精品解析：重庆市西南大学附属中学校2026-2027学年高三上学期开学数学试题

数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式计算即可. 【详解】. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题，，，则. 3. 已知某扇形的周长为16，圆心角弧度数为2，则该扇形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式计算. 【详解】设扇形的半径为， 则由题意得，该扇形的弧长为，解得， 故该扇形的面积为. 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 5. 函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数唯一的极值点，再根据极值点落在开区间内、区间整体属于函数定义域的双重约束列不等式，精准求解参数范围. 【详解】的定义域是，， 令，得， 当，单调递减，当，单调递增， 所以是唯一的极值点，且是极小值点， 由题意得开区间里面要包含，则 ，得，所以. 6. 关于函数的图像的对称性，下列说法正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】设，证明函数为奇函数，结合奇函数性质及函数图象变换法则判断函数的对称性即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 设， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，故函数为奇函数， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 将函数的图象向右移动个单位，再向上移动个单位可得的图象， 所以函数的图象关于点对称，故选项B正确. 7. 已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，导确定单调性，得，再构造函数，求导确定单调性得到，得到答案. 【详解】设，，则， ，，故，在上单调递增， 故，当时，恒成立，所以，所以； 设，，则， 设，， 又，则在上单调递减，， 故，则函数在上单调递减，即， 故当时，恒成立， 所以恒成立，即； 综上， 8. 中，，点在边上，平分，，当最短时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得关系，利用三角形面积公式和余弦定理建立与角的函数式，求导判断单调性可求最小时的值，最后根据三角形的角平分线性质可求 【详解】中，，由正弦定理可得，代入得， 在中根据余弦定理有代入得 即. 令，则， 令得，即时，，单调递减，时，，单调递增，所以在时取得最小值，即时取最小值. 又因为平分，所以即，代入化简得 ， 结合得，所以 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 函数的最大值是 D. 中，是的充要条件 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A，令，则，A错误； 选项B，，B正确； 选项C，若,C错误； 选项D，充分性：若，则，则，外接圆半径； 必要性：若，则，由三角形大边对大角可得，D正确. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；求出、的表达式，可求出的最小值，可判断C选项；利用同角三角函数的基本关系和诱导公式可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，可得到函数的图象， 对于A选项，因为， 所以函数的图象关于直线对称，A对； 对于B选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，由可得或， 解得或， 若，，则， 由题意可知，故， 若，，同上可知， 若，，则， 当时，取最小值，即， 综上所述，，C对； 对于D选项，因为，，所以， 则， 故，D对. 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性，将中替换为即可得到，进而判断选项A； 构造函数，通过导数判断函数单调性求得即可判断选项B； 将不等式变形，通过单调性将不等式转化为，参变分离后转化为最值问题， 构造函数后通过导数判断函数单调性求得最值即可判断选项C； 通过导数将表示为关于的函数，再通过导数判断函数单调性即可判断选项D. 【详解】选项A，由函数与的图像关于轴对称，将中替换为， 得，所以选项A正确; 选项B，设，则，当且仅当即时取等, 所以当时，单调递增，，即 所以选项B错误; 选项C，整理不等式得，即， 由在单调递增，得，即对恒成立; 令，当时，，所以在单调递增， ，故，解得，即的最大值为，所以选项C正确; 选项D，，， 当时，令，解得或且, 所以当时，;当时，. 所以的极小值点,代入得， 令，， 设，则，所以在单调递减， ，因此，所以在单调递增， 故，即. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______. 【答案】 【解析】 【详解】由，解得或，即函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的增区间为. 13. 中，角，，的对边分别为，，，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理结合二倍角求出，再得到，借助三角形内角和与两角和余弦公式计算. 【详解】由正弦定理，由，得，所以，所以， 因为，所以，所以， 由是三角形内角，，故，所以， ， ，， 由，得. 14. 函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数的图像，再把函数有6个零点转化为二次函数根的分布问题，最后列不等式求解即可. 【详解】函数有6个零点,即有6个解，令，原方程化简为， 草图如下 要想有6个解需满足有2个解， 且，令，是开口向上的二次函数，对称轴为， 如下图： 所以，即， 解得：，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）当时，求的值域. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）首先，利用三角恒等变形化简函数，根据三角函数的性质，求周期和对称中心； （2）根据（1）的结果，根据条件求的范围，再求函数的值域. 【小问1详解】 由题. 令，解得：，则对称中心为. 【小问2详解】 ，， 的值域为. 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）在中，， 由余弦定理得， 所以，故， 所以为直角三角形，且， 又因为面，平面，所以 又因为，且，平面， 所以面，平面， 所以， 又因为、、平面，所以 又因为平面平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到，然后利用线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 设为面的一个法向量， ，故， 令，解得， 记与面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ （2）实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； （3）按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）0.53 （3） 0 1 2 期望为 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算出，再根据临界值分析判断即可; （2）利用全概率公式计算即可； （3）随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的公式求分布列，再利用期望定义求期望即可. 【小问1详解】 零假设为：电芯循环是否达标与是否进行低温预处理无关. 由列联表， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关. 【小问2详解】 设事件为“实际循环达标的电芯”，事件为“实际循环不达标的电芯”， 事件为“被判定循环达标”. 所以该电芯被设备判定为循环达标的概率为0.53. 【小问3详解】 由题意可知的所有可能取值0，1，2. 可得 所以的分布列为： 0 1 2 故. 18. 已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，. （1）求双曲线的标准方程； （2）如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）设直线，联立得， 因为直线与双曲线有两个交点， ，且， 设则. ， 直线方程为，当时，. 为定值. （3）存在， 【解析】 【分析】(1)利用双曲线渐近线得到 比例关系，再把已知点代入双曲线方程联立求解参数，直接得到标准方程； (2)设 ，联立双曲线用韦达定理，求出交点 P，把斜率乘积全部转化为韦达的整体代数式，消参得到定值；(3)设切线斜率，利用相切判别式为 0 得到关于斜率的二次方程，由斜率之积的条件推导出动点D的轨迹椭圆，再利用椭圆定义找到定点与定值. 【小问1详解】 由题意得，双曲线标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，， 设切线方程为， ， ，， ，， 整理得在以为焦点的椭圆上. 由椭圆定义可知，椭圆上任意点到两焦点距离和为， 存在点使为定值. 19. 已知函数的定义域为，直线：与曲线相切.若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. （1）证明：直线是函数的“下切线”； （2）若函数有“上切线”或有“下切线”，求实数的取值构成的集合； （3）若直线：既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：对求导得，因， 所以直线是函数在点处的切线， 令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以直线是函数的“下切线”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证直线是函数的切线，令，要证直线是函数的“下切线”，只需先证恒成立即可； （2）根据“上切线”和“下切线”的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围； （3）根据是函数和的公切线，设的切点为，可得，令，利用导函数分析函数单调性和最值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当是函数的“上切线”时， 对一切恒成立且等号能取到， 即， 也即对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，需使，解得； 当是函数的“下切线”时， 对一切恒成立且等号能取到， 即， 也即对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，需使，解得； 综上可得. 【小问3详解】 与直线相切，设切点为，因，则切线斜率， 所以在切点处的切线方程为，即， 因为直线是函数的“下切线”， 所以即恒成立，且， 令，则，令，得， 当时，,则单调递减；当时，，则单调递增； 所以，即， 又直线是函数的“上切线”， 所以，即恒成立， 因为直线是函数的切线， 所以存在唯一一个使，即有且只有一个实数根， 则，即， 也即， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，当时， 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某扇形的周长为16，圆心角弧度数为2，则该扇形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数的图像的对称性，下列说法正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 7. 已知，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中，，点在边上，平分，，当最短时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 函数的最大值是 D. 中，是的充要条件 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 若，则 D. 若，且，则 11. 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______. 13. 中，角，，的对边分别为，，，，，则______. 14. 函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）当时，求的值域. 16. 如图，四棱锥中，底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ （2）实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； （3）按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，. （1）求双曲线的标准方程； （2）如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 19. 已知函数的定义域为，直线：与曲线相切.若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. （1）证明：直线是函数的“下切线”； （2）若函数有“上切线”或有“下切线”，求实数的取值构成的集合； （3）若直线：既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $