第2章 实数的初步认识 单元复习讲义 2026—2027 学年苏科版数学八年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统构建“实数的初步认识”单元知识体系，涵盖平方根、立方根、实数及近似值，以结构化框架呈现定义、性质、运算等要点，用对比表格区分平方根与立方根特征，清晰展现知识内在联系与重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如“求平方根”巩固概念，中等题“算术平方根非负性”培养抽象能力，优质题“割圆术估算π”提升推理意识，覆盖月考至期末题型，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第2章 实数的初步认识 思维导图 2.1 平方根 一、平方根的定义 如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根。 根据定义可得：若x² = a，则x是a的平方根，因此a是x的平方，必然满足a ≥ 0，负数没有平方根。 二、平方根的性质 · 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； · 0的平方根只有一个，就是0本身； · 负数没有平方根，因为任何实数的平方都不可能是负数。 三、平方根的表示方法 正数a的两个平方根可以记作“”，其中表示a的正平方根，也叫做a的算术平方根，表示a的负平方根。这里的符号“”叫做二次根号，a叫做被开方数，读作“正负根号a”。 四、算术平方根 正数a的正平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0。 算术平方根的双重非负性：对于，满足①被开方数a ≥ 0；②算术平方根本身 ≥ 0，这两个性质是很多代数问题求解的核心依据。 五、开平方运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，开平方运算和平方运算互为逆运算：平方运算是已知底数求幂，开平方是已知幂求底数，因此可以通过平方运算验证平方根的结果是否正确。 常见结论：()² = a（a ≥ 0）；= |a| = 。 2.2 立方根 一、立方根的定义 如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根。 二、立方根的表示方法 数a的立方根记作“”，其中a是被开方数，3叫做根指数，读作“三次根号a”，根指数3不能省略，与平方根区分开。 三、立方根的性质 · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数； · 0的立方根是0； · 任意实数都有且只有一个立方根，这是立方根与平方根最明显的区别。 重要性质： = -，也就是说，立方根号内的负号可以直接移到根号外面。 四、开立方运算 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，开立方运算与立方运算互为逆运算，因此可以通过立方运算验证立方根的结果是否正确。 常见结论：()³ = a；= a，对于任意实数a都成立。 2.3 实数 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数，无理数满足两个核心特征：一是无限，二是不循环，二者缺一不可。 常见的无理数类型： · 开方开不尽的数； · 含圆周率π的数； · 无限不循环的特殊结构小数，比如0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）。 二、实数的定义与分类 有理数和无理数统称为实数，也就是说，实数可以分为有理数和无理数两类。 实数的分类可以从两种角度梳理： 1.按定义分类： 实数分为有理数（整数和分数，对应有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。 2.按正负分类： 实数分为正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数）。 三、实数与数轴的关系 实数和数轴上的点是一一对应的：也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 常见应用：可以在数轴上画出表示√2、√3等无理数的点，利用勾股定理构造直角三角形即可得到对应长度。 四、实数的相关性质 有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的概念，在实数范围内仍然完全适用： · 相反数：实数a的相反数是-a，互为相反数的两个实数和为0；在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等。 · 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，任意实数的绝对值都是非负数。 · 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，0没有倒数，非零实数a的倒数是。 五、实数的大小比较 有理数大小比较的法则在实数范围内仍然适用，常见比较方法： · 正数大于0，0大于负数，正数大于负数； · 两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较，绝对值大的数反而小； · 对于两个正无理数，可以通过比较平方的大小比较原数大小，若a > 0, b > 0，a² > b²，则a > b；也可以通过估算近似值比较大小。 六、实数的运算 有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用于实数运算，涉及无理数的计算最后一般要求化简，即被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式。 2.4 近似值 一、近似数的定义 生活中很多数据无法或者不需要得到准确值，只需要得到接近准确值的数，这个数就叫做近似数，近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。 二、精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，常见的精确度表述： · 精确到个位，精确到十分位，精确到百分位，…，精确到0.1，精确到0.01等，和上述表述意义一致； · 精确到十位，精确到百位，精确到千位，对于较大的数，一般用科学记数法表示近似数，再看精确度。 举例：近似数2.30×10³，精确到十位；近似数2.3万，精确到千位。 三、无理数的近似值估算 对于无理数，我们可以通过夹逼法估算它的近似值，也就是找到两个相邻的整数，使得无理数介于这两个整数之间，进而得到它的整数部分和近似值。 【类型一】求一个数的算术平方根 1．49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ 49的算术平方根是． 2．的值是（     ） A． B．4 C． D．256 【答案】B 【详解】解：∵表示16的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，又， ∴. 3．已知，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质得到的所有可能值，再根据二次根式有意义的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ， 解得， 不符合题意，舍去， ∴， 将代入得， ． 【类型二】求一个数的平方根 1．的平方根是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】C 【分析】先计算的结果，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 根据平方根的定义：可得， 的平方根是． 2．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 3．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 合并同类项得 ， 解得 ， 将代入得其中一个平方根为 ， 因此这个正数为 【类型三】求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义找到立方等于的数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义可得，的立方根是． 2．的立方根是（     ） A． B． C．8 D．4 【答案】B 【详解】 的立方根是． 3．若与互为相反数，则t的值为____． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和立方根的性质，得到两个被开方数之和为，列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 【类型四】无理数的定义 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此逐一判断选项即可． 【详解】解： A．是有限小数，属于有理数，故排除A； B．，2是整数，属于有理数，故排除B； C．开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； D．是分数，属于有理数，故排除D． 2．在实数、、π、 中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数； 又∵是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；是无限不循环小数，属于无理数； ∴ 无理数共有个. 3．请写出一个绝对值大于且小于的无理数是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意确定所求无理数的绝对值介于和之间，找出被开方数介于和之间的开方开不尽的数即可． 【详解】解：设所求无理数为，由题意得， ， ， 符合题意．（答案不唯一）． 【类型五】实数的分类 1．下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查实数相关概念，根据实数与数轴的对应关系，有理数、无理数的定义与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解： ① 实数和数轴上的点一一对应，符合实数的性质，故①正确； ② 不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但属于无理数，故②错误； ③ 无限小数不都是无理数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，故③错误； ④ 两个无理数的和不一定是无理数，例如，和为有理数，故④错误； 综上只有①正确． 2．下列说法错误的是（     ） A．是分数 B．是正实数 C．是无理数 D．是有理数 【答案】A 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数，根据定义判断各选项，即可找出错误说法． 【详解】解：A．中是无理数，因此仍是无理数，不属于分数，该说法错误； B． ，是正实数，因此该说法正确； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，因此该说法正确； D．，是分数，属于有理数，因此该说法正确． 3．下列说法中，正确的是_______（填序号） ①两个无理数的和是无理数；②每个正数都有两个平方根；③平方根是它本身的数有，；④无理数都是无限不循环小数．⑤没有平方根的数也没有立方根； 【答案】②④ 【分析】根据无理数和有理数的定义，实数，平方根，立方根等知识性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①两个无理数的和是无理数：反例（有理数），故该说法是不正确的． ②每个正数都有两个平方根，故该说法是正确的． ③的平方根是，不是它本身，只有的平方根是，是它本身，故该说法是不正确的． ④无理数都是无限不循环小数，故该说法是正确的． ⑤没有平方根的数也没有立方根：负数没有平方根，但有立方根（如的立方根是）故该说法是不正确的． ∴正确的是②④． 【类型六】数轴上表示无理数 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积求出的长，再根据作法可得，从而得出结果． 【详解】解：正方形的面积为， ， 以点为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上点所表示的数为， 故选：A． 2．将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：D． 3．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键． 由题意可得，则表示的数为，表示的数为，则，然后依次表示，，即可找到规律求解． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ； ， 故答案为：． 【类型七】近似值 1．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定百位数字，根据四舍五入取近似值，再用科学记数法表示，保证精确度符合要求． 【详解】由题意得，将数精确到百位为． 2．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 3．近似数万精确到____________位． 【答案】百 【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数． 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 【类型八】利用平方根与立方根解方程 1．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 2．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 开立方得：， 解得：； （2）解：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：， 即，． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 【类型九】实数的混合运算 1．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】先分别将乘方、立方根、平方根、绝对值化简，然后计算即可． 【详解】解： ． 【类型一】算术平方根的非负性 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】D 【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且， ∴， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 2．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边，结合勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，得 ，， 分两种情况讨论： ① 当，都为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长为； ② 当为斜边，为直角边时，第三边为直角边， 由勾股定理得，第三边长为； ∴ 此直角三角形的第三边为或． 3．若m、n满足，则的值是______． 【答案】4 【分析】根据平方数与算术平方根的非负性求出、的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵，且， 又， ∴， 解得：， ∴． 【类型二】实数的大小比较 1．在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 【答案】D 【分析】利用“正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小”的规则求解即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 正数都大于负数，只需比较两个负数的大小， ∵，，且， ∴ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴，即四个数中最小的数是． 2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，逐一判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，，故此选项错误； B、由数轴可知，，∴，故此选项正确； C、由数轴可知，，∴，，，故此选项错误； D、由数轴可知，，∴，，∴，故此选项错误． 3．比较大小：________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】对于两个正数比较大小，可采用平方法，通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系． 【详解】解：，， 分别对两个数平方得：，， 又， ． 【类型三】估算无理数 1．实数更接近下列哪个整数（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再通过比较和区间中点的大小，判断其更接近的整数. 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且， ∴ ∴ ∴更接近整数10. 2．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（     ）． A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．，之间 【答案】C 【分析】先求出的取值范围，再进一步求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴表示数的点应在，之间． 3．已知（为整数），则的值是__________． 【答案】 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式即可求出整数的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，为整数， ． 【类型四】实数与数轴化简 1．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，再计算算术平方根和绝对值后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【答案】/ 【分析】先由实数在数轴上的位置判断，得到，再由算术平方根、立方根定义化简后，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，则， ． 【类型五】实数中的程序 1．如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 【详解】解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 2．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【答案】 【分析】根据题中所给的运算程序，依次计算立方根和算术平方根，并判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【详解】解：由题可得：的立方根为，是有理数，继续运算； 的算术平方根为，是有理数，返回取立方根； 的立方根为，是无理数，输出； 则输出的的值为． 【类型六】(算术)平方根的实际应用 1．物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ (2)比较物体在哪里自由下落得更快？ 【答案】(1) (2)物体在地球上自由下落得更快 【分析】（1）将代入，求出时间即可； （2）设下降相同距离为，分别代入，，求出时间，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 解得（负值已舍去）． （2）解：设下降的距离都为，（）， 在中，， ， 解得（负值已舍去）． 在中，， ， 解得（负值已舍去）． ， 物体在地球上自由下落得更快． 2．某火星探测车在火星着陆点进行地形勘测，其车载系统利用公式评估行驶速度安全阈值．其中v表示车速（单位：），d为模拟沙地滑距（单位：m），f为沙地摩擦系数．已知探测车在某段沙地测试中，测得，，求此次测试中的探测车的速度v． 【答案】此次测试中的探测车的速度为 【详解】解：将，代入， 得， ∴或（舍去）． 答：此次测试中的探测车的速度为． 3．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)请根据上述平方根的意义，求方程的解； (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地面40米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】（1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：∵有一个物体从离地面40米高处自由落下， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 【类型七】立方根的实际应用 1．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 2．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 3．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】（1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为． 【类型一】割圆术 1．割圆术这一计算圆周率的重要方法，由我国魏晋时期著名数学家刘徽首创．他求出为3.1415……，用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的求法是解题的关键． 精确到十分位需看百分位数字，根据四舍五入规则判断． 【详解】，十分位为1，百分位为4，且， 十分位不变，故精确到十分位为3.1． 故选：A． 2．我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，直接根据实数的分类方法即可得到答案． 【详解】解：是正分数，是有理数， 故选：D． 3．460年，我国古代伟大的数学家祖冲之采用“割圆术”，推算出圆周率在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数．将精确到百分位，需看千分位数字，千分位为1，小于，故舍去． 【详解】解：精确到百分位即保留小数点后两位，数字的百分位是4，千分位是1，1小于5，因此舍去千分位及后的数字，得到． 故答案为：． 【类型二】秦九韶—海伦公式 1．秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．若某三角形的三边长分别为，，，则此三角形面积为（   ） A． B．24 C． D．36 【答案】B 【分析】先求出p，再代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ． 2．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．直接利用海伦·秦九韶公式列式计算即可． 【详解】解：，， 则 则三角形的面积为 故答案为： 3．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出的值为_____； (2)请你利用海伦公式，求出的面积； (3)若是边上的高线，平分交于点，求的长． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】本题考查完全平方非负性，绝对值非负性，二次根式非负性，有理数运算，等腰三角形性质等． （1）由题意得，再代入代数式即可得到本题答案； （2）由题意可知，，，，，再代入代数式即可得到本题答案； （3）过点作于点，得到，继而得到，然后得到，再代入数值即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：25； （2）解：由题意可知，，，，， ； （3）解：如图，过点作于点， ，， 为等腰三角形， 是边上的高线， ， ． 平分，，， ． ， ， 解得． 【类型三】算术(平方根)的规律 1．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 2．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 3．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 【类型四】立方根的规律 1．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 2．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 3．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 【类型五】实数的规律 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 【答案】(1) (2) （为正整数） (3) 【分析】（1）根据规律写出第个等式； （2）根据规律写出第个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：； （2）解：第个等式：（为正整数）； （3）解： ． 2．观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】(1) (2)（的自然数）； 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 3．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 【类型六】整数部分与小数部分 1．我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用上述方法，解决下列问题： （1）的小数部分是________； （2）若，其中是整数，且，则的相反数的值是________． 【答案】 / / 【分析】（1）通过放缩法确定的取值范围，即可求解； （2）先确定的取值范围，得到x，y的值，最后根据相反数的定义求解． 【详解】解：（1）， ， 的小数部分是； （2）， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的相反数的值是． 2．阅读下列文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．请解答： (1)请求出的整数部分和小数部分； (2)某正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)整数部分为，小数部分为 (2) 【分析】（1）估算无理数的大小，即可得出整数部分和小数部分； （2）根据题意先后确定的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为； （2）解：由题意得， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的整数部分为5， ∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 3．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 【类型七】实数中的新定义 1．对于两个数，，我们定义： ①表示这两个数的平均数，例如； ②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题： (1)填空：________，若，则________； (2)已知，求的取值范围； (3)已知，求和的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料的定义直接求解即可得到答案； （2）根据表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；列出不等式求解即可得到答案； （3）由题中材料的定义直接求解即可得到答案，结合列出二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， 解得； （3）解：根据材料中的定义，结合 ，, ， ,, ,即, 联立方程组得, 解得． 2．对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据已知条件列二元一次方程组求出a、b的值，得到新运算的表达式； （2）问先化简方程组得到t的范围，再根据不等式组的解集确定t的范围，最后化简所求不等式得到解集； （3）化简不等式组得到解集，结合整数解个数和已知条件求出m的范围． 【详解】（1）解：∵，，． ∴ ，解得 ， （2）解：由（1）可得：，，则， ∵关于x，y的方程组， ∴， 可得：，即， ∵ ∴，解得：， ∵关于p的不等式组， ∴，解得：， ∵关于p的不等式组的解集为， ∴，即， ∴， ∵关于s的不等式， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：∵， ∴，即， 关于x的不等式组可化为：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：，即 ∵关于x的不等式组有4个整数解， ∴， ∵有四个整数解， ∴设最小的整数解为k，最大的整数解为，则 ，整理得：， ∵方程组有解， ∴，解得：， 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 当时，由不等式①可得：；由不等②可得：，此时不等式组的解集为； 综上，m的取值范围为． 3．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；________． (2)若，写出满足题意的的一个整数值． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 【答案】(1)2，5 (2)中任意一个即可 (3)255 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴符合题意的值可以是，写出任意一个即可； （3）解：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 【类型八】延伸拓展一复数 1．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算； ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等； ③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如的共轭复数为 (1)填空： _____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2)12 (3)3 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式的变形求值，正确理解题意是解题的关键． （1）利用平方差公式去括号，再根据定义计算求解即可； （2）根据完全平方公式求出的结果，再根据共轭复数的定义确定a、b的值即可得到答案； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求出等式左边的结果，进而得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】（）按照定义及积的乘方计算即可； （）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求的式子求解即可； （）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，个一组，从而可得答案． 【详解】（1）解：（1）①原式， ②原式． （2）解：∵，是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：由条件可知：， 即， ∴， 解得：， ∴， ∵， 有个加数，， ∴，则， ∴． 3．我们知道、、，那么谁的平方等于负数呢？ 我们定义：的平方等于，即，叫做虚数单位． 这样我们即可知，、… 有了虚数之后，数的范围便拓展了，我们把实数和虚数的复合，形如（、为实数）的数叫做复数，叫做这个数的实部，叫做这个数的虚部，复数有如下特点： ①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法运算类似，如： ； ②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如：的共轭复数为． (1)填空： ①；②______； ③______；④______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知一个复数（为正数）与它的共轭复数之和为，与它的共轭复数之差为，求的值． 【答案】(1)①或；②；③；④14 (2)3 (3)0 【分析】本题考查了新定义实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据运算法则计算即可得解； （2）根据共轭复数的定义求出，，代入所求式子计算即可得解； （3）由题意可得一个复数（为正数）的共轭复数为，从而求出，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：或； ②， 故答案为：； ③， 故答案为：； ④， 故答案为：； （2）解：∵是的共轭复数，，即，其共轭复数为 ∴，， ∴； （3）解：由题意可得一个复数（为正数）的共轭复数为， ∵一个复数（为正数）与它的共轭复数之和为，与它的共轭复数之差为， ∴，， ∴，， ∴． 【类型九】探索近似值 1．小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为的正方形的边长是且， ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 依题意，得， ∴， ∵， ∴， 此时可忽略，得解得， ∴即的近似值是． (1)的整数部分为__________． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到） 【答案】(1)； (2)的近似值是． 【分析】（）根据无理数估算方法即可求解； （）仿照小茗的探索过程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分为， 故答案为：； （2）解：∵面积为的正方形的边长是且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 依题意，得， ∴， ∵， ∴， 此时可忽略，得， 解得， ∴，即的近似值是． 2．小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 【答案】(1)12 (2) ， ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 所画示意图如下： 如图，可得图中正方形的面积为：， ∵，可忽略， 于是得， 解得， ∴． 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）利用算术平方根估计的大小，即可得到的整数部分； （2）类比于题干的求解过程，画出图形求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分为12； 故答案为：12； （2）略 3．期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索的近似值，过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． ，可忽略，得， 解得，． 仿照小李的探索过程，解答下列问题： (1)的整数部分为________； (2)求的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿照示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 【类型十】华罗庚猜数 1．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②5；③45； (2)52． 【分析】（1）仿照题干中提供的解题思路解答即可； （2）根据题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 的立方根是两位数； ②， 的立方根的个位数是； ③划去的后三位数，得到， ， ， 的立方根的十位数是， ； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴能确定的立方根是个两位数． 140608的个位数是8， ∵， ∴能确定的立方根的个位数是2． 划去后面的三位608，得到数140， 而， 则． ∴， 由此确定140608的立方根的十位数是5，因此140608的立方根是52． 2．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 3．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32768，它是一个整数的立方，希望求它的立方根．华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，忙问他用什么的奥秘．你知道华罗庚是怎样快速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，因为，请确定是___________位数； (2)由32768的个位数上的数是8，请确定的个位数上的数是___________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，，请确定的十位数上的数字是___________； (3)所以___________． (4)已知19683是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：． 【答案】(1)两 (2)2；3 (3)32 (4)27 【分析】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． （1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数； （2）继续分析求出个位数和十位数即可； （3）利用（1）（2）中的结论可得结果； （4）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论． 【详解】（1）解：由，， ， ， 是两位数； 故答案为：两； （2）解：只有个位数是2的立方数是个位数是8， 的个位上的数是2 划去32768后面的三位数768得到32， 因为，， ， ． 的十位上的数是3． 故答案为：2，3； （3）解：由（1）（2）可得； （4）解：∵，，， ， 是两位数； 只有个位数是7的立方数是个位数是7， 的个位上的数是7 划去19683后面的三位数683得到19， ∵，，， ． ． 1．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，，正数大于一切负数， 、、都大于， ，，， ， 因此比小的数是． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）在下列实数中：，，，，，…（每两个1之间多一个0）其中无理数有（     ） A． B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先化简可开方的数，再根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 【详解】解：先化简给出的数：，， 由整数，分数，有限小数都属于有理数，即，，，都是有理数； 无理数为无限不循环小数，是无限不循环小数，（每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，均为无理数． 综上，无理数共有个． 3．（25-26七年级下·重庆丰都·阶段检测）估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可确定结果． 【详解】解：， ，即， ，即， 的值在到之间． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 5．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）比较大小：________6．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先利用平方法将整数转化成其平方形式，再根据实数比较大小即可． 【详解】解：，，， ． 6．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出，的值，再计算 即可． 【详解】解：，，且， ， ， ． 7．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）若为正整数，且满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，再对已知不等式变形，得到的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解： ，即 对不等式三边同时加，得 结合可得，且， 解得， 又∵为正整数， ∴． 8．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）计算 (1)计算：． (2)求的值：． 【答案】(1)6 (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得，． 9．（25-26七年级下·天津·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 【答案】（1），， （2），， （3），，，，， （4），，， （相邻两个之间依次多个） 【分析】先计算和，然后再根据实数的定义分类即可． 【详解】解：，， （1）整数集合，，…； （2）分数集合，，…； （3）有理数集合，，，，，…； （4）无理数集合，，， （相邻两个之间依次多个）…； 10．（25-26七年级下·江西赣州·阶段检测）已知正数的两个不同平方根分别是和的算术平方根是1． (1)求和的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ， 的算术平方根是1， ， ； （2）解：，而64的立方根是4， 的立方根为4． 1．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）估计的值在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【分析】找到被开方数3相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵ ，，且 ∴ ，即 因此的值在1到2之间． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】C 【详解】解：A、 由表格可得，2.1的平方为4.41，结论正确； B 、由表格得， ∵， ∴，结论正确； C 、∵， ∴的平方根是，原结论错误； D、 观察表格可知，当时，随着x增大，的值也增大，结论正确． 5．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，得 解得． 6．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【答案】 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 9．（25-26七年级下·江西南昌·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）利用平方根的性质求，利用立方根的定义求； （）先求，再算.，最后求其平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴ ， ∴； （2）解：由（）得， ∴ ， ∴ ， ∴的平方根为． 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）16的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴16的平方根为． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 3．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）如图，大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是（     ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，求出大小正方形的边长，从而得出正方形的边长取值范围，再用估算无理数大小的方法求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得， 故， ， ， ， 即， ∴选项中正方形边长的可能值为． 4．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，输入后计算，若结果不大于6则将结果重新代入计算，直到结果大于6为止，通过计算并比较大小即可得出答案． 【详解】解：输入， 第一次计算结果为， ， 需将重新代入计算， 同理，第二次计算结果为， 由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2， 当计算结果为时，，仍不满足结果， 需将再次代入计算， 下一次计算结果为， ， 输出结果为． 5．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，若一个数的立方根是，则这个数是的立方． 【详解】解：， 的立方根是， 这个数是． 6．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则的值是_______． 【答案】2 【详解】解：， ， 把代入得． 7．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为 (2)6 【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值． （1）根据题干中的方法即可求出结果； （2）根据题意可得，，，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是3，小数部分为． （2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分， ∴，，， ∴. 9．（25-26七年级下·山东日照·期末）综合与实践 (1)【问题发现】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为__________，大正方形的边长为__________，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长为__________． (2)【知识迁移】爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为5和3的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________；大正方形的面积为__________；长方形的对角线长为__________． (3)【拓展延伸】小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】(1)2，， (2)2，34， (3)小思说得对，小明说得不对；理由如下： 设裁出的长方形纸片的长为，宽为， 则，解得（负值舍去）， ∴裁出的长方形纸片的长为． 面积为的正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【分析】（1）根据大正方形的面积2个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积4个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设裁出的长方形纸片的长为，宽为，根据长方形纸片的面积为，计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为2，则边长为； 这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为． （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：； 则大正方形的边长为； ∴长方形的对角线长为． （3）略 10．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 思维导图 2.1 平方根 一、平方根的定义 如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根。 根据定义可得：若x² = a，则x是a的平方根，因此a是x的平方，必然满足a ≥ 0，负数没有平方根。 二、平方根的性质 · 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； · 0的平方根只有一个，就是0本身； · 负数没有平方根，因为任何实数的平方都不可能是负数。 三、平方根的表示方法 正数a的两个平方根可以记作“”，其中表示a的正平方根，也叫做a的算术平方根，表示a的负平方根。这里的符号“”叫做二次根号，a叫做被开方数，读作“正负根号a”。 四、算术平方根 正数a的正平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0。 算术平方根的双重非负性：对于，满足①被开方数a ≥ 0；②算术平方根本身 ≥ 0，这两个性质是很多代数问题求解的核心依据。 五、开平方运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，开平方运算和平方运算互为逆运算：平方运算是已知底数求幂，开平方是已知幂求底数，因此可以通过平方运算验证平方根的结果是否正确。 常见结论：()² = a（a ≥ 0）；= |a| = 。 2.2 立方根 一、立方根的定义 如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根。 二、立方根的表示方法 数a的立方根记作“”，其中a是被开方数，3叫做根指数，读作“三次根号a”，根指数3不能省略，与平方根区分开。 三、立方根的性质 · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数； · 0的立方根是0； · 任意实数都有且只有一个立方根，这是立方根与平方根最明显的区别。 重要性质： = -，也就是说，立方根号内的负号可以直接移到根号外面。 四、开立方运算 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，开立方运算与立方运算互为逆运算，因此可以通过立方运算验证立方根的结果是否正确。 常见结论：()³ = a；= a，对于任意实数a都成立。 2.3 实数 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数，无理数满足两个核心特征：一是无限，二是不循环，二者缺一不可。 常见的无理数类型： · 开方开不尽的数； · 含圆周率π的数； · 无限不循环的特殊结构小数，比如0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）。 二、实数的定义与分类 有理数和无理数统称为实数，也就是说，实数可以分为有理数和无理数两类。 实数的分类可以从两种角度梳理： 1.按定义分类： 实数分为有理数（整数和分数，对应有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。 2.按正负分类： 实数分为正实数（正有理数、正无理数）、0、负实数（负有理数、负无理数）。 三、实数与数轴的关系 实数和数轴上的点是一一对应的：也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 常见应用：可以在数轴上画出表示√2、√3等无理数的点，利用勾股定理构造直角三角形即可得到对应长度。 四、实数的相关性质 有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的概念，在实数范围内仍然完全适用： · 相反数：实数a的相反数是-a，互为相反数的两个实数和为0；在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等。 · 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，任意实数的绝对值都是非负数。 · 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，0没有倒数，非零实数a的倒数是。 五、实数的大小比较 有理数大小比较的法则在实数范围内仍然适用，常见比较方法： · 正数大于0，0大于负数，正数大于负数； · 两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较，绝对值大的数反而小； · 对于两个正无理数，可以通过比较平方的大小比较原数大小，若a > 0, b > 0，a² > b²，则a > b；也可以通过估算近似值比较大小。 六、实数的运算 有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用于实数运算，涉及无理数的计算最后一般要求化简，即被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式。 2.4 近似值 一、近似数的定义 生活中很多数据无法或者不需要得到准确值，只需要得到接近准确值的数，这个数就叫做近似数，近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。 二、精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，常见的精确度表述： · 精确到个位，精确到十分位，精确到百分位，…，精确到0.1，精确到0.01等，和上述表述意义一致； · 精确到十位，精确到百位，精确到千位，对于较大的数，一般用科学记数法表示近似数，再看精确度。 举例：近似数2.30×10³，精确到十位；近似数2.3万，精确到千位。 三、无理数的近似值估算 对于无理数，我们可以通过夹逼法估算它的近似值，也就是找到两个相邻的整数，使得无理数介于这两个整数之间，进而得到它的整数部分和近似值。 【类型一】求一个数的算术平方根 1．49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 2．的值是（     ） A． B．4 C． D．256 3．已知，且，则的值为_________． 【类型二】求一个数的平方根 1．的平方根是（     ） A． B．2026 C． D． 2．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 3．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 【类型三】求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．的立方根是（     ） A． B． C．8 D．4 3．若与互为相反数，则t的值为____． 【类型四】无理数的定义 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在实数、、π、 中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．请写出一个绝对值大于且小于的无理数是_____． 【类型五】实数的分类 1．下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 2．下列说法错误的是（     ） A．是分数 B．是正实数 C．是无理数 D．是有理数 3．下列说法中，正确的是_______（填序号） ①两个无理数的和是无理数；②每个正数都有两个平方根；③平方根是它本身的数有，；④无理数都是无限不循环小数．⑤没有平方根的数也没有立方根； 【类型六】数轴上表示无理数 1．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 3．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点，处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_______． 【类型七】近似值 1．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 3．近似数万精确到____________位． 【类型八】利用平方根与立方根解方程 1．求的值： (1)； (2)． 2．求下列各式中的值． (1)； (2)． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【类型九】实数的混合运算 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：． 【类型一】算术平方根的非负性 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 2．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 3．若m、n满足，则的值是______． 【类型二】实数的大小比较 1．在实数，，，中，最小的数是（     ） A． B． C．-2 D． 2．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．比较大小：________（填“”、“”或“”） 【类型三】估算无理数 1．实数更接近下列哪个整数（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（     ）． A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．，之间 3．已知（为整数），则的值是__________． 【类型四】实数与数轴化简 1．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【类型五】实数中的程序 1．如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 2．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【类型六】(算术)平方根的实际应用 1．物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ (2)比较物体在哪里自由下落得更快？ 2．某火星探测车在火星着陆点进行地形勘测，其车载系统利用公式评估行驶速度安全阈值．其中v表示车速（单位：），d为模拟沙地滑距（单位：m），f为沙地摩擦系数．已知探测车在某段沙地测试中，测得，，求此次测试中的探测车的速度v． 3．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)请根据上述平方根的意义，求方程的解； (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地面40米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【类型七】立方根的实际应用 1．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 2．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 3．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 【类型一】割圆术 1．割圆术这一计算圆周率的重要方法，由我国魏晋时期著名数学家刘徽首创．他求出为3.1415……，用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 2．我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数 3．460年，我国古代伟大的数学家祖冲之采用“割圆术”，推算出圆周率在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果为_____． 【类型二】秦九韶—海伦公式 1．秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．若某三角形的三边长分别为，，，则此三角形面积为（   ） A． B．24 C． D．36 2．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为________． 3．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出的值为_____； (2)请你利用海伦公式，求出的面积； (3)若是边上的高线，平分交于点，求的长． 【类型三】算术(平方根)的规律 1．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 2．根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 3．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【类型四】立方根的规律 1．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 2．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 3．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【类型五】实数的规律 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 2．观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 3．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【类型六】整数部分与小数部分 1．我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用上述方法，解决下列问题： （1）的小数部分是________； （2）若，其中是整数，且，则的相反数的值是________． 2．阅读下列文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．请解答： (1)请求出的整数部分和小数部分； (2)某正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分，求的算术平方根． 3．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【类型七】实数中的新定义 1．对于两个数，，我们定义： ①表示这两个数的平均数，例如； ②表示这两个数中更大的数，当时，；当时，；例如：．根据以上材料，解决下列问题： (1)填空：________，若，则________； (2)已知，求的取值范围； (3)已知，求和的值． 2．对于实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b均为非零常数）．例如：，．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x，y的方程组的解满足，且关于p的不等式组的解集为，求关于s的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组有4个整数解，且，求m的取值范围． 3．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；________． (2)若，写出满足题意的的一个整数值． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 【类型八】延伸拓展一复数 1．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算； ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等； ③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如的共轭复数为 (1)填空： _____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 2．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 3．我们知道、、，那么谁的平方等于负数呢？ 我们定义：的平方等于，即，叫做虚数单位． 这样我们即可知，、… 有了虚数之后，数的范围便拓展了，我们把实数和虚数的复合，形如（、为实数）的数叫做复数，叫做这个数的实部，叫做这个数的虚部，复数有如下特点： ①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法运算类似，如： ； ②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如：的共轭复数为． (1)填空： ①；②______； ③______；④______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知一个复数（为正数）与它的共轭复数之和为，与它的共轭复数之差为，求的值． 【类型九】探索近似值 1．小茗同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为的正方形的边长是且， ∴设，其中． 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 依题意，得， ∴， ∵， ∴， 此时可忽略，得解得， ∴即的近似值是． (1)的整数部分为__________． (2)仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到） 2．小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 3．期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索的近似值，过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． ，可忽略，得， 解得，． 仿照小李的探索过程，解答下列问题： (1)的整数部分为________； (2)求的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）． 【类型十】华罗庚猜数 1．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 2．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 3．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32768，它是一个整数的立方，希望求它的立方根．华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，忙问他用什么的奥秘．你知道华罗庚是怎样快速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，因为，请确定是___________位数； (2)由32768的个位数上的数是8，请确定的个位数上的数是___________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，，请确定的十位数上的数字是___________； (3)所以___________． (4)已知19683是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：． 1．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）在下列实数中：，，，，，…（每两个1之间多一个0）其中无理数有（     ） A． B．个 C．个 D．个 3．（25-26七年级下·重庆丰都·阶段检测）估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 4．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 5．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）比较大小：________6．（填“”、“”或“”） 6．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________． 7．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）若为正整数，且满足，则的值为_______． 8．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）计算 (1)计算：． (2)求的值：． 9．（25-26七年级下·天津·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 10．（25-26七年级下·江西赣州·阶段检测）已知正数的两个不同平方根分别是和的算术平方根是1． (1)求和的值； (2)求的立方根． 1．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）估计的值在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 5．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________． 6．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 9．（25-26七年级下·江西南昌·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）16的平方根为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 3．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）如图，大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是（     ） A．1 B． C． D．3 4．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若一个数的立方根是，则这个数是__________． 6．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则的值是_______． 7．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 8．（25-26七年级上·山东淄博·期末）阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 9．（25-26七年级下·山东日照·期末）综合与实践 (1)【问题发现】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为__________，大正方形的边长为__________，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长为__________． (2)【知识迁移】爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为5和3的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________；大正方形的面积为__________；长方形的对角线长为__________． (3)【拓展延伸】小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 10．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 学科网（北京）股份有限公司 $