26.4 实际问题与二次函数（第2课时）——销售利润问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数——销售利润问题”，通过商品进价、售价、销量变化的具体情境导入，衔接二次函数最值知识，搭建从理论到实际应用的学习支架。 特色在于任务驱动与分层训练结合，采用建模求解法引导学生建立利润函数，例1、例2及变式训练覆盖涨价、降价情境，培养抽象能力与模型意识。选做作业让学生调查设计定价方案，提升应用意识，助力教师高效教学，帮助学生掌握函数优化决策。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 26.4 实际问题与二次函数（第2课时）——销售利润问题 课 型 新授课 教学 目标 1.能建立销售利润与价格的二次函数模型。 2.会用二次函数最值求最大利润及相应价格。 3.体会函数在优化决策中的应用。 重点 建立利润函数模型求最大利润。 难点 正确表示“价格变化→销量变化→利润”的数量关系，并求最值。 教学 方法 建模求解法、图表辅助法、讨论决策法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：某商品进价40元，售价50元时每天卖20件，每涨价1元少卖2件。定价多少时每天利润最大？ 2.互动提问：利润先增后减，哪个价格利润最大？ 任务驱学 任务1：设涨价x元，单件利润(10+x)元，销量(20-2x)件，利润y=(10+x)(20-2x)。 任务2：展开y=-2x²+80，配方求最值。 任务3：讨论：涨价多少时利润最大？最大利润多少？ 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 利润函数：y=单件利润×销量，展开为二次函数。 探究2 最值：y=-2x²+200（具体：y=(10+x)(20-2x)=-2x²+200+…），求顶点。 探究3 注意：价格（x）有范围限制（涨价不能超过使销量为0）。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 商品进价40元，售价50元时每天卖20件，每涨1元少卖2件，定价多少利润最大？ （设涨x元，y=(10+x)(20-2x)=-2x²+200，x=0时利润最大=200？需配方：y=-2x²+200，实际展开y=-2x²+200→顶点x=0不对。正确：y=(10+x)(20-2x)=-2x²+200+0x？不对。展开：(10+x)(20-2x)=200-20x+20x-2x²=200-2x²，随x增大利润减小，x=0时最大200元，即不涨价利润最大） 例2 商品进价每件60元，售价80元时每周卖300件；每降1元多卖20件，定价多少利润最大？ （设降x元，y=(20-x)(300+20x)=-20x²+100x+6000，顶点x==2.5，降2.5元，定价77.5元时利润最大=6125元） 方法归纳：利润y=单件利润×销量→二次函数→配方求最大利润及定价。 变式训练 变式1 某商店进价每件50元，售价70元时每天卖40件，每涨1元少卖2件，定价多少利润最大？ （设涨x元，y=(20+x)(40-2x)=-2x²+600，x=0时最大600元，不涨价） 变式2 若每降1元多卖3件，进价50元、原售价70元、日销量50件，降价多少利润最大？ （设降x元，y=(20-x)(50+3x)=-3x²+10x+1000，x=≈1.67元） 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演建立利润函数并求最值；小组讨论“为什么有时不涨价利润最大”；教师总结。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：利润=____×____。 2.填空：y=(10+x)(20-2x)展开为y=____。 3.某商品进价30元，售价40元时每天卖80件，每涨1元少卖4件，定价多少利润最大？ 【参考答案】1.单件利润；销量；2.-2x²+200；3.设涨x元，y=(10+x)(80-4x)=-4x²+40x+800，x=5时最大900元，定价45元 反馈订正：第2题注意展开；第3题配方求顶点。 拓展提升 巩固1 商品进价20元，售价30元时每天卖100件，每降1元多卖10件，定价多少利润最大？ （设降x元，y=(10-x)(100+10x)=-10x²+1000，x=0时最大1000元） 巩固2 上题若每降1元多卖20件，定价多少利润最大？ （y=(10-x)(100+20x)=-20x²+100x+1000，x=2.5，定价27.5元） 反馈订正 互批；对展开错误的学生，用分配律逐步展开订正。 二次备课 课 堂 小 结 1.利润=单件利润×销量。 2.建二次函数求最值。 3.定价决策。 课后 作业 1.必做：课本26.4练习第2题；习题26.4第2题。 2.选做：调查一种商品，设计最优定价方案。 板 书 设 计 26.4 销售利润问题 一、利润函数 二、配方求最值 三、定价决策 课 后 反 思 教学反思 1.经济问题贴近生活。 2.展开、配方需细心。 3.“不涨价利润最大”情形要讲清。 4.决策意识培养。 学科网（北京）股份有限公司 $