15.3.2 等腰三角形 分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，覆盖等边三角形定义、性质、判定及30°直角三角形性质，通过选择、填空、解答题梯度训练，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|定义识别、角度计算、轴对称性|直接考查单一知识点，如选择判断等边三角形定义，填空应用30°直角三角形性质| |进阶思维题|性质与判定综合、动态几何|结合翻折、旋转情境，如证明含60°角等腰三角形为等边三角形，提升逻辑推理| |中考链接题|跨知识点综合应用|对接中考真题，如含30°直角三角形与轴对称结合的解答题，强化模型意识与创新意识|

人教版八年级上册 第15章 轴对称 3.等腰三角形 第2课时 等边三角形 本节知识点总结 1. 等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形。 2. 等边三角形的性质：三个角都相等，并且每一个角都等于60°。 3. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 4. 等边三角形的轴对称性：等边三角形有三条对称轴，每条对称轴都是过顶点和对边中点的直线。 5. 直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 6. 等边三角形性质和判定的应用，以及30°直角三角形性质的应用。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 等边三角形的定义与识别 1．（2025秋·北京海淀·期中）下列三角形中，是等边三角形的是（ ） A．三边长分别为3，4，5的三角形 B．三边长分别为4，4，6的三角形 C．三边长分别为5，5，5的三角形 D．三边长分别为3，5，7的三角形 2．（2025秋·上海浦东·月考）下列条件中，不能判定一个三角形是等边三角形的是（ ） A．三边都相等 B．三个角都相等 C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个角相等的三角形 3．（2025秋·广东广州·单元测）若等腰三角形的一个内角为60°，则这个三角形是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型02 等边三角形的性质（求角度） 4．（2025秋·江苏南京·期中）等边三角形的一个内角的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．（2025秋·浙江杭州·月考），在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，则∠BAD的度数为（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 题型03 等边三角形的判定 6．（2025·广西期末）如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（        ） A. B. C. D.平分   7.（26-27同步）在中，是边上的中线，，，，则的面积为（        ） A. B. C.1 D.2 8.（26-27同步）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线于点，连接，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为（       ）． A.100° B.105° C.110° D.115° 题型04 等边三角形的轴对称性 9．（2025秋·河北石家庄·期中）等边三角形的对称轴有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 10．（2025秋·陕西西安·月考）等边三角形的对称轴是（ ） A．一边上的高 B．一边上的中线 C．一个角的平分线 D．过顶点和对边中点的直线 11．（2025秋·辽宁沈阳·期中）在等边三角形ABC中，AD是对称轴，点E是AB上一点，则点E关于AD的对称点在（ ） A．AC上 B．BC上 C．AB上 D．无法确定 题型05 30°直角三角形的性质 12．（25-26·广东期中）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是_______．       13.（25-26·湖南期末）如图，在中，，，，点在轴上，将绕点顺时针方向旋转使得点的对应点落在轴正半轴上，则点的对应点的坐标是________．   14.（26-27·四川开学）如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则_______． 题型06 等边三角形判断与性质的综合应用 15．（26-27同步）如图，是的斜边上的中线， （1）求的度数． （2）求证：为等边三角形． 16.（26-27同步）如图，在中，，平分交于点，且点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的长．   17.（26-27同步）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由．   18.（26-27·四川开学）如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA． （1）求证：△AED是等边三角形； （2）若△CDE是直角三角形，求α的度数．   19.（24-25·重庆期中）已知：如图，都是等边三角形，相交于点，点、分别是线段的中点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：是等边三角形． 二、进阶思维题 （一）选择题  1.（26-27同步）如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（        ） A. B. C. D. 2.（26-27同步）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（        ） A. B. C. D. 3.（26-27同步）如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（       ） A.3 B.6 C. D.12   4.（25-26·广东月考）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（ ） A.2 B.6 C.9 D.15   5.（26-27同步）如图，点A、B、C在一条直线上，、 均为等边三角形，连接和，分别交 、 于点M、P，交于点Q，连接 、 ．下列结论①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中结论正确（     ）个． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 （二）填空题 6.（26-27同步）如图，是等边的高，若，则的长为______．   7.（26-27同步）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，若，则线段的长为_______． 8.（25-26·山西期末）如图，在中，过点作，交于点．将绕点逆时针方向旋转，点的对应点落在边上，点对应点为，交于点．已知，，，则________．   9.（26-27·四川开学）如图，点F为线段上一点，且，，平分，已知，则________． （三）解答题 10.（24-25·福建期中）已知：如图，、、在同一直线上，，是等边三角形，求证：．   11.（25-26·宁夏月考）已知：如图，为等边三角形，为中线，延长至，使，连接． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长度．   12.（26-27同步）如图，在中，，平分交于点，且点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的长．   13.（26-27·四川开学）如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA． （1）求证：△AED是等边三角形； （2）若△CDE是直角三角形，求α的度数．   14.（25-26·全国月考）如图，在中，，以为边作等边三角形．点在外，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形； 三、中考链接题 1.（24-25·陕西中考）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点，若等边三角形的高为，则＝（       ） A. B. C. D.  2.（25-26贵州中考）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（        ） A. B. C. D.   3.（25-26·湖北中考）如图，点是等边三角形内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．当是等腰三角形，的度数是 A.，， B.，， C.，， D.，，   4.（25-26·江苏中考）如图，在Rt BCA中， BAC=90°， C=30°$．AD BC垂足为D，是 ABC的角平分线，分别交于点P，E．其中正确的结论的个数为（       ） ①；② AEP是等边三角形；③；④． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个   5.（24-25·云南中考）如图，，，连接，交于点．若，，则_______ ． 6.（25-26·广东中考）如图，∠EOF＝∠OEF＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若OF＝8，则EC等于________．   7.（25-26·四川中考）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________．   8.（25-26·福建中考）如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． （1）求证：是等边三角形； （2）尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．   9.（25-26·山东中考）点为中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． （1）如图，试判断的形状，并说明理由． （2）若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小．   10.（25-26·广东中考）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八年级上册 第15章轴对称 3.等腰三角形 第2课时等边三角形 本节知识点总 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形。 2.等边三角形的性质：三个角都相等，并且每一个角都等于60°。 3.等边三角形的判定： (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 4.等边三角形的轴对称性：等边三角形有三条对称轴，每条对称轴都是过顶点和对边中 点的直线。 5.直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半。 6.等边三角形性质和判定的应用，以及30°直角三角形性质的应用。 分层作业 目一、基础过关题 题型01等边三角形的定义与识别 1.(2025秋北京海淀期中)下列三角形中，是等边三角形的是() A.三边长分别为3,4,5的三角形 B.三边长分别为4,4,6的三角形 C.三边长分别为5,5,5的三角形 D.三边长分别为3,5,7的三角形 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的定义。三边都相等的三角形是等边三角形。 【详解】解：根据等边三角形的定义，三边都相等的三角形是等边三角形。 A选项三边长分别为3,4,5，三边都不相等，不是等边三角形； B选项三边长分别为4,4,6，只有两边相等，是等腰三角形，不是等边三角形； C选项三边长分别为5,5,5，三边都相等，是等边三角形： D选项三边长分别为3,5,7，三边都不相等，不是等边三角形。 故选C 2. (2025秋上海浦·月考)下列条件中，不能判定一个三角形是等边三角形的是 () A.三边都相等 B.三个角都相等 C.有一个角是60的等腰三角形 D.有两个角相等的三角形 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定。等边三角形的判定方法有：三边都相等；三个角都 相等： 有一个角是60°的等腰三角形。有两个角相等的三角形只能判定是等腰三角形， 不能判定是等边三角形。 【详解】解：A选项三边都相等的三角形是等边三角形，能判定； B选项三个角都相等的三角形是等边三角形，能判定： C选项有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，能判定： D选项有两个角相等的三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形，不能判定。 故选D 3.(2025秋：广东广州单元测)若等腰三角形的一个内角为60°，则这个三角形是（) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【详解】解：.·这个三角形是等腰三角形，且有一个内角为60°， ∴.根据"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形"， 可知这个三角形是等边三角形。 故选B 题型02等边三角形的性质（求角度） 4.（(2025秋江南京期中)等边三角形的一个内角的度数为（) A.30°B.45°C.60°D.90° 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质。等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于6( 【详解】解·等边三角形的三个角都相等，且三角形内角和为180°， .每个内角的度数为 1×180°=60°。 故选C 5.(2025秋浙江杭州·月考)，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，则∠BAD 的度数为() A.15°B.30°C.45°D.60° 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和等腰三角形三线合一。等边三角形是特殊的等腰三角 底边上的高也是顶角的平分线。 【详解】解.△ABC是等边三角 ∴.∠BAC=60°（等边三角形的每个内角都等于60°）。 ,AD是BC边上的处离BC是等腰三蘑边三角形是特殊的等腰三角形)， ∴.AD平BAC(等腰三角形三线合一)。 ∠BAD=3×∠BAC=600×30°。 故选B 题型03等边三角形的判定 6.(2025广西期未)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E在线段AB上， CE‖DA.则下列条件不能判定△BCE成为等边三角形的是() B A.BC=BE B.∠BCE=60 C.∠AEC=120°D.EC平分∠BCD 【答案】 D 【解析】 先根据平行线的性质和已知条件证明△BCE是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方 法逐项判断即可. 【解答】 解：，CE‖DA.∠CEB=∠A∠A=∠B.∠CEB=∠B.CB=CE,即 △BCE是等腰三角形 对于A,若BC=BE,则CB=CE=BE,△BCE是等边三角形，故A不符合题意： 对于B,若∠BCE=60°，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，故B不符合题意； 对于C,若∠AEC=120°，则∠CEB=180°-120°=60°，有一个角是60的等腰三角形是 等边三角形，故C不符合题意； 对于D,若EC平分∠BCD,只能得到∠BCE=∠DCE,无法推出△BCE的内角为60 或三边相等，故D符合题意. 7.(26-27同步)在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30°，则 △ABD的面积为() 30° B D C.1 D.2 【答案】 A 【解析】 过点A作AE⊥BC于点E,求出BD,AE的长即可. 【解答】 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E, 30° E D .在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=6 BD-号BC=3, .AE⊥BC,∠B=30°，AB=2, 在R AABE中，AE=号AB=1, ∴4A6D的面职为2D:Ac-方×3×1-多 8.(2627同步)如图，∠MON=40°，点P在射线OM上，以点P为圆心，PO长为半 径画弧，分别交射线OM,ON于点A,B,连接AB,分别以点A,B为圆心，AB长为半径画 弧，两弧在∠MON内部交于点C,连接AC,则∠OAC的大小为()· M B N A.100°B.105°C.110°D.115° 【答案】 C 【解析】 利用作图的方法和痕迹，得到OP=AP=BP和∠BAC=60°，再利用等腰三角形的底 角相等及三角形内角和为180°，求出答案 B+∠BAC=50°+60°=110. 【解答】 解：如图所示，连PB,CB M B N 由作图可知，OP=AP=BP,AC=AB=CB, 由作图可知，OP=AP=BP,AC=AB=CB, ∴.△ABC为等边三角形， .∴.∠BAC=60 .∠MON=40°，OP=BP ∴.∠PBO=∠MON=40° 则∠APB=80 AP=BP, .∴.∠PAB=∠PBA, 在APAB中，∠PAB=∠PBA=180-∠APB=180-80=50, 2 2 ∠OAC=∠PA 题型04等边三角形的轴对称性 9.(2025秋河北石家庄·期中)等边三角形的对称轴有() A.1条B.2条C.3条D.无数条 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的轴对称性。等边三角形有三条对称轴，每条对称轴都是 过顶点和对边中点的直线。 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，每条对称轴都是过一个顶点和 对边中点的直线。 故选C。 10. (2025秋陕西西安·月考)等边三角形的对称轴是（)） A.一边上的高 B.一边上的中线 C.一个角的平分线 D.过顶点和对边中点的直线 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的轴对称性。等边三角形的对称轴是过顶点和对边中点的 直线，注意对称轴是直线，不是线段。 【详解】解：等边三角形有三条对称轴，每条对称轴都是过一个顶点和对边中点的直 线。 A、B、C选项都是线段，不是直线，所以不是对称轴： D选项是过顶点和对边中点的直线，是对称轴。 故选D。 11.(2025秋辽宁沈阳·期中)在等边三角形ABC中，AD是对称轴，点E是AB上一 点，则点E关于AD的对称点在() A.AC上B.BC上C.AB上D.无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的轴对称性。等边三角形关于过顶点A和对边BC中点的直 线对称，AB与AC是对应边，所以AB上的点的对称点在AC上。 【详解】解：，‘△ABC是等边三角形，AD是过顶点A的对称轴， ∴.AB与AC关于AD对称。 ∴.AB上的任意一点关于AD的对称点都在AC上。 点E是AB上一点， ∴点E关于AD的对称点在AC上。 故选A。 题型0530°直角三角形的性质 12.(25-26广东期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E在线段AB上， CE‖DA.若使ABCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠B=60°（答案不唯-） E 【答案】 ∠B=60°（答案不唯-） 【解析】 本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到∠A=∠BEC=∠B ,然后增加∠B=60°，即可根据三个角是60°的三角形是等边三角形 【解答】 解：增加∠B=60°，理由为： 解：增加∠B=60°，埋田为： CE DA, ∴.∠A=∠BEC, 又.∠B=∠A, .∠B=∠BEC=60°， .∠BCE=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°， .△BCE是等边三角形 故答案为：∠B=60°. 13.(25-26·湖南期末)如图，在△AOB中，∠AB0=90°，∠A=30°，OA=4,点B在 y轴上，将△AOB绕O点顺时针方向旋转使得点A的对应点C落在y轴正半轴上，则，点B的对应 点D的坐标是3,1 B D 【答案】 3,1 【解析】 由勾股定理和全等三角形解答即可. 【解答】 解：，·∠AB0=90°，∠A=30°，OA=4, :0B=号0A=2AB=30A=25,∠A0B=60, 2 由旋转知，OD=OB=2,∠COD=∠AOB=60 B D 0 H x 作DH⊥x轴于点H, .∠1=30 DI=0D=1,0H=99 .D的横坐标为V3,纵坐标为1. 14.(26-27·四I川开学)如图，点F为线段AC上一点，且△ABF≈△CBF, △BEG≈ABED,EG平分∠AED,已知∠ABC=60°，则∠G=_20° A G F E B 【答案】 20° 【解析】 由△ABF≈△CBF及∠ABC=60°，得△ABC是等边三角形，则 ∠BCE=60°，BF⊥AC,ABEG≈ABED得∠D=∠G,设∠D=∠G=,则 ∠CED=60°-a,从而求得∠AED及∠AEG,再由∠AEG=90°-∠G,即可得关于a的 方程，解方程即可求解， 【解答】 解：，△ABF≈△CBF, ∴.AB=BC,∠ABF=∠CBF, .∠ABC=60, .△ABC是等边三角形， ∴.∠BCE=60°，BF⊥AC, .△BEG≈△BED, ∠D=∠G, 设∠D=∠G=a, .:∠BCE=∠D+∠CED, ∴.∠CED=∠BCE-∠D=60°-a, .∠AED=180°-∠CED=120+a, ,EG平分∠AED :∠AEG=3AD=60+g .BF⊥AC, ∴.∠AEG=90°-∠G=90°-a, 60+号x=90-g 解得α=20°， .∠G=20, 故答案为：20° 题型06等边三角形判断与性质的综合应用 15.(26-27同步)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠A=30 (1)求∠B的度数 (2)求证：△BCD为等边三角形. 【答案】 60° 证明：∴.·CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴∠ACB=90CD=BD=AD=号AB ∠A=30 .∠B=90°-∠A=60 .△BCD为等边三角形 【解析】 (1)根据直角三角形的两个锐角互余，求∠B的度数即可. (2)先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CD=BD,再根据等边三 角形的判定，解答即可 【解答】 (1)解：，·CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠A=30 .∴.∠ACB=90 ∴.∠B=90°-∠A=60 (2)证明：，'CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线 .∠ACB=90°CD=BD=AD=1AB ∠A=30° ∴.∠B=90°-∠A=601 ∴.△BCD为等边三角形， 16.(26-27同步)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D, 且点D在线段AB的垂直平分线上. ◇ (1)求∠B的度数； (2)当BD=2V3,求AC的长 【答案】 ∠B=30 AC=3 【解析】 (1)由线段垂直平分线的性质可得AD=BD,由等边对等角得出∠DAB=∠B,由角 平分线的定义可得∠DAB=∠DAC,再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； (2)由直角三角形的性质可得CD=号AD=3,再由勾股定理计算即可得出结果。 【解答】 (1)解：，点D在线段AB的垂直平分线上， .∴AD=BD, ∴.∠DAB=∠B, .AD平分∠BAC, .∴.∠DAB=∠DAC, .∠ACB=90°， ∴.∠DAC+∠DAB+∠B=90°， .∠B=号×90=30 3 (2)解：，AD=BD,∠B=30°，BD=2V3, ∴.AD=23, 由(1)可得∠DAC=30°， ∠C=90°， :CD=方AD=3, 在Rt△ACD中，AC=VAD2-CD2=12-3=3. 17.(26-27同步)如图，△ABC是等边三角形，E是边AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD,CD=BE. B (1)求证：△ABE=△ACD; (2)判断△ADE的形状，并说明理由 【答案】 见解析 △ADE是等边三角形，理由见解析 【解析】 (1)根据"SAS”证明△ABE≥△ACD即可； (2)根据等边三角形的判定方法，证明△ADE是等边三角形即可. 【解答】 (1)证明：.△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°，AB=AC, 在△ABE和△ACD中{AB=AC∠ABE=∠ACD BE=CD .△ABE≈△ACD SAS. (2)解：△ADE是等边三角形，理由如下： 由(1)得△ABE≈△ACD: ∴.AE=AD,∠CAD=∠BAC=60°， ∴.△ADE是等腰三角形，且∠EAD=60°， .△ADE是等边三角形 18.(26-27四川开学)如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB= 130°，∠BDA=0,△BDA≌△CEA 130 B (1)求证：△AED是等边三角形： (2)若△CD是直角三角形，求的度数， 【答案】 证明：，‘△BDA≈△CEA,∠BDA=a, .∴.AD=AE∠BAD=∠CAE∠BDA=∠CAE=a, ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴.∠BAC=∠DAE, .,'△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=60 .∴.∠DAE=60° AD=AE ∴.△AED是等边三角形； 130X B 150°或80 【解析】 (1)先根据△BDA≈△CEA,∠BDA=a,可得AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∠BDA=∠CAE=,得出∠BAC=∠DAE,由△ABC是等边三角形，得出 ∠DAE=60°即可； (2)根据△AED是等边三角形，得出∠ADE=∠AED=60°，由 ∠CDB=130°，∠BDA=a,可求∠CDE=170°-a,∠CED=a-60°，得出 ∠DCE=70°.根据△CDE是直角三角形，∠DCE=70°.分两种情况讨论，当 ∠CED=90时，90°=a-60°，当∠CDE=90°，170°-a=90°，解方程即可 【解答】 (1)证明：.'△BDA≈△CEA,∠BDA=a, .∴.AD=AE∠BAD=∠CAE∠BDA=∠CAE=C, .∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴.∠BAC=∠DAE, .△ABC是等边三角形， .∴.∠BAC=60 .∴.∠DAE=60° .∵AD=AE ∴.△AED是等边三角形； (2)'△AED是等边三角形， .∴.∠ADE=∠AED=60°， .∠CDB=130°∠BDA=a, .∠CDE=360°-a-60°-130°=170°-a,∠CED=a-60°， ∠DCE=180°-a-60°-170°-a=70°. 'ACDE是直角三角形，∠DCE=70°. 当∠CED=90时，90°=a-60°， .∴.a=150°， 当∠CDE=90°，170°-a=90°， .a=80°， .∴.0=150或80°. 19.(24-25·重庆期中)已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相 交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点. (1)求证：AD=BE; (2)求∠DOE的度数 (3)求证：△MNC是等边三角形. 【答案】 证明见解析： ∠DOE的度数是60°；： 证明见解析 【解析】 (1)根据等边三角形性质得出AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，求出 ∠ACD=∠BCE,证△ACD≈△BCE即可； (2)根据全等求出∠ADC=∠BEC,求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角 和定理求出即可； (3)求出AM=BN,根据SAS证△ACM≈△BCN,推出CM=CN,求出 ∠NCM=60即可. 【解答】 (1)解：证明：，'△ABC、△CDE都是等边三角形， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, ∴.∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△ACD=△BCE SAS, ∴.AD=BE; (2)解：，'△ACD≈△BCE, ∴.∠ADC=∠BEC, 等边三角形DCE, ∴.∠CED=∠CDE=60°， .∴.∠ADE+∠BED =∠ADC+∠CDE+∠BED =∠ADC+60°+∠BED =∠CED+60 =60°+60 =120°， .∴.∠DOE=180°-∠ADE+∠BED=60°， ∴.∠DOE的度数是60°； (3)证明：'△ACD≈△BCE, .∴.∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC, 又'点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM=AD,BN=号BE, ∴.AM=BN, 在△ACM和△BCN中， AC=BC ∠CAM=ㄥCBN AM=BN .∴.△ACM≌△BCN SAS ∴.CM=CN, ∠ACM=∠BCN, 又∠ACB=60°， ∴.∠ACM+∠MCB=60° .∴.∠BCN+∠MCB=60°， .∴.∠MCN=60°， ∴.△MNC是等边三角形. 二、进阶思维题 (一)选择题 1.(26-27同步)如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC,连接BD,CD,若 ∠BDA=130°，则∠DBC等于() A.40° B.45°C.50°D.30 【答案】 A 【解析】 先根据等边三角形性质和角平分线定义证明△ABD兰△ACD(SAS),从而得出 ∠CDA=∠BDA=130°，BD=CD,再利用周角定义求出∠BDC,最后在等腰△BCD中 利用内角和定理求解即可， 【解答】 解：，：△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC, .AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD ∴.△ABD=△ACD(SAS), ∴.∠CDA=∠BDA=130°，BD=CD, .∴.∠BDC=360°-∠BDA-∠CDA=360°-130°-130°=100°， BD=CD .∠DBC=∠DCB ∠DBc-l80-∠BDc-×180'-100片=40 2.(26-27同步)将等边三角形按如图所示的方式放置，已知m‖，∠1=40°，则∠2= A.15° B.20°C.30°D.40 【答案】 B 【解析】 在等边三角形平行线间的顶点处作和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换 得到∠1+∠2=60°，再计算即可. 【解答】 解：如图，设等边三角形为△ABC,过点A作ADm, m‖n ∴.AD m n .∠1=∠BAD,∠2=∠CAD, 在等边三角形ABC中，∠BAC=60°∴.∠1+∠2=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°， .∴.∠2=60°-∠1=20°. 3.(26-27同步)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将∠A沿MN翻折， 点A恰好落在点C处，若BC=6,则CM的长为() N A.3 B.6 C.63D.12 【答案】 B 【解析】 由直角三角形两锐角互余求出∠B=60°，由折叠得∠MCA=∠A=30°，求出 ∠MCB=60°，由三角形内角和定理得∠BMC=60°，得△BMC是等边三角形，故可得 CM=BC=6. 【解答】 解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴.∠B=60° 由折叠得∠MCA=∠A=30°， ∴.∠MCB=∠ACB-∠MCA=90°-30°=60°， .∴.∠BMC=180°-∠B-∠BCM=180°-60°-60°=60°， ∴.△BMC是等边三角形， ∴.CM=BC=6. 4.(25-26广东月考)如图，△ABC是等边三角形，DEBC,若AB=5,BD=3,则 △ADE的周长为（) A.2 B.6 C.9 D.15 【答案】 B 【解析】 由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD=2,可求得其周长， 【解答】 解：.‘△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， DE BC, ∴.∠ADE=∠AED=∠B=∠C=60°， ∴.△ADE为等边三角形， .AB=5,BD=3, ∴.AD=AB-BD=2, .△ADE的周长为6， 故选：B. 5.(26-27同步)如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形， 连接AE和CD,AE分交CD、BD于点M、P,CD交BE于点Q,连接PQ、BM.下列结 论①AE=DC;②△ABE=△DBC;③∠DMA=60°；④△BPQ为等边三角形：⑤ AC=DC.其中结论正确（)个. A.2个 B.3个C.4个D.5个 【答案】 【解析】 本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，先根据等边三角 形的性质证明△ABE≈△DBC,可说明①②并根据全等三角形的性质得∠BAP=∠BDM ,再根据∠PAB+∠APB+∠ABP=∠BDM+∠DPM+∠DMP=I80°，即可证明③ 然后根据"角边角"证明△ABP≥△DBQ,可得BQ=BP,说明④即可；最后根据 ∠DAC≠∠ADC说明⑤. 【解答】 ,'△ABD,△BCE都是等边三角形 .∴.∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD,BC=BE, .∴.∠DBE=180°-2×60°=60 ∴.∠ABE=∠DBC, .'AE=CD. .△ABE≈ADBC, 可知①②正确； △ABE≈ADBC, ∴.∠BAP=∠BDM. .'∠PAB+∠APB+∠ABP=∠BDM+∠DPM+∠DMP=180°， .'.∠DMA=∠ABD=60 可知③正确： .'∠BAP=∠BDQ,AB=BD,∠ABP=∠DBQ, ∴.△ABP≈ADBQ, ∴.BQ=BP .∠DBE=60 ∴.△BPQ为等边三角形 可知④正确； :∠DAC<∠ADC, ∴.AC≠CD 可知⑤不正确， 正确的有①②③④，共4个. 故选：C (二)填空题 6.(26-27同步)如图，AD是等边△ABC的高，若AB=4,则CD的长为2一 【答案】 2 【解析】 根据等边三角形的性质以及三线合一求解。 【解答】 解：.AD是等边△ABC的高 ∴.BC=AB=4,CD= -2 7.(26-27同步)如图，在△ABC中，∠C=30°，观察图中尺规作图的痕迹，若 AD=BD=2,则线段AB的长为2· M D 【答案】 2 【解析】 本题考查了垂直平分线的尺规作图，等边对等角，三角形外角性质，等边三角形的判定 与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先结合作图过程得CD=BD,结合等边对等 角，三角形外角性质得∠ADB=60°，运用有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，进 行分析，即可作答 【解答】 解：由作图过程得CD=BD, .∠C=30 .∠DBC=∠C=30 即∠ADB=60 AD=BD=2 .∴△ABD是等边三角形， .∴.AB=BD=2. 8.(25-26山西期末)如图，在△ABD中，过点B作BC⊥AD,交AD于点C.将△BCD 绕点D逆时针方向旋转，点B的对应点B落在边AB上，点C对应点为C,BC交AD于点E. 已知∠A=60°，∠BDA=45°，AB=2,则BB=3-3, B 【答案】 3-3 【解析】 本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角 形的性质与判定，过点D作DH1AB于H,求出∠ABC=30°，则AC=号AB=1,由勾 股定理可得BC=VAB-AC=3,证明△BCD是等腰直角三角形，得到CD=BC=V3 ,则AD=AC+CD=1+3,求出∠ADH=30,则AH=)AD=1+3 2 即可得到 BH=3-3 2 由旋转的性质可得DB=DB,则BB=2BH=3-V3, 【解答】 解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H, B .BC⊥AD, ∴.∠ACB=∠DCB=90°， :∠A=60°， .∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB=30°， ..AC=AB=1, ∴.BC=VAB2-AC2=3, .∠BDA=45°， ∴.△BCD是等腰直角三角形， ∴.CD=BC=3, .AD=AC+CD=1+3, .DH⊥AB, .∴.∠AHD=90°， .∴.∠ADH=180°-∠A-∠AHD=30 六AH-号40=149 21 BH=AB-AH=2-1+3=3-3 21 由旋转的性质可得DB=DB, ∴.BB=2BH=3-3, 故答案为：3-V3, 故答案为：3-3 9.(26-27·四川开学)如图，点F为线段AC上一点，且△ABF≈△CBF, △BEG≈△BED,EG平分∠AED,已知∠ABC=60°，则∠G=20° B 【答案】 20° 【解析】 由△ABF=ACBF及∠ABC=60°，得△ABC是等边三角形，则 ∠BCE=60°，BF⊥AC,△BEG=△BED得∠D=∠G,设∠D=∠G=Q,则 ∠CED=60°-Q,从而求得∠AED及∠AEG,再由∠AEG=90°-∠G,即可得关于a的 方程解方程即可求解。 【解答】 解：，△ABF=ACBF, .∴.AB=BC,∠ABF=∠CBF, ,∠ABC=60°， .∴△ABC是等边三角形， .∠BCE=60°，BF⊥AC, .△BEG≈△BED, ∴.∠D=∠G, 设∠D=∠G=a .∠BCE=∠D+∠CED, ∴.∠CED=∠BCE-∠D=60°-a, ∴.∠AED=180°-∠CED=120°+a, .·EG平分∠AED, ∠AG=<AED=60+号0 2 BF⊥AC, .∠AEG=90°-∠G=90°-a 60t号a=90-g 解得α=20°， .∠G=20, 故答案为：20° (三)解答题 10.(2425福建期中)已知：如图，B、C、D在同一直线上，△ABC,△ADE是等边 三角形，求证：CE=AB+CD 【答案】 见解析 【解析】 由"SAS"可证△BAD=△CAE,由全等三角形的性质可得BD=CE,进而得出结论 【解答】 证明：，'△ABC,△ADE是等边三角形 ∴.AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60. .∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△BAD=△CAE SAS. ∴.BD=CE BD=BC+CD .∴.CE=AB+CD 11.(25-26宁夏月考)已知：如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E, 使CE=CD,连接DE, (1)证明：△BDE是等腰三角形； (2)若AB=2,求DE的长度. 【答案】 见解析 3 【解析】 (1)由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC=90°，由△DCE是等腰三角形求出 ∠CDE=∠CED=30°，根据等角对等边即可证得； (2)由勾股定理求出BD即可求得. 【解答】 (1)解：证明：.‘△ABC为等边三角形， .∴.∠DCB=60 .CE=CD, .∴.∠CED=∠CDE, .'∠DCB=∠CED+∠CDE=60°， .∴.∠CED=∠CDE=30°， BD为中线 ∴.∠DBC=30°， ∴.∠DBC=∠CED, ∴.BD=DE, '.△BDE是等腰三角形： (2)解：BD为中线， AD-AC=1,BD⊥AC, ∴.∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB-AD2=V2-12=3, ∴.DE=BD=PV3. 12.(26-27同步)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D, 且点D在线段AB的垂直平分线上. ◇ (1)求∠B的度数： (2)当BD=2V3时，求AC的长 【答案】 ∠B=30 AC=3 【解析】 (1)由线段垂直平分线的性质可得AD=BD,由等边对等角得出∠DAB=∠B,由角 平分线的定义可得∠DAB=∠DAC,再结合三角形内角和定理计算即可得出结果： (2)由直角三角形的性质可得CD=AD=3,再由勾股定理计算即可得出结果。 【解答】 (1)解：，点D在线段AB的垂直平分线上， ∴.AD=BD, ∴.∠DAB=∠B, ,AD平分∠BAC, ∴.∠DAB=∠DAC, .∠ACB=90, ∴.∠DAC+∠DAB+∠B=90°， .∠B=号×90=30： 3 (2)解：，AD=BD,∠B=30°，BD=2V3, ∴.AD=23, 由(1)可得∠DAC=30°， ∠C=90°， :CD=方AD=3 在Rt△ACD中，AC=VAD2-CD=V12-3=3. 13.(26-27四I川开学)如图，点D是等边△ABC内一点，E是ABC外的一点，∠CDB= 130°，∠BDA=,△BDA≌△CEA 130X D B (1)求证：△AED是等边三角形； (2)若△CDE是直角三角形，求的度数. 【答案】 证明：.'△BDA≥△CEA,∠BDA=a, ∴.AD=AE∠BAD=∠CAE∠BDA=∠CAE=a, .∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, .∴.∠BAC=∠DAE, .'△ABC是等边三角形， .∴.∠BAC=60 ∴.∠DAE=60 .∵AD=AE ∴.△AED是等边三角形： 13091 D B 150°或80 【解析】 (1)先根据△BDA≈△CEA,∠BDA=C,可得AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∠BDA=∠CAE=a,得出∠BAC=∠DAE,由△ABC是等边三角形，得出 ∠DAE=60即可； (2)根据△AED是等边三角形，得出∠ADE=∠AED=60°，由 ∠CDB=130°，∠BDA=a,可求∠CDE=170°-a,∠CED=a-60°，得出 ∠DCE=70°.根据△CDE是直角三角形，∠DCE=70°.分两种情况讨论，当 ∠CED=90时，90°=a-60°，当∠CDE=90°，170°-a=90°，解方程即可 【解答】 (1)略 (2),'△AED是等边三角形， .∠ADE=∠AED=60°， .∠CDB=130°∠BDA=a, ∴.∠CDE=360°-a-60°-130°=170°-a,∠CED=a-60°， ∠DCE=180°-a-60)-170°-a=70. .△CDE是直角三角形，∠DCE=70°. 当∠CED=90时，90°=a-60°， ∴.a=150°， 当∠CDE=90°，170°-a=90°， .a=80°， .∴.a=150°或80°. 14.(25-26全国月考)如图，在△ABC中，AB=AC,以BC为边作等边三角形BDC. 点E在△ABC外，∠CBE=150°，∠ACE=60°. D E B (1)求∠ADC的度数； (2)求证：△ACE是等边三角形； (3)连接DE,若DE⊥CD,AD=2,求DE的长 【答案】 150 见解析 4 【解析】 (1)利用等边三角形的性质及SSS可得△ADB≥≈△ADC,进而可得 ∠ADC=∠ADB,则可求解； (2)利用ASA可证得△ACD=△ECB,进而可得AC=CE,再根据等边三角形的判 定即可证结论： (3)连接DE,可得∠EDB=30°，进而可得EB=AD=2,再根据DE=2EB即可求 解。 【解答】 (1)解：，△BDC是等边三角形 ∴.DB=DC,∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°. 在△ADB和△ADC中， AB=AC AD=AD DB=DC .△ADB=△ADC|SSS, ∴.∠ADC=∠ADB .∠ADC=×360-60=150 (2)证明：.·∠ACE=∠DCB=60°， .∴.∠ACD=∠ECB :∠CBE=150°，∠ADC=150°， ∴.∠ADC=∠EBC 在△ACD和△ECB中， ∠ACD=∠ECB CD=CB ∠ADC=∠EBC .∴△ACD=△ECB ASA! ∴.AC=CE. .∠ACE=60°， .△ACE是等边三角形. (3)连接DE,如图： B .DE⊥CD, ∴.∠EDC=90°. :∠BDC=60, ∴.∠EDB=30°. .:∠CBE=150°，∠DBC=60°， ..∠DBE=90°， FB-DE. :△ACD=△ECB,AD=2, ∴.EB=AD=2, ∴.DE=2EB=4. 三、中考链接题 1.(2425陕西中考)如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点， DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若等边三角形的高为4，则DE+DF=() E B D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D 【解析】 连接AD,过B作BM⊥AC于M,则BM=4,根据等边三角形的性质得出 AB=BC=AC,根据三角形的面积公式求出DE+DF=BM,代入求出即可. 【解答】 连接AD,过B作BM⊥AC于M,则BM=4, D :SAA=SAADB+S△ADC, 2xAC×BM=xABX DE+号×ACxDF, .1 ··2 ',△ABC是等边三角形， .∴.AB=BC=AC, ∴.DE+DF=BM=4, 故选D 2.(25-26贵州中考)如图，RtAABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为 圆心，大于号AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线N,交BC于点D,连接 AD,若CD=3,则BD的长为() A.3 B.4C.5 D.6 【答案】 D 【解析】 根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠CAB=60°，由尺规作图可知MN是AB的垂直 平分线，根据垂直平分线的性质可知DA=DB,根据等边对等角可知∠DAB=∠B=30°， 根据角之间的关系可以求出∠CAD=30°，根据含30角的直角三角形的性质可知 BD=AD=2CD=6. 【解答】 解：.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴.∠CAB=60°， 由作图可知MN是AB的垂直平分线， .'DA=DB .∴.∠DAB=∠B=30°， .∴.∠CAD=∠CAB-∠DAB=30°， .∵CD=3, ∴.AD=2CD=6, .∴.BD=AD=6. 3.(25-26湖北中考)如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.当△AOD是等腰 三角形，a的度数是)】 D Q B A.110°，100°，140 B.125°，110°，140 C.60°，100°，110 D.120°，140°，100 【答案】 B 【解析】 根据全等三角形的性质得到∠OCB=∠DCA,CO=CD,证明∠DCA+∠ACO=60 ,根据等边三角形的判定定理证明△COD是等边三角形，然后分 AD=AO,DA=DO,OD=AO三种情况，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算 【解答】 解：由旋转性质可得：△ADC≥△BOC, ∴.∠ADC=∠BOC=a,∠OCB=∠DCA,CO=CD .△ABC是等边三角形 .∠ACB=60°，即∠OCB+∠AC0=60°， ∴.∠DCO=∠DCA+∠ACO=60°. 又CO=CD, ∴△COD是等边三角形， ∴.∠COD=∠CDO=60°， ∴.∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD =360°-110°-a-60°=190°-a, ∠ADO=∠ADC-∠CDO=a-60°， ∴.∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO =180°-a-60°-190°-a=50° 若AD=AO,则∠ADO=∠AOD,即a-60°=190°-， 解得：a=125°. 若OA=OD,则∠ADO=∠OAD,则a-60°=50°， 解得：=110°. 若DA=D0,则∠OAD=∠AOD,即50°=190°-a, 解得：a=140°. 综上所述，当a为125或110°或140时，△AOD是等腰三角形 故选B. 4.(25-26江苏中考)如图，在Rt△BCA中，∠BAC=90°，∠C=30$.AD⊥BC垂 足为D,BE是△ABC的角平分线，分别交AD,AC于点P,E.其中正确的结论的个数为 () 0BC=CE:②AAP是等动三角形：③Sas号S,mr:@BA-2PD E B A.4个 B.3个C.2个D.1个 【答案】 B 【解析】 根据直角三角形的性质、角平分线的意义与等角对等边可以判断结论①；根据等边三角 形的判定可以判结论②；根据直角三角形的性质与“同高的两个三角形面积之比等于它们的 底边长之比"可以判断结论®；根据直角三角形的性质与等腰三角形的判定可以判断结论④； 从而可以得到答案 解：.'在Rt△BCA中，∠BAC=90°∠C=30 .∠ABC=60°， ·.BE是△ABC的角平分线， ∴.∠ABE=∠CBE=30°， .∴.∠CBE=∠C, ∴BE=CE, 故结论①正确； .·∠BAE=90°，∠ABE=30°， .∴.∠AEP=60°， 同理可得：∠APE=60°， ∴.△APE是等边三角形 故结论②正确； 在Rt△ABE,∠ABE=30°， ..AE=LBE, :'.AE=-CE, 2 1 故结论③错误； 在Rt ABPD中，∠PBD=30°， PB. 在△ABP中，∠ABP=∠BAP=30°， .'PB=PA, .PD-PA. 故结论④正确： 故正确的结论的个数为3个； 【解答】 解：在Rt△BCA中，∠BAC=90°∠C=30 .∴.∠ABC=60°， .'BE是△ABC的角平分线， ∴.∠ABE=∠CBE=30°， .∠CBE=∠C, ∴.BE=CE, 故结论①正确； .∠BAE=90°，∠ABE=30°， ∴.∠AEP=60, 同理可得：∠APE=60°， .∴.△APE是等边三角形， 故结论②正确： 在Rt△ABE,∠ABE=30°， ..AE=LBE, AG-CE, 1 .'SAABE SABEC 2 故结论③错误； 在Rt△BPD中，∠PBD=30°， ..PD=-PB, 在△ABP中，∠ABP=∠BAP=30°， .'PB=PA, ..PD=IPA, 2 故结论④正确； 故正确的结论的个数为3个： 故选：B. 5.(24-25云南中考)如图，AB=AC,DB=DC,连接AD,交BC于点E.若 ∠ABC=60°，BE=3cm,则AB=6cm E B 【答案】 6 【解析】 本题考查了线段的垂直平分线的判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌 握以上性质和判定；先证明AD是BC的垂直平分线，可求出BC,再证明△ABC是等边三角 形，根据等边三角形的性质即可得解。 【解答】 解：，AB=AC,DB=DC, AD是BC的垂直平分线， BC=2BE=6cm, AB=AC,∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， AB=BC=6cm, 故答案为：6. 6.(25-26广东中考)如图，∠E0F=∠0EF=15°，EFI0B,EC⊥0B,若0F=8,则 EC等于4-. 【答案】 【解析】 过E作EG⊥A0,利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所 对的直角边是斜边的一半，即可得到EG的长，根据角平分线的性质得到EC的长度 【解答】 解：过E作EG⊥AO,垂足为G, .∠EOF=∠OEF=15°， .∠EOF=∠OEF=15°， .∴.∠EFG=15°+15°=30°EF=OF=8 :.EG=EF=1x8=4 EF OB, .∠COE=∠OEF=15 ∴.∠EOF=∠COE=15, EC⊥OB,EG⊥AO, .∴.EC=EG=4 故答案为：4 7.(25-26四川中考)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,BC=DC, ∠BAD=60°，连接AC、BD相交于点G,点E在边AD上，连接CE交BD于点F,CE‖AB .若CE=4,则EF的长为2 【答案】 2 【解析】 首先根据AB=AD=6、∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，再证AC是线段 BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC=∠DAC=30°，根据平行 线的性质可证∠ACE=∠DAC=30°，从而可得DE=2,根据平行线的性质可证△乙是等 边三角形，根据等边三角形的性质可知EF=DE=2. 【解答】 解：.AB=AD=6、∠BAD=60°， “.△ABD是等边三角形 ∴.∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°， AB=AD,BC=DC, ∴.AC是线段BD的垂直平分线， ∴.AG⊥BD, ∴.∠BAC=∠DAC=30°， .CE‖AB .∴.∠ACE=∠BAC=∠DAC=30°， ∴.AE=CE=4, ∴.DE=AD-AE=6-4=2, EF AB, .∠EFD=∠ABD=60°，∠FED=∠BAD=60°， “.△些就是等边三角形， ∴.EF=DE=2. 8.(25-26福建中考)如图，在△ABC中，AB=AC,过点B作BD⊥AC,垂足为D, 且D是边AC的中点. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)尺规作图：在线段BD上求作点E,使得BE=2DE(不写作法，保留作图痕迹)· 【答案】 证明见解析 见解析 【解析】 (1)先证BD垂直平分AC,得到BC=AB,再由AB=AC证得三边相等，由此证得 结论 (2)作∠ACB的角平分线CE即可求解 【解答】 (1)证明：，BD⊥AC,D是边AC的中点， ∴.BD垂直平分AC, .'BC=AB, AB=AC ∴.AB=AC=BC, ∴.△ABC是等边三角形： (2)解：如图所示， B .'△ABC是等边三角形，BD⊥AC, ∴.∠ACB=60°∠DBC=30 .CE平分∠ACB, .∠ECB=∠DCE=30° .∴.∠DBC=∠ECB=30 ∴.BE=EC, 又.BD⊥AC, ∴.CE=2DE, .∴.BE=2DE 9.(25-26山东中考)点P为△ABC中内任一点，连接AP,BP,CP,将△ACP绕点A逆 时针旋转60°，得到△AED. D (1)如图，试判断△ADP的形状，并说明理由. (2)若点P是△ABC内一个动点，试说明当点B,P,D,E四个点满足什么位置条件 时，PA+PB+PC的和最小. 【答案】 等边三角形，理由见解析 四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小，理由见解析 【解析】 (1)由旋转可得AD=AP,∠PAD=60°，即可证明； (2)由(1)可知△ADE≥△APC,△APD为等边三角形，则PA=DA=DP, PC=DE,故PA+PB+PC=DP+PB+DE,即可得当点B,P,D,E四个点在一条直线上 时，PA+PB+PC的和最小 【解答】 (1)解：由题意可知△ADE由△APC旋转得到， ∴.△ADE≈△APC, ∴.AD=AP, 又.∠PAD=60°， .∴.△APD为等边三角形 (2)解：当点B,P,D,E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小 理由：由(1)可知△ADE≈△APC,△APD为等边三角形， ∴.PA=DA=DP,PC=DE, .'PA+PB+PC=DP+PB+DE, 观察图可知，当点B,P,D,E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小 10.(25-26广东中考)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足 为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G E (1)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形 【答案】 60 见解析 【解析】 (1)等边三角形的性质推出∠DCB=30°，垂直，得到∠BCE=90°，角的和差关系求 出∠DCE的大小即可： (2)平移得到CD/1EF,进而得到∠EAC=∠DCA=30°，角的和差关系推出 ∠EAC=∠ECA,进而得到AE=CE,∠AEC=120°，根据AB=CB,推出BE垂直平分 AC,进而得到上GBC- ∠AEC=60°，推出∠GEC=∠GCE=∠EGC,进而得到 △CEG是等边三角形即可. 【解答】 (1)解：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60° ,D是AB的中点 .∠DCB=∠DCA=2 ∠ACB=30° .CE⊥BC, ∴.∠BCE=90, ∴.∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°. (2)由平移可知：CD/1EF, ∴.∠EAC=∠DCA=30°， 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， .∴.∠EAC=∠ECA, .∴.AE=CE,∠AEC=120° 又，'AB=CB, ∴.BE垂直平分AC, ∠GEC=号∠AEC=60, 71 由1知，∠GCE=60°， .∠EGC=60°， ∴.∠GEC=ㄥGCE=∠EGC ∴.△CEG是等边三角形.