第二章 实数的初步认识（复习讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义以“实数的初步认识”为单元，通过表格梳理复习要点与重难点，分知识点系统呈现平方根、算术平方根、立方根、实数及无理数的概念与性质，构建清晰知识脉络，突出概念辨析与运算应用的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“算术平方根的非负性应用”题型，通过例题解析培养推理意识，结合“基础达标”“能力进阶”练习满足不同学生需求。每个知识点配“要点速测”即时巩固，助力学生自主复习，教师可依此实施精准教学，提升运算能力与抽象思维。

第二章 实数的初步认识 复习要点 1. 理解平方根、算术平方根、立方根，会求一个数的平方根、算术平方根、立方根； 2. 理解无理数、实数的概念，能对实数进行简单的分类； 3. 会比较两个实数的大小；会用有理数估计一个无理数的大小； 4. 能利用实数的概念及其运算解决简单的实际问题，并能按照问题的要求对结果取近似值，能说出一个近似值的精确度。 复习重难点 重点：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念及其计算； 难点：会比较两个实数的大小；会用有理数估计一个无理数的大小． 知识点 平方根 1.平方根的定义：如果 ,那么这个数𝑥叫做𝑎的平方根，也叫做 。 2.平方根的性质： （1）如果,那么 ,所以 、 都是的平方根。所以一个正数有 个平方根，这两个平方根互为 ，记作: ； （2）规定：0的平方根是 ； （3）负数没有平方根。 3.开平方：求一个数的 的运算叫做开平方。 要点速测 1．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 2．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 算术平方根 1.算术平方根的定义：如果一个 𝑥的平方等于𝑎,那么这个 𝑥叫做𝑎的算术平方根；记作：； 2.算术平方根的性质： （1）正数的算术平方根是 数； （2）0的算术平方根是 ； （3）负数没有算术平方根； （4）算术平方根具有双重非负性，即：； （5）算术平方根等于其本身的数只有 和 ； （6）被开方数越大，对应的算术平方根也越 。 要点速测 3．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中错误的是（   ） A．1的算术平方根是1 B． C．16的平方根是 D．的算术平方根是5 知识点 立方根 1. 立方根定义：一般地，如果 ，那么这个数𝑥叫做的𝑎的立方根, 也叫 。求一个数的 的运算叫做开立方。 2. 立方根表示方法: 3. 立方根性质: （1）正数的立方根是 ; （2）0的立方根是 ； （3）负数的立方根是 。 要点速测 5．下列关于立方根的说法，正确的是（    ） A．的立方根是 B．立方根等于它本身的数有，0，1 C．的立方根为 D．一个数的立方根不是正数就是负数 6．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 知识点实数的概念 1.实数的概念： 与 统称为实数。 2.实数与数轴上的点的关系： 关系。 （1）每一个实数都可以用数轴上的 来表示； （2）数轴上的每一个点都表示唯一一个 。 3.实数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 实数 实数 要点速测 7．下列说法中错误的是（      ） A．任何实数的绝对值都是非负数 B．不带根号的数是有理数 C．实数包括有理数和无理数 D．实数与数轴上的点之间是一一对应的 8．下列说法正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和零； ②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1； ③不带根号的数一定是有理数； ④两个无理数的和是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 知识点 无理数 1.无理数的概念： 小数叫做无理数。 2.无理数的常见表现形式： （1）含有根号，且开方开不尽的数； （2）化简后仍含有的数； （3）具有特定结构的无限不循环小数，例如：0.2020020002…… 易错提醒： （1）所有数在判断前一定要化简到底再判断； （2）具有特定结构的小数后面一定要有省略号，否则就变成了有限小数，也就成了有理数，而不是无理数。 3.无理数的估算方法： （1）找到的前一个和后一个平方数：即 （2）两边同时取算术平方根得：. 要点速测 9．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 10．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 题型1 求一个数的平方根 ▌例1 的平方根是（     ） A． B． C． D． 解题要点 求一个数的平方根 1.一个正数的平方根是两个，这是本题最易错的地方，尤其是填空题中最容易漏写负的平方根，切记！ 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根。 ▌迁移练1-1的平方根是（     ） A．3 B． C． D． ▌迁移练1-213的平方根是___________． 题型2 根据一个数的平方根求这个数 ▌例2 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 解题要点 根据一个数的平方根求这个数方法 1.解决这个问题的关键要知道：一个正数的两个平方根是相反苏的关系，利用相反数的特性：和为0，列方程求出其中的参数字母的值。 2.第二步：再将所求的字母的值带入其中一个平方根； 3.将求出的平方根再平方求出这个数。 ▌迁移练2-1已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（     ） A．2 B．3 C．9 D． ▌迁移练2-2如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______． 题型3 判断有关平方根和算术平方根的等式是否成立 ▌例3 下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 判断有关平方根和算术平方根的等式是否成立易错提醒 1.这种等式的判断，首先判断两边的符号是否一致，等号两边的正负号要相同。 2.然后再根据平方根、算术平方根的概念判断，对应的数值是否正确。 ▌迁移练3-1下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型4 算术平方根的非负性应用 ▌例4 若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 解题要点 算术平方根的非负性应用 1.具有非负性的三种：绝对值、偶次幂、算术平方根。 2.常见形式有：绝对值+算术平方根=0，偶次幂+算术平方根=0，算术平方根+算术平方根=0. 3.解决这种问题，通常将等式变成右边为0的样式，然后让左边每一部分都等于0，求出对应的参数字母的值，再解决问题。 ▌迁移练4-1代数式的最小值为____． ▌迁移练4-2已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 题型5 估计算术平方根的范围 ▌例5 估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 解题要点 估计算术平方根的范围 1.先找到被开方数的前面一个平方数和后面一个平方数； 2.两边同时开平方即可求出它的大致范围。 ▌迁移练5-1若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 ▌迁移练5-2小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 题型6 利用平方根解方程 ▌例6 已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 解题要点 利用平方根解方程 1.利用平方根的概念求解方程中的未知数，主要容易错的地方是容易漏掉负数解； 2.有些情况也会与利用立方根的概念求解未知数容易混淆，利用立方根的概念求未知数的值是一个解，而利用平方根的概念求未知数的值是两个解。 ▌迁移练6-1解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． ▌迁移练6-2若，则x的值为______． 题型7 求一个数的立方根 ▌例7 下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同D．的立方根是 解题要点 立方根的概念与计算立方根 1.一个数的立方根只有一个，无论是正数、负数、还是0； 2.注意与平方根的区别，记号的区别，个数的区别。 ▌迁移练7-1的立方根是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2化简：_______． 题型8 已知一个数的立方根求这个数 ▌例8 若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 解题要点 已知一个数的立方根求这个数 1.根据一个数的立方根求这个数过程比平方根的相对简单，直接将立方根三次方即可； 2.易错提醒：与立方根相关的都是一个解，与平方根相关问题不同，平方根的相关问题答案通常为两个。 ▌迁移练8-1已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． ▌迁移练8-2已知的立方根是，则____________． 题型9 平方根、立方根的程序图问题 ▌例9 在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 解题要点 平方根、立方根的程序图问题 与平方根、立方根有关的程序图计算问题，有两个关键点： 1.要尽可能分步写算式计算，因为计算过程中每一步都是上一步的计算结果作为初始数，这样就需要加很多级括号，这个地方很容易加错，所以分步列算式是对付这种问题的法宝； 2.第二个关键点是有很多或者说大多数题目都不会一步结束，大多数都涉及到循环问题，这一点要特别小心，否则很容易犯错。 ▌迁移练9-1有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． ▌迁移练9-2如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 题型10 平方根、立方根的综合应用 ▌例10 已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 解题要点 平方根、立方根的综合应用 平方根与立方根的综合应用问题有两种，一是纯数学问题，二是实际生活问题，不论是哪一种问题要注意的地方有三点： 1.平方根通常有两个解，注意检验是否符合问题的实际背景； 3.学会将实际生活问题转化为纯数学问题，然后利用所学的知识解决自己的问题。 ▌迁移练10-1如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． ▌迁移练10-2我国古代《九章算术》中记载了“方田”、“圆田”面积计算方法，并提出“周三径一”的圆周率．结合所学知识，解决下列问题： 已知：一个圆与一个正方形的面积都是． (1)求圆的半径和正方形的边长（用含的式子表示） (2)圆和正方形中哪一个的周长较大？通过计算说明理由（精确到0.1）．（参考数据：，，） 难点一 有关平方根、算术平方根的概念理解 在有关平方根、算术平方根的概念与计算的考查方式中，最常见的就是有关平方根和算术平方根的等式是否成立的判断问题，通常会出现在选择题中，给出四个有关平方根和算术平方根的计算与化简，让我们根据平方根、算术平方根的概念计算判断正误。 1. 基础误区：最易错的是等号两边的符号问题，有很多同学总是根据一个正数的平方根有两个，所以总认为等号后边应该是“”其实要想做对很简单，掌握两个原则：一是掌握平方根和算术根的概念；二是记住等号两边的符号一致。 2. 涉及平方根和算术平方根的概念题型还有一种就是给出一个正数的一个平方根或者两个平方根，反过来求这个数，这里主要是利用两个平方根的关系：互为相反数，来求原来的数，这里要注意审题，有时候题目会让求原来的数，有时也会让求平方根中含有的参数字母的值，如果不注意审题，特别容易弄错. 难点精练 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 3．下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 4．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列式子计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 难点二 利用有理数来估算无理数的范围 常见题型：估算无理数的范围． 解题方法：先找到无理数的被开方数的前面和后面的平方数，再两边同时开平方，可以估计出无理数的大致范围. 难点精练 6．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 9．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 难点三 有关平方根、立方根的程序图问题 常见题型：程序图有关计算． 解题方法：这种问题最好分步计算，不要列综合算式，这样可以减少错误，因为有些同学列综合算式不知括号加在什么位置，这也是主要错误原因. 难点精练 11．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 12．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 13．如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 14．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 15．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 基础达标 1．（     ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 8．下列说法中，正确的是（    ） A．0.4的算术平方根是0.2 B．是6的平方根 C．1的立方根为 D．没有平方根 9．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 10．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 能力进阶 1．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 3．已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 4．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各组数中，表示的数一定相同的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 7．若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 9．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 10．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数的初步认识 复习要点 1. 理解平方根、算术平方根、立方根，会求一个数的平方根、算术平方根、立方根； 2. 理解无理数、实数的概念，能对实数进行简单的分类； 3. 会比较两个实数的大小；会用有理数估计一个无理数的大小； 4. 能利用实数的概念及其运算解决简单的实际问题，并能按照问题的要求对结果取近似值，能说出一个近似值的精确度。 复习重难点 重点：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念及其计算； 难点：会比较两个实数的大小；会用有理数估计一个无理数的大小． 知识点 平方根 1.平方根的定义：如果,那么这个数𝑥叫做𝑎的平方根，也叫做二次方根。 2.平方根的性质： （1）如果,那么,所以，都是的平方根。所以一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，记作:； （2）规定：0的平方根是0； （3）负数没有平方根。 3.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。 要点速测 1．下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. 【详解】A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． 2．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 知识点 算术平方根 1.算术平方根的定义：如果一个正数𝑥的平方等于𝑎,那么这个正数𝑥叫做𝑎的算术平方根；记作：； 2.算术平方根的性质： （1）正数的算术平方根是正数； （2）0的算术平方根是0； （3）负数没有算术平方根； （4）算术平方根具有双重非负性，即：； （5）算术平方根等于其本身的数只有0和1； （6）被开方数越大，对应的算术平方根也越大。 要点速测 3．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 的算术平方根是． 4．下列说法中错误的是（   ） A．1的算术平方根是1 B． C．16的平方根是 D．的算术平方根是5 【答案】D 【详解】解：∵ ，正数的正平方根是它的算术平方根，∴ 的算术平方根是，A正确. ∵ ，∴ ，B正确. ∵ ，∴ 的平方根是，C正确. ∵ ，的算术平方根是，不是，∴ D错误. 知识点 立方根 1. 立方根定义：一般地，如果，那么这个数𝑥叫做的𝑎的立方根, 也叫三次方根。求一个数的立方根的运算叫做开立方。 2. 立方根表示方法:(符号中的3不能省略) 3. 立方根性质: （1）正数的立方根是正数; （2）0的立方根是0； （3）负数的立方根是负数。 要点速测 5．下列关于立方根的说法，正确的是（    ） A．的立方根是 B．立方根等于它本身的数有，0，1 C．的立方根为 D．一个数的立方根不是正数就是负数 【答案】B 【分析】各项利用立方根定义判断即可． 【详解】A．的立方根是，故选项错误； B．立方根等于它本身的数有，0，1，故选项正确； C．，的立方根为，故选项错误； D．0的立方根是0，故选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 6．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的立方根是正数，，∴ 的立方根是，A错误； ∵ 负数有一个负的立方根，，∴ 的立方根是，B错误； ∵ ，，∴ ，C正确； ∵ ，，，∴ 立方根等于本身的数是，D错误． 知识点实数的概念 1.实数的概念：有理数与无理数统称为实数。 2.实数与数轴上的点的关系：一一对应关系。 （1）每一个实数都可以用数轴上的唯一一个点来表示； （2）数轴上的每一个点都表示唯一一个实数。 3.实数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 实数 实数 要点速测 7．下列说法中错误的是（      ） A．任何实数的绝对值都是非负数 B．不带根号的数是有理数 C．实数包括有理数和无理数 D．实数与数轴上的点之间是一一对应的 【答案】B 【分析】根据实数的知识，无理数的定义，立方根的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A，任何实数的绝对值都是非负数，说法正确，故此选项不符合题意． B，不带根号的数不一定是有理数，如，说法错误，故此选项符合题意． C，实数包括有理数和无理数，说法正确，故此选项不符合题意． D，实数与数轴上的点之间是一一对应的，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．下列说法正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和零； ②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1； ③不带根号的数一定是有理数； ④两个无理数的和是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①根据实数的分类，可得答案；②根据平方根、立方根，可得答案；③根据有理数的定义，可得答案；④根据实数的运算，可得答案． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，故①错误； ②平方根和立方根都等于它本身的数为0，故②错误； ③有限小数或无限循环小数是有理数，故③错误； ④两个无理数的和是可能是无理数、可能是有理数，故④错误； 故选：A． 知识点 无理数 1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数的常见表现形式： （1）含有根号，且开方开不尽的数； （2）化简后仍含有的数； （3）具有特定结构的无限不循环小数，例如：0.2020020002…… 易错提醒： （1）所有数在判断前一定要化简到底再判断； （2）具有特定结构的小数后面一定要有省略号，否则就变成了有限小数，也就成了有理数，而不是无理数。 3.无理数的估算方法： （1）找到的前一个和后一个平方数：即 （2）两边同时取算术平方根得：. 要点速测 9．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 10．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【分析】通过比较77与相邻完全平方数的大小，估算的范围． 【详解】解：∵，，， ∴． 题型1 求一个数的平方根 ▌例1 的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 解题要点 求一个数的平方根 1.一个正数的平方根是两个，这是本题最易错的地方，尤其是填空题中最容易漏写负的平方根，切记！ 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根。 ▌迁移练1-1的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的平方根是． ▌迁移练1-213的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 题型2 根据一个数的平方根求这个数 ▌例2 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 解题要点 根据一个数的平方根求这个数方法 1.解决这个问题的关键要知道：一个正数的两个平方根是相反苏的关系，利用相反数的特性：和为0，列方程求出其中的参数字母的值。 2.第二步：再将所求的字母的值带入其中一个平方根； 3.将求出的平方根再平方求出这个数。 ▌迁移练2-1已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（     ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本性质，利用“正数的两个不同平方根互为相反数”求出的值，再计算原数即可． 【详解】解：∵ 正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 把代入得 ， ∴ ． ▌迁移练2-2如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______ 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再求出其中的一个平方根，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴． 题型3 判断有关平方根和算术平方根的等式是否成立 ▌例3 下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 解题要点 判断有关平方根和算术平方根的等式是否成立易错提醒 1.这种等式的判断，首先判断两边的符号是否一致，等号两边的正负号要相同。 2.然后再根据平方根、算术平方根的概念判断，对应的数值是否正确。 ▌迁移练3-1下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． ▌迁移练3-2下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵，∴，D错误． 题型4 算术平方根的非负性应用 ▌例4 若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 解题要点 算术平方根的非负性应用 1.具有非负性的三种：绝对值、偶次幂、算术平方根。 2.常见形式有：绝对值+算术平方根=0，偶次幂+算术平方根=0，算术平方根+算术平方根=0. 3.解决这种问题，通常将等式变成右边为0的样式，然后让左边每一部分都等于0，求出对应的参数字母的值，再解决问题。 ▌迁移练4-1代数式的最小值为____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． ▌迁移练4-2已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【详解】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 题型5 估计算术平方根的范围 ▌例5 估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】使用夹逼法，找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 因此的值在和之间． 解题要点 估计算术平方根的范围 1.先找到被开方数的前面一个平方数和后面一个平方数； 2.两边同时开平方即可求出它的大致范围。 ▌迁移练5-1若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． ▌迁移练5-2小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 【答案】(1)见详解(2) 见详解 【分析】（1）根据，其中忽略不计，可得答案； （2）两种方法的近似值进行平方，与52比较即可判断． 【详解】（1）解：如图， ， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）①得出近似值的精确度更高，理由如下： 因为，， 且，， 所以①得出近似值的精确度更高． 题型6 利用平方根解方程 ▌例6 已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵25的平方根为， ∴． 解题要点 利用平方根解方程 1.利用平方根的概念求解方程中的未知数，主要容易错的地方是容易漏掉负数解； 2.有些情况也会与利用立方根的概念求解未知数容易混淆，利用立方根的概念求未知数的值是一个解，而利用平方根的概念求未知数的值是两个解。 ▌迁移练6-1解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵ ， ∴； （2）解：∵ ， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵， ∴， （4）解： ∵， ∴． ▌迁移练6-2若，则x的值为______． 【答案】或 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【详解】解：变形，得． 根据平方根的意义，可得． 所以或． 题型7 求一个数的立方根 ▌例7 下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误。 解题要点 立方根的概念与计算立方根 1.一个数的立方根只有一个，无论是正数、负数、还是0； 2.注意与平方根的区别，记号的区别，个数的区别。 ▌迁移练7-1的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的立方根是． ▌迁移练7-2化简：_______． 【答案】 【详解】解： ． 题型8 已知一个数的立方根求这个数 ▌例8 若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 解题要点 已知一个数的立方根求这个数 1.根据一个数的立方根求这个数过程比平方根的相对简单，直接将立方根三次方即可； 2.易错提醒：与立方根相关的都是一个解，与平方根相关问题不同，平方根的相关问题答案通常为两个。 ▌迁移练8-1已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． ▌迁移练8-2已知的立方根是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴． 解得：． 题型9 平方根、立方根的程序图问题 ▌例9 在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 解题要点 平方根、立方根的程序图问题 与平方根、立方根有关的程序图计算问题，有两个关键点： 1.要尽可能分步写算式计算，因为计算过程中每一步都是上一步的计算结果作为初始数，这样就需要加很多级括号，这个地方很容易加错，所以分步列算式是对付这种问题的法宝； 2.第二个关键点是有很多或者说大多数题目都不会一步结束，大多数都涉及到循环问题，这一点要特别小心，否则很容易犯错。 ▌迁移练9-1有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． ▌迁移练9-2如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 题型10 平方根、立方根的综合应用 ▌例10 已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 解题要点 平方根、立方根的综合应用 平方根与立方根的综合应用问题有两种，一是纯数学问题，二是实际生活问题，不论是哪一种问题要注意的地方有三点： 1.平方根通常有两个解，注意检验是否符合问题的实际背景； 3.学会将实际生活问题转化为纯数学问题，然后利用所学的知识解决自己的问题。 ▌迁移练10-1如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． ▌迁移练10-2我国古代《九章算术》中记载了“方田”、“圆田”面积计算方法，并提出“周三径一”的圆周率．结合所学知识，解决下列问题： 已知：一个圆与一个正方形的面积都是． (1)求圆的半径和正方形的边长（用含的式子表示） (2)圆和正方形中哪一个的周长较大？通过计算说明理由（精确到0.1）．（参考数据：，，） 【答案】(1)圆的半径为，正方形的边长为 (2)见详解 【分析】（1）根据圆和正方形的面积公式求解； （2）分别计算圆和正方形的周长比较即可． 【详解】（1）解：∵一个圆与一个正方形的面积都是，设圆的半径为r，正方形的边长为a， ∴，， ∴，； （2）解：圆的周长为，正方形的周长为， ∵， ∴正方形的周长较大． 难点一 有关平方根、算术平方根的概念理解 在有关平方根、算术平方根的概念与计算的考查方式中，最常见的就是有关平方根和算术平方根的等式是否成立的判断问题，通常会出现在选择题中，给出四个有关平方根和算术平方根的计算与化简，让我们根据平方根、算术平方根的概念计算判断正误。 1. 基础误区：最易错的是等号两边的符号问题，有很多同学总是根据一个正数的平方根有两个，所以总认为等号后边应该是“”其实要想做对很简单，掌握两个原则：一是掌握平方根和算术根的概念；二是记住等号两边的符号一致。 2. 涉及平方根和算术平方根的概念题型还有一种就是给出一个正数的一个平方根或者两个平方根，反过来求这个数，这里主要是利用两个平方根的关系：互为相反数，来求原来的数，这里要注意审题，有时候题目会让求原来的数，有时也会让求平方根中含有的参数字母的值，如果不注意审题，特别容易弄错. 难点精练 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵，∴，D错误． 2．下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据算术平方根有意义的条件以及平方根、算术平方根的定义，即可判断． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3）无意义，故（3）错误； （4），故（4）错误； （5），故（5）错误； 综上所述，错误的共个． 3．下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，表示的算术平方根，结果为非负数，，C错误． 选项D，，，D正确． 4．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示的算术平方根，结果为非负数，表示的平方根，计算每个选项，判断等式是否成立． 【详解】解：A、表示的平方根，，，故符合题意； B、，算术平方根结果为非负数，，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 5．下列式子计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A选项，，A计算错误； 对于B选项，，B计算正确； 对于C选项，，C计算错误； 对于D选项，表示4的算术平方根，结果为非负数，，D计算错误． 难点二 利用有理数来估算无理数的范围 常见题型：估算无理数的范围． 解题方法：先找到无理数的被开方数的前面和后面的平方数，再两边同时开平方，可以估计出无理数的大致范围. 难点精练 6．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 7．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 8．《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】找到与19相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断的范围． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间． 9．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用夹逼法估算无理数的范围，先确定的取值范围，再推导得到的范围，即可选出正确选项． 【详解】解：∵ ∴ 不等式两边同时减1，得 不等式两边同时除以2，得． 10．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可解答． 【详解】解：由数轴得：， A．，点A表示的数大于，故该选项说法错误，不符合题意； B．，点B表示的数在0和1之间，故该选项说法错误，不符合题意； C．，点C表示的数在2和3之间，故该选项说法正确，符合题意； D．，点D表示的数在3和4之间，故该选项说法错误，不符合题意． 难点三 有关平方根、立方根的程序图问题 常见题型：程序图有关计算． 解题方法：这种问题最好分步计算，不要列综合算式，这样可以减少错误，因为有些同学列综合算式不知括号加在什么位置，这也是主要错误原因. 难点精练 11．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 12．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 13．如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换机示意图进行算术平方根的运算即可． 【详解】解：输入，取算术平方根， 输入，取算术平方根， 输出． 14．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 15．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 基础达标 1．（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示的算术平方根. ∵， ∴． 2．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 的算术平方根是． 3．下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到错误说法. 【详解】解：对选项A，，9的算术平方根为3，A说法正确，不符合题意. 对选项B，，与互为相反数，B说法正确，不符合题意. 对选项C，表示24的算术平方根，算术平方根为非负数，，C说法错误，符合题意. 对选项D，，9的平方根为，D说法正确，不符合题意. 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 5．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质求解，算术平方根与绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出，的值，再计算，最后求出其算术平方根即可； 【详解】解：∵，，且， ∴ 解得，， 故， ∴的算术平方根是； 6．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根性质，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意． 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【分析】通过比较77与相邻完全平方数的大小，估算的范围． 【详解】解：∵，，， ∴． 8．下列说法中，正确的是（    ） A．0.4的算术平方根是0.2 B．是6的平方根 C．1的立方根为 D．没有平方根 【答案】B 【分析】根据一个正数的平方根由两个互为相反数的实数组成、平方根的概念、立方根的概念判断即可． 【详解】A．0.4的算术平方根是，故错误，不符合题意； B．是6的平方根，故正确，符合题意； C．1的立方根是，故错误，不符合题意； D．中，当时，有平方根，故错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根的概念，熟记概念是关键． 9．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 10．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 能力进阶 1．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 3．已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 4．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和绝对值的概念，根据平方根，算术平方根，立方根和绝对值的概念逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 故选：． 5．下列各组数中，表示的数一定相同的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、绝对值、立方根等概念．逐项计算表达式值，并分析判断是否恒等，即可解题． 【详解】解：A：∵ ，，，故A不同，不符合题意． B：∵ ， ，，故B一定相同，符合题意． C：∵ ，当时，，故C不一定相同，不符合题意． D：∵ ，， ，故D不同，不符合题意． 故选：B． 6．若，则实数可以取到的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算和的取值范围，再判断选项中的数是否在该范围内即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， 可以取到的值为. 故选：B． 7．若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先找到，取值范围，进而可求的最大值即可． 【详解】解：∵，即； ，即， 又，均为正整数，且要使最大， 最大取3，最大取2， 的最大值是5， 故选：B． 8．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【详解】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 9．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)见详解 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $