重难强化九 三大观点解决力学综合问题（牛顿定律＋能量＋动量——压轴大题核心）（专项训练）（四川专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以三大观点（动力学、能量、动量）为核心，构建“规律-场景-策略”三级方法体系，系统培养科学思维与物理观念，突破力学压轴题。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|3知识点|三大观点选用原则（时间-动量、位移-能量等）、四步解题流程（拆分-分析-联立-检验）|从力的积累本质（时间/空间）推导规律，结合场景（碰撞/板块等）形成综合策略| |基础演练|4题型16题|板块模型摩擦生热计算、传送带相对位移分析、圆周运动临界条件、弹性碰撞速度公式|按模型复杂度递进，每种题型匹配特定观点组合（如板块：动量守恒+能量守恒）| |真题演练|4高考真题|多过程衔接速度关联、复杂系统动量守恒条件判断|还原高考命题逻辑，强化科学推理与模型建构能力|

重难强化九 三大观点解决力学综合问题（牛顿定律＋能量＋动量——压轴题专练）（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 三大观点综述 2 知识点2 三大观点的典型应用场景 3 知识点3 力学综合问题的解题策略 3 模拟·基础演练 4 题型01 三大基本观点在板块模型中的综合应用 4 题型02 三大基本观点在传送带问题中的综合应用 9 题型03 三大基本观点在圆周轨道上的综合应用 15 题型04 多次碰撞问题 20 重难·创新演练 26 真题·实战演练 31 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 动量与冲量的计算 —— —— 动量定理的应用 —— —— 考情分析 题型与考向：以计算题为主，是高考物理压轴题的核心命题方向。综合考查牛顿定律（动力学分析）、能量观点（动能定理、功能关系）和动量观点（动量定理、动量守恒）的灵活选用与交替运用。试题常以多物体、多过程、多阶段为特征，涉及碰撞、弹簧、板块、传送带、曲线运动等模型，重点考查学生科学思维中的模型建构与推理论证能力。 情境与立意： 1.板块＋碰撞模型：滑块滑上木板、多次碰撞、弹簧压缩与恢复。 2.多过程运动模型：先匀加速后抛体、先圆周后平抛、先斜面后水平面。 3.爆炸与反冲模型：系统内力做功与能量转化、动量守恒与能量守恒联立。 4.弹簧连接体模型：弹性势能参与转化、临界分离条件、多次相互作用。 复习目标 1.三大观点的核心规律与选用原则：掌握动力学观点（ΣF=ma，涉及加速度、时间、位移）、能量观点（动能定理W合=ΔEk、功能关系，涉及功、能、位移）、动量观点（动量定理I合=Δp、动量守恒，涉及冲量、时间、速度）的核心公式；能根据问题特征灵活选用——涉及时间优先动量定理，涉及位移优先动能定理，涉及加速度优先牛顿定律；系统外力为零或内力远大于外力时优先动量守恒。 2.三大观点在碰撞问题中的联立应用：掌握弹性碰撞中动量守恒与动能守恒的联立求解公式，熟练推导完全非弹性碰撞中的动能损失表达式。 3.三大观点在多过程问题中的交替运用：能将复杂问题按时间顺序或空间顺序划分为若干子过程，各过程分别选用最优观点列式，通过衔接速度或位移建立方程间的联系，形成完整解题链条。 4.常见压轴模型解题通法：掌握板块与弹簧结合模型的完整分析思路（受力分析→判断是否相对滑动→各阶段运动分析→碰撞瞬间动量守恒→弹簧压缩过程能量守恒→分离条件判断→功能关系求摩擦生热）；能从v-t图像中提取关键信息（加速度、位移、共速时刻）辅助求解。 巩固·知识解构 知识点1 三大观点综述 一、三大观点的核心规律 观点 核心规律 适用条件 涉及的物理量 优势 动力学观点 牛顿第二定律、运动学公式 恒力、匀变速 可求时间、加速度、瞬时力 能量观点 动能定理、机械能守恒、功能关系 任何过程 避开时间、加速度，适用变力和曲线运动 动量观点 动量定理、动量守恒定律 碰撞、爆炸、冲击 处理碰撞、打击、反冲问题 二、三大观点的本质 （1）动力学观点：力对时间的积累效果（F=ma），关注运动过程的每一时刻。 （2）能量观点：力对空间的积累效果（W=Fx），关注初末状态的能量转化。 （3）动量观点：力对时间的积累效果（I=Ft），关注初末状态的动量变化。 三、三大观点的选用原则 （1）涉及时间、加速度、瞬时力 → 用动力学观点。 （2）涉及位移、速度、功、能 → 用能量观点。 （3）涉及碰撞、爆炸、冲击力、作用时间极短 → 用动量观点。 （4）压轴大题综合问题 → 三大观点协同使用，分段选取最优方法。 知识点2 三大观点的典型应用场景 一、动力学观点的应用场景： （1）单物体多过程：物体在不同阶段受力不同，分段用牛顿第二定律求加速度，再配合运动学公式。 （2）连接体问题：整体法求加速度，隔离法求内力。 （3）斜面、传送带：受力分析求加速度，分析物体的运动时间、速度、位移。 二、能量观点的应用场景 （4）机械能守恒判断：系统内只有重力或弹簧弹力做功，用机械能守恒。 三、动量观点的应用场景 （1）碰撞问题：弹性碰撞、完全非弹性碰撞、非弹性碰撞。 （2）爆炸与反冲：爆炸瞬间动量守恒，反冲运动。 （3）人船模型：系统初动量为零，水平方向动量守恒。 （4）流体冲击力：用动量定理求流体对物体的平均作用力。 知识点3 力学综合问题的解题策略 一、压轴大题的典型结构： （1）多过程：物体经历“斜面→水平面→圆周”等多个阶段。 （2）多物体：涉及两个或多个物体的相互作用。 （3）多形式：涉及直线运动、曲线运动、圆周运动等多种运动形式。 （4）多规律：需要同时使用动力学、能量、动量三种观点。 二、三大观点的协同使用原则： （1）碰撞阶段：优先使用动量守恒（碰撞时间极短，外力可忽略）。 （2）碰撞后的运动：使用能量观点（动能定理或机械能守恒）求速度、位移、高度。 （3）需要求时间或加速度：使用动力学观点（牛顿第二定律 + 运动学公式）。 （4）板块相对滑动：动力学求加速度和时间，能量观点求热量，动量守恒（地面光滑时）求共速。 三、解题步骤（压轴大题通用流程）： （1）审题拆分：将复杂过程拆分为若干简单阶段，明确每个阶段的受力特点和运动性质。 （2）逐一分析： 每个阶段分别列出适用的核心方程。 注意各阶段之间的关联（速度连续、位移关系、时间关系）。 （3）联立求解：将各阶段方程联立，形成方程组，统一求解。 （4）结果检验：检查物理意义是否合理（速度方向、能量是否减少等）。 模拟·基础演练 考查重点：多种场景下的三大观点结合 ⏳题型01 三大基本观点在板块模型中的综合应用 1．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 【答案】(1)3m/s (2)； 【详解】（1）对A、B组成的系统，动量守恒 由能量关系可得 解得 （2）爆炸后，物块A向左匀减速，物块B匀速，长木板向左匀加速；设A与木板共速后，B再与木板碰撞，规定方向向左为正方向；A、长木板动量守恒 对A受力分析根据牛顿第二定律 匀变速运动中速度时间关系 可得， 物块B的位移 长木板位移 ，假设成立 A和木板共速后以匀速运动， 爆炸后瞬间到B第一次与挡板相碰所经历的时间 第一次B与木板发生弹性碰撞，以右为正向 根据动量守恒 机械能守恒 解得 2．（2026·四川宜宾·一模）如图所示，AB为光滑的固定圆弧轨道，半径。一质量的滑块（可视为质点）从与圆心等高的A点静止释放，经B点水平滑上质量的小车；当滑块和小车第一次相对静止时，小车与竖直墙壁刚好发生弹性碰撞；最终滑块和小车均停止，全过程中滑块始终未与墙壁相碰。滑块与小车上表面之间的动摩擦因数，地面光滑，重力加速度，求： (1)滑块与小车第一次相对静止时的速度大小； (2)初始时小车左端与竖直墙壁之间的距离和小车至少多长； (3)若滑块从滑上小车至刚停止的总时间，则滑块在小车上各匀速运动阶段的时间之和为多少。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）滑块从A点到B点，由动能定理得 对滑块和小车，由动量守恒定律得 联立解得 （2）从滑块滑上小车到它们共速，对小车，由动能定理得 解得 小车第一次与墙壁碰撞后，小车向右减速，滑块向左减速，小车的速度先减为0，然后反向加速，直至与滑块共速后再一起匀速向左运动，然后与墙壁发生第二次碰撞，依次类推，二者速度回逐渐减小直至都趋于静止，滑块相对小车的相对距离为，根据能量守恒可知 解得 （3）滑块从滑上小车至刚停止，摩擦力总是阻碍滑块运动，由动量定理得 解得滑块减速运动时间 滑块在小车上各匀速运动阶段的时间之和为 3．（2025·四川泸州·一模）如图所示，挡板左右两侧有不等高且足够长的水平地面，木板A上表面与右侧地面齐平，可视为质点的物块B放在木板A左端。右侧内为涂有某种材料的特殊区域，物块B在该区域运动时所受摩擦力与速度大小满足；光滑的圆弧槽静放在特殊区域右侧光滑的水平地面上。现给物块B施加水平向右的瞬时冲量，之开始运动。已知木板A的质量长度，右端距的距离，与地面的动摩擦因数；物块B的质量，A、B之间的动摩擦因数，木板A与挡板碰后粘连且速度立即减为零，取重力加速度。求： (1)物块B刚运动时，木板A的加速度大小； (2)物块B运动到挡板处的速度大小； (3)要使物块B最终能够停在挡板右侧，求圆弧槽的质量的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块B开始运动时，设木板A加速度为 以木板A为研究对象，根据牛顿第二定律 解得： （2）给物块B一个瞬时冲量，设物块B获得的初速度为，根据动量定理   物块B在木板A上滑动时，对物块B 设用时两者达到共速 在时间内，设A、B的位移分别为 木板 ，物块 则：，且，故B与A共速时未滑下A木板 A、B共速后，由于，A、B将一起做匀减速直线运动，设一起匀减速的加速度为 根据牛顿第二定律 … 设A、B一起匀减速运动到时的速度大小为， 解得 木板A停止后，物块B继续以做匀减速直线运动，设物块B运动到挡板处速度为， 解得 （3）设B运动到挡板右侧处的速度为 根据动量定理 则 即： 解得 物块B滑上四分之一圆弧槽后再运动到圆弧轨道最低点，设物块B的速度为，圆弧槽的速度为，根据水平方向的动量守恒和能量守恒可得： 解得 若M<2，则vB>0，B向右运动，且速度小于圆弧速度，B一直向右匀速运动，无法停止 若M=2，则vB=0，B静止光滑地面上，符合题目条件 若M>2，则vB<0，B向左进入特殊区域，速度大小为 要使B不滑上左侧A，需要满足 解得 若M=3时,B刚好达到挡板处速度为0 故的取值范围为 4．（2026·四川成都·模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，水平光滑直轨道AB左端固定一轻弹簧，质量为m的小物块P静止在弹簧另一端（与弹簧不拴接）。长度为l、倾角的倾斜轨道CD由特殊材料制成，小物块P向上运动时与轨道之间的动摩擦因数，向下运动时与轨道之间的动摩擦因数。一质量为、一端带四分之一光滑圆弧轨道的滑块Q静止在足够长的光滑平台FG上，小物块P与滑块Q圆弧左侧水平部分的上表面之间的动摩擦因数。B与C之间、D与E之间均有光滑小圆弧平滑连接，E点与滑块Q的上表面平齐。现给小物块P施加一水平向左的恒力F，使小物块P向左运动，当速度为零时立即撤去恒力，一段时间后小物块P滑上倾斜轨道CD。当时，小物块P第一次滑上倾斜轨道恰好能到达D点；当时，小物块P从E点水平滑上滑块Q的左端，最终恰好没从滑块Q的左端滑出。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块P可视为质点，不计空气阻力，，，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量） (1)求弹簧的劲度系数； (2)求滑块Q水平部分的长度； (3)当时，求小物块P在轨道CD上经过的总路程； (4)当时，小物块P从E点水平滑上滑块Q的左端，求小物块P距离滑块Q上表面的最大高度。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）当 时，设小物块P向左运动的距离为，有 小滑块P第一次滑上倾斜轨道恰好能到达D点，则根据动能定理，有 联立解得 （2）当 时，设小物块P滑到E点时的速度大小为，对弹簧有 根据动能定理，有 小物块P水平滑上滑块Q后，恰好没滑离滑块，则达到共同速度时恰好到达滑块Q的最左端。由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 联立解得滑块Q水平部分的长度 （3）由于，小物块P最终停在水平轨道上的C点，故小物块P沿着倾斜轨道向上运动和向下运动的路程相等，设总路程为s，根据动能定理，有 解得 （4）当 时，设小物块P滑到E点时的速度大小为，对弹簧有 由动能定理可得 设小物块P与滑块Q共速时的水平速度为，由动量守恒定律可得 设物块P距滑块Q上表面的最大高度为H，由能量守恒定律可得 联立解得 ⏳题型02 三大基本观点在传送带问题中的综合应用 5．（2026·四川雅安·一模）某游戏装置竖直截面图如图所示。固定轨道PQM与传送带MN平滑连接，其中PQ段为光滑圆弧轨道，QM段为粗糙水平直轨道。物块a从P点由静止释放，运动到M点与静止的物块b发生完全非弹性碰撞，碰后结合成整体c；c运动到传送带右端N时，受到一水平向左的瞬时冲量，以后每隔给c一相同的瞬时冲量，直到c离开传送带。已知a、b、c均可视为质点，a、b的质量分别为，，圆弧轨道半径，圆心角，QM间距离，MN间距离，传送带顺时针运行的速度，a与水平直轨道、c与传送带间的动摩擦因数均为，，，重力加速度取求： (1)a运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小； (2)碰后瞬间c的速度大小； (3)c从N运动到M的过程中与传送带摩擦产生的热量。 【答案】(1)支持力大小为 (2)碰后瞬间c的速度大小为 (3)热量 【详解】（1）物块从P到Q的过程，由能量守恒得 解得Q点速度 在Q点有 解得支持力 （2）物块从Q到M的过程，由动能定理 解得 在M点发生完全非弹性碰撞，由动量守恒 解得碰后瞬间c的速度大小 （3）取向右为正方向，令c的质量为，加速度 由于，因此c运动到传送带右端N时已经与传送带共速。在N点由动量定理得 解得 c先向左减速到零再加速到与传送带共速，所用时间 c向左运动到速度为零的位移 c从速度为零加速到与传送带共速的位移 总位移 由于减速到共速时间等于，因此刚好共速时c受到向左的瞬时冲量，由动量定理 解得 因此c将重复之前的运动，重复次后减速运动离开传送带。重复次过程中c与传送带摩擦产生的热量 重复运动次后距离点，第5次c受到向左的瞬时冲量后速度依旧为，之后运动到M点的速度满足 解得 所用时间 因此第5次c受到向左的瞬时冲量后运动到M点的过程中c与传送带摩擦产生的热量 因此c从N运动到M的过程中与传送带摩擦产生的热量 6．（2025·四川达州·一模）如图所示，一斜面传送带与光滑足够长水平直轨道平滑连接，传送带与水平面夹角（，小球与小球通过长不可伸长的细线连接，小球位于半径略大于自身的光滑圆柱槽（圆柱槽水平固定且足够长）内的点，只能在槽内水平自由移动，圆柱槽上下表面镂空，细线和小球均可无碰撞在竖直平面内穿过圆柱槽。现有质量的滑块从传送带最高点点静止释放，经过传送带后进入水平直轨道，与小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知传送带以恒定速度速率顺时针转动，传送带长度.，小球质量，小球质量，滑块与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，小球、滑块均视为质点。已知重力加速度取，，。（答案可用分数表示）求： (1)滑块从静止释放运动到点时间； (2)若小球不固定，小球的最大速度大小； (3)若小球固定，小球离地面最大高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由静止释放后由牛顿第二定律有 解得： 与传送带达到共速时间 运动的位移 共速后所受摩擦力反向 解得： 解得： 滑块从静止释放运动到点时间： （2）滑块滑到斜面底端时速度： 若不固定，与发生弹性碰撞，因碰撞时间极短，球运动状态不变，则有 解得： 与相互作用过程中，系统水平方向动量守恒，机械能守恒，由分析得，当向上运动后再返回至最低点时，的速度最大 解得： （3）若固定，与发生弹性碰撞，碰后的速度为 设到达与等高的速度为，则有： 解得 若做圆周运动恰能达到的正上方，在最高点有 从最低点到的正上方有 解得 所以将在上方某位置脱离圆轨道 设脱离圆轨道连线与水平方向夹角为，此时速度为，则有 脱离圆轨道后将斜抛运动 小球离地面最大高度 解得 7．（2025·四川·一模）如图所示，A、B是长度水平传送带的两端，右端处上方有一固定挡板（不接触传送带），质量的小物块静止在、的中点处。某时刻，一质量的子弹以的速度沿传送带水平向左射入物块，射出的速度；子弹射出物块的同时，传送带从静止开始沿顺时针方向一直做匀加速运动，加速度大小为。已知物块每次与挡板碰撞反弹后其动能变为碰前动能的四分之一，物块与传送带间的动摩擦因数，不计物块与挡板碰撞的时间，重力加速度取。求： (1)子弹射出物块时物块速度的大小； (2)子弹射出物块到物块第一次与挡板相碰的时间； (3)在子弹射出物块到物块静止的过程中，物块运动的总时间及物块与传送带间产生的热能。 【答案】(1) (2)16s (3)， 【详解】（1）设子弹穿出物块时物块的速度大小为，根据动量守恒定律有 代入数据解得 （2）子弹穿出物块后，传送带向右做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，物块向左以初速度做匀减速直线运动，设加速度大小为，经过时间速度减为零，通过的距离为，根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有， 联立代入数据解得，，，即物块仍然在传送带上。 之后，物块向右匀加速运动，设经过时间与传送带速度相等为，则有 代入数据解得， 所以，物块与传送带速度相等时，物块恰好回到位置点。之后，物块与传送带一起加速到第一 次与挡板相碰，设经过的时间为，则 代入数据解得 设子弹穿出物块到物块第一次与挡板相碰的时间为，则 （3）设物块第一次与挡板相碰前速度为，有 由于物块与挡板碰撞反弹后其动能变为碰前动能的四分之一，所以每次相碰后速度减为碰前的二分之一，由于传送带一直做匀加速运动，物块与传送带速度不可能再相等。所以，物块以大小相等的加速度先做匀减速后做匀加速运动，每次都以前一次相碰后速度大小与挡板相碰，经过无穷多次，速度减为零，在挡板前被挡板挡住静止。 设第一次相碰后到第二次碰撞所经历的时间为，则有 设第二次相碰后到第三次碰撞所经历的时间为，有 设第三次相碰后到第四次碰撞所经历的时间为，有 …… 第一次相碰后到物块静止时间为，则 子弹穿出物块到物块静止过程中，物块运动的总时间，则 由于，，且物块先向左减速，再向右加速，最后与传送带共速，故在时间内，物块对地的位移为0，物块与传送带的相对路程即传送带的位移 物块与传送带第一次共速后相对静止、共同运动，再经时间与挡板第一次碰撞，在时间内物块与传送带的相对路程为 在第一次相碰到物块静止的时间内，物块对地的位移为0，物块相对于传送带的速度方向始终向左，故物块相对传送带的路程即传送带的位移 所以，在子弹穿出物块到物块静止的全过程中，物块与传送带间产生的热能为，则 8．如图所示，长度LAB=48m的传送带与水平面夹角θ=37°，当传送带静止时，质量m=0.1kg的物块静止在传送带的中点P处。某时刻一质量为m0=0.01kg的子弹以v0=300m/s的速度平行于传送带打入物块，并以v=250m/s的速度穿出物块。在子弹穿出物块同时启动传送带，让其沿顺时针方向一直做加速度为a=0.5m/s2的匀加速运动。传送带上端A处有一挡板，物块每次与挡板碰撞反弹后其动能变为碰前动能的。已知物块与传送带间的动摩擦因数，不计物块与挡板碰撞的时间，取重力加速度g=10m/s2。cos37°=0.8，sin37°=0.6。求： (1)子弹穿出物块时，物块的速度大小； (2)从子弹刚穿出物块到物块第一次与挡板碰撞所经历的时间及该过程中物块在传送带上的相对位移大小； (3)从子弹刚穿出物块到物块与挡板发生n次碰撞的过程中（n→∞），物块与传送带间的相对位移。 【答案】(1)5m/s (2)14s，25m (3)172m 【详解】（1）对子弹与物块组成系统，根据动量守恒定律可得 解得 （2）子弹穿过物块后，物块的加速度为 物块沿传送带向下做匀减速直线运动到零，再反向匀加速到与传送带共速，设经时间为t1，物块与传送带达到共同速度为v2，则 解得， 所以物块与传送带共速时，物块恰好回到P点，共速后一起加速到与挡板相碰，则 解得 所以从子弹刚穿出物块到物块第一次与挡板碰撞所经历的时间为 物块第一次与挡板相碰时，速度大小为 作出二者的速度时间图线如图所示 由图可知，前14s内传送带与物块间的相对位移为 （3）因每次与挡板碰撞反弹后其动能为碰前动能的，即物块每次以反弹，物块反弹后向下减速到0，然后向上加速到上次碰后速度再次与挡板相碰（因传送带一直加速，故不再有共速的可能），直到物块速度减为0为止，其v-t图如图所示 第一次反弹到第二次碰撞所经历的时间为 第二次反弹到第三次碰撞所经历的时间为 第三次反弹到第四次碰撞所经历的时间为 …… 由等比数列求和公式可知，物块速度刚减为0所用时间为 此时传送带的速度大小为 由图可知，这14s内传送带与物块间的相对位移与传送带的位移相等为 所以从子弹刚穿出物块到物块与挡板发生n次碰撞的过程中（n→∞），物块与传送带间的相对位移为 ⏳题型03 三大基本观点在圆周轨道上的综合应用 9．（2026·四川宜宾·三模）某趣味游戏简化模型如图所示，A点下方有一弹簧发射装置，AB和CD是半径为R的圆弧竖直轨道，轨道BC段水平，F为BC中点，在C点静置一小球Q。游戏中，游戏者压缩弹簧到某一位置静止释放，将小球P从A点弹出。若小球P与Q发生碰撞且最终停在BF段获一等奖，若小球P与Q发生碰撞且最终停在FC之间获二等奖，若小球P未与Q碰撞就静止在BC段获三等奖，其他情况均不能获奖。已知，小球P的质量，小球Q的质量，轨道BC段粗糙且，其余部分光滑，小球P在BC段运动时受到阻力为重力的k倍（），不计小球Q在BC段运动时受到的阻力，小球P与Q碰撞均为弹性正碰，重力加速度为g，不计发射装置本身的尺寸大小。 (1)若小球P弹出后恰好能通过B点，请分析游戏者的获奖情况； (2)若松手前发射装置的弹性势能为10mgR，求小球Q第一次离开D点后上升的最大高度； (3)若松手前发射装置的弹性势能等概率分布在0~10mgR区间，求其获一等奖的概率。 【答案】(1)获三等奖 (2) (3)15% 【详解】（1）小球P恰好通过B点时的速度满足 解得 假设P与Q不相碰，运用动能定理有 解得 假设成立，故游戏者的获三等奖。 （2）在点射出后的动能等于弹性势能，从小球射出到碰撞前的过程列动能定理 解得 碰撞过程中的动量守恒、能量守恒 解得， 小球第一次在段上升的高度满足 解得 （3）小球、从段下滑后，在段上会发生多次碰撞； ，故小球从向运动的过程中不会反向。由于小球为光滑球，从发射到两小球静止整个过程中运用能量守恒定律有 其中为在段上运动的总路程，若要获一等奖，应有 解得 由题意，其获得一等奖的概率为 10．（2026·四川成都·二模）某玩具装置示意图如图所示，水平台面上的AB段粗糙，其余部分均光滑；一弹簧左端固定在墙上，右端在A点的左边；不可伸长的轻绳系小物块乙，悬挂在O点，O点在B点正上方，小物块乙在B点对B点恰好无压力；水平台面右侧竖直面下方有一水平收集槽。游戏时，小物块甲在外力作用下压缩弹簧，释放后在B点与小物块乙发生弹性碰撞，碰后若小物块乙能做完整的圆周运动且小物块甲落入收集槽内，则游戏成功。一小朋友多次游戏，每次都成功。已知甲质量为，乙质量为；AB段长为，甲与AB段间的动摩擦因数为；轻绳长为，收集槽水平宽为，收集槽上表面与台面高度差为。重力加速度g取，忽略空气阻力。 (1)求小物块甲在每一次通过AB段过程中损失的机械能； (2)某次游戏，小物块乙恰能做完整的圆周运动，求甲与乙碰后，乙的速度大小； (3)求多次游戏中，小物块甲压缩弹簧后，弹簧储存的最大弹性势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块甲在每一次通过AB段过程中损失的机械能等于克服摩擦力做的功，则   解得 （2）物块乙恰能做完整的圆周运动，设乙在圆周最高点的速度大小为，甲与乙碰后瞬间，乙的速度大小为，则 根据动能定理   解得 （3）游戏成功，物块甲落入收集槽内，设碰后物块甲的最大速度为，离开平台后做平抛运动，运动时间为t，则，   解得 碰后物块甲为最大速度时，设对应的甲碰前速度为，乙碰后速度为，由动量守恒和能量守恒，   解得， 甲碰前速度为时，弹簧对应储存的弹性势能最大，设为，由能量守恒   解得 11．（2026·四川广元·二模）如图所示，在光滑的水平面上有A、B、C三轨道，轨道A为上表面光滑的“L”形平台，A的上方有一与其等长的轻质弹簧，弹簧左端固定，右端自然伸长；轨道B为上表面粗糙、质量、长的长木板，轨道A、B上表面平滑相接；轨道C为半径、质量的竖直光滑半圆轨道，C轨道上的Q点与圆心O等高，轨道B、C相距较远。锁定轨道A、C，用质量的小物块D将弹簧压缩至P点，此时弹簧的弹性势能为72.9J，然后由静止释放小物块D，D在B上滑行且恰好未滑下B，。 (1)求小物块D与长木板B上表面间的动摩擦因数μ； (2)当B与C发生碰撞后（B、C两部分平滑相接），求小物块D冲上轨道C至落地过程中能到达的最高位置离轨道B上表面的高度H； (3)在（2）中，若轨道B与C刚要相碰时，解除对轨道C的锁定，同时调整轨道C的半径R，使B、C发生碰撞（碰撞性质不确定，且B、C不会粘连）后，小物块冲上轨道C并恰好能到达Q点，求轨道C的半径R的取值范围。 【答案】(1)0.45 (2) (3) 【详解】（1）设D由静止释放后获得的初速度为v0，由能量守恒定律，有 解得v0=9m/s     D在B上滑行的过程中，D、B组成的系统。由动量守恒，有 由功能关系，有 联立解得v共=6m/s， （2）设小物块D脱离轨道C时的速度大小为v，方向与竖直方向夹角为，由牛顿第二定律，有 从D冲上C到脱离轨道C的过程中，由动能定理，有 解得脱离轨道时， 小物块D脱离轨道后，做斜上抛运动。斜上抛运动的高度为 离B板上表面的高度 代入数据解得 （3）由于B、 C发生碰撞的性质不确定，若B、C发生弹性碰撞，则碰撞后C获得的速度最大，要使小物块能到达Q点，对应轨道C的半径R最小，同理若B、C发生完全非弹性碰撞，则碰撞后C获得的速度最小，对应轨道C的半径R最大。 ①若B、C发生弹性相碰，设碰撞后C的速度为vC1，B的速度为vB1。根据动量守恒，得     根据能量守恒，得 解得vC1=2.4m/s         在小物块沿轨道C运动的过程中，设小物块到达Q点时的速度为v1。由动量守恒得 根据能量守恒得 联立解得Rmin=0.432m     ②若B、C发生完全非弹性相碰。设B、C碰撞后的共同速度为vBC 由动量守恒得 解得vBC=1.2m/s     在小物块沿轨道C运动的过程中，设小物块到达Q点时的速度为v2，由动量守恒得 根据能量守恒得 联立解得Rmax=0.768m     故半径R的范围为 12．（2026·四川遂宁·一模）如图所示，某一游戏装置由轻弹簧发射器、长为L=4m的粗糙水平直轨道AB和竖直放置的半径可调的光滑圆弧状细管轨道CD组成。质量为m1=0.2kg的滑块1被轻弹簧弹出后，与静置于AB中点、质量为m2=0.1kg的滑块2发生碰撞后粘合为滑块组（碰撞时间极短）。已知轻弹簧储存的弹性势能Ep=9.7J，两滑块与AB间的动摩擦因数均为μ=0.4，两滑块均可视为质点，各轨道间平滑连接且间隙不计。若滑块组从D飞出落到直轨道AB上时不反弹且静止，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，求： (1)两滑块碰撞后滑块组的速度大小； (2)若滑块组进入圆弧轨道后恰好能到达D点，则轨道CD的半径； (3)改变CD的半径R，滑块组静止时离B点的最远距离s。 【答案】(1)6m/s (2)0.5m (3)2.5m 【详解】（1）滑块1碰撞前的速度为v1，有 解得 碰撞过程中动量守恒，有 解得 （2）若恰好到达D点，则在D点速度为零，从碰撞处到D点过程有 解得 （3）当圆弧轨道半径小于0.5m时滑块组能从D点飞出，之后其做平抛运动，继续调节圆弧轨道，其从D点飞出的速度不同，落在水平轨道上距离B点的距离不同，有 其做平抛运动，竖直方向，有 水平方向，有 解得 由数学知识可知，当时，s取得最大值，其值为1m； 当圆弧轨道半径大于0.5m时，滑块组不能从D点飞出，沿轨道滑回水平轨道，最终静止在水平轨道上，设在水平轨道滑动路程为s1，有 解得 则滑块组静止时离B点的最远距离为 ⏳题型04 多次碰撞问题 13．（2026·四川成都·模拟预测）如图所示，竖直平面内半径的光滑圆弧轨道的圆心为，圆心角，最低点与长的水平传送带平滑连接，传送带以的速率顺时针匀速转动。一质量的物块（视为质点）从点由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数。传送带的右端与足够长的光滑水平面平滑连接，水平面上等间距静置着2026个质量为的相同小球（视为质点）。物块滑上水平面与小球1碰撞，最终所有小球都向右运动，所有碰撞均为弹性正碰。取重力加速度大小，求： (1)物块到点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块与小球1发生第一次碰撞到第二次碰撞，物块与传送带间摩擦产生的总热量； (3)物块与小球1发生第一次碰撞到最终所有小球都达到稳定状态时，物块与传送带间摩擦产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从到，由动能定理有 解得 点有 联立解得 （2）设物块在传送带上一直做减速运动，到点时速度为，由动能定理有 解得，由于，则假设不成立，故物块先匀减速至，再以匀速滑上水平面 （另解：匀减速至，由动能定理有， ，故以匀速滑上水平面） 物块与小球1第一次弹性碰撞有 联立解得，，碰撞后物块以速度大小为滑上传送带做匀减速直线运动先减速至0，后做匀加速直线运动加速至，之后与小球1第二次相碰 设物块在传送带上的加速度为，则有 此过程中物块和传送带间相对路程 与传送带因摩擦产生的热量 解得 （3）物块与小球1第一次弹性碰撞，小球1向右滑动与小球2发生弹性碰撞 有 联立解得，，可知碰撞后两球交换速度 类推物块每次与静止的小球1碰后速度大小减为碰前的一半，经次碰撞后物块的速度大小 以滑上传送带再回到点，与传送带相对路程 解得 所求摩擦生热 其中 解得 14．（2025·四川乐山·一模）如图所示，光滑水平面上7颗钢球沿着同一直线放置。水平面左端的竖直挡板上固定一根轻质弹簧且处于原长状态，在弹簧和钢球之间是一颗质量为的玻璃球。已知初始时玻璃球具有水平向右的初速度，所有球体体积相同，所有碰撞均视为弹性碰撞。求： (1)若钢球质量为，第7颗钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，玻璃球与第1颗钢球碰后，钢球的速度大小； (3)若钢球质量为，玻璃球与钢球经历7次碰撞后的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设水平向右为正方向，玻璃球碰后速度为，钢球1碰后速度为 碰撞过程动量守恒 机械能守恒 可得， 由此可知，质量相同的小球发生弹性正碰后，速度会进行交换，故第7颗钢球碰后的速度为 （2）设玻璃球碰后速度为，钢球1碰后速度为 碰撞过程动量守恒 机械能守恒 可得， （3）由（1）问的结果可知，钢球与钢球碰后发生速度交换，所以钢球1与钢球2碰后停在钢球2原本的位置，之后与玻璃球发生第2次弹性正碰 碰撞过程中动量守恒 机械能守恒 可得，， 由此可知，玻璃球与钢球的第7次弹性正碰后的速度大小为 玻璃球与钢球经历7次碰撞后的动能为 可得， 15．（2025·四川资阳·一模）如图所示，足够长的光滑水平地面上有1000个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为，将其从左到右依次编号。质量为的小圆环套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方处。现将质量为的小球通过长度为的轻绳与连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，、均静止。某时刻释放小球，到达最低点时轻绳恰好断裂，之后在水平地面上与1号球发生碰撞，已知1号小球的质量为，号小球的质量均为。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： (1)轻绳断裂时的速度大小； (2)1号球与2号球第一次碰撞后，2号球所获得的速度； (3)若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力（图中未画出，远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次以相同速度与2号球相碰，且该速度等于两球第一次碰前瞬间1号球的速度，直到1~1000号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力作用下1号球的位移及最终1号球与1000号球之间距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）从球释放到轻绳断裂的过程中，A、B组成的系统水平方向动量守恒： 系统机械能守恒有：   联立可得： （2）绳断后，球在水平地面向右运动与1号球碰撞，设碰后球和1号球速度分别为、 根据动量守恒定律 根据机械能守恒定律 联立解得：    1、2号球碰撞后，两球的速度分别为，，由动量守恒定律和机械能守恒定律，有： ， 联立解得： （3）1、2号球碰后，2号小球以速度向右运动一个，与3号小球碰撞后速度交换，然后依次交换下去。由于1号球与2号球后续碰撞前速度与第一次碰撞相同，从1号球碰前瞬间到再一次碰前瞬间，由能量守恒有：   设作用下1号球的总位移记为，将号小球作为系统，由功能关系有：   联立可得：      设作用的总时间记为，将号小球作为系统，由动量定理有： 联立可得： 最终1号球与1000号球间距离为： 联立可得： 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）如下图，劲度系数为100N/m的轻弹簧一端固定在倾角足够长斜面的顶端，另一端拴接物块A，弹簧与斜面平行。物块B锁定在A上，点为弹簧原长位置，A与斜面间的动摩擦因数。A、B质量均为。不计厚度的挡板P固定在水平面上，P左侧的平面光滑，木板C长度，质量，紧挨着挡板P。木板C右端与足够长的固定平台间的距离。物块A、挡板P、木板C的上表面及平台等高。质量均为的个物块从左向右依次静置于平台上，相邻两物块间的距离均为，物块1位于平台的最左端。已知B与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数，各物块与平台间的动摩擦因数均为。将弹簧压缩，使AB从斜面上距点处由静止释放，重力加速度，所有物块均可视为质点。AB释放后的运动过程中： (1)求AB物块下滑速度最大时离点的距离； (2)求A对B作用力的最大值； (3)调整斜面长度使AB物块速度最大时恰好到达斜面底端，此时撤去弹簧并解除AB间的锁定。A与挡板碰撞后物块B滑上木板C，木板C与平台碰撞后立即停止，物块B与物块1相碰后粘在一起，两物块继续运动，然后与物块2相碰，碰后三物块粘在一起继续运动……，所有碰撞时间极短。已知，不计物块由斜面到平面的能量损失。求物块B与前个物块碰后粘成的整体与物块碰撞前的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）AB物块下滑速度最大时 整理得 （2）AB物块一起下滑到最低点，即将要向上运动时，A对B的作用力最大，此时速度为零，设离开O点的距离。根据动能定理得 整理得 根据牛顿第二定律，对AB整体 对物块B有 且 则 整理得 （3）AB物块一起下滑的速度最大时，根据动能定理得 整理得 对物块B与木板的相互作用过程，对物块B由牛顿第二定律得 设经时间t，B与C共速有 物块B的速度为 规定方向为正方向，根据动量守恒定律得 与物块1相碰后 解得 对B与物块1整体，根据动能定理 与物块2相碰前 与物块2相碰，根据动量守恒定律得 与物块2相碰后 对B与物块1、2整体，根据动能定理 归纳得，与物块n碰前 与物块n碰撞前瞬间粘到一起的物块总动能 整理得 重难·创新演练 1．如图所示，半径为R=0.32m的半圆形轨道直径MN与水平面垂直，轨道的最低点M与右侧光滑的台阶相切，台阶右侧紧靠着表面与台阶平齐的足够长的木板C，C的右端与弹性挡板P的距离为x=2.0m。台阶上两个小滑块A、B之间有一轻弹簧，小滑块与弹簧均不拴接，此时弹簧被压缩至长度L0=0.5m，小滑块B到台阶右边缘的距离为L1=0.3m，然后同时由静止释放两小滑块，小滑块B运动到台阶右边缘时恰与弹簧分离。释放后，小滑块A恰好能沿半圆形轨道运动到轨道最高点N，A到最高点后被取走。小滑块B滑上木板C的上表面，一段时间后C与P相撞。已知B、C接触面间的动摩擦因数μ=0.5，其余摩擦均不计，C与P碰撞过程中没有能量损失，小滑块A、B的质量分别为m1=3kg、m2=2kg，木板C的质量为m3=1kg，重力加速度大小取g=10m/s2。求： (1)弹簧的原长； (2)弹簧压缩后的弹性势能； (3)木板C运动的总时间。 【答案】(1)1m (2)60J (3)2.3s 【详解】（1）弹簧弹开AB的过程，根据动量守恒定律 即 可得 而xB=L1=0.3m，可得xA=0.2m，可知弹簧原长为L=L0+ xA +xB=1m （2）小滑块A恰好能沿半圆形轨道运动到轨道最高点N，可知 滑块A从弹开到到达N点由动能定理 解得 可得 则弹簧压缩后的弹性势能 （3）滑块B滑上C到达共速时 解得 对C由动量定理 解得 C的位移 则C与挡板相碰还需要的时间 C与挡板碰后以等大速率反弹，向右为正，则当BC再次共速时 解得 此过程对C由动量定理 解得 C的位移 则C与挡板相碰还需要的时间 C第二次与挡板碰后以等大速率反弹，则当BC再次共速时 解得 此过程对C由动量定理 解得 C的位移 则C与挡板相碰还需要的时间 由以上可知，以后每次C与挡板相碰后运动的时间呈无穷递缩等比数列，公比为，则C运动的总时间 2．如图甲所示，整个装置由固定在平台上的倾角长度的倾斜传送带、静置在光滑水平地面上长度的平板小车和紧靠在小车右端的滑块 （与地面不固定）三部分组成，滑块 的上表面为半径的四分之一光滑圆弧，其左端与平板小车上表面等高。一质量的小物块（可视为质点）从传送带的顶端点由静止释放，到达底端后无机械能损失地滑上小车端，已知传送带以 的速度顺时针转动，小车的质量，滑块 的质量，小物块与传送带间的动摩擦因数，小物块与小车间的动摩擦因数，重力加速度 ，不计空气阻力。 (1)求小物块滑上小车端时的速度大小； (2)若仅将小车固定，小物块能否从圆弧点飞出？如果能从点飞出，求小物块飞出后达到最高点时距点的高度，如果不能从点飞出，求小物块沿圆弧滑到最高点时距点的高度； (3)若小车不固定，将小车的上表面喷涂上特殊材料（质量不计），使小物块与小车间的动摩擦因数随其距小车端的距离变化的图像如图乙所示。将小物块仍从传送带顶端点由静止释放，通过计算分析小物块能否滑行到小车的最右端点。 【答案】(1) (2)能从点飞出， (3)小物块可以滑行到小车的最右端点 【详解】（1）小物块在传送带上加速至之前的过程中，根据牛顿第二定律 假设小物块一直以加速度做加速运动，则有 解得 假设成立。 （2）小车固定，小物块在小车上运动的过程中，根据动能定理可得 小物块与滑块组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒。假设小物块能运动到点，则有，， 联立解得 假设成立。小物块从圆弧点飞出后，则有， 解得 （3）假设小物块滑行到点与小车恰好共速，小物块、小车和滑块组成的系统动量守恒，能量守恒，则有， 解得 若小物块滑行到点的过程中，小物块与小车上表面因摩擦产生的热量 根据图像得 解得 ，说明小物块滑行到点时，没有与小车达到共速，小物块可以继续向右滑上滑块 假设不成立，所以小物块可以滑行到小车的最右端点。 3．如图所示，在足够长的水平桌面上有个质量均为、可视为质点的滑块，间距均为且在同一条直线上，第个滑块与桌面左端的距离足够长。在桌面右侧上方距桌面高度处的点固定着一根长为l的细线，细线另一端系一个质量为、可视为质点的小球，小球自然下垂时位于点，恰好与最右侧的滑块接触，在中点固定一个铁钉。现将小球从点（细线伸直且与水平方向成角）由静止释放，小球运动到最低点时细线接触铁钉弹力恰好达到最大值而崩断，小球与滑块1发生弹性碰撞。滑块1沿桌面向左运动依次与各个滑块碰撞并粘在一起，碰撞过程时间极短可忽略。已知重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求细线能承受的最大弹力。 (2)若桌面光滑，求小球与滑块1碰撞瞬间到恰与第（）个滑块发生碰撞所用的时间。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）细线初始无张力，对小球从点由静止释放后，只受重力作用，因此先做自由落体运动到点，如图所示 由动能定理可得 解得 在点，对沿细线方向与垂直细线方向进行分解，细线绷直后，沿细线方向的分速度变为零，则细线绷直后小球的速度，由几何知识可得 设小球运动到点时的速度大小为，小球从点运动到点，由动能定理有 解得 小球与滑块1碰撞前的瞬间，由牛顿第二定律可得 解得 （2）小球与滑块1在Q点发生弹性碰撞，设碰撞后滑块1的速度大小为，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律有， 联立解得 根据题意，设与第个滑块碰撞后的速度大小为，由动量守恒定律有 解得 从滑块1被碰撞后到恰与第个滑块发生碰撞所用的时间 即， 4．如图所示，质量的小车静止在光滑水平面上，其上表面有长为的粗糙水平轨道和圆心角为53°的光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点。质量的物块静止于小车最左端，质量的小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到O点上方与水平方向成30°时，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞；碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动。已知细线长，物块与小车水平面间的动摩擦因数，小车自身高度，小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求小球与物块碰撞前，小球损失的机械能； (2)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； (3)若小车不固定，物块恰好能滑到圆弧面上的最高点，求圆弧轨道半径R； (4)若小车固定，求物块从离开圆弧面到落地的运动时间。 【答案】(1) (2) (3)4.75m (4) 【详解】（1）对小球下落到绳子刚好伸直的过程中，由动能定理 将v分解，垂直于绳子方向 沿绳方向损耗掉，所以 （2）继续运动由动能定理得 解得 在最低点，对小球由牛顿第二定律 解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为 （3）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为 物体M滑到小车圆弧轨道最高点时，系统水平方向动量守恒 由能量守恒得 解得 （4）若小车固定，物块滑到圆弧轨道最高点时速度为，由能量守恒定律得 解得 物体从圆弧轨道处做斜上抛运动，竖直方向上 竖直方向上高度 由 解得 真题·实战演练 高频考点：三大观点结合应用 1．（2026·河南·高考真题）如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径D = 0.25m，上端距天花板的距离为h = 6m。现以v0 = 11m/s的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过Δt = 0.1s，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取g = 10m/s2。 (1)求小球的直径； (2)求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔； (3)若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为v1 = 6m/s，求球壳首次碰地时的速度大小。 【答案】(1)0.05m (2)2m/s，0.1s (3) 【详解】（1）从抛出至球壳与天花板相碰，小球和球壳一起做竖直上抛运动，末速度大小设为，根据速度位移关系式 解得 球壳与天花板发生弹性碰撞后以原速率反弹，然后向下做匀加速直线运动，小球继续上升，设小球直径为d，从球壳与天花板碰撞后到小球与球壳第1次碰撞，小球与球壳的位移大小之和为D－d，则 解得 （2）设球壳质量为M，小球质量为m，球壳与小球发生第1次碰撞前速度分别为、，以竖直向下为正方向，则 球壳与小球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为、 由动量守恒定律 由机械能守恒定律 碰后速度差的大小 拓展：发生弹性碰撞，恢复系数 第1次碰撞后，球壳与小球均做加速度向下、大小为g的匀变速直线运动，设两次碰撞时间间隔为，两者的相对速度大小始终为，两者的相对位移大小为，有 解得 （3）取向下为正，第一次碰前：壳速，球速 弹性碰撞，每次碰撞后相对速度大小恒为，时间间隔 设每次碰撞壳速改变量为（碰前壳快时减速，球快时加速），大小 从第1次碰前到第8次碰前，经历7次碰撞和7个0.1s的重力加速（每次加1m/s） 递推球壳碰前速度 ①碰前：2 ②碰前： ③碰前： ④碰前： ⑤碰前：6 ⑥碰前： ⑦碰前：8 ⑧碰前： 已知⑧碰前壳速为6m/s，故 解得 由 得 则可推导出所有速度如表所示（速度均为m/s，＋向上，－向下） 碰撞序号 时刻 碰前壳速 碰前球速 碰后壳速 碰后球速 天花板碰 0 — — －1 ＋1 ① 0.1 －2 0 ＋1 －1 ② 0.2 0 －2 －3 －1 ③ 0.3 －4 －2 －1 －3 ④ 0.4 －2 －4 －5 －3 ⑤ 0.5 －6 －4 －3 －5 ⑥ 0.6 －4 －6 －7 －5 ⑦ 0.7 －8 －6 －5 －7 ⑧ 0.8 －6 －8 －9 －7 ⑨ 0.9 －10 －8 －7 －9 ⑩ 1.0 －8 －10 －11 －9 ⑪ 1.1 －12 －10 －9 －11 利用上表壳速，每段0.1s匀变速，位移，逐段累加球壳位置： 时段 壳初速 位移 累加位置y 0→0.1s －1 －0.15 5.975 0.1→0.2s ＋1 ＋0.05 6.025 0.2→0.3s －3 －0.35 5.675 0.3→0.4s －1 －0.15 5.525 0.4→0.5s －5 －0.55 4.975 0.5→0.6s －3 －0.35 4.625 0.6→0.7s －7 －0.75 3.875 0.7→0.8s －5 －0.55 3.325 0.8→0.9s －9 －0.95 2.375 0.9→1.0s －7 －0.75 1.625 1.0→1.1s －11 －1.15 0.475 （第⑪次碰前）球壳质心位于。 此时碰撞后壳速变为（见上表⑪碰后），随后匀加速下降至触地（质心触地高度），下落距离 由运动学公式可知 则触地速度大小为 2．（2026·湖北·高考真题）在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为、。质量为的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高处、质量为的小物块乙静止在水平轨道上，乙到、两点的距离均为。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求甲第一次到达点时的速度大小。 (2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。 (3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求满足的关系式（不求具体数值）。 【答案】(1) (2) (3)当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0 当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0 当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0 【详解】（1）甲下滑过程轨道光滑，由动能定理 解得 （2）第一次碰撞为弹性正碰，设碰后甲速度为，乙速度为，取向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒， 解得乙弹性碰撞后速度 ​​对乙由动量定理，合外力冲量等于乙动量变化 代入，​得​​​ （3）​碰后甲的速度，乙的速度；要使第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，需对k的取值进行分情况讨论： ①当0＜k≤1时，碰后甲、乙均向右运动且v2＞v1≥0，乙先滑上右侧斜面，往返后在水平轨道与甲相遇，设从碰后到相遇经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在甲到达B点前相遇，即，代入速度化简得k3+3k2+35k﹣31＞0 ②当k＞1时，碰后甲向左、乙向右运动；若1＜k＜3，则v2＞|v1|，乙先滑上右侧斜面往返后向左追上甲，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在甲到达A点前追及，即，化简得3k3+k2+25k﹣37＜0 若k＞3，则|v1|＞v2，甲先滑上左侧斜面往返后向右追上乙，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在乙到达B点前追及，即，化简得k3﹣21k2+19k﹣23＞0 综上所述，k满足的关系式为 当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0 当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0 当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0 3．（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的固定斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，,。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 【答案】(1)4m/s (2)0.9J (3)0.2m (4)3N 【详解】（1）滑块从P点到B点由动能定理 解得到达B点的速度 （2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功 （3）物块在传送带上加速运动的加速度为 加速到共速时用时间 在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度 （4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知， 联立解得 （另一组，因不合实际舍掉） 对滑块在最高点时由牛顿第二定律 解得F=3N 4．（2026·云南·高考真题）某同学设计的弹球游戏装置示意图如图所示，装置由一段倾斜直管道和N个相同的不对称“倒V”形管道平滑连接而成，管道透明且光滑，固定在竖直平面内。入口端与第一个“倒V”形管道左端高度差为，每个“倒V”形管道最高点与其左、右两端的高度差分别为和，每个“倒V”形管道的左端均静置1个质量为m的弹球，自上而下依次编号为1，2，3，…，N。开始游戏时，在入口端由静止释放一质量为的弹球P。所有弹球的直径均略小于管道内径，不计管道内径、弹球大小及滚动、弹球与管道相互作用的能量损失和空气阻力，所有弹球之间的碰撞均视为对心弹性碰撞，重力加速度为g。 (1)求弹球P与1号弹球第一次碰撞后瞬间，弹球P和1号弹球各自的速度大小； (2)已知：每个弹球在被上方弹球碰撞后，与下方弹球碰撞前不会被上方弹球再次碰撞，且所有弹球（包括P）都能到达出口。 （i）求1号弹球与2号弹球第一次碰撞后瞬间，1、2号弹球各自的速度大小； （ii）求弹球P与1号弹球第次碰撞后瞬间的速度大小； （iii）若N足够大，且，求与之间应满足的关系。 【答案】(1)， (2)（i），；（ii）；（iii） 【详解】（1）P球到达第1个平台时，由机械能守恒定律有 解得 P球与1球碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得， （2）（i）1球到达第2个平台时，由动能定理有 解得 1球与2球碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得， 可知两球速度交换； （ii）设P球到达第k个平台时的速度为，与第k个平台处的1球碰撞后的速度为，则P球从第个平台发生第次碰撞后到第k个平台碰撞前，由动能定理① P球在第k个平台与1球碰撞，由动量守恒、机械能守恒，由之前计算结果的规律，可知② 联立①②可得 由数学知识，可知是等比数列，公比为 所以有 解得 （iii）经分析，只需考虑P球，每次都要越过最高点，则对于任意k（），由能量关系有 即 变形为 由可知 则是的减函数，故时，趋近于零，化简为 解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难强化九 三大观点解决力学综合问题（牛顿定律＋能量＋动量——压轴题专练）（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 三大观点综述 2 知识点2 三大观点的典型应用场景 3 知识点3 力学综合问题的解题策略 3 模拟·基础演练 4 题型01 三大基本观点在板块模型中的综合应用 4 题型02 三大基本观点在传送带问题中的综合应用 7 题型03 三大基本观点在圆周轨道上的综合应用 9 题型04 多次碰撞问题 12 重难·创新演练 15 真题·实战演练 18 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 动量与冲量的计算 —— —— 动量定理的应用 —— —— 考情分析 题型与考向：以计算题为主，是高考物理压轴题的核心命题方向。综合考查牛顿定律（动力学分析）、能量观点（动能定理、功能关系）和动量观点（动量定理、动量守恒）的灵活选用与交替运用。试题常以多物体、多过程、多阶段为特征，涉及碰撞、弹簧、板块、传送带、曲线运动等模型，重点考查学生科学思维中的模型建构与推理论证能力。 情境与立意： 1.板块＋碰撞模型：滑块滑上木板、多次碰撞、弹簧压缩与恢复。 2.多过程运动模型：先匀加速后抛体、先圆周后平抛、先斜面后水平面。 3.爆炸与反冲模型：系统内力做功与能量转化、动量守恒与能量守恒联立。 4.弹簧连接体模型：弹性势能参与转化、临界分离条件、多次相互作用。 复习目标 1.三大观点的核心规律与选用原则：掌握动力学观点（ΣF=ma，涉及加速度、时间、位移）、能量观点（动能定理W合=ΔEk、功能关系，涉及功、能、位移）、动量观点（动量定理I合=Δp、动量守恒，涉及冲量、时间、速度）的核心公式；能根据问题特征灵活选用——涉及时间优先动量定理，涉及位移优先动能定理，涉及加速度优先牛顿定律；系统外力为零或内力远大于外力时优先动量守恒。 2.三大观点在碰撞问题中的联立应用：掌握弹性碰撞中动量守恒与动能守恒的联立求解公式，熟练推导完全非弹性碰撞中的动能损失表达式。 3.三大观点在多过程问题中的交替运用：能将复杂问题按时间顺序或空间顺序划分为若干子过程，各过程分别选用最优观点列式，通过衔接速度或位移建立方程间的联系，形成完整解题链条。 4.常见压轴模型解题通法：掌握板块与弹簧结合模型的完整分析思路（受力分析→判断是否相对滑动→各阶段运动分析→碰撞瞬间动量守恒→弹簧压缩过程能量守恒→分离条件判断→功能关系求摩擦生热）；能从v-t图像中提取关键信息（加速度、位移、共速时刻）辅助求解。 巩固·知识解构 知识点1 三大观点综述 一、三大观点的核心规律 观点 核心规律 适用条件 涉及的物理量 优势 动力学观点 牛顿第二定律、运动学公式 恒力、匀变速 可求时间、加速度、瞬时力 能量观点 动能定理、机械能守恒、功能关系 任何过程 避开时间、加速度，适用变力和曲线运动 动量观点 动量定理、动量守恒定律 碰撞、爆炸、冲击 处理碰撞、打击、反冲问题 二、三大观点的本质 （1）动力学观点：力对时间的积累效果（F=ma），关注运动过程的每一时刻。 （2）能量观点：力对空间的积累效果（W=Fx），关注初末状态的能量转化。 （3）动量观点：力对时间的积累效果（I=Ft），关注初末状态的动量变化。 三、三大观点的选用原则 （1）涉及时间、加速度、瞬时力 → 用动力学观点。 （2）涉及位移、速度、功、能 → 用能量观点。 （3）涉及碰撞、爆炸、冲击力、作用时间极短 → 用动量观点。 （4）压轴大题综合问题 → 三大观点协同使用，分段选取最优方法。 知识点2 三大观点的典型应用场景 一、动力学观点的应用场景： （1）单物体多过程：物体在不同阶段受力不同，分段用牛顿第二定律求加速度，再配合运动学公式。 （2）连接体问题：整体法求加速度，隔离法求内力。 （3）斜面、传送带：受力分析求加速度，分析物体的运动时间、速度、位移。 二、能量观点的应用场景 （4）机械能守恒判断：系统内只有重力或弹簧弹力做功，用机械能守恒。 三、动量观点的应用场景 （1）碰撞问题：弹性碰撞、完全非弹性碰撞、非弹性碰撞。 （2）爆炸与反冲：爆炸瞬间动量守恒，反冲运动。 （3）人船模型：系统初动量为零，水平方向动量守恒。 （4）流体冲击力：用动量定理求流体对物体的平均作用力。 知识点3 力学综合问题的解题策略 一、压轴大题的典型结构： （1）多过程：物体经历“斜面→水平面→圆周”等多个阶段。 （2）多物体：涉及两个或多个物体的相互作用。 （3）多形式：涉及直线运动、曲线运动、圆周运动等多种运动形式。 （4）多规律：需要同时使用动力学、能量、动量三种观点。 二、三大观点的协同使用原则： （1）碰撞阶段：优先使用动量守恒（碰撞时间极短，外力可忽略）。 （2）碰撞后的运动：使用能量观点（动能定理或机械能守恒）求速度、位移、高度。 （3）需要求时间或加速度：使用动力学观点（牛顿第二定律 + 运动学公式）。 （4）板块相对滑动：动力学求加速度和时间，能量观点求热量，动量守恒（地面光滑时）求共速。 三、解题步骤（压轴大题通用流程）： （1）审题拆分：将复杂过程拆分为若干简单阶段，明确每个阶段的受力特点和运动性质。 （2）逐一分析： 每个阶段分别列出适用的核心方程。 注意各阶段之间的关联（速度连续、位移关系、时间关系）。 （3）联立求解：将各阶段方程联立，形成方程组，统一求解。 （4）结果检验：检查物理意义是否合理（速度方向、能量是否减少等）。 模拟·基础演练 考查重点：多种场景下的三大观点结合 ⏳题型01 三大基本观点在板块模型中的综合应用 1．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 2．（2026·四川宜宾·一模）如图所示，AB为光滑的固定圆弧轨道，半径。一质量的滑块（可视为质点）从与圆心等高的A点静止释放，经B点水平滑上质量的小车；当滑块和小车第一次相对静止时，小车与竖直墙壁刚好发生弹性碰撞；最终滑块和小车均停止，全过程中滑块始终未与墙壁相碰。滑块与小车上表面之间的动摩擦因数，地面光滑，重力加速度，求： (1)滑块与小车第一次相对静止时的速度大小； (2)初始时小车左端与竖直墙壁之间的距离和小车至少多长； (3)若滑块从滑上小车至刚停止的总时间，则滑块在小车上各匀速运动阶段的时间之和为多少。 3．（2025·四川泸州·一模）如图所示，挡板左右两侧有不等高且足够长的水平地面，木板A上表面与右侧地面齐平，可视为质点的物块B放在木板A左端。右侧内为涂有某种材料的特殊区域，物块B在该区域运动时所受摩擦力与速度大小满足；光滑的圆弧槽静放在特殊区域右侧光滑的水平地面上。现给物块B施加水平向右的瞬时冲量，之开始运动。已知木板A的质量长度，右端距的距离，与地面的动摩擦因数；物块B的质量，A、B之间的动摩擦因数，木板A与挡板碰后粘连且速度立即减为零，取重力加速度。求： (1)物块B刚运动时，木板A的加速度大小； (2)物块B运动到挡板处的速度大小； (3)要使物块B最终能够停在挡板右侧，求圆弧槽的质量的取值范围。 4．（2026·四川成都·模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，水平光滑直轨道AB左端固定一轻弹簧，质量为m的小物块P静止在弹簧另一端（与弹簧不拴接）。长度为l、倾角的倾斜轨道CD由特殊材料制成，小物块P向上运动时与轨道之间的动摩擦因数，向下运动时与轨道之间的动摩擦因数。一质量为、一端带四分之一光滑圆弧轨道的滑块Q静止在足够长的光滑平台FG上，小物块P与滑块Q圆弧左侧水平部分的上表面之间的动摩擦因数。B与C之间、D与E之间均有光滑小圆弧平滑连接，E点与滑块Q的上表面平齐。现给小物块P施加一水平向左的恒力F，使小物块P向左运动，当速度为零时立即撤去恒力，一段时间后小物块P滑上倾斜轨道CD。当时，小物块P第一次滑上倾斜轨道恰好能到达D点；当时，小物块P从E点水平滑上滑块Q的左端，最终恰好没从滑块Q的左端滑出。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块P可视为质点，不计空气阻力，，，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量） (1)求弹簧的劲度系数； (2)求滑块Q水平部分的长度； (3)当时，求小物块P在轨道CD上经过的总路程； (4)当时，小物块P从E点水平滑上滑块Q的左端，求小物块P距离滑块Q上表面的最大高度。 ⏳题型02 三大基本观点在传送带问题中的综合应用 5．（2026·四川雅安·一模）某游戏装置竖直截面图如图所示。固定轨道PQM与传送带MN平滑连接，其中PQ段为光滑圆弧轨道，QM段为粗糙水平直轨道。物块a从P点由静止释放，运动到M点与静止的物块b发生完全非弹性碰撞，碰后结合成整体c；c运动到传送带右端N时，受到一水平向左的瞬时冲量，以后每隔给c一相同的瞬时冲量，直到c离开传送带。已知a、b、c均可视为质点，a、b的质量分别为，，圆弧轨道半径，圆心角，QM间距离，MN间距离，传送带顺时针运行的速度，a与水平直轨道、c与传送带间的动摩擦因数均为，，，重力加速度取求： (1)a运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小； (2)碰后瞬间c的速度大小； (3)c从N运动到M的过程中与传送带摩擦产生的热量。 6．（2025·四川达州·一模）如图所示，一斜面传送带与光滑足够长水平直轨道平滑连接，传送带与水平面夹角（，小球与小球通过长不可伸长的细线连接，小球位于半径略大于自身的光滑圆柱槽（圆柱槽水平固定且足够长）内的点，只能在槽内水平自由移动，圆柱槽上下表面镂空，细线和小球均可无碰撞在竖直平面内穿过圆柱槽。现有质量的滑块从传送带最高点点静止释放，经过传送带后进入水平直轨道，与小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知传送带以恒定速度速率顺时针转动，传送带长度.，小球质量，小球质量，滑块与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，小球、滑块均视为质点。已知重力加速度取，，。（答案可用分数表示）求： (1)滑块从静止释放运动到点时间； (2)若小球不固定，小球的最大速度大小； (3)若小球固定，小球离地面最大高度。 7．（2025·四川·一模）如图所示，A、B是长度水平传送带的两端，右端处上方有一固定挡板（不接触传送带），质量的小物块静止在、的中点处。某时刻，一质量的子弹以的速度沿传送带水平向左射入物块，射出的速度；子弹射出物块的同时，传送带从静止开始沿顺时针方向一直做匀加速运动，加速度大小为。已知物块每次与挡板碰撞反弹后其动能变为碰前动能的四分之一，物块与传送带间的动摩擦因数，不计物块与挡板碰撞的时间，重力加速度取。求： (1)子弹射出物块时物块速度的大小； (2)子弹射出物块到物块第一次与挡板相碰的时间； (3)在子弹射出物块到物块静止的过程中，物块运动的总时间及物块与传送带间产生的热能。 8．如图所示，长度LAB=48m的传送带与水平面夹角θ=37°，当传送带静止时，质量m=0.1kg的物块静止在传送带的中点P处。某时刻一质量为m0=0.01kg的子弹以v0=300m/s的速度平行于传送带打入物块，并以v=250m/s的速度穿出物块。在子弹穿出物块同时启动传送带，让其沿顺时针方向一直做加速度为a=0.5m/s2的匀加速运动。传送带上端A处有一挡板，物块每次与挡板碰撞反弹后其动能变为碰前动能的。已知物块与传送带间的动摩擦因数，不计物块与挡板碰撞的时间，取重力加速度g=10m/s2。cos37°=0.8，sin37°=0.6。求： (1)子弹穿出物块时，物块的速度大小； (2)从子弹刚穿出物块到物块第一次与挡板碰撞所经历的时间及该过程中物块在传送带上的相对位移大小； (3)从子弹刚穿出物块到物块与挡板发生n次碰撞的过程中（n→∞），物块与传送带间的相对位移。 ⏳题型03 三大基本观点在圆周轨道上的综合应用 9．（2026·四川宜宾·三模）某趣味游戏简化模型如图所示，A点下方有一弹簧发射装置，AB和CD是半径为R的圆弧竖直轨道，轨道BC段水平，F为BC中点，在C点静置一小球Q。游戏中，游戏者压缩弹簧到某一位置静止释放，将小球P从A点弹出。若小球P与Q发生碰撞且最终停在BF段获一等奖，若小球P与Q发生碰撞且最终停在FC之间获二等奖，若小球P未与Q碰撞就静止在BC段获三等奖，其他情况均不能获奖。已知，小球P的质量，小球Q的质量，轨道BC段粗糙且，其余部分光滑，小球P在BC段运动时受到阻力为重力的k倍（），不计小球Q在BC段运动时受到的阻力，小球P与Q碰撞均为弹性正碰，重力加速度为g，不计发射装置本身的尺寸大小。 (1)若小球P弹出后恰好能通过B点，请分析游戏者的获奖情况； (2)若松手前发射装置的弹性势能为10mgR，求小球Q第一次离开D点后上升的最大高度； (3)若松手前发射装置的弹性势能等概率分布在0~10mgR区间，求其获一等奖的概率。 10．（2026·四川成都·二模）某玩具装置示意图如图所示，水平台面上的AB段粗糙，其余部分均光滑；一弹簧左端固定在墙上，右端在A点的左边；不可伸长的轻绳系小物块乙，悬挂在O点，O点在B点正上方，小物块乙在B点对B点恰好无压力；水平台面右侧竖直面下方有一水平收集槽。游戏时，小物块甲在外力作用下压缩弹簧，释放后在B点与小物块乙发生弹性碰撞，碰后若小物块乙能做完整的圆周运动且小物块甲落入收集槽内，则游戏成功。一小朋友多次游戏，每次都成功。已知甲质量为，乙质量为；AB段长为，甲与AB段间的动摩擦因数为；轻绳长为，收集槽水平宽为，收集槽上表面与台面高度差为。重力加速度g取，忽略空气阻力。 (1)求小物块甲在每一次通过AB段过程中损失的机械能； (2)某次游戏，小物块乙恰能做完整的圆周运动，求甲与乙碰后，乙的速度大小； (3)求多次游戏中，小物块甲压缩弹簧后，弹簧储存的最大弹性势能。 11．（2026·四川广元·二模）如图所示，在光滑的水平面上有A、B、C三轨道，轨道A为上表面光滑的“L”形平台，A的上方有一与其等长的轻质弹簧，弹簧左端固定，右端自然伸长；轨道B为上表面粗糙、质量、长的长木板，轨道A、B上表面平滑相接；轨道C为半径、质量的竖直光滑半圆轨道，C轨道上的Q点与圆心O等高，轨道B、C相距较远。锁定轨道A、C，用质量的小物块D将弹簧压缩至P点，此时弹簧的弹性势能为72.9J，然后由静止释放小物块D，D在B上滑行且恰好未滑下B，。 (1)求小物块D与长木板B上表面间的动摩擦因数μ； (2)当B与C发生碰撞后（B、C两部分平滑相接），求小物块D冲上轨道C至落地过程中能到达的最高位置离轨道B上表面的高度H； (3)在（2）中，若轨道B与C刚要相碰时，解除对轨道C的锁定，同时调整轨道C的半径R，使B、C发生碰撞（碰撞性质不确定，且B、C不会粘连）后，小物块冲上轨道C并恰好能到达Q点，求轨道C的半径R的取值范围。 12．（2026·四川遂宁·一模）如图所示，某一游戏装置由轻弹簧发射器、长为L=4m的粗糙水平直轨道AB和竖直放置的半径可调的光滑圆弧状细管轨道CD组成。质量为m1=0.2kg的滑块1被轻弹簧弹出后，与静置于AB中点、质量为m2=0.1kg的滑块2发生碰撞后粘合为滑块组（碰撞时间极短）。已知轻弹簧储存的弹性势能Ep=9.7J，两滑块与AB间的动摩擦因数均为μ=0.4，两滑块均可视为质点，各轨道间平滑连接且间隙不计。若滑块组从D飞出落到直轨道AB上时不反弹且静止，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，求： (1)两滑块碰撞后滑块组的速度大小； (2)若滑块组进入圆弧轨道后恰好能到达D点，则轨道CD的半径； (3)改变CD的半径R，滑块组静止时离B点的最远距离s。 ⏳题型04 多次碰撞问题 13．（2026·四川成都·模拟预测）如图所示，竖直平面内半径的光滑圆弧轨道的圆心为，圆心角，最低点与长的水平传送带平滑连接，传送带以的速率顺时针匀速转动。一质量的物块（视为质点）从点由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数。传送带的右端与足够长的光滑水平面平滑连接，水平面上等间距静置着2026个质量为的相同小球（视为质点）。物块滑上水平面与小球1碰撞，最终所有小球都向右运动，所有碰撞均为弹性正碰。取重力加速度大小，求： (1)物块到点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块与小球1发生第一次碰撞到第二次碰撞，物块与传送带间摩擦产生的总热量； (3)物块与小球1发生第一次碰撞到最终所有小球都达到稳定状态时，物块与传送带间摩擦产生的总热量。 14．（2025·四川乐山·一模）如图所示，光滑水平面上7颗钢球沿着同一直线放置。水平面左端的竖直挡板上固定一根轻质弹簧且处于原长状态，在弹簧和钢球之间是一颗质量为的玻璃球。已知初始时玻璃球具有水平向右的初速度，所有球体体积相同，所有碰撞均视为弹性碰撞。求： (1)若钢球质量为，第7颗钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，玻璃球与第1颗钢球碰后，钢球的速度大小； (3)若钢球质量为，玻璃球与钢球经历7次碰撞后的动能。 15．（2025·四川资阳·一模）如图所示，足够长的光滑水平地面上有1000个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为，将其从左到右依次编号。质量为的小圆环套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方处。现将质量为的小球通过长度为的轻绳与连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，、均静止。某时刻释放小球，到达最低点时轻绳恰好断裂，之后在水平地面上与1号球发生碰撞，已知1号小球的质量为，号小球的质量均为。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： (1)轻绳断裂时的速度大小； (2)1号球与2号球第一次碰撞后，2号球所获得的速度； (3)若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力（图中未画出，远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次以相同速度与2号球相碰，且该速度等于两球第一次碰前瞬间1号球的速度，直到1~1000号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力作用下1号球的位移及最终1号球与1000号球之间距离。 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）如下图，劲度系数为100N/m的轻弹簧一端固定在倾角足够长斜面的顶端，另一端拴接物块A，弹簧与斜面平行。物块B锁定在A上，点为弹簧原长位置，A与斜面间的动摩擦因数。A、B质量均为。不计厚度的挡板P固定在水平面上，P左侧的平面光滑，木板C长度，质量，紧挨着挡板P。木板C右端与足够长的固定平台间的距离。物块A、挡板P、木板C的上表面及平台等高。质量均为的个物块从左向右依次静置于平台上，相邻两物块间的距离均为，物块1位于平台的最左端。已知B与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数，各物块与平台间的动摩擦因数均为。将弹簧压缩，使AB从斜面上距点处由静止释放，重力加速度，所有物块均可视为质点。AB释放后的运动过程中： (1)求AB物块下滑速度最大时离点的距离； (2)求A对B作用力的最大值； (3)调整斜面长度使AB物块速度最大时恰好到达斜面底端，此时撤去弹簧并解除AB间的锁定。A与挡板碰撞后物块B滑上木板C，木板C与平台碰撞后立即停止，物块B与物块1相碰后粘在一起，两物块继续运动，然后与物块2相碰，碰后三物块粘在一起继续运动……，所有碰撞时间极短。已知，不计物块由斜面到平面的能量损失。求物块B与前个物块碰后粘成的整体与物块碰撞前的动能。 重难·创新演练 1．如图所示，半径为R=0.32m的半圆形轨道直径MN与水平面垂直，轨道的最低点M与右侧光滑的台阶相切，台阶右侧紧靠着表面与台阶平齐的足够长的木板C，C的右端与弹性挡板P的距离为x=2.0m。台阶上两个小滑块A、B之间有一轻弹簧，小滑块与弹簧均不拴接，此时弹簧被压缩至长度L0=0.5m，小滑块B到台阶右边缘的距离为L1=0.3m，然后同时由静止释放两小滑块，小滑块B运动到台阶右边缘时恰与弹簧分离。释放后，小滑块A恰好能沿半圆形轨道运动到轨道最高点N，A到最高点后被取走。小滑块B滑上木板C的上表面，一段时间后C与P相撞。已知B、C接触面间的动摩擦因数μ=0.5，其余摩擦均不计，C与P碰撞过程中没有能量损失，小滑块A、B的质量分别为m1=3kg、m2=2kg，木板C的质量为m3=1kg，重力加速度大小取g=10m/s2。求： (1)弹簧的原长； (2)弹簧压缩后的弹性势能； (3)木板C运动的总时间。 2．如图甲所示，整个装置由固定在平台上的倾角长度的倾斜传送带、静置在光滑水平地面上长度的平板小车和紧靠在小车右端的滑块 （与地面不固定）三部分组成，滑块 的上表面为半径的四分之一光滑圆弧，其左端与平板小车上表面等高。一质量的小物块（可视为质点）从传送带的顶端点由静止释放，到达底端后无机械能损失地滑上小车端，已知传送带以 的速度顺时针转动，小车的质量，滑块 的质量，小物块与传送带间的动摩擦因数，小物块与小车间的动摩擦因数，重力加速度 ，不计空气阻力。 (1)求小物块滑上小车端时的速度大小； (2)若仅将小车固定，小物块能否从圆弧点飞出？如果能从点飞出，求小物块飞出后达到最高点时距点的高度，如果不能从点飞出，求小物块沿圆弧滑到最高点时距点的高度； (3)若小车不固定，将小车的上表面喷涂上特殊材料（质量不计），使小物块与小车间的动摩擦因数随其距小车端的距离变化的图像如图乙所示。将小物块仍从传送带顶端点由静止释放，通过计算分析小物块能否滑行到小车的最右端点。 3．如图所示，在足够长的水平桌面上有个质量均为、可视为质点的滑块，间距均为且在同一条直线上，第个滑块与桌面左端的距离足够长。在桌面右侧上方距桌面高度处的点固定着一根长为l的细线，细线另一端系一个质量为、可视为质点的小球，小球自然下垂时位于点，恰好与最右侧的滑块接触，在中点固定一个铁钉。现将小球从点（细线伸直且与水平方向成角）由静止释放，小球运动到最低点时细线接触铁钉弹力恰好达到最大值而崩断，小球与滑块1发生弹性碰撞。滑块1沿桌面向左运动依次与各个滑块碰撞并粘在一起，碰撞过程时间极短可忽略。已知重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求细线能承受的最大弹力。 (2)若桌面光滑，求小球与滑块1碰撞瞬间到恰与第（）个滑块发生碰撞所用的时间。 4．如图所示，质量的小车静止在光滑水平面上，其上表面有长为的粗糙水平轨道和圆心角为53°的光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点。质量的物块静止于小车最左端，质量的小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到O点上方与水平方向成30°时，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞；碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动。已知细线长，物块与小车水平面间的动摩擦因数，小车自身高度，小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求小球与物块碰撞前，小球损失的机械能； (2)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； (3)若小车不固定，物块恰好能滑到圆弧面上的最高点，求圆弧轨道半径R； (4)若小车固定，求物块从离开圆弧面到落地的运动时间。 真题·实战演练 高频考点：三大观点结合应用 1．（2026·河南·高考真题）如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径D = 0.25m，上端距天花板的距离为h = 6m。现以v0 = 11m/s的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过Δt = 0.1s，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取g = 10m/s2。 (1)求小球的直径； (2)求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔； (3)若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为v1 = 6m/s，求球壳首次碰地时的速度大小。 2．（2026·湖北·高考真题）在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为、。质量为的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高处、质量为的小物块乙静止在水平轨道上，乙到、两点的距离均为。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求甲第一次到达点时的速度大小。 (2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。 (3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求满足的关系式（不求具体数值）。 3．（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的固定斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，,。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 4．（2026·云南·高考真题）某同学设计的弹球游戏装置示意图如图所示，装置由一段倾斜直管道和N个相同的不对称“倒V”形管道平滑连接而成，管道透明且光滑，固定在竖直平面内。入口端与第一个“倒V”形管道左端高度差为，每个“倒V”形管道最高点与其左、右两端的高度差分别为和，每个“倒V”形管道的左端均静置1个质量为m的弹球，自上而下依次编号为1，2，3，…，N。开始游戏时，在入口端由静止释放一质量为的弹球P。所有弹球的直径均略小于管道内径，不计管道内径、弹球大小及滚动、弹球与管道相互作用的能量损失和空气阻力，所有弹球之间的碰撞均视为对心弹性碰撞，重力加速度为g。 (1)求弹球P与1号弹球第一次碰撞后瞬间，弹球P和1号弹球各自的速度大小； (2)已知：每个弹球在被上方弹球碰撞后，与下方弹球碰撞前不会被上方弹球再次碰撞，且所有弹球（包括P）都能到达出口。 （i）求1号弹球与2号弹球第一次碰撞后瞬间，1、2号弹球各自的速度大小； （ii）求弹球P与1号弹球第次碰撞后瞬间的速度大小； （iii）若N足够大，且，求与之间应满足的关系。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难强化九 三大观点解决力学综合问题（牛顿定律＋能量＋动量——压轴题专练）（专项训练） 模拟·基础演练 ⏳题型01 三大基本观点在板块模型中的综合应用 1.(1)3m/s (2)； 2.(1) (2)， (3) 3.(1) (2) (3) 4.(1) (2) (3) (4) ⏳题型02 机械能守恒在绳、杆模型中的应用 5.(1)支持力大小为 (2)碰后瞬间c的速度大小为 (3)热量 6.(1) (2) (3) 7.(1) (2)16s (3)， 8.(1)5m/s (2)14s，25m (3)172m ⏳题型03 机械能守恒在弹簧类问题中的应用 9.(1)获三等奖 (2) (3)15% 10.(1) (2) (3) 11.(1)0.45 (2) (3) 12.(1)6m/s (2)0.5m (3)2.5m ⏳题型04 多次碰撞问题 13.(1) (2) (3) 14.(1) (2) (3) 15.(1) (2) (3)， 16.(1) (2) (3) 重难·创新演练 1.(1)1m (2)60J (3)2.3s 2.(1) (2)能从点飞出， (3)小物块可以滑行到小车的最右端点 3.(1) (2)， 4.(1) (2) (3)4.75m (4) 真题·实战演练 1.(1)0.05m (2)2m/s，0.1s (3) 2.(1) (2) (3)当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0 当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0 当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0 3.(1)4m/s (2)0.9J (3)0.2m (4)3N 4.(1)， (2)（i），；（ii）；（iii） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $