精品解析：广东中山市秋季纪雅学校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测试题

2026-2027学年广东省中山市秋季纪雅学校初三数学开学考 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（ ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A. 中位数，上四分位数 B. 中位数，下四分位数 C. 众数，上四分位数 D. 众数，下四分位数 5. 如图，一次函数的图象过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 设是方程的两个实数根，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若1≤x≤4，则：|1﹣x|﹣化简的结果为 _____． 12. 如图，将矩形沿直线对折，点恰好与边上的点重合，若，则的度数为_________°． 13. 为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的出入门（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则根据题意，可列方程________． 14. 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________． 15. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有______填正确的序号 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共计24分 16. 解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 17. 已知与成正比例，当时，． （1）求与的函数表达式； （2）若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 18. 如图，，，连接． （1）尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共计27分 19. 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 20. 为了调查八年级学生课余时间体育锻炼情况，某校在八年级350名学生中随机抽取了男生、女生各18名，收集他们课余体育锻炼时间得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：28，31，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，10，61，69，91，99，105． 整理数据：制作了如下统计图： 分析数据：两组数据的平均数、四分位数和众数如表所示： 平均数 众数 女生 67 80 男生 55 88 69 （1）请将上面的表格补充完整：________，________．男生课余体育锻炼的时间落在这一组的人数是_________人． （2）请补全女生直方图和男生箱线图． （3）若该校学生为男生，根据调查的数据，估计八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的约有多少人？ （4）体育老师分析表格数据和箱线图后，认为八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好，请你结合统计数据，写出同意体育老师观点的理由． 21. 阅读理解： 若代数式（其中为常数）能分解因式：，则一元二次方程即必有两根．反过来，若一元二次方程的两根为，则代数式也一定能分解为． 例如：解一元二次方程，得其两根为：， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： （1）已知关于的一元二次方程的两根为，则代数式分解因式后等于__________； （2）用求根法将代数式分解因式； （3）若代数式．是一个完全平方式，则的值为_________． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共计24分 22. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 23. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚（如图①）成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图②所示的是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广东省中山市秋季纪雅学校初三数学开学考 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，即 解得， 综上，k的取值范围是且． 4. 如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（ ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A. 中位数，上四分位数 B. 中位数，下四分位数 C. 众数，上四分位数 D. 众数，下四分位数 【答案】C 【解析】 【分析】先计算被遮挡的视力4.8和4.9的总人数，因为总人数为40，减去已知的视力4.7、5.0、5.1的人数，即可得到二者人数之和．分析中位数：40个数据的中位数是第20和第21个数据的平均数，先累计已知的前序人数，判断第20、21个数据所在的视力分组是否受遮挡数据影响．分析众数：比较各视力已知的人数，结合遮挡的总人数，判断出现次数最多的视力值是否唯一确定．分析上下四分位数：40个数据的下四分位数是第10个数据，上四分位数是第30个数据，分别累计前序人数，判断这两个位置的数据所在分组是否受遮挡数据影响． 【详解】解：根据表格数据，可得视力为4.8和4.9的总人数为：（人）， 视力为5.0所占人数最多为15，即众数为5.0， 中位数是第20和第21个数据的平均数，累计已知的前序人数，第20、21个数据所在的视力分组受遮挡数据影响． 上四分位数为． 上四分位数是排序后第75%位置的数值，对应第30位和第31位数据的平均值． 第24~38位均为视力5.0， ∴第30、31位的数值一定是5.0， 上四分位数为5.0． 下四分位数是第10个数据，累计前序人数，这个位置的数据所在分组受遮挡数据影响． ∴仍能根据目前已知的数据分析确定的有众数和上四分位数． 5. 如图，一次函数的图象过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象，确定函数值  时对应的自变量  的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象过点，且随的增大而减小． ∵不等式，即函数值． ∴观察图象可知，当时，函数图象在直线的下方． ∴不等式的解集为． 6. 已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 7. 如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，，求解，结合作图求解，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 8. 设是方程的两个实数根，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．利用一元二次方程的解的定义知，，．然后将其代入所求的代数式并化简得，进而即可求解． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = = = = = =； 故选：B． 9. 如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OG⊥AD于点G．易证△OFA≌△OEB，从而可得OF=OE，可得，当OF最小时，EF最小，此时OF与OG重合，从而可求得线段EF的最小值． 【详解】过点O作OG⊥AD于点G，如图 ∵四边形ABCD是正方形，且对角线AC、BD相交于点O ∴OA=OB=OD ，∠OAF=∠OBE=45°，AC⊥BD ∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=90° ∵OE⊥OF ∴∠AOE+∠AOF=90° ∴∠FOA=∠EOB 在△FOA和△EOB中 ∴ △FOA≌△EOB(ASA) ∴OF=OE ∵OE⊥OF ∴由勾股定理得： ∴当OF最小时，EF最小 ∵OG⊥AD ∴OF≥OG 即当OF与OG重合时，线段OF最小，最小值为OG的长，从而EF的最小值为 ∵OA=OD，OG⊥AD ∴G点是AD的中点 ∴OG=AD=2 ∴ 故选：C． 【点睛】本题是一个求最值的问题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识．关键是把求线段EF的最小值转化为求线段OF的最小值． 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】对称轴在y轴的右侧， ， 由图象可知：， ，故不正确，不符合题意； 当时，， ，故正确，符合题意； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意； ， ， ， ， ，故不正确，不符合题意； 当时，y的值最大此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故正确，符合题意， 故正确， 故选B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若1≤x≤4，则：|1﹣x|﹣化简的结果为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先把根据利用绝对值的性质进行化简，然后计算． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质的应用，其中绝对值的性质的应用是解题关键． 12. 如图，将矩形沿直线对折，点恰好与边上的点重合，若，则的度数为_________°． 【答案】56 【解析】 【分析】易得∠CFG=2∠GFP，根据平角定义易得∠HFG的度数，由HE∥GF可得∠EHF=∠HFG． 【详解】由折叠可知， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查矩形的性质，解题关键在于平角定义易得∠HFG的度数. 13. 为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的出入门（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则根据题意，可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 故答案为：． 14. 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，，设与交于点， 由题意得： ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 15. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有______填正确的序号 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先判断出，再判断≌得出，，再判断出≌从而得到正确，根据三角形的外角求出，得出正确；结合可得，根据即可得正确；连接，判断出得出错误． 【详解】解：是正方形的对角线， ，， ， ， ， 是线段的垂直平分线，， 在中，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，故正确； ，， ， ， ， ，故正确； 如图，连接， 是垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 不垂直， ， ， ，故错误， 正确的是， 故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出，难点是作出辅助线． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共计24分 16. 解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解得：， 【小问2详解】 则 或 解得：， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17. 已知与成正比例，当时，． （1）求与的函数表达式； （2）若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再由当时，，求出的值即可得解； （2）当时，求出的值即可． 【小问1详解】 解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在函数的图象上， ∴． 18. 如图，，，连接． （1）尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共计27分 19. 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ （2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【答案】（1）每台B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）应将B型空气净化器的售价定为1600元． 【解析】 【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元， 由题意得， ， 解得：x=1200， 经检验x=1200是原方程的根， 则x+300=1500， 答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+ ）=3200， 解得：x=1600， 答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，应将B型空气净化器的售价定为1600元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程以及分式方程的应用，能从题中找到相应的等量关系并列出方程是关键. 20. 为了调查八年级学生课余时间体育锻炼情况，某校在八年级350名学生中随机抽取了男生、女生各18名，收集他们课余体育锻炼时间得到了以下数据：（单位：分钟） 女生：28，31，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，10，61，69，91，99，105． 整理数据：制作了如下统计图： 分析数据：两组数据的平均数、四分位数和众数如表所示： 平均数 众数 女生 67 80 男生 55 88 69 （1）请将上面的表格补充完整：________，________．男生课余体育锻炼的时间落在这一组的人数是_________人． （2）请补全女生直方图和男生箱线图． （3）若该校学生为男生，根据调查的数据，估计八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的约有多少人？ （4）体育老师分析表格数据和箱线图后，认为八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好，请你结合统计数据，写出同意体育老师观点的理由． 【答案】（1）39；70；9 （2）解：补全图形如下： （3）66人． （4）解：根据题意，男生的课余时间体育锻炼的时间的平均数、四分位数均比女生高， ∴八年级的男生课余时间体育锻炼做得比女生好．（合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据四分位数，众数的定义解答即可； （2）求出女生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数，即可解答； （3）用乘以八年级课余时间体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的男生所占的比例，即可解答； （4）根据两组数据的平均数、四分位数、众数和方差解答即可． 【小问1详解】 解：把女生的体育锻炼的时间从小到大排列为：10，28，31，32，39，46， 57， 61，66，68，69，70，70，80，91，95，99，105． 方法一：取前面个数的中位数， ∴， 方法二： ∵， ∴第个数为， ∴， ∵70出现的次数最多， ∴； 男生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是人； 【小问2详解】 解：女生课余时间体育锻炼的时间落在这一组的人数是人， 补全图形略． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计八年级课余体育锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的约有66人． 【小问4详解】 略 21. 阅读理解： 若代数式（其中为常数）能分解因式：，则一元二次方程即必有两根．反过来，若一元二次方程的两根为，则代数式也一定能分解为． 例如：解一元二次方程，得其两根为：， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： （1）已知关于的一元二次方程的两根为，则代数式分解因式后等于__________； （2）用求根法将代数式分解因式； （3）若代数式．是一个完全平方式，则的值为_________． 【答案】（1） （2） （3）2或6 【解析】 【分析】本题综合考查完全平方式与一元二次方程根的判别式的关系，需要先将完全平方式的条件转化为方程根的情况，再利用判别式建立方程求解，对知识的综合运用和转化能力要求较高． （1）直接对新定义方法的简单应用即可得出答案； （2）先根据求根公式计算出一元二次方程的根，然后根据新定义方法直接得出代数式的分解因式； （3）完全平方式的形式为 ，将题目中的代数式与完全平方式对比，即可求出的值． 【小问1详解】 解：的一元二次方程的两根为，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令， ，，， ， 即，， ；、 【小问3详解】 解：， 则， 可得，， ， 解得，， 或． 故答案为：2或6． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共计24分 22. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形 （2）2或8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，截图的关键是∶ （1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解∶如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形EGFH为矩形时，或； 【小问3详解】 解∶如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 23. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚（如图①）成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图②所示的是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 【答案】（1） （2）这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方，理由如下： 将代入，得， 解得，， ∴， ， ∴这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方； （3） 【解析】 【分析】由题可得，抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法解答即可； 求出点坐标，再求出车头到点的水平距离，与比较即可判断求解； 利用待定系数法可得直线的解析式为，设点的坐标为，得点的坐标为，即得到，再利用二次函数的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：由题可得，抛物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线，点在抛物线上， ∴设点的坐标为， 轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴钢架长度的最大值是米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $