25.2降次--解一元二次方程专项训练根的判别式和根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2降次----解一元二次方程 专题一元二次方程根的判别式和根与系数的关系分层训练 一、一元二次方程根的判别式 （一）不解方程，判断一元二次方程根的情况 1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2.一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3.关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 4.若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 （二）根据根的判别式求参数的取值范围 1.已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） B． C． D． 2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 3.关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是_____． 4.已知关于x的一元二次方程 有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 根据根的判别式证明一元二次方程根的情况 1.已知关于 的一元二次方程 ；求证：方程总有两个不相等的实数根； 2.已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 3.关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根． 二、一元二次方程根与系数的关系 直接利用根与系数的关系求代数式的值 1.若、是方程 的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D．026 2.下列方程的两个实数根的和为 的是（     ） A． B． C． D． 3.已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 4.若 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是（     ） A． B． C． D． 5.若方程 的两个根是 ， ，则 的值为________． 已知一元二次方程两根关系，求参数 1.已知关于 的一元二次方程 ，方程有两个互为相反数的实数根，则 的值是__________． 2.若关于 的一元二次方程 两根为 ， ，且 ，则 的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 3.已知关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根 ， 满足 ，求m的值． 4.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； （2）若 ， 是该方程的两个根，且 ，求 的值． 三、根的判别式和根与系数的关系的综合 1.已知关于x的一元二次方程 ． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为 ，且 ，求m的值． 2.已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ． (1)求 的取值范围． (2)当时，求的值． 3.已知关于 的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两实数根分别为 和 ，且满足，求的值． 4.关于 的一元二次方程 的有两个实数根为 ， ． （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值． 1.对于实数 、 ，定义运算“☆”如下： ，例如： ，则方程 的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2.关于x的方程 有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） 且 B． C． D． 3.已知一个矩形相邻两边长（单位： ）是关于 的方程 （ 是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位： ）可能是（     ） A． B． C． D． 4.已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为 和 ，设 ，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 5.已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是______． 6.已知 的两边 ， 的长是关于 的一元二次方程 的两个根，第三边 的长是 ． (1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？ 1.（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2.（2026·四川广元·中考真题）（选择题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4.（2025·新疆·中考真题）（选择题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 6.（2026·河北·中考真题）（填空题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 7.（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 8.（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 25.2降次----解一元二次方程 专题一元二次方程根的判别式和根与系数的关系分层训练答案 一、一元二次方程根的判别式 （一）不解方程，判断一元二次方程根的情况 1. B   2. D   3. A   4.C   （二）根据根的判别式求参数的取值范围 1. A   2.A   3. 且 4.（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数 ， ∴一元二次方程化为 ， 此时， ∴， ∴ 或 ， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为 或 ． （三）根据根的判别式证明一元二次方程根的情况 1.证明：已知一元二次方程为 ， 可得， ， ， ∴， ∵， ∴，即 ， ∴方程总有两个不相等的实数根． 2.（1）证明： = = = ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 3.（1）证明： = = ， 不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 将代入原方程得：， 即 解得：， 的值为，此时方程的根为． 二、一元二次方程根与系数的关系 （一）直接利用根与系数的关系求代数式的值 1. D  2.C    3.A  4. C    5. （二）已知一元二次方程两根关系，求参数 1. 2. B   3.解：∵关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得： 或 ， 由判别式大于零，得 ， 解得 ， ∴ ． 4.（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，的值为或． 三、根的判别式和根与系数的关系的综合 1.（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程 的两个实数根为 、 ， ∴ ∵ ， ∴ ， 解得： 或 （舍）， ∴ ． 2.（1）解： 原方程有两个实数根， ∴，即． 解得． （2）解：∵且， ∴即． ∴， ∴． 3.（1）解： ， ∴ = ， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解： ， ∴，即：， 由和是方程两实数根，可得：，， ∴，即=1， ∴或 4.解：（1）因为关于 的一元二次方程 的有两个实数根， 所以△ ，且 ， 解得 ， 所以 的取值范围是 ． （2）因为关于 的一元二次方程 的两个实数根为 ， ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解，且符合题意， 所以 的值为8． 1.A    2.D   3.A   4. D   5. 6.（1）证明：∵对于一元二次方程 ， ∴ ． ∴无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵ ， 的长是关于 的一元二次方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 是以 为斜边的直角三角形， ∴ ， ∵第三边 的长是 ， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ， ， 当 时， ，符合题意； 当 时， ，不符合题意； ∴当 时， 是以 为斜边的直角三角形. 1. A   2. B    3.B  4. B  5. 6. 7. 8.（1）证明：∵原方程为， ∴ = ， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． $