专题01 一元二次方程十一大题型突破 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学讲义以一元二次方程十一大题型为核心构建知识体系，通过题型框架图系统梳理概念、解法、根的判别式与系数关系等基础要点，以及传播、面积、增长率等应用问题，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“基础-应用-综合”的递进式练习设计，如传播问题通过“一人患病两轮传染64人”引导建立方程模型，培养模型意识与运算能力。新定义综合题提升抽象思维，分层题目满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题01 一元二次方程十一大题型突破 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型11：新定义综合】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程为一元二次方程，则的值为_____． 3．关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C． D．1 4．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【题型02 ：一元二次方程的解】 5．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 6．若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 7．若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 8．若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【题型03：解一元二次方程】 9．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 10．解方程： (1)； (2)． 11．解一元二次方程： (1) (2) (3) 12．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 13．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 14．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 15．关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 16．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 18．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 19．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 20．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 21．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 22．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A．B． C．D． 23．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 24．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 25．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 26．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 27．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 28．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 29．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 30．为加强劳动教育，九（1）班准备利用长的篱笆，在学校指定的空地上围成三个相连且面积相等的矩形菜园．围成的菜园的形状是如图所示的矩形，矩形和矩形． (1)若整个菜园)的面积，求的长； (2)嘉嘉说：“当整个菜园)的面积为时，矩形是正方形．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 31．某市古镇推广文旅活动，2024年接待游客10万人次，预计2026年接待游客12.1万人次，若这两年游客数量年平均增长率相同．设年平均增长率为x，列方程得（     ） A． B． C． D． 32．身为全球增长速度最快的开源自主平台，占据了各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为60万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了300万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 33．2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 34．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 35．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 36．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 37．根据以下素材，探索完成任务． 探索池州霄坑绿茶的日销售利润问题 素材1 霄坑绿茶是安徽省池州市贵池区霄坑村的特产，中国地理标志产品．霄坑绿茶因高海拔导致发芽晚、出茶晚，汲取大自然的灵气与精华，香气高、滋味浓、色泽鲜艳，特别耐泡，是安徽本土较有代表性的高山生态绿茶，深受广大茶友喜爱． 素材2 某款霄坑绿茶的成本价为200元/盒．经销商在销售时发现：周销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决： (1)任务一：求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)任务二：市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 38．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售，售价（元/个）与每天销售量（个）的对应值表格如下： （元/个） （个） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到元？ 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 39．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 40．如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 41．在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 42．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【题型11：新定义综合】 43．定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 44．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 45．在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等积点．已知，点． (1)在（2，4），（-1，-2），（0，1）中，点的等积点是_______； (2)若点A（t，t 2） 是点P的等积点，求t 的值； (3)点B在直线上，若点P的等积点（原点除外）也是点B的等积点，求点B的坐标． 46．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程十一大题型突破 【题型01 ：一元二次方程的概念】 【题型02 ：一元二次方程的解】 【题型03：解一元二次方程】 【题型04：一元二次方程根的判别式】 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 【题型11：新定义综合】 【题型01 ：一元二次方程的概念】 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．方程为一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为且二次项系数不为，由此确定的值 【详解】解：方程为一元二次方程，则未知数的最高次数必须为，且二次项的系数，满足条件， 故． 故答案为 3．关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴ ，，， ∴ 一次项系数为， 故选：C． 4．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【题型02 ：一元二次方程的解】 5．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 6．若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题利用方程根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 7．若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把的值代入原方程，从中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， 整理得：， ∴ ． 故选：C． 8．若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识．先根据题意得到，，再把变形为整体代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 【题型03：解一元二次方程】 9．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 10．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）确定方程各项系数，计算判别式，代入一元二次方程求根公式求解； （2）移项后提取公因式分解因式，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ， 解得，； （2）解：， 移项，得， 分解因式，得， 可得或， 解得，． 11．解一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解：， ， ， 即 ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 或， 解得，； （3）解：， ， ， 或， 解得，. 12．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 13．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解与直接开平方法解方程即可． （1）把方程化为，直接利用开平方法把方程化为或，再解两个一次方程即可． （2）等号右边的各项移到左边，将方程左边提出公因式分解因式后得到，再化为两个一次方程，再解方程即可． （3）方程左边因式分解可得，再化为两个一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， 开平方得：或， 解得：． （2）解：原方程可化为， 因式分解得：， 即：或 解得：． （3）解：原方程可化为， 即：或， 解得：． 【题型04：一元二次方程根的判别式】 14．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 15．关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 16．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 17．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 【题型05：一元二次方程根与系数的关系】 18．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 19．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 20．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 21．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 【题型06：有关一元二次方程传播问题】 22．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 23．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 24．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 25．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染 人． (2)人 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． （1）设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． （2）根据（1）中答案进行解答即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． （2）由题意可得，（人）， 即第三轮共有人患流感． 【题型07：有关一元二次方程面积问题】 26．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 27．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 28．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 29．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 【答案】(1)长增加了，宽增加了 (2) 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 30．为加强劳动教育，九（1）班准备利用长的篱笆，在学校指定的空地上围成三个相连且面积相等的矩形菜园．围成的菜园的形状是如图所示的矩形，矩形和矩形． (1)若整个菜园)的面积，求的长； (2)嘉嘉说：“当整个菜园)的面积为时，矩形是正方形．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) 嘉嘉的说法是正确的，理由如下： 设的长为，则，， 由题意得：36， 解得：， (不符合题意，舍去)， 当时，，，此时矩形是正方形； ∴嘉嘉的说法是正确的． 【分析】此题考查一元二次方程的应用； （1）设的长为，根据题意可得，，进而根据整个菜园)的面积，建立方程，解方程，即可求解； （2）设的长为，则，，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为， ∵矩形，矩形和矩形面积相等， ∴，，， ∴，， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：HG的长为； （2）略 【题型08：有关一元二次方程增长率问题】 31．某市古镇推广文旅活动，2024年接待游客10万人次，预计2026年接待游客12.1万人次，若这两年游客数量年平均增长率相同．设年平均增长率为x，列方程得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年均增长率的计算规则，结合经过的年数即可列出正确方程． 【详解】∵2024年接待游客10万人次，年平均增长率为， ∴2025年接待游客人次为， ∴2026年接待游客人次为， 又∵预计2026年接待游客12.1万人次， ∴可列方程为． 32．身为全球增长速度最快的开源自主平台，占据了各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为60万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了300万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日平均增长率分别表示出三天的下载量，再根据三天累计下载量的总量列出方程． 【详解】解：∵首日下载量为万次，日平均增长率为， ∴第二天下载量为万次． ∵第三天在第二天的基础上继续增长， ∴第三天下载量为万次． ∵三天累计下载量达到万次， ∴可列方程为． 33．2021年7月1日，是中国共产党建党100周年纪念日．100年前，在那个风雨飘摇的年代，伟大的中国共产党诞生于浙江嘉兴南湖的红船之上，成为了中华民族和中国人民的主心骨和领路人．2021年6月30日，为庆祝建党百年华诞，长沙市橘子洲举行了大型的音乐焰火晚会．据悉，当天下午3点钟的时候，橘子洲周边游客人数为2500人，下午5点钟时，游客人数达到了3600人． (1)若3点至5点橘子洲每小时游客人数的平均增长率相同，求这个平均增长率； (2)若橘子洲每小时游客人数的平均增长率保持不变，预计7点时，橘子洲游客人数有没有超过5000人？请用计算进行说明． 【答案】(1)20% (2)依题意：． ∵， ∴游客人数会超过5000人． 答：游客人数会超过5000人． 【分析】（1）设这两个小时参观人数的平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为x， 依题意：， 解得：，（舍去）． 答：平均增长率为． （2）略 34．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 【题型09：有关一元二次方程利润问题】 35．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 36．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 37．根据以下素材，探索完成任务． 探索池州霄坑绿茶的日销售利润问题 素材1 霄坑绿茶是安徽省池州市贵池区霄坑村的特产，中国地理标志产品．霄坑绿茶因高海拔导致发芽晚、出茶晚，汲取大自然的灵气与精华，香气高、滋味浓、色泽鲜艳，特别耐泡，是安徽本土较有代表性的高山生态绿茶，深受广大茶友喜爱． 素材2 某款霄坑绿茶的成本价为200元/盒．经销商在销售时发现：周销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决： (1)任务一：求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)任务二：市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为： (2)若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为260元 【分析】（1） 根据函数图象，运用待定系数法即可求解； （2）根据数量关系解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：任务一：设与之间的函数关系式为：， 由题意知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2）解：任务二：由题意知：， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为260元． 38．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售，售价（元/个）与每天销售量（个）的对应值表格如下： （元/个） （个） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）由表格数据可判断是的一次函数，利用待定系数法求函数表达式，再根据题意确定自变量的取值范围即可； （）根据总利润单个利润销售量列出一元二次方程，求解后结合自变量取值范围即可得到结果； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格数据的变化规律可知，是的一次函数， 设与的函数表达式为，把，分别代入得， ， 解得， ∴， ∵成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售， ∴自变量的取值范围为， 综上，与的函数表达式为； （2）解：由题意得，， 解得，， ， 不符合要求，舍去， ∴， 答：当售价定为元时，每天的利润可达到元． 【题型10：有关一元二次方程动点问题】 39．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 40．如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 41．在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方，一元二次方程的应用、勾股定理的应用； （1）根据题意直接列出代数式； （2）根据梯形的面积为，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （3）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为，，； （2）解：∵， ∴， 依题意，， 素 解得： （3）解：设出发秒后、两点间的距离是． 则，，作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：或． 42．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)28 (2) 在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得，，， ，， 当时， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为； (3)6或 【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t的式子正确表示出相关线段长度是解题的关键． （1）当时，计算出相关线段长度，根据求解； （2）根据列关于t的一元二次方程，利用判别式判断是否有实数根即可； （3）当恰好是直角三角形时，，根据列关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，， 矩形中，，， ，， ， 故答案为：28； （2）略 （3）解：由题意知， ， 当恰好是直角三角形时，， ∴， ∴， 解得，， 即t的值为6或． 【题型11：新定义综合】 43．定义：若关于x 的一元二次方程满足，则称这样的方程 为“归零方程”． (1)一元二次方程 “ 归零方程”；一元二次方程 “归零方程”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于x 的一元二次方程是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一 个根，求 m 的值． 【答案】(1)是，不是 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程，新定义，理解新定义解题的关键． （1）根据“归零方程”的定义将各项系数相加计算结果是否为零进行判断即可； （2）根据“归零方程”的定义可得，则，方程可变形为，因为m 是这个“归零方程”的一 个根，代入即可求解． m 是这个“归零方程”的一 个根， 【详解】（1）解：， ∵， ∴此方程是“归零方程”； ， ∵， ∴此方程不是“归零方程”； 故答案为：是，不是； （2）解：是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 44．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 45．在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等积点．已知，点． (1)在（2，4），（-1，-2），（0，1）中，点的等积点是_______； (2)若点A（t，t 2） 是点P的等积点，求t 的值； (3)点B在直线上，若点P的等积点（原点除外）也是点B的等积点，求点B的坐标． 【答案】(1)， (2)0或2 (3)（-4，-2） 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）根据定义得到关于t的方程，解方程即可； （3）设点P（2，1）的等积点为（m，n），则2m＝n，设B（t，t＋2），则B点的等积点为（m，n），则mt＝n（t＋2），进而得出t＝2（t＋2），即方程即可求得t的值． 【详解】（1）解：Q1（2，4），则2×2＝1×4， ∴Q1（2，4）是点P的等积点； Q2（−1，−2），则−1×2＝−2×1， ∴Q2（−1，−2）是点P的等积点； Q3（0，1），则0×2≠1×1， ∴Q3（0，1）不是点P的等积点； 故答案为：Q1，Q2． （2）解：根据题意得：， 解得t =0或t =2． （3）解：∵点B在直线上， ∴可设点B的坐标为（b，b+2）， 设点P的等积点为（m，n）， ∴，① 由于点（m，n）也是点B的等积点， ∴， 将①式代入，得② 当m = 0时，n = 0，点P的等积点为（m，n）即为原点，不符合题意； 当m ≠ 0时，②式可化为， ∴，， ∴点B的坐标为（-4，-2）． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义是解题的关键． 46．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $