精品解析：广东珠海市文园中学2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习

广东珠海市文园中学2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习 说明：本试卷共4页，答题卷4页，满分100分，考试时间为60分钟． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（　　） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 1.5，2，2.5 D. ， ， 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、∵32+42=52， ∴此三角形是直角三角形，符合题意； B、∵62+82=102， ∴此三角形是直角三角形，不合题意； C、∵1.52+22=2.52 ∴此三角形是直角三角形，不合题意； D、∵（）2+（）2≠（）2， ∴此三角形不是直角三角形，不合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可． 【详解】解： x(x+1)=0， 所以x=0或x+1=0， 解得：x1=0，x2=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键． 4. 一次函数y=2x+1的图像，可由函数y=2x的图像（　　　） A. 向左平移1个单位长度而得到 B. 向右平移1个单位长度而得到 C. 向上平移1个单位长度而得到 D. 向下平移1个单位长度而得到 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移规律，直接判断即可． 【详解】解：∵一次函数图象向上平移m（m>0）个单位，常数项增加m， ∴函数y=2x的图像向上平移1个单位可以得到y=2x+1的图像， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象平移的规律，解题关键是掌握一次函数图象平移的规律：上加下减常数项，左加右减自变量． 5. 点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；故D不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；故C不符合题意； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故A不符合题意； 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．故B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 7. 点在函数的图象上，则m、n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，根据此性质进行求解即可得． 【详解】∵函数中，， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故选B． 8. 如图，已知长方形纸条，点E、G在边上，点F、H在边上．将纸条分别沿着折叠，如图，当恰好落在上时，与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得到，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵将长方形纸条，分别沿着折叠，恰好落在上 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 32 32 36 36 2 m 调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差越小代表产量越稳定，结合“20棵丙猕猴桃树产量各不相同”的条件确定的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：∵方差越小，数据波动越小，产量越稳定， ∴， ∵20棵丙猕猴桃树的产量各不相同， ， 故符合要求的为B选项． 10. 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长，然后根据平行四边形的面积求得边上的，然后解等腰直角三角形即可求得，得到的值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：过作于点，分别过，作直线的平行线，交于，如图所示， 由图象和题意可得，，， ∴， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∵直线平行直线， ∴， ∴由勾股定理得：，即的值为， 故选：． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 使代数式有意义的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式分母不为零的条件，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零，因此可得， 解得． 12. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形的对角线必须满足条件______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，可得到中点四边形的边与原四边形对角线的位置和数量关系，先判定中点四边形为平行四边形，再结合矩形的内角为直角的性质，即可推出原四边形对角线满足的条件． 【详解】解：如图：设，，，分别是四边形的边，，，的中点， ， 根据三角形中位线定理可得：，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ，， ． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解另一根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数． 根据根与系数的关系可得： ， 已知，代入得： 解得：． 14. 如图，在中，的平分线交于点．若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，推出，根据平分，证出，根据等腰三角形的判定得到，根据，代入即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出和的长度．题型较好，难度适中． 15. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 【答案】144 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积是解题的关键． 根据以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，字母B所代表的正方形面积． 故答案为：144． 16. 中，，，高，则______ 【答案】14或4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 三、解答题（一）（本大题2小题，每小题6分，共12分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】先算负整数指数幂，二次根式的化简，绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 19. 某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）该商店购进A型25台，B型75台时，利润最大，最大利润为13750元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关系式y＝100x+150（100﹣x），整理即可； （2）利用“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000， ∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣50x+15000． 【小问2详解】 解：根据题意得，100﹣x≤3x， 解得x≥25， 由（1）可知y＝﹣50x+15000， ∵k＝﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝25时，y有最大值， ， 100﹣25＝75（台）， ∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为13750元． 【点睛】本题主要考查了一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定一次函数的增减性． 20. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（x）的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． DeepSeek人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 a b 111.2 DeepSeek 86 c 88 89.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为______． 【答案】（1）87.5，85，88 （2）580名 （3）88 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵豆包人工智能软件10个得分数据中，从小到大排列后，中位数为第5个和第6个数之和的平均数， ∴中位数， ∵豆包人工智能软件得分数据中85出现的次数最多， ∴众数， ∵DeepSeek人工智能软件得分数据中：共10个数据， ∴A组有（个），B组有（个）， ∴DeepSeek人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， ∴中位数． 【小问2详解】 解：（名）， ∴估计估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数约为580名． 【小问3详解】 解：∵新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88， ∴新抽取的5个用户评分从小到大排列后第3个是88分，即有两个评分低于88分，有两个评分高于88分， ∵豆包人工智能软件原得分从小到大排列的第4个和第5个都是85， ∴合在一起的15个评分中，第8个是88，即中位数为88． 21. 矩形ABCD中平分交BC于平分交AD于F． （1）说明四边形AECF为平行四边形； （2）求四边形AECF的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC（即AF∥CE），AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， 又∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD， ∴∠EAC=∠FCA， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）30cm2 【解析】 【详解】试题分析： （1）由四边形ABCD是矩形可得AD∥BC（即AF∥CE），AB∥CD，由此可得∠BAC=∠ACD，结合AE平分∠BAC，CF平分∠ACD可得∠EAC=∠FCA，即可得到AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形； （2）如图，过点E作EO⊥AC于点O，结合∠B=90°及AE平方∠BAC可得EO=EB，证Rt△ABE≌Rt△AOE可得AO=AB=6，在Rt△ABC中由勾股定理易得AC=10，从而可得OC=4，设CE=x，则EO=BE=BC-CE=8-x，这样在Rt△OEC中由勾股定理建立方程，解方程即可求得CE的值，这样就可求出四边形AECF的面积了. 试题解析： （1）略 （2）过点E作EO⊥AC于点O， ∵∠B=90°，AE平分∠BAC， ∴EO=BO， ∵AE=AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE， ∴AO=AB=6， ∵在Rt△ABC，AC=, ∴OC=AC-AO=4（cm）, 设CE=x，则EO=BE=BC-CE=8-x， ∴在Rt△OEC中由勾股定理可得：，解得：， ∴EC=5， ∴S四边形AECF=CE·AB=5×6=30（cm2）. 点睛：本题第2小题的解题关键是：通过作EO⊥AC于点O，证得EO=BE，AO=AB，即可在Rt△CEO中由勾股定理建立方程解得CE的长，这样就可由S平行四边形AECF=CE·AB来求出其面积了. 五、解答题（三）（本大题1小题，每小题10分，共10分） 22. 如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． （1）点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． （2）当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；在 （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）由，可得，，过点作轴于， 证明，再利用全等三角形的性质可得到点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，则，得到，则，即可得到求点的坐标； （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， 如图1，过点作轴于点， 则， 等腰直角三角形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点, 在函数中，当时， 点C在函数的图象上， 故答案为：；在； 【小问2详解】 解：，，， ，，， 如图2，过点作轴于点， 同（1）理可证：， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，， 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点，过点作于点， 同理可证， ，， ，， ，， 点， 综上所述：，，． 【点睛】此题属于三角形综合题，主要考查了坐标与图形、等腰三角形的定义、三角形的全等和判定及直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东珠海市文园中学2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习 说明：本试卷共4页，答题卷4页，满分100分，考试时间为60分钟． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（　　） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 1.5，2，2.5 D. ， ， 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数y=2x+1的图像，可由函数y=2x的图像（　　　） A. 向左平移1个单位长度而得到 B. 向右平移1个单位长度而得到 C. 向上平移1个单位长度而得到 D. 向下平移1个单位长度而得到 5. 点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ①③ 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 点在函数的图象上，则m、n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知长方形纸条，点E、G在边上，点F、H在边上．将纸条分别沿着折叠，如图，当恰好落在上时，与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 32 32 36 36 2 m 调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11. 使代数式有意义的取值范围是_________． 12. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形的对角线必须满足条件______． 13. 若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 14. 如图，在中，的平分线交于点．若，，则______． 15. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 16. 中，，，高，则______ 三、解答题（一）（本大题2小题，每小题6分，共12分） 17. 计算：； 18. 解一元二次方程：． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 19. 某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 20. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（x）的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． DeepSeek人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 a b 111.2 DeepSeek 86 c 88 89.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为______． 21. 矩形ABCD中平分交BC于平分交AD于F． （1）说明四边形AECF为平行四边形； （2）求四边形AECF的面积． 五、解答题（三）（本大题1小题，每小题10分，共10分） 22. 如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． （1）点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． （2）当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $