10.6 电源电动势和内阻的测量（重难点专练）物理沪科版必修第三册

**基本信息** 聚焦电动势和内阻测量的伏安法、安阻法、伏阻法三大题型，系统提炼误差分析与图像法数据处理策略，构建“原理-误差-拓展”的逻辑体系，培养科学思维与探究能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |伏安法|6道精练题|分析偶然误差（读数、描点）与系统误差（电压表分流），推导E测<E真、r测<r真|基于闭合电路欧姆定律，从基本测量方法切入，建立U-I图像分析模型| |安阻法|6道精练题|计算法（方程组）与图像法（1/I-R、R-1/I图像），明确斜率与截距物理意义|拓展至无电压表情境，通过电阻箱与电流表组合，深化图像法数据处理| |伏阻法|6道精练题|推导1/U=1/E + r/(E·R)，构建1/U-1/R图像求E、r，分析电压表分流误差|针对无电流表情境，利用电阻箱与电压表组合，完善测量方法体系|

10.6 电源电动势和内阻的测量（题型突破） 题型01 伏安法测量电池电动势和内阻 题型02 安阻法测量电池电动势和内阻 题型03 伏阻法测量电池电动势和内阻 ▌题型01 伏安法测量电池电动势和内阻 1．偶然误差：(1)电表读数不准和电表线性不良引起的误差。 (2)作U－I图像时描点不准确造成误差。 (3)测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。 2．系统误差：主要原因是未考虑电压表的分流作用，使得电流表上读出的数值比实际的总电流(即流过电源的电流)要小一些。理论上E＝U＋(IV＋IA)r，U越大，电流表的读数与总电流的偏差就越大。如下图所示： 因为电压表和电池并联，所以r测＝<r真，因为外电阻R断开时，a、b两点间电压Uab等于电动势E测，此时电源与电压表构成回路，所以Uab<E真，即E测<E真。 1．2024年3月28日，国产某米汽车一上市就得到了广大消费者的欢迎。 (1)实验小组A，为了能较准确地测量该款车辆电池的电动势E和内阻r，设计了一个可以排除电流表和电压表内阻影响的实验方案，如图1所示，记录了单刀双掷开关S2分别接1、2对应的多组电压表的示数U和电流表的示数I，根据实验记录的数据绘制如图2中所示的P、Q两条U­I图线，可以判断图线P是利用单刀双掷开关S2接________（选填“1”或“2”）时的实验数据描出的，由图线P得出的内阻测量值比真实值偏________（选填“大”或“小”）。综合P、Q两条图线，此电池的电动势E＝________，内阻r＝________。（用图2中EP、EQ、IP、IQ表示） (2)实验小组B，设计了补偿式电路，来准确地测量电池的电动势和内阻，实验电路图如图3所示。采用小组B设计的电路时，应怎样操作才能消除电表内阻所带来的误差？（答出关键步骤即可）答：________________________________。 【答案】(1) 1 大 EP (2)调节R和R′使得灵敏电流计G的示数为0 【详解】（1）[1][2]当S2接1时，电流表相对电源为内接，由闭合电路欧姆定律有，可知E测1＝E，r测1＝r＋RA， 当S2接2时，电流表相对电源为外接，由闭合电路欧姆定律有 变换得， 可知， ， 由E测1>E测2及EP>EQ，或由I短测1<I短测2及IP<IQ，可知，图线P是单刀双掷开关接1时描出的，其内阻测量值r测1比真实值r偏大。 [3][4]由上面分析可知，此电池的电动势E＝E测1＝EP 电池短路电流 则内阻。 （2） 调节R和R′使得灵敏电流计的示数为0，这样电压表示数U为电池的路端电压，电流表示数I为流过电池的电流，消除了电表内阻所带来的误差。 2．某学习小组为了测量电池的电动势和内阻，同时测量某金属丝的电阻率，设计了如图1所示的电路图，实验步骤如下： a．用螺旋测微器测量金属丝三个不同位置的直径，其直径平均值为； b．按图1连接好电路，是金属丝，定值电阻，调节滑片至金属丝的最左端； c．改变滑片的位置，记录滑片到金属丝右端的距离，测出多组相应电压表示数、电流表示数和的数据； d．作出随变化和随变化的图像，分别如图2、3所示。 回答下列问题： (1)由图2绘出的图像求得电池的电动势________V，内阻________（结果保留三位有效数字）； (2)若图3中直线的斜率为，可求得金属丝的电阻率________（用题干中的字母表示）； (3)考虑到电流表不是理想电表而分压，这一因素是否会导致用上述方法测量电阻率产生系统误差？________（填“是”或“否”）。 【答案】(1) (2) (3)否 【详解】（1）[1]电压表测量电池外电路两端的电压，根据闭合电路欧姆定律有 当时，有，因此图像的纵轴截距表示电池的电动势，由图2可得 [2]由可知，图像斜率的绝对值为，取图线上两点和，则有 解得 因此电池内阻为 代入数据解得 （2）设金属丝的横截面积为，滑片到右端之间金属丝的电阻为，根据电阻定律有， 设电流表内阻为，由于电压表测量金属丝接入部分与电流表串联后的总电压，因此有 由图3可知直线斜率为 解得金属丝的电阻率为 （3）非理想电流表的内阻使图像产生纵轴截距，但图像斜率仍为，电流表内阻不影响斜率，因此不会使利用图像斜率测得的电阻率产生系统误差，故填“否”。 3．两位同学在实验室利用如图（a）所示的电路测定定值电阻、电源的电动势和内电阻，调节滑动变阻器的滑动触头向某一方向移动时，一个同学记录了电流表和电压表的测量数据，另一同学记录的是电流表和电压表的测量数据，并根据数据分别描绘了如图（b）所示的两条直线，回答下列问题： (1)根据甲乙两同学描绘的直线，可知甲同学是根据电压表______（填“”或“”）和电流表的数据描绘的图线，并可以测得______（填写物理量符号及计算结果）；乙同学是根据电压表______（填“”或“”）和电流表的数据描绘的图线，并可以测得______（填写物理量符号及计算结果） (2)该电路中电流表的读数______（填：“可能”或“不可能”）达到，理由是______。 【答案】(1) ，/， (2) 不可能 见解析 【详解】（1）[1]由图（b）知甲是路端电压与电流的图像，知甲同学是根据电压表的数据描绘的图线。 [2]图线与纵轴的截距是电源电动势，图线斜率的绝对值表示电源的内阻，所以可以测得电动势 ；内电阻。 [3]由图（b）知乙是定值电阻的图像，知乙同学是根据电压表的数据描绘的图线。 [4]图线的斜率表示定值电阻的阻值大小，可以测得电阻 （2）[1][2]该电路中电流有最大值时，滑动变阻器的阻值为零，AA 即电路的最大电流为0.5A，所以不可能达到0.6A。 4．某同学测量某电源的电动势和内阻，提供下列仪器： A．待测电源（电动势约为，内阻r约为） B．电流表（量程0.6A，内阻为） C．电压表V1（量程4V，内阻约5kΩ）              D．电压表V2（量程，内阻约） E．电阻箱R0（0∼999.9Ω） F．滑动变阻器R（0∼1000Ω）   G．开关、导线若干 (1)为尽量减小实验误差，实验中电压表选择___________；（填写元件的字母代号） (2)该实验应该选择的实验电路是图中的___________（填“甲”或“乙”）； (3)根据实验数据画出图线如图丙所示。由图线可知电源的电动势___________V，内电阻r=___________Ω。（结果均保留三位有效数字） (4)关于该实验的误差，下列说法正确的是（     ） A．由于电压表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏大 B．由于电压表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏小 C．由于电流表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏大 D．由于电流表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏小 【答案】(1)C (2)乙 (3) 3.80 187 (4)C 【详解】（1）电压表的量程与电源电动势相匹配，且内阻较大，分流作用较小，应选元件C。 （2）图甲中电流表的示数不包含通过电压表的电流，由闭合电路欧姆定律得 整理得 所以 图乙中电流表的示数是流过电源的总电流，由闭合电路欧姆定律得 所以 两种接法测量内阻的相对误差分别约为， 图乙的系统误差更小，应选乙。 （3）[1]由图线纵轴截距可知 [2]图乙中由闭合电路欧姆定律得，故图线斜率绝对值为 取图线上的两点和 整理得 （4）AB．由小问2的推导可知，图乙的图线关系为 式中不含，电压表内阻不会使内阻测量值产生偏大或偏小的系统误差，故AB错误。 CD．由同一图线关系可知，故C正确，D错误。 故选C。 5．某实验小组要测量两节干电池组的电动势和内阻，实验室有下列器材： A．灵敏电流计G（0~5mA，内阻约为60Ω） B．电压表V（0~3V，内阻约为10kΩ） C．电阻箱 D．滑动变阻器 E.旧电池2节 F.开关、导线若干 (1)由于灵敏电流计的量程太小，需扩大灵敏电流计的量程。测量灵敏电流计的内阻的电路如图甲所示，调节的阻值和电阻箱使得电压表示数为2.00V，灵敏电流计示数为4.00mA，此时电阻箱接入电路的电阻为445.0Ω，则灵敏电流计内阻为_______Ω；（保留1位小数） (2)为将灵敏电流计的量程扩大为60mA，该实验小组将电阻箱与灵敏电流计并联，则应将电阻箱的阻值调为_______Ω；（保留1位小数） (3)把扩大量程后的电流表接入如图乙所示的电路，根据测得的数据作出U-I（I为灵敏电流计的示数）图像如图丙所示，则该干电池组的电动势_______；内阻_______。（两个量均保留3位有效数字） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电压表测量电阻箱与灵敏电流计串联支路两端的电压，通过二者的电流均为。由欧姆定律有 解得 （2）将电阻箱与灵敏电流计并联，量程扩大到时，灵敏电流计的满偏电流为，通过电阻箱的电流为 由并联电路两支路电压相等有 解得 （3）[1]扩大后的电流表中，灵敏电流计与电阻箱并联，总电流为 由闭合电路欧姆定律有 当时，图线在纵轴上的截距为，故 [2]由上式可知，图线斜率的绝对值为 由图线取、 整理得 解得 6．某学习小组做“测量电池的电动势和内阻”的实验，电路图如图甲所示，已知。 (1)调节滑动变阻器，电压表和电流表的示数记录在表格中，请根据表中的数据，在图乙的方格纸上作出图线。 序号 1 2 3 4 5 6 1.40 1.36 1.35 1.28 1.20 1.07 0.10 0.15 0.23 0.25 0.35 0.50 (2)根据图线求得电池的电动势________，内阻________。（结果保留两位小数） (3)该同学利用图甲所示的电路进行测量，系统误差来自于________________，这造成了电动势的测量值________真实值，内阻的测量值________真实值（以上两空均选填“大于”“等于”或“小于”）。 【答案】(1) (2) 1.48/1.47/1.49 0.30/0.27/0.28/0.29/0.31/0.32/0.33/0.34/0.35 (3) 电压表分流 小于 小于 【详解】（1）根据表中的数据，在方格纸上描点作出图线，如图1所示。 （2）根据闭合电路欧姆定律可知 整理得 可知图像纵截距为该电源的电动势，即 根据图像横纵截距，图像斜率的绝对值为 则内阻 （3）[1] 由题图甲可知,该电路中，电压表并联在电流表和滑动变阻器串联部分两端，系统误差来源于电压表的分流。 [2][3]由于电压表分流作用，，电流表测得的流过电源的电流值偏小，电压表的分流随电压的减小而线性减小，当滑动变阻器接入电路的电阻为0时，电流测量值等于真实值，电源真实的图像如图2中虚线所示（实线表示根据实验数据绘制的图线），可知电动势测量值小于真实值，实验数据绘制图线的斜率绝对值偏小，则电源内阻测量值小于真实值。 ▌题型02 安阻法测量电池电动势和内阻 1．数据处理 (1)计算法：由 解方程组求得E、r。 (2)图像法：由E＝I(R＋r)可得 ①＝R＋，可作－R图像(如图甲) －R图像的斜率k＝，纵轴截距为。 ②R＝E·－r，可作R－图像(如图乙) R－图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r。 7．某物理小组测量一未知电源的电动势和内阻。 (1)他们用多用电表的10 V电压量程粗测该电源的电动势，应将多用电表的选择开关对准_________（填“交流”或“直流”）10 V量程，然后将电源和多用电表连接好，其中_________（填“红表笔”或“黑表笔”）与电源负极连接，指针如图甲所示。 (2)他们在实验室找到如下器材： A．灵敏电流计（量程1.0 mA，内阻为150 Ω）； B．定值电阻（阻值2.0 Ω、1.0 A） C．定值电阻（阻值2850.0 Ω、0.1 A） D．定值电阻（阻值4850.0 Ω、0.1 A） E.电阻箱（阻值范围0~999.9 Ω、额定电流2 A） F.开关一个，导线若干 ①他们设计了如图乙所示的电路图，则电阻应该选择_________（填器材前面的序号），电阻应该选择_________（填器材前面的序号）； ②他们按照选好的器材连接好电路，调节电阻箱的阻值R，记录下多组电阻箱的阻值R和对应的灵敏电流计的读数I，以为纵坐标，以为横坐标，将测得的数据通过描点、连线后得到一条倾斜直线，该直线的斜率为k，纵截距为b，则该电源电动势_________，内阻_________（用题目中的字母表示，已知灵敏电流计中的电流远小于通过电源的电流）。 【答案】(1) 直流 黑表笔 (2) D B 【详解】（1）[1]电源提供的是直流电，测量电源电动势时应使用直流电压挡。 [2]多用电表直流电压挡的正接线柱应接电源正极，负接线柱应接电源负极，所以与电源负极连接的是黑表笔。 （2）[1]灵敏电流计的量程为，为了防止通过灵敏电流计的电流超过量程，串联电阻应选用阻值较大的定值电阻。 若选择C，则灵敏电流计所在支路的总电阻为 若选择D，则灵敏电流计所在支路的总电阻为 选择D时，支路总电阻较大，电流较小，能够保护灵敏电流计。因此选择D。 [2]电阻应选择阻值较小的定值电阻，因为电源内阻较小，R2​阻值与电源内阻相当，相当于增大了电源内阻，能够保证并联部分电压有较大的变化范围，即使灵敏电流计有足够大的读数范围。因此选择B。 [3][4]设灵敏电流计中的电流为，则灵敏电流计所在支路两端的电压为 电阻箱所在支路中的电流为 由于灵敏电流计中的电流远小于通过电源的电流，因此电源中的电流可近似认为等于通过电阻箱的电流，即 根据闭合电路欧姆定律，有 代入相关关系得 整理得 令纵坐标为，横坐标为，则 对比可得， 由第一式得 由两式相除得 所以 8．新型硅基负极材料标志着低成本高硅负极技术的重大突破，硅基负极电池内阻很小，电动势约为，某实验小组为了准确测量某硅基电池的电动势和内阻，设计了如下两组实验： (1)利用图甲测量定值电阻的大小。已知电流表的内阻为，测量得到电流表的读数为，电流表的读数为，则定值电阻______。从设计原理看，其测量值______（填“大于”“小于”或“等于”）真实值。 (2)乙实验中，闭合开关、，调节滑动变阻器和电阻箱，使电流计示数为0，记录示数，示数，电阻箱示数，重复调节滑动变阻器和电阻箱，每次都使电流计示数为0，记录电阻箱取不同值时对应的和的示数，做出图像，若图像的纵截距为，斜率的绝对值为，则该硅基电池的电动势______，内阻______（用、、表示）。 【答案】(1) 等于 (2) b 【详解】（1）[1]甲图中，电流表与定值电阻并联，根据欧姆定律，并联部分的电压为 干路总电流为的读数，因此流过的真实电流为 因此 [2]以上推导过程已经考虑了内阻的影响，的电压、电流都是真实值，原理上不存在系统误差，因此测量值等于真实值。 （2）[1][2]当电流计示数为时，说明两端电势差为，中无电流，因此流过待测电源的总电流等于的读数，电源的路端电压等于电阻箱两端的电压。根据闭合电路欧姆定律，对待测电源，有 整理得关于的关系式 结合题意，图像的纵截距为，斜率绝对值为，对比一次函数形式可得，纵截距，即 斜率绝对值 整理得内阻 9．某兴趣小组“探究一电池的输出功率与外电路电阻的关系”的电路如图1所示，图1中R为电阻箱，R0是阻值为38.0 kΩ的定值电阻，是电流表（量程0~100 μA，内阻2.0 kΩ），E是电池。 (1)改变电阻箱的电阻R，测得该电池的输出电压U与电阻箱的电阻R之间的关系如图2中的曲线所示。由图像可知，该电池的电动势为________ V（结果保留三位有效数字）。 (2)图2曲线上P点对应电阻箱消耗的功率是________ W，此时电池的总功率为________ W。（结果均保留三位有效数字） 【答案】(1)2.80 (2) 【详解】（1）逐渐增大电阻箱的电阻R，该电池的输出电压U也逐渐增大，最终输出电压U趋于电池的电动势，由题图2可知该电池的电动势为2.80V。 （2）[1][2]由题图2可知P点对应的电压和电阻分别为U＝2.60V，R＝80.0Ω 则曲线上P点对应电阻箱消耗的功率是P＝＝ 此时电路总电流为 此时电池的总功率为P总＝EI 代入数据，联立解得 10．某实验小组用图甲所示电路测量一电池组的电动势和内阻，使用到的实验器材有： A．待测电池组（电动势约，内阻约） B．毫安表（量程为，内阻） C．电阻箱（最大阻值） D．定值电阻 E.开关、导线若干 (1)由于毫安表的量程太小，需要将其改装成量程为的电流表，则图甲虚线框中，与毫安表并联的定值电阻的阻值为__________； (2)闭合开关前，应将电阻箱的阻值调到__________（选填“最小”或“最大”）； (3)闭合开关，多次调节电阻箱，记录其阻值和毫安表的读数；某次测量时，毫安表的示数如图乙所示，对应通过电池组的电流为__________； (4)根据每次测得的毫安表读数，计算出通过电池组的电流；以为纵坐标，为横坐标，作图线（用直线拟合）如图丙所示；根据图像可求出电池组的电动势__________，内阻__________。（结果均保留2位有效数字） 【答案】(1)4 (2)最大 (3)360 (4) 2.7 2.4 【详解】（1）将毫安表改装为大量程电流表，利用并联分流原理，毫安表满偏时，两端电压，并联的需要分担的电流为，由并联电压相等得 代入、、 解得定值电阻 （2）闭合开关前，为了让初始电路电流最小，保护电路元件，应将电阻箱阻值调到最大。 （3）毫安表量程200mA，精度为5mA，读出毫安表读数为；改装后电流表的量程是原毫安表的倍，因此通过电池组的总电流 （4）[1][2]改装后电流表的总内阻 根据闭合电路欧姆定律 整理得 对应图线：图线纵轴截距为，即时， 图线斜率，取图线终点时，计算得斜率 因此电池组的电动势 内阻 11．某同学把铜片和锌片相隔约2cm插入一个桔子中，就制成了一个水果电池。铜片是电池的正极，锌片是负极。他所用到的器材有水果电池、电阻箱、电流表、电键和导线若干，实验电路图如图所示。 (1)分别用 E和 r表示电源的电动势和内阻， RA为电流表的内阻，则R与的关系式为=______。 (2)若用该实验方法测量水果电池的电动势和内阻，电动势的测量值______真实值，内阻的测量值______真实值（选填“大于 ”“等于 ”“小于 ”）。 (3)该同学在断开电键准备收拾器材的时候，忽然想起测量干电池电动势时，可以将学生用指针式电压表（量程 0~3V，内阻约3kΩ）直接接到干电池的正负极，因此该同学也将这种指针式电压表直接接到了桔子电池的正负极，但是测得的数值与用图像测得的电动势数值差距很大。设直接用指针式电压表测得的电动势用E2表示，该同学用R与图像法测得的电动势用E1表示，请分析说明这两个值哪一个更大。______。 【答案】(1) (2) 等于 大于 (3)更大。图像法测得的无系统误差，等于真实电动势；水果电池内阻很大，当电压表直接接在电源两极时，电压表与电源内阻构成闭合回路，电路中有电流，根据闭合电路欧姆定律可知，电压表读数测的是路端电压，小于电源的电动势，故更大。 【详解】（1）根据闭合电路欧姆定律，电路中的电流满足 变形可得 整理得到 （2）[1] [2]由第（1）问可知 结合线性函数可知，图像斜率 纵轴截距 解得电动势 内阻的真实值为 若实验中未扣除或将视为内阻一部分，则 故电动势测量值等于真实值，内阻测量值大于真实值。 （3）E1更大。图像法测得的无系统误差，等于真实电动势；水果电池内阻很大，当电压表直接接在电源两极时，电压表与电源内阻构成闭合回路，电路中有电流，根据闭合电路欧姆定律可知，电压表读数测的是路端电压，小于电源的电动势，故更大。 12．某同学利用图1所示的电路测量一电池的电动势E（约3V）和内阻r（小于）。图中电流表量程为0.3A，内阻；定值电阻；电阻箱R最大阻值为；S为开关。按电路图连接电路，并完成下列填空。 （1）为保护电流表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选______（填“2.0或12.0”）。 （2）闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电流表的相应读数I。 （3）根据图1所示电路，用R、、、E和r表示，得______。 （4）利用测量数据，作图线，如图2所示。 （5）通过图2可得______V，______（均保留2位有效数字）。 （6）若将图1中的电流表当成理想电表，得到的电源电动势为，则______E（填“大于”“等于”或“小于”）。 【答案】 12.0 3.0 0.50 等于 【详解】（1）[1]电池电动势约为3V，电流表量程为0.3A，为确保电流表的安全，电路中电阻至少为 可知，为保护电流表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选12.0Ω。 （3）[2]根据闭合电路欧姆定律有 解得 （5）[3][4]结合上述，根据图2有， 解得， （6）[5]结合上述可知，电池电动势的求解是利用图2的斜率，与电流表内阻无关，即若将图1中的电流表当成理想电表，得到的电源电动势为，则等于E。 ▌题型03 伏阻法测量电池电动势和内阻 1．数据处理 (1)计算法：由解方程组可求得E和r。 (2)图像法：由E＝U＋r得＝＋·。故－图像的斜率k＝，纵轴截距为，如图。 13．某同学为了精确测量一节干电池的电动势和内阻，设计了如图所示的电路。 实验室为其提供的实验器材如下： ①电压表V（量程，内阻） ②定值电阻 ③定值电阻 ④电阻箱 ⑤开关S和导线若干 回答下列问题： (1)由于电压表的量程较小，需将电压表改装成量程为的电压表，需_______（填“串”或“并”）联一定值电阻，该定值电阻应选择_______； (2)实验时，将开关闭合，调节电阻箱的阻值，记录多组电压表的示数以及对应的电阻箱的阻值，然后根据记录的数据描绘出的图像，如图乙所示，已知描绘图像时忽略了电压表的分流作用，若该图像的纵截距为，斜率为，则电源的电动势_______，电源的内阻_______； (3)如果不能忽略电压表的分流作用，则（2）中获得的电源内阻的测量值_______（填“大于”、“等于”或“小于”）真实值。 【答案】(1) 串 (2) (3)小于 【详解】（1）[1]电压表V原量程，内阻，欲扩大量程为，需串联电阻分担电压。 [2]设串联电阻为，串联电路电流相等，有 解得 因此应串联定值电阻 （2）[1][2]改装后电压表内阻为，设原电压表示数为，则实际路端电压为；电阻箱电流，忽略电压表分流，干路电流即 由闭合电路欧姆定律 整理得 则图像的纵截距，斜率 解得， （3）若考虑电压表分流，实际干路电流， 实际闭合电路欧姆定律 整理得 则纵截距，斜率 联立有，又忽略分流时 两式相减有，因此 忽略分流时，又 两式相比有，因此 因此测得的电动势和内阻均小于真实值。 14．某学习小组的同学们想利用电压表和电阻箱测量一电池组的电动势和内阻，他们找到的实验器材如下： A．待测电池组； B．电压表（量程为，内阻约为）； C．电阻箱R（阻值范围为）； D．开关、导线若干。 实验步骤如下： ①将电池组与其余实验器材按图1所示连接电路； ②调节电阻箱阻值，闭合开关，待示数稳定后，记录电阻箱的阻值R和电压表的示数后立即断开开关； ③改变电阻箱的阻值，重复实验，计算出相应的和，绘制出关系图线如图2中的直线所示。请回答下列问题： (1)步骤②中立即断开开关最可能的原因是___________ A．防止烧坏电阻箱 B．防止烧坏电压表 C．防止长时间通电，电池内阻和电动势发生明显变化 (2)根据闭合电路欧姆定律，可以得到与的关系表达式为___________（用和表示） (3)根据实验数据绘制的图线得出电池组的电动势___________，内阻___________。（结果均保留3位有效数字） (4)本实验系统误差产生的原因是___________（选填“电压表分压”“电压表分流”或“电阻箱分压”），内阻的测量值比真实值___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】(1)C (2) (3) 2.86 0.667 (4) 电压表分流 偏小 【详解】（1）步骤②中立即断开开关的原因是防止长时间通电，电池内阻和电动势发生变化。 故选C。 （2）在闭合电路中，由闭合电路欧姆定律可得 解得 （3）[1][2]结合图像有， 解得， （4）[1]根据闭合电路欧姆定律有函数中的电流为干路电流，故本实验误差原因为电压表分流； [2]将电压表与电源等效为一个新电源，流过电阻电流等于新电源的干路电流，所测电阻为电源内阻与电压表并联的等效电阻，可知电阻测量值偏小。 15．某学习小组按照如图1所示的电路图安装实验器材，测量一节干电池的电动势和内阻，其中为电阻箱，定值电阻。 (1)实验中多次改变电阻箱的阻值，从电压表上读出相应的示数，发现与不成线性关系，于是求出了各自的倒数如下表。 测量次数 1 2 3 4 5 6 7 0.025 0.050 0.100 0.125 0.200 0.250 0.500 0.759 0.828 0.808 1.035 1.242 1.380 2.070 根据表中的数据和实验原理，可以判断出第_____次（填序号）测量的数据是错误的。 (2)该小组作出的图像如图2所示，可知该干电池电动势的测量值_____V，内阻_____。（结果均保留3位有效数字） (3)若流过电压表的电流不能忽略，由此测得的干电池的电动势与真实值相比_____（选填“偏大”“相等”或“偏小”）。 【答案】(1)3 (2) 1.45 1.00 (3)偏小 【详解】（1）根据题意，由闭合电路欧姆定律有 整理可得 可知，随着变大，也变大，由题表可知第3次测量数据有误。 （2）由小问1可知 结合图2可得， 解得， （3）若流过电压表的电流不能忽略，则有 即 与对比，因 故 即 16．新能源汽车使用的电源大多数由锂离子电池串联而成，某物理实验小组通过实验测量某新型锂电池的电动势和内阻，具体操作如下。 (1)为完成本实验，需要将实验室量程为0.4V、内阻为2kΩ的电压表改装成量程为4V的电压表使用，则需串联一个阻值为______kΩ的定值电阻R0。 (2)该小组设计了如图1所示电路图进行实验，正确进行操作，利用记录的数据进行描点作图得到如图2所示的变化图像，其中U为图1中电压表的读数，R为电阻箱的读数，图中a=9.5，b=3.0，c=2.0。若忽略电压表分流带来的影响，则电池甲的电动势E=______V，内阻r=______Ω。（计算结果均保留两位小数） (3)另一实验小组通过实验测量另外一块锂电池乙的电动势和内阻，实验结束后，发现甲、乙两电池的电动势相等，内阻有较大的差异。同学们进一步探究电池内阻的热功率P随路端电压U变化的关系，画出了下图所示的图像。已知甲电池的内阻较大，则下列各图中可能正确的是______。（填正确选项前的字母） A． B． C． D． 【答案】(1)18 (2) 3.33 1.08 (3)B 【详解】（1）原电压表满偏电流 改装后量程，串联电阻分压 因此串联电阻阻值 （2）[1][2]改装后电阻箱两端实际电压为 （量程扩大10倍，原电压表读数为），根据闭合电路欧姆定律 整理得 对比图像：纵轴截距 ，斜率 代入 ，电动势 内阻 （3）内阻热功率 ，电路电流 代入得 已知相等：当时，，甲内阻更大，因此甲的更小，甲曲线在下方； 当时，，相等，因此终点横坐标相同。 故选B。 17．“伽利略”学习小组想测定两节串联干电池的电动势和内阻。他们手头有一量程为0~250μA、内阻为1000Ω的表头，首先把表头改装为0~3V的电压表，小组同学经过计算后将一阻值为的定值电阻与表头连接，进行改装。 (1)小组同学首先把表头改装为0~3V的电压表，小组同学需将一阻值大小为______Ω与表头串联连接，进行改装。 (2)小组同学将校准之后的改装电压表V与电阻箱R（最大阻值为99.99Ω）、待测电源按图甲连接，闭合开关S，调节电阻箱，记录多组电阻箱和改装电压表换算后的示数，作出相应的图像如图乙所示，结合图乙可知这两节串联干电池的电动势______V，总内阻______Ω。（结果均保留三位有效数字） 【答案】(1)11000 (2) 2.78 0.200 【详解】（1）表头满偏电流 根据欧姆定律有 解得 （2）[1][2]由题图甲，根据闭合电路欧姆定律有 整理得 结合题图乙可知斜率，纵截距为 代入数据解得， 18．某实验小组进行测量电源的电动势和内阻的实验，现有下列器材： a、待测电源E，电动势约9V，内阻约1Ω，允许通过的最大电流为0.5A； b、理想电压表V，量程为0~3V； c、电流表A，量程为0~3A，内阻约2Ω； d、定值电阻； e、电阻箱R，阻值范围为0~999.9Ω； f、单刀单掷开关一个，导线若干。 (1)请在下面所给的虚线框内画出实验原理图，要求电表指针的偏转均超过其量程的三分之一； (2)实验时，先将电阻箱的阻值或滑动变阻器接入电路的电阻调到___________（填“最大”或“最小”）； (3)电压表示数用U表示，电流表示数用I表示，电阻箱示数用R表示。多次测量，根据实验数据在平面直角坐标系中进行描点，画出的___________图像是一条直线（选“A”、“B”、“C”或“D”）； A． B． C． D． (4)若上述所做图像的直线的斜率为k，纵截距为b，则电源电动势E=___________，内阻r=___________。 【答案】(1) (2)最大 (3)D (4) 【详解】（1）因为待测电源允许通过的最大电流只有0.5A，所以不能使电流表的偏转均超过其量程的三分之一，故将定值电阻和电压表改装成量程为0.3A的电流表使用，如图所示 （2）实验时，应将电阻箱的阻值或滑动变阻器接入电路的阻值调至最大，起到保护电路作用，防止元器件损坏。 （3）电流 根据闭合电路欧姆定律可得 联立可得 根据实验数据描点，绘出的图像是一条直线，故选D。 （4）[1][2]直线的斜率为k，纵截距为b，则有， 解得电动势 内阻 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.6 电源电动势和内阻的测量（题型突破） 题型01 伏安法测量电池电动势和内阻 题型02 安阻法测量电池电动势和内阻 题型03 伏阻法测量电池电动势和内阻 ▌题型01 伏安法测量电池电动势和内阻 1．偶然误差：(1)电表读数不准和电表线性不良引起的误差。 (2)作U－I图像时描点不准确造成误差。 (3)测量过程中通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。 2．系统误差：主要原因是未考虑电压表的分流作用，使得电流表上读出的数值比实际的总电流(即流过电源的电流)要小一些。理论上E＝U＋(IV＋IA)r，U越大，电流表的读数与总电流的偏差就越大。如下图所示： 因为电压表和电池并联，所以r测＝<r真，因为外电阻R断开时，a、b两点间电压Uab等于电动势E测，此时电源与电压表构成回路，所以Uab<E真，即E测<E真。 1．2024年3月28日，国产某米汽车一上市就得到了广大消费者的欢迎。 (1)实验小组A，为了能较准确地测量该款车辆电池的电动势E和内阻r，设计了一个可以排除电流表和电压表内阻影响的实验方案，如图1所示，记录了单刀双掷开关S2分别接1、2对应的多组电压表的示数U和电流表的示数I，根据实验记录的数据绘制如图2中所示的P、Q两条U­I图线，可以判断图线P是利用单刀双掷开关S2接________（选填“1”或“2”）时的实验数据描出的，由图线P得出的内阻测量值比真实值偏________（选填“大”或“小”）。综合P、Q两条图线，此电池的电动势E＝________，内阻r＝________。（用图2中EP、EQ、IP、IQ表示） (2)实验小组B，设计了补偿式电路，来准确地测量电池的电动势和内阻，实验电路图如图3所示。采用小组B设计的电路时，应怎样操作才能消除电表内阻所带来的误差？（答出关键步骤即可）答：________________________________。 2．某学习小组为了测量电池的电动势和内阻，同时测量某金属丝的电阻率，设计了如图1所示的电路图，实验步骤如下： a．用螺旋测微器测量金属丝三个不同位置的直径，其直径平均值为； b．按图1连接好电路，是金属丝，定值电阻，调节滑片至金属丝的最左端； c．改变滑片的位置，记录滑片到金属丝右端的距离，测出多组相应电压表示数、电流表示数和的数据； d．作出随变化和随变化的图像，分别如图2、3所示。 回答下列问题： (1)由图2绘出的图像求得电池的电动势________V，内阻________（结果保留三位有效数字）； (2)若图3中直线的斜率为，可求得金属丝的电阻率________（用题干中的字母表示）； (3)考虑到电流表不是理想电表而分压，这一因素是否会导致用上述方法测量电阻率产生系统误差？________（填“是”或“否”）。 3．两位同学在实验室利用如图（a）所示的电路测定定值电阻、电源的电动势和内电阻，调节滑动变阻器的滑动触头向某一方向移动时，一个同学记录了电流表和电压表的测量数据，另一同学记录的是电流表和电压表的测量数据，并根据数据分别描绘了如图（b）所示的两条直线，回答下列问题： (1)根据甲乙两同学描绘的直线，可知甲同学是根据电压表______（填“”或“”）和电流表的数据描绘的图线，并可以测得______（填写物理量符号及计算结果）；乙同学是根据电压表______（填“”或“”）和电流表的数据描绘的图线，并可以测得______（填写物理量符号及计算结果） (2)该电路中电流表的读数______（填：“可能”或“不可能”）达到，理由是______。 4．某同学测量某电源的电动势和内阻，提供下列仪器： A．待测电源（电动势约为，内阻r约为） B．电流表（量程0.6A，内阻为） C．电压表V1（量程4V，内阻约5kΩ）              D．电压表V2（量程，内阻约） E．电阻箱R0（0∼999.9Ω） F．滑动变阻器R（0∼1000Ω）   G．开关、导线若干 (1)为尽量减小实验误差，实验中电压表选择___________；（填写元件的字母代号） (2)该实验应该选择的实验电路是图中的___________（填“甲”或“乙”）； (3)根据实验数据画出图线如图丙所示。由图线可知电源的电动势___________V，内电阻r=___________Ω。（结果均保留三位有效数字） (4)关于该实验的误差，下列说法正确的是（     ） A．由于电压表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏大 B．由于电压表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏小 C．由于电流表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏大 D．由于电流表内阻的影响，会使电源内电阻的测量值偏小 5．某实验小组要测量两节干电池组的电动势和内阻，实验室有下列器材： A．灵敏电流计G（0~5mA，内阻约为60Ω） B．电压表V（0~3V，内阻约为10kΩ） C．电阻箱 D．滑动变阻器 E.旧电池2节 F.开关、导线若干 (1)由于灵敏电流计的量程太小，需扩大灵敏电流计的量程。测量灵敏电流计的内阻的电路如图甲所示，调节的阻值和电阻箱使得电压表示数为2.00V，灵敏电流计示数为4.00mA，此时电阻箱接入电路的电阻为445.0Ω，则灵敏电流计内阻为_______Ω；（保留1位小数） (2)为将灵敏电流计的量程扩大为60mA，该实验小组将电阻箱与灵敏电流计并联，则应将电阻箱的阻值调为_______Ω；（保留1位小数） (3)把扩大量程后的电流表接入如图乙所示的电路，根据测得的数据作出U-I（I为灵敏电流计的示数）图像如图丙所示，则该干电池组的电动势_______；内阻_______。（两个量均保留3位有效数字） 6．某学习小组做“测量电池的电动势和内阻”的实验，电路图如图甲所示，已知。 (1)调节滑动变阻器，电压表和电流表的示数记录在表格中，请根据表中的数据，在图乙的方格纸上作出图线。 序号 1 2 3 4 5 6 1.40 1.36 1.35 1.28 1.20 1.07 0.10 0.15 0.23 0.25 0.35 0.50 (2)根据图线求得电池的电动势________，内阻________。（结果保留两位小数） (3)该同学利用图甲所示的电路进行测量，系统误差来自于________________，这造成了电动势的测量值________真实值，内阻的测量值________真实值（以上两空均选填“大于”“等于”或“小于”）。 ▌题型02 安阻法测量电池电动势和内阻 1．数据处理 (1)计算法：由 解方程组求得E、r。 (2)图像法：由E＝I(R＋r)可得 ①＝R＋，可作－R图像(如图甲) －R图像的斜率k＝，纵轴截距为。 ②R＝E·－r，可作R－图像(如图乙) R－图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r。 7．某物理小组测量一未知电源的电动势和内阻。 (1)他们用多用电表的10 V电压量程粗测该电源的电动势，应将多用电表的选择开关对准_________（填“交流”或“直流”）10 V量程，然后将电源和多用电表连接好，其中_________（填“红表笔”或“黑表笔”）与电源负极连接，指针如图甲所示。 (2)他们在实验室找到如下器材： A．灵敏电流计（量程1.0 mA，内阻为150 Ω）； B．定值电阻（阻值2.0 Ω、1.0 A） C．定值电阻（阻值2850.0 Ω、0.1 A） D．定值电阻（阻值4850.0 Ω、0.1 A） E.电阻箱（阻值范围0~999.9 Ω、额定电流2 A） F.开关一个，导线若干 ①他们设计了如图乙所示的电路图，则电阻应该选择_________（填器材前面的序号），电阻应该选择_________（填器材前面的序号）； ②他们按照选好的器材连接好电路，调节电阻箱的阻值R，记录下多组电阻箱的阻值R和对应的灵敏电流计的读数I，以为纵坐标，以为横坐标，将测得的数据通过描点、连线后得到一条倾斜直线，该直线的斜率为k，纵截距为b，则该电源电动势_________，内阻_________（用题目中的字母表示，已知灵敏电流计中的电流远小于通过电源的电流）。 8．新型硅基负极材料标志着低成本高硅负极技术的重大突破，硅基负极电池内阻很小，电动势约为，某实验小组为了准确测量某硅基电池的电动势和内阻，设计了如下两组实验： (1)利用图甲测量定值电阻的大小。已知电流表的内阻为，测量得到电流表的读数为，电流表的读数为，则定值电阻______。从设计原理看，其测量值______（填“大于”“小于”或“等于”）真实值。 (2)乙实验中，闭合开关、，调节滑动变阻器和电阻箱，使电流计示数为0，记录示数，示数，电阻箱示数，重复调节滑动变阻器和电阻箱，每次都使电流计示数为0，记录电阻箱取不同值时对应的和的示数，做出图像，若图像的纵截距为，斜率的绝对值为，则该硅基电池的电动势______，内阻______（用、、表示）。 9．某兴趣小组“探究一电池的输出功率与外电路电阻的关系”的电路如图1所示，图1中R为电阻箱，R0是阻值为38.0 kΩ的定值电阻，是电流表（量程0~100 μA，内阻2.0 kΩ），E是电池。 (1)改变电阻箱的电阻R，测得该电池的输出电压U与电阻箱的电阻R之间的关系如图2中的曲线所示。由图像可知，该电池的电动势为________ V（结果保留三位有效数字）。 (2)图2曲线上P点对应电阻箱消耗的功率是________ W，此时电池的总功率为________ W。（结果均保留三位有效数字） 10．某实验小组用图甲所示电路测量一电池组的电动势和内阻，使用到的实验器材有： A．待测电池组（电动势约，内阻约） B．毫安表（量程为，内阻） C．电阻箱（最大阻值） D．定值电阻 E.开关、导线若干 (1)由于毫安表的量程太小，需要将其改装成量程为的电流表，则图甲虚线框中，与毫安表并联的定值电阻的阻值为__________； (2)闭合开关前，应将电阻箱的阻值调到__________（选填“最小”或“最大”）； (3)闭合开关，多次调节电阻箱，记录其阻值和毫安表的读数；某次测量时，毫安表的示数如图乙所示，对应通过电池组的电流为__________； (4)根据每次测得的毫安表读数，计算出通过电池组的电流；以为纵坐标，为横坐标，作图线（用直线拟合）如图丙所示；根据图像可求出电池组的电动势__________，内阻__________。（结果均保留2位有效数字） 11．某同学把铜片和锌片相隔约2cm插入一个桔子中，就制成了一个水果电池。铜片是电池的正极，锌片是负极。他所用到的器材有水果电池、电阻箱、电流表、电键和导线若干，实验电路图如图所示。 (1)分别用 E和 r表示电源的电动势和内阻， RA为电流表的内阻，则R与的关系式为=______。 (2)若用该实验方法测量水果电池的电动势和内阻，电动势的测量值______真实值，内阻的测量值______真实值（选填“大于 ”“等于 ”“小于 ”）。 (3)该同学在断开电键准备收拾器材的时候，忽然想起测量干电池电动势时，可以将学生用指针式电压表（量程 0~3V，内阻约3kΩ）直接接到干电池的正负极，因此该同学也将这种指针式电压表直接接到了桔子电池的正负极，但是测得的数值与用图像测得的电动势数值差距很大。设直接用指针式电压表测得的电动势用E2表示，该同学用R与图像法测得的电动势用E1表示，请分析说明这两个值哪一个更大。______。 12．某同学利用图1所示的电路测量一电池的电动势E（约3V）和内阻r（小于）。图中电流表量程为0.3A，内阻；定值电阻；电阻箱R最大阻值为；S为开关。按电路图连接电路，并完成下列填空。 （1）为保护电流表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选______（填“2.0或12.0”）。 （2）闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电流表的相应读数I。 （3）根据图1所示电路，用R、、、E和r表示，得______。 （4）利用测量数据，作图线，如图2所示。 （5）通过图2可得______V，______（均保留2位有效数字）。 （6）若将图1中的电流表当成理想电表，得到的电源电动势为，则______E（填“大于”“等于”或“小于”）。 ▌题型03 伏阻法测量电池电动势和内阻 1．数据处理 (1)计算法：由解方程组可求得E和r。 (2)图像法：由E＝U＋r得＝＋·。故－图像的斜率k＝，纵轴截距为，如图。 13．某同学为了精确测量一节干电池的电动势和内阻，设计了如图所示的电路。 实验室为其提供的实验器材如下： ①电压表V（量程，内阻） ②定值电阻 ③定值电阻 ④电阻箱 ⑤开关S和导线若干 回答下列问题： (1)由于电压表的量程较小，需将电压表改装成量程为的电压表，需_______（填“串”或“并”）联一定值电阻，该定值电阻应选择_______； (2)实验时，将开关闭合，调节电阻箱的阻值，记录多组电压表的示数以及对应的电阻箱的阻值，然后根据记录的数据描绘出的图像，如图乙所示，已知描绘图像时忽略了电压表的分流作用，若该图像的纵截距为，斜率为，则电源的电动势_______，电源的内阻_______； (3)如果不能忽略电压表的分流作用，则（2）中获得的电源内阻的测量值_______（填“大于”、“等于”或“小于”）真实值。 14．某学习小组的同学们想利用电压表和电阻箱测量一电池组的电动势和内阻，他们找到的实验器材如下： A．待测电池组； B．电压表（量程为，内阻约为）； C．电阻箱R（阻值范围为）； D．开关、导线若干。 实验步骤如下： ①将电池组与其余实验器材按图1所示连接电路； ②调节电阻箱阻值，闭合开关，待示数稳定后，记录电阻箱的阻值R和电压表的示数后立即断开开关； ③改变电阻箱的阻值，重复实验，计算出相应的和，绘制出关系图线如图2中的直线所示。请回答下列问题： (1)步骤②中立即断开开关最可能的原因是___________ A．防止烧坏电阻箱 B．防止烧坏电压表 C．防止长时间通电，电池内阻和电动势发生明显变化 (2)根据闭合电路欧姆定律，可以得到与的关系表达式为___________（用和表示） (3)根据实验数据绘制的图线得出电池组的电动势___________，内阻___________。（结果均保留3位有效数字） (4)本实验系统误差产生的原因是___________（选填“电压表分压”“电压表分流”或“电阻箱分压”），内阻的测量值比真实值___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 15．某学习小组按照如图1所示的电路图安装实验器材，测量一节干电池的电动势和内阻，其中为电阻箱，定值电阻。 (1)实验中多次改变电阻箱的阻值，从电压表上读出相应的示数，发现与不成线性关系，于是求出了各自的倒数如下表。 测量次数 1 2 3 4 5 6 7 0.025 0.050 0.100 0.125 0.200 0.250 0.500 0.759 0.828 0.808 1.035 1.242 1.380 2.070 根据表中的数据和实验原理，可以判断出第_____次（填序号）测量的数据是错误的。 (2)该小组作出的图像如图2所示，可知该干电池电动势的测量值_____V，内阻_____。（结果均保留3位有效数字） (3)若流过电压表的电流不能忽略，由此测得的干电池的电动势与真实值相比_____（选填“偏大”“相等”或“偏小”）。 16．新能源汽车使用的电源大多数由锂离子电池串联而成，某物理实验小组通过实验测量某新型锂电池的电动势和内阻，具体操作如下。 (1)为完成本实验，需要将实验室量程为0.4V、内阻为2kΩ的电压表改装成量程为4V的电压表使用，则需串联一个阻值为______kΩ的定值电阻R0。 (2)该小组设计了如图1所示电路图进行实验，正确进行操作，利用记录的数据进行描点作图得到如图2所示的变化图像，其中U为图1中电压表的读数，R为电阻箱的读数，图中a=9.5，b=3.0，c=2.0。若忽略电压表分流带来的影响，则电池甲的电动势E=______V，内阻r=______Ω。（计算结果均保留两位小数） (3)另一实验小组通过实验测量另外一块锂电池乙的电动势和内阻，实验结束后，发现甲、乙两电池的电动势相等，内阻有较大的差异。同学们进一步探究电池内阻的热功率P随路端电压U变化的关系，画出了下图所示的图像。已知甲电池的内阻较大，则下列各图中可能正确的是______。（填正确选项前的字母） A． B． C． D． 17．“伽利略”学习小组想测定两节串联干电池的电动势和内阻。他们手头有一量程为0~250μA、内阻为1000Ω的表头，首先把表头改装为0~3V的电压表，小组同学经过计算后将一阻值为的定值电阻与表头连接，进行改装。 (1)小组同学首先把表头改装为0~3V的电压表，小组同学需将一阻值大小为______Ω与表头串联连接，进行改装。 (2)小组同学将校准之后的改装电压表V与电阻箱R（最大阻值为99.99Ω）、待测电源按图甲连接，闭合开关S，调节电阻箱，记录多组电阻箱和改装电压表换算后的示数，作出相应的图像如图乙所示，结合图乙可知这两节串联干电池的电动势______V，总内阻______Ω。（结果均保留三位有效数字） 18．某实验小组进行测量电源的电动势和内阻的实验，现有下列器材： a、待测电源E，电动势约9V，内阻约1Ω，允许通过的最大电流为0.5A； b、理想电压表V，量程为0~3V； c、电流表A，量程为0~3A，内阻约2Ω； d、定值电阻； e、电阻箱R，阻值范围为0~999.9Ω； f、单刀单掷开关一个，导线若干。 (1)请在下面所给的虚线框内画出实验原理图，要求电表指针的偏转均超过其量程的三分之一； (2)实验时，先将电阻箱的阻值或滑动变阻器接入电路的电阻调到___________（填“最大”或“最小”）； (3)电压表示数用U表示，电流表示数用I表示，电阻箱示数用R表示。多次测量，根据实验数据在平面直角坐标系中进行描点，画出的___________图像是一条直线（选“A”、“B”、“C”或“D”）； A． B． C． D． (4)若上述所做图像的直线的斜率为k，纵截距为b，则电源电动势E=___________，内阻r=___________。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $