精品解析：黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2026-2027学年高三上学期9月考试数学试题

哈师大青冈实验中学2026--2027学年度9月份考试 高三数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先解一元二次不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再进行交集运算即可. 【详解】集合， 集合， 则. 故选：D. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式、一元二次不等式的解法，结合充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由题意的解集为， 的解集为，则， 故“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 4. 若函数，则（ ） A. 80 B. C. 240 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 5. 已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则先求导，再根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 根据导数的几何意义得， 所以. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和排除错误选项即可. 【详解】由得，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，所以，排除C. 7. 已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，设，推导出，转化为方程在区间上有两解，参变分离，在区间上有两解，构造函数，得到函数单调性，数形结合得到结论. 【详解】由题意得函数与的图象关于直线对称，故， ，设， 则方程，即均在函数图象上， 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 综上，，即方程在区间上有两解， 即，在区间上有两解， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 其中，即， 画出函数在上的图象如下： 要想在区间上有两解，需要， 解得. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若正实数满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 是的极大值点 D. 的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合奇偶性定义判断对称性，借助导数工具分析函数单调性、极值点，结合指数函数的衰减性判断函数最值，利用偶函数的对称性可简化非负区间的性质研究，降低运算复杂度. 【详解】对于A选项： ∵ 的定义域为，关于原点对称，且， ∴ 是偶函数，A正确. 对于B选项： 当时，，求导得， 当时，，，故， ∴ 在上单调递减，B错误. 对于C选项： 当时，，，故，单调递增； 当时，，，故，单调递减， ∴ 是的极大值点，C正确. 对于D选项： 由偶函数的对称性，只需分析时的最值即可： 当时，； 当时，，且，故， 因此的最大值为1. 由前面的分析可得的极小值点为，对应极小值为， ∵ 是单调递增函数，故越大，越大，的绝对值越小，即函数值越大， ∴当时，极小值取得最小值，与选项给出的最小值一致，故的最大值为1，最小值为，D正确. 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数，若，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】考查分段函数的求值，重难点为分段函数的分类讨论及复合函数由内到外的求解逻辑，首先由解析式分析，，再分类讨论，求出值. 【详解】已知. 设，则 由分段函数可知，仅有1个解为，所以结合分段函数性质可得. 若，则，，所以； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为或. 13. 已知函数在处有极值8，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可． 【详解】 若函数在处有极值8，则即 解得：或， 当时，，此时不是极值点，故舍去； 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意， 故， 故. 故答案为：. 14. 若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】设公切线为，是与的切点，是与的切点， ，，所以的方程为， 因为，整理得， 同理，因为，整理得． 依题意两条直线重合，可得，两式相除得， 所以，代入①得 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或． 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时， 直线与曲线有三个交点，故的取值范围为． 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 在 处取得极值. （1）求函数 的解析式; （2）求函数 的单调区间及极值. 【答案】（1）； （2）在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由题设可得，据此可得答案； （2）由（1）中验证过程可得单调区间与极值. 【小问1详解】 . 由在处取极值可得， 则此时. ，， 得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意； 【小问2详解】 由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为. 16. 已知等比数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． 【小问2详解】 ∵ ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 17. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 设，的交点为，连接， 因为四边形与均为菱形，且， 所以，， 又因为，且为中点，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） （3）存在，点在延长线上且满足. 【解析】 【分析】（1）设，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理得到平面，根据面面垂直的判定定理得到平面平面． （2）利用线面垂直的判定定理以及勾股定理证垂直，从而以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用向量的数量积公式求出的值. （3）设，求出的坐标，求出平面的法向量，由平面得到，计算出的值，从而得到点在延长线上，且满足. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，且，平面，所以平面， 设，因为四边形与均为菱形， 且，所以，， 又因为，在中，，所以， 因为，，，平面， 所以平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 所以，，，，， 由，得到， 所以，， 设平面的法向量，，所以， 因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，所以. 【小问3详解】 设，所以， 则，，， 设平面的法向量，，所以， 因为平面，所以，所以， 此时在平面FDM外，符合题意， 所以存在点M符合题意，且点在延长线上，满足. 18. 已知，，是自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分和，分类讨论计算函数的单调性； （2）把方程有两个不等实根转化为与有2个交点，结合导函数得出函数的单调性及最值，计算求出参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的零点个数； （3）若有两个极值点，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明：的定义域为， 因为有两个极值点，有两个极值点，意味着有两个不同正根. 设，其导数. 若，，在递增，不会有两个正根. 当，令，得.在，递增；在，递减. 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程；（2）通过求导分析函数单调性，结合特殊点的值确定零点个数；（3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，定义域为， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减， 又， 所以存在唯一的，使得. 又在上单调递减，所以当时，的零点个数为1. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2026--2027学年度9月份考试 高三数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. 80 B. C. 240 D. 5. 已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若正实数满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 是的极大值点 D. 的最大值为，最小值为 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数，若，则__________． 13. 已知函数在处有极值8，则等于______． 14. 若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 在 处取得极值. （1）求函数 的解析式; （2）求函数 的单调区间及极值. 16. 已知等比数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知，，是自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的零点个数； （3）若有两个极值点，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $