; (2)平面MCA1可以看成由的两个向量所确定,运用法向量与它们的垂直关系,可转化为数量积运算求得法向量. 探索新知 解：(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. 所以 设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则 令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量. 所以 (2)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2). 因此 探索新知 求平面法向量的步骤： (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 探索新知 变式训练： 课堂小结 1.空间中点、直线和平面的向量表示 2.求平面法向量 课堂检测 A 课堂检测 2.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为 A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 显然a与b不平行,设平面的法向量为n=(x,y,z), 则有 令z=1,得x=-2,y=1,∴n=(-2,1,1). C 课堂检测 3. -1 课堂检测 解：在正方形中，， 又面，所以、、两两垂直， 以为原点，、、所在直线为、、轴建系如图， 则， 所以，，， 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则，，于是是平面的一个法向量. 4、如图,在四棱锥中，底面是正方形，，，是的中点，求平面和平面的法向量. x y z 课后作业 课本第29页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 已知，若直线的一个方向向量为，则___. $