专项提升训练：探索规律（专项练习）-2026-2027学年数学四年级上册西南大学版

**基本信息** 聚焦积的变化规律，通过多题型系统训练，提炼“因数变化-积变化”对应关系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|填空1-7题|单一因数变化规律（乘除几积也乘除几）|从概念理解到直接应用，建立“因数-积”变化关联| |变式拓展|选择9-13题|双因数变化规律（同乘除积乘除乘积，一乘一除积不变）|深化规律可逆性，辨析易混点（如末尾0个数）| |综合实践|解答20-24题|实际问题转化（面积计算中长/宽变化模型）|从数学抽象到现实应用，培养模型意识|

专项提升训练：探索规律 一、填空题 1．两个因数的积是172，一个因数乘2，另一个因数乘5，积是( )。 2．已知58×32＝1856，那么58×64＝( )，18560÷32＝( )。 3．已知a×b＝120，如果b不变，a乘6那么积是( )；如果a不变，b除以( )，那么积不变。 4．，若A不变，B乘5，积是( )；若A乘5，B除以5，积是( )。 5．如果A×B＝120，那么（A×9）×B＝( )，（A×4）×（B÷3）＝( )。 6．平平用计算器算出了999×2＝1998，999×3＝2997，999×4＝3996，照这样的规律，999×5＝( )，999×8＝( )。 7．用○和△表示两个数，已知○×△＝148，则○×（△÷4）的结果是( )，（○×3）×（△×3）的结果是( )。 8．两个乘数相乘，如果一个乘数不变，另一个乘数增加3，那么积增加36；如果一个乘数增加8，另一个乘数不变，那么积增加960。原来两个乘数的积是( )。 二、选择题 9．在乘法算式中，一个乘数乘4，另一个乘数也乘4，积（    ）。 A．乘4 B．乘8 C．乘16 D．不变 10．根据“18×60＝1080”直接写出1800×6的积是（    ）。 A．10800 B．108000 C．180000 D．120000 11．已知两个乘数的积是540，若第一个乘数扩大到原来的2倍，另一个乘数除以3，则现在两个数的积是（    ）。 A．90 B．3240 C．360 D．810 12．城城用计算器计算一个三位数乘36，按键时不小心把36输成了6，得到一个错误结果。要想得到正确结果，他只需要直接用错误结果再（    ）。 A．加30 B．乘3 C．乘6 D．乘30 13．下面的说法正确的有（    ）个。 ①两个乘数的末尾一共有两个0，积的末尾一定只有两个0； ②47□×2□的积一定小于10000； ③三位数乘两位数的积可能是五位数，也可能是四位数； ④在一个乘法算式里，两个乘数同时乘2，积不变。 A．1 B．2 C．3 D．4 三、判断题 14．两个数相乘，一个乘数乘5，另一个乘数不变，它们的积也乘5。( ) 15．在乘法中，一个因数扩大到原来的2倍，另一个因数缩小为原来的，积不变。( ) 16．正方形的边长扩大到原来的2倍，周长就扩大到原来的8倍。( ) 17．数量不变，总价变成原来的3倍，单价也变成原来的3倍。( ) 18．两个因数相乘，一个因数乘6，要使积不变，另一个因数就要除以6。( ) 四、计算题 19．两个乘数的乘积是300，如果一个乘数乘2，另一个乘数除以3，得到的乘积是多少。 五、解答题 20．甲、乙两数相乘，如果甲数加上2，积就增加36；如果乙数减少5，积就减少120。原来的甲数是多少？乙数呢？ 21．根据37×3＝111  37×6＝222  37×9＝333，请你推算出37乘18的得数，并说明理由。 22．两个数相乘，如果一个因数增加2，另一个因数不变，那么积增加8；如果一个因数不变，另一个因数减少3，那么积减少9。原来的积是多少？ 23．旅游团来到苍南CBA赛场的观众休息区，工作人员介绍：苍南体育馆的长方形休息区目前面积216平方米，为满足更多观众需求进行扩建，扩建后长不变，宽由原来的8米扩大到32米。那么扩建后的休息区面积是多少？ 24．学校为拓展课间活动空间，规划了一块长方形的课间游戏区。现在要扩大这个游戏区，保持其中一组对边的长度不变，将另一组对边的长度增加到24米。那么扩大后的课间游戏区面积是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专项提升训练：探索规律-2026-2027学年数学四年级上册（西南大学版-新教材）》参考答案 题号 9 10 11 12 13 答案 C A C C A 1．1720 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几（0除外）；两个因数分别乘不同的数，用原来的积乘两个因数扩大倍数的乘积，即可得到变化后的积。 【详解】172×（2×5） ＝172×10 ＝1720 2． 3712 580 【分析】根据已知乘法算式，观察因数的变化，利用积的变化规律求解；一个因数没有变化，另一个因数乘2，积也要乘2。 先根据乘除法的关系（积除以一个因数，等于另一个因数）得出基础除法算式，，再观察被除数的变化，利用商的变化规律（除数不变，被除数乘几（0除外），商也乘几）求解。 【详解】，，58不变，，32乘2得64，积也需乘2，，所以 由可知，除数32没有变化，，被除数乘10，商也需乘10，，所以。 3． 720 1 【分析】积的变化规律： （1）如果一个因数乘或除以一个数（0除外），另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数。 （2）如果一个因数乘或除以一个数（0除外），另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变；据此解答即可。 【详解】 已知a×b＝120，如果b不变，a乘6那么积是720；如果a不变，相当于a乘1，积不变，所以b除以1。 4． 700 140 【分析】因为乘法中一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘相同的数，所以用原来的积乘5即可得到结果。 因为乘法中一个因数乘一个数（0除外），另一个因数除以相同的数，积不变，所以直接得到原来的积即可。 【详解】当一个乘数A不变，另一个乘数B乘5的时候，积也会跟着乘5，所以原来的积140乘5，得到140×5＝700。 当一个乘数A乘5，另一个乘数B同时除以5的时候，乘5和除以5的效果刚好抵消，积不会变，所以结果还是原来的140。 5． 1080 160 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几；如果两个因数都乘或除以一个数（0除外），积就乘或除以这两个数的乘积。 【详解】（A×9）×B ＝A×B×9＝120×9＝1080。 （A×4）×（B÷3）＝A×B×4÷3＝120×4÷3＝160 6． 4995 7992 【分析】观察可知，第一个乘数都是999，第二个乘数是2、3、4……，积首位比第二个乘数少1，中间是两个9，末尾是9减去积首位。据此解答。 【详解】999×2＝1998 999×3＝2997 999×4＝3996 999×5＝4995 999×6＝5994 999×7＝6993 999×8＝7992 999×9＝8991 7． 37 1332 【分析】积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几；两个因数同时乘相同的数（0除外），积乘两次这个数。 【详解】根据积的变化规律可知，一个因数除以4，积应除以4，即； 根据积的变化规律可知，两个因数同时乘3，积应乘，即。 8．1440 【分析】根据乘法的意义：一个乘数不变，另一个乘数增加几，增加的积就等于不变的那个乘数乘增加的数。 一个乘数不变，另一个乘数增加3，积增加36，用36÷3，求出其中不变的第一个乘数。 一个乘数不变，另一个乘数增加8，积增加960，用960÷8，求出第二个不变的乘数。 把求得的两个乘数相乘，得到原来的积。 【详解】第一步：求第一个乘数 36÷3＝12 第二步：求第二个乘数 960÷8＝120 第三步：计算原来两个乘数的积 12×120＝1440 9．C 【分析】根据乘法中积的变化规律，两个乘数分别乘一个数时，积乘的数为这两个数的乘积。 【详解】，因此积乘16。 可得在乘法算式中，一个乘数乘4，另一个乘数也乘4，积乘16。 10．A 【分析】在乘法算式中，一个因数乘或除以一个非零数、另一个因数乘或除以另一个非零数时，积会对应乘或除以这两个数的商或积，据此作答。 【详解】对比“18×60＝1080”与“1800×6”，18扩大到原来的100倍得到1800，60缩小为原来的得到6，积扩大到原来的倍数：100÷10＝10，所以1800×6的积：1080×10＝10800。 11．C 【分析】根据积的变化规律，两个数相乘，一个乘数扩大到原来的2倍，积也乘2；另一个乘数除以3，积也除以3，按该规律计算现在的积即可。 【详解】 12．C 【分析】根据积的变化规律，两个数相乘，若其中一个因数不变，另一个因数乘一个数，积也会随之乘同一个数。 题中，三位数是不变的，另一个因数从6变回正确的36，计算可得36÷6＝6，也就是相当于把因数6乘6才能得到36，积要得到正确结果也需要乘6。 【详解】要想得到正确结果，他只需要直接用错误结果再乘6。 13．A 【分析】第一个可以通过举反例来判断，如； 第二个可以把方框里的数字填成最大的，计算后看是否小于； 第三个可以用最小的三位数乘最小的两位数和最大的三位数乘最大的两位数来判断； 第四个两个乘数同时乘，积会扩大到原来的倍。 【详解】① 举反例：，两个乘数末尾共个0，积的末尾有个0，说法错误； ② 最大情况：，，说法错误； ③ 最小：（四位数），最大：（五位数），积可能是四位数也可能是五位数，说法正确； ④ 两个乘数同时乘，积扩大到原来的倍，积发生变化，说法错误。 正确的只有个。 14．√ 【分析】根据积的变化规律，一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外），据此判断。 【详解】由分析可知，两个数相乘，一个乘数乘5，另一个乘数不变，它们的积也乘5，题干表述正确。 故答案为：√ 15． √ 【分析】一个因数扩大到原来的几倍（0除外），另一个因数缩小到为原来的几分之一，积不变；据此解答。 【详解】根据积的变化规律，在乘法中，一个因数扩大到原来的2倍，另一个因数缩小为原来的，积不变。原题说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】正方形的周长，根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍。本题中边长扩大到原来的倍，周长也应扩大到原来的倍，而非8倍。 【详解】正方形的周长＝边长，根据积的变化规律，正方形的边长扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍。原题说法错误。 故答案为：× 17．√ 【分析】总价＝单价×数量，据此判断即可。 【详解】由分析可知，数量不变，总价变成原来的3倍，那么单价需乘3，即总价×3＝单价×3×数量。 故答案为：√ 18．√ 【分析】在乘法算式中，若一个因数乘一个数，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。也可以通过举例验证。 【详解】例如： 5×12＝60 （5×6）×（12÷6） ＝30×2 ＝60 5×12＝（5×6）×（12÷6） 所以，两个因数相乘，一个因数乘6，要使积不变，另一个因数就要除以6。原题说法正确。 故答案为：√ 19．200 【分析】两个非0数相乘，一个乘数乘某个数，积也乘相同的数；一个乘数除以某个不为0的数，积也除以相同的数。所以用300乘2，然后再除以3即可解答。 【详解】300×2÷3＝200 得到的乘积是200。 20．24；18 【分析】甲、乙两数相乘，如果甲数加上2，积就增加36，在原来计算的基础上增加的数是多乘了2个乙，36除以2即为乙；如果乙数减少5，积就减少120，在原来计算的基础上减少的数是少乘了5个甲，120除以5即为甲。 【详解】36÷2＝18 120÷5＝24 答：甲数是24，乙数是18。 21． ；前面已知37×3＝111，算式37×18里的乘数18，刚好是3乘6得到的。第一个乘数37不变，第二个乘数从3变成了原来的6倍，那得到的积也会是原来111的6倍，111×6＝666，所以37乘18的得数是666。 【分析】我们可以用乘法里的积的变化规律来推算：每个算式的第一个乘数是37，第二个乘数都是3的倍数，第二个乘数是3的几倍，则积就是111的几倍。根据规律推算出积即可。 【详解】18÷3＝6 111×6＝666，即37×18＝666。 答：前面已知37×3＝111，算式37×18里的乘数18，刚好是3乘6得到的。第一个乘数37不变，第二个乘数从3变成了原来的6倍，那得到的积也会是原来111的6倍，111×6＝666，所以37乘18的得数是666。 22．12 【分析】本题考查积的变化规律及乘法各部分间的关系。根据乘法意义，在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数增加几，积就增加几个不变的因数；另一个因数减少几，积就减少几个不变的因数。因此，可以通过积增加或减少的数值除以因数增加或减少的数值，求出对应的不变因数，最后将两个因数相乘即可求出原来的积。 【详解】其中一个因数：8÷2＝4 另一个因数：9÷3＝3 原来的积：4×3＝12 答：原来的积是12。 23． 864平方米 【分析】本题考查长方形面积公式的应用及积的变化规律。已知长方形原来的面积是216平方米，原来的宽是8米，扩建后的宽是32米，且长不变。根据积的变化规律，一个因数（长）不变，另一个因数（宽）扩大到原来的几倍，积（面积）也扩大到原来的几倍。先计算宽扩大到原来的倍数，再用原来的面积乘这个倍数，即可得到扩建后的面积。 【详解】 （平方米） 答：扩建后的休息区面积是864平方米。 24．720平方米 【分析】原长方形游戏区面积是240平方米，原长方形的宽为8米；要求保持一组对边（也就是长方形的长）长度不变，把另一组对边（宽）增加到24米，求新面积。根据长方形面积＝长×宽，先算出不变的长：长＝原面积÷原宽＝240÷8＝30（米），再计算扩大后的面积：新面积＝长×新宽＝30×24＝720（平方米），也可以用积的变化规律计算：宽从8米变为24米，扩大了24÷8＝3倍，长不变，面积也扩大3倍，以此答题即可。 【详解】方法一：240÷8×24 ＝30×24 ＝720（平方米） 方法二：24÷8×240 ＝3×240 ＝720（平方米） 答：扩大后的课间游戏区面积是720平方米。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $