精品解析：河北省唐山市玉田县多校联考2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

河北省唐山市玉田县高三开学多校联考2026-2027学年高三上学期 开学考试数学试卷 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合． 【详解】由得，解得，即， 又， 故． 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】变形给定等式得，再利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】由，得，即， 因此 ，  所以. 故选：A 3. 已知，若在之间插入个数，使得这个数成等差数列，若，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可． 【详解】因为成等差数列，所以，， 所以，可得. 4. 已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【详解】椭圆的长半轴长，半焦距， 由椭圆的对称性，不妨令为右焦点，是左焦点，连接，又关于原点对称， 则四边形为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则， 而，所以. 故选：D 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 20 C. -20 D. -60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】，展开式的通项公式为， 令，故， 的展开式的通项公式为， 令，则， 故的系数为， 故选：D. 6. 设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ） A. 17 B. 10 C. 9 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数没有零点的概率为，可求得的范围，及正态曲线的对称轴，再根据函数有两个零点的概率为，求得此时的范围，再结合正态曲线的对称性即可得解. 【详解】解：因为函数没有零点， 所以，解得， 又因随机变量M服从正态分布，且， 所以正态曲线关于对称， 因为函数有两个零点， 所以，解得，则， 又， 所以与关于对称， 所以. 故选：A. 7. 在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用及棱锥体积公式求棱台的体积. 【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥，如下图，且均为正三角形， 其中为底面中心，连接，则面，而面，即， 所以与平面ABC所成角为，而，则，所以， 令的高为，结合棱台的结构特征，知， 所以棱台体积. 故选：C 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】令易知是的一个根.当时，令利用导数研究其单调性可判断方程根的个数.当时画出两个函数的图象判断交点个数求解. 【详解】解：令 当时 故是的一个根. 当时 令 则 所以在上单调递增， 所以 所以时即方程在无实数根. 当时 在上单调递减，且 如图所示： 与的图象在上有两个交点， 所以方程在有两个不同的根. 综上所述，曲线与的交点个数为 故选：C 二、多选题:本题共3小题，每小題6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D. 【详解】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 11. （多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义推理可得的周期，结合已知函数求出，再逐项分析判断. 【详解】由为奇函数，得，即， 则，由为偶函数，得，则， 于是，函数是周期函数，一个周期为4， 由，得，由，得， 由，得，于是，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，得，为偶函数，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 三、填空題:本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【详解】的定义域为，当时，，此时每相邻两个零点间的距离为； 当时，，的最小正周期为，此时以为最小正周期． 综上可知，的最小正周期为． 13. 若函数（其中）为偶函数，则曲线在处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，可得，即， 所以，整理得恒成立，所以，即， 当时，可得，则，可得，且， 则切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 14. 设是自然对数的底数，已知幂函数的图象经过点 ，幂函数的图象经过点 ，则不等式 的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设幂函数，. 将点代入，得，即，解得. 将点代入，得，两边平方得，解得. 不等式， 即. 令，，则，不等式化为. 令， ， 当时，因，故，，，，则，于是，不满足不等式. 当，因，底数越大指数函数增长越快， 所以越大越大，故在递增， 又因为， ，即，. 四、解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 （1）求A； （2）若BC边上的高为1，且，求 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 解法一：由，及正弦定理得， 所以， 即，即， 因为、，则，所以，所以， 解法二：由及余弦定理得， 所以，即，所以， 又，所以． 【小问2详解】 记边上的高为，则， 由（1）得，所以， 所以由余弦定理可得， 所以，所以， 所以或（舍），故． 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使 （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在等腰梯形中，，则，，由为中点， ，得，则四边形为平行四边形，， ，又，则为等边三角形，即为等边三角形， 取中点，连接，于是， AI    由，，得为正三角形，， 则，又，于是，即， 而，且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得均为正三角形，取中点，利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用面面角的向量求法求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量是，则，取，得， 设平面的法向量是，则，取，得， 则， 所以平面和面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的标准方程． （2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而可得，根据两点斜率公式表达斜率，进而代入化简即可求解. 【小问1详解】 ， 故当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，与的渐近线平行． 设直线， 则点到直线的距离为， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题可知，直线的斜率不为0， 设直线， 由得． 成立， 则， ． ， ． 故存在实数，使得成立． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 18. 已知函数(e为自然对数的底数，)． （1）求函数的最小值； （2）已知 ①若在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； ②若直线与曲线相切，求实数a的值． 【答案】（1） （2）①；②4 【解析】 【分析】（1）借助导数的正负判断单调性，进而得到极值最值. （2）①单调性借助导数的正负解题，后转化为恒成立问题即可；②借助导数的几何意义解题即可. 【小问1详解】 ，定义域为． ，令，有． 当x变化时，，的变化情况如下表： 负 零 正 单调递减 极小值 单调递增 故当时，取得的最小值为． 【小问2详解】 ． ①，则． 若g(x)在定义域上单调递增，则， 即恒成立，所以又解得即a的取值范围为． ②若直线与曲线相切，设切点为，则 即化简得 令， 则． 若，则时，在单调递减，有 与矛盾，舍去． 若则时，在单调递减，有 与矛盾，舍去． 若解得或 (舍去)，经检验符合题意． 综上，所求实数a的值为4． 19. 有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． （1）若，求的值； （2）若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； （3）若为等比数列，证明：． 【答案】（1）2； （2） 由，得，则， 因此，又，则， 所以存在实数，满足，. （3） 由为等比数列，得，其中q为的公比，则， 当时， ，而， 因此，又<0，则， 于是，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据给定定义，利用等比数列的通项公式代入计算即得. （2）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，推理计算即得. （3）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，作差得，再求和即可得证. 【小问1详解】 依题意，，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用给定定义，正确表示和公比为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市玉田县高三开学多校联考2026-2027学年高三上学期 开学考试数学试卷 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，若在之间插入个数，使得这个数成等差数列，若，则（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 4. 已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 20 C. -20 D. -60 6. 设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ） A. 17 B. 10 C. 9 D. 不能确定 7. 在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题:本题共3小题，每小題6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点对称 三、填空題:本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为______． 13. 若函数（其中）为偶函数，则曲线在处的切线方程为__________． 14. 设是自然对数的底数，已知幂函数的图象经过点 ，幂函数的图象经过点 ，则不等式 的解集为_________． 四、解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 （1）求A； （2）若BC边上的高为1，且，求 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使 （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的标准方程． （2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数(e为自然对数的底数，)． （1）求函数的最小值； （2）已知 ①若在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； ②若直线与曲线相切，求实数a的值． 19. 有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． （1）若，求的值； （2）若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； （3）若为等比数列，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $