第18讲 机械振动与机械波（简谐运动、波形图）（专项训练）（四川专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“概念-模型-应用”逻辑链构建机械振动与机械波专项体系，提炼同侧法、多解通式等实用方法，融合生活与科技情境，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|4知识点|简谐运动对称性、同侧法判振动方向、多解问题通式|从简谐运动定义到两种模型，延伸至机械波传播规律，构建“振动-波动”认知链| |基础演练|4题型（24题）|振动与波形图辨析技巧、干涉加强/减弱条件|针对考情高频题型，对应知识点应用，强化模型建构与科学推理| |重难/真题|12题|综合情境问题拆解、跨知识点关联|结合高考真题，突出复杂情境分析，提升质疑创新与问题解决能力|

第18讲 机械振动与机械波（简谐运动、波形图）（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 简谐运动 2 知识点2 简谐运动的两种基本模型 3 知识点3 机械波的产生与传播 3 知识点4 波形图与振动图像的综合分析 4 模拟·基础演练 5 题型01 机械振动 5 题型02 振动图与波形图的辨析 8 题型03 波的多解问题 10 题型04 波的干涉与衍射 12 重难·创新演练 15 真题·实战演练 17 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 机械振动 —— —— 机械波 —— —— 考情分析 题型与考向：选择题常考查简谐运动的特征量（振幅、周期、频率、相位）、振动图像与波形图的识别与转换、波的传播方向与质点振动方向的互判、波速公式的应用（v = λ/T = λf）、波的多解性分析（双向传播、周期性导致的多解）。计算题较少单独出现，偶尔结合波的干涉、衍射等综合考查。 情境与立意： 1.生活实际类：弹簧振子、单摆的振动规律；地震波、声波在不同介质中的传播特点。 2.科技前沿类：超声波探测、声呐定位、振动监测与降噪技术中的波动原理。 3.物理学史类：简谐运动规律的发现、惠更斯原理对波动理论的贡献。 复习目标 1.简谐运动的基本规律：理解回复力特征，掌握简谐运动的位移-时间关系及各物理量含义，明确周期T与频率f的关系，熟悉弹簧振子周期公式和单摆周期公式及其适用条件。 2.振动图像与波形图的比较：振动图像（x-t图）反映同一质点位移随时间变化，可直接读A、T；波形图（y-x图）反映同一时刻各质点位移随位置变化，可直接读A、λ；掌握由波形图判断质点振动方向的方法（“上坡下振、下坡上振”或“同侧法”），并能由波速公式建立两图的联系。 3.波的传播规律与多解性：掌握波的传播特点——①波在均匀介质中匀速传播（v = λ/T）；②介质中各质点不随波迁移，仅在平衡位置附近振动；③波传播方向与质点振动方向垂直（横波）或平行（纵波）。理解波的多解性源于——波的传播方向不确定性（双向性）和振动时间与周期的关系（周期性），能通过分析通解表达式（如x = nλ + Δx或t = nT + Δt）求解所有可能值。 4.常见模型与易错点：掌握简谐运动的对称性（关于平衡位置对称的两点速度大小相等、加速度大小相等且方向相反）、波动中x轴与t轴物理意义的区分、Δx = v·Δt计算时方向符号的处理、波从一种介质进入另一种介质时频率不变（f不变，v和λ随介质改变）。 巩固·知识解构 知识点1 简谐运动 一、定义 物体在跟位移大小成正比、方向总指向平衡位置的回复力作用下的运动，叫做简谐运动. 二、简谐运动的运动特征 （1）位移x：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，方向始终背离平衡位置。 （2）加速度a：，方向始终指向平衡位置，大小与位移成正比。 （3）速度v：大小和方向均变化——靠近平衡位置时速度增大，远离平衡位置时速度减小。 三、简谐运动的三个重要特征量 （1）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，标量，表示振动强弱。 （2）周期T：振动物体完成一次全振动所需的时间，由系统本身性质决定。 （3）频率f：单位时间内完成全振动的次数，。 四、简谐运动的对称性 （1）在平衡位置两侧对称点上，位移大小相等、方向相反。 （2）对称点上加速度大小相等、方向相反。 （3）对称点上速度大小相等，方向可能相同或相反（视具体位置）。 （4）从平衡位置到最远点与从最远点回到平衡位置所用时间相等（） 五、简谐运动的能量 （1）简谐运动的总能量等于动能和势能之和，守恒。 （2）平衡位置处：动能最大，势能为零。 （3）最大位移处：势能最大，动能为零。 （4）能量表达式：。 知识点2 简谐运动的两种基本模型 一、弹簧振子（水平弹簧振子）： （1）回复力：弹簧弹力（k为劲度系数）。 （2）周期：（与振幅无关） （3）频率： （4）特点：弹簧振子的周期只由振子质量和弹簧劲度系数决定，与振幅无关（等时性）。 （5）平衡位置：弹簧处于原长时振子所在位置。 二、单摆 （1）回复力：重力沿切线方向的分力 （2）在（小角度）条件下，，回复力，为简谐运动。 （3）周期：（与摆球质量、振幅无关）。 （4）频率： （5）理解：单摆周期只由摆长l和重力加速度g决定。 （6）摆长l：悬点到摆球球心的距离（悬线长度 + 摆球半径）。 知识点3 机械波的产生与传播 一、机械波的产生条件 （1）波源（振动的物体）。 （2）介质（传播振动的物质，如空气、水、绳等）。 二、机械波的传播特点 （1）机械波传播的是振动形式和能量，介质本身不随波迁移（介质中各质点只在平衡位置附近振动）。 （2）波的传播方向与质点振动方向的关系： 横波：振动方向与传播方向垂直。 （4）各质点的振动周期（频率）均等于波源的振动周期（频率），与传播距离无关。 纵波：振动方向与传播方向平行。 （3）波在传播过程中，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。 （5）波速由介质决定，与波源的振动频率无关——同一介质中不同频率的波传播速度相同。 三、描述波的三个物理量 （1）波长λ： 定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 理解：一个完整波形的水平长度，或波在一个周期内传播的距离。 （2）波速v： 定义：波在介质中传播的速度，由介质性质决定。 公式： （3）周期T和频率f： 由波源决定，与介质无关。 波在传播过程中，周期和频率不变。 四、波的图像（波形图） （1）坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置（x），纵轴表示各质点偏离平衡位置的位移（y）。 （2）物理意义：表示某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。 （3）波形图与振动图像的区别： 振动图像 波形图 坐标轴 横轴为时间t，纵轴为位移y 横轴为位置x，纵轴为位移y 物理意义 一个质点在不同时刻的位移 不同质点在某一时刻的位移 信息 周期T、振幅A 波长λ、振幅A 作用 反映一个质点在不同时刻的位置关系 反应多个质点在同一时刻的位置关系 五、波的传播方向与质点振动方向的判断 （1）同侧法（上下坡法）：沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动，“下坡”的质点向上振动。 （2）带动法（微平移法）：将波形沿传播方向平移一小段距离，比较质点在原位置和新位置的位置关系，即可判断振动方向。 （3）三角形法：若波向右传播，取波峰左侧的质点向下振动，右侧质点向上振动（结合波形图具体判断）。 知识点4 波形图与振动图像的综合分析 一、由波形图求波速、波长、周期 （1）从波形图中可直接读出波长λ（相邻两个波峰或波谷间的距离）。 （2）从波形图中读出振幅A。 （3）若已知波速v，则 （4）若已知周期T，则 二、由波形图判断某质点的振动方向 （1）已知波的传播方向 → 由“同侧法”判断各质点振动方向。 （2）已知某质点振动方向 → 由“同侧法”反推波的传播方向。 （3）已知某时刻后某质点的振动情况（如经Δt 后到达波峰或波谷），可确定波的传播方向及周期。 三、波的多解问题 （1）传播方向不确定：波可能沿+x方向传播，也可能沿−x 方向传播 → 两个解。 （2）周期性不确定：波形图每隔一个周期重复出现。已知两个时刻的波形，Δt 与T的关系可能是整数倍加部分周期。 （3）波长不确定：已知两质点间距离及振动关系，波长可能取多个值。 （4）解题策略：先写出通式，再根据题目条件（如v的范围、T的范围等）确定n的值，得到唯一解或多解。 四、波的干涉与衍射 （1）波的叠加原理：几列波相遇时，每列波各自保持原来的传播方向继续传播，在重叠区域，各质点的位移等于各列波单独传播时位移的矢量和。 （2）波的干涉条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波相遇时，某些点振动加强（振幅最大），某些点振动减弱（振幅最小）。 （3）振动加强点/减弱点的判断方法 ①当两波源振动步调一致时 若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强； 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。 ②当两波源振动步调相反时 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强； 若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。 （4）波的衍射条件：障碍物或孔的尺寸与波长差不多或比波长更小时，波能绕过障碍物继续传播。 模拟·基础演练 考查重点：机械振动中物理量计算、波形图与震动图辨析 ⏳题型01 机械振动 1．（2026·四川眉山·二模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平桌面上，一轻质弹簧一端固定在斜面顶端，另一端连着小球P（可视为质点），小球质量为、带电量为，在足够大的空间范围内，存在平行于斜面向下的匀强电场，电场强度大小。小球在斜面上做振幅为A的简谐运动，到达最高点时，弹簧恰好处于原长。已知弹簧的劲度系数为k，且始终处在弹性限度内，小球做简谐运动的周期，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球P的最大速度为 B．小球P在最低点时的加速度大小为 C．小球P从最高点运动到最低点的过程中，弹簧弹力对小球的冲量大小为 D．若小球P运动到最低点时电场突然反向（大小不变），此后小球做简谐运动的振幅为 2．（2026·四川攀枝花·二模）如图（a）所示的骨传导耳机作为一种独特的音频设备，受到越来越多的运动人士喜爱，它是通过颅骨将声音传递给听觉神经的设备，而无需将扬声器塞入耳道，其原理如图（b）所示。某同学在使用骨传导耳机听一段随身携带的手机中的音乐，若某段时间内接收到的声波引起耳蜗膜上某质点振动图像如图（c）所示，振幅为，已知声音在空气中传播的速度为，则下列说法中正确的是（　　） A．使用骨传导耳机时，声波在颅骨中的传播形式只能是横波 B．耳蜗膜上该质点在任意个周期内的路程均为 C．若该段音乐在空气中传播，其声波波长为 D．耳蜗膜上该质点的位移随时间变化的关系式为 3．（2026·四川资阳·三模）如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），下列说法正确的是（　　） A．此单摆的摆长约为0.5m B．此单摆的固有周期约为0.5s C．若摆长变小，共振曲线的峰将左移 D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移 4．（2026·四川成都·二模）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置下方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 5．（2026·四川成都·二模）（多选）如图甲所示，单摆摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，最大摆角α为5°，悬点O处接有一力传感器，记录摆线拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．单摆的周期为1s B．单摆的周期为2s C．时刻，摆球在A点 D．时刻，摆球在B点 6．（2025·四川成都·一模）（多选）如图所示，将一轻质弹簧左端固定在墙上，右端连接质量为的小球静置于光滑水平面上。以弹簧原长时小球的位置为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标轴，给小球一向右的初速度，小球沿轴做往复运动，作出小球运动过程中动量随位置坐标变化的图像。小球的运动状态可用图像上各点的坐标表示，其中A状态的坐标为，B状态的坐标为，C、D状态的横坐标均为。已知弹簧的弹性势能，为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量。下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中的最大动能为 B．弹簧的劲度系数为 C．小球从C状态经B状态到D状态所经历的时间是其运动周期的四分之一 D．小球在C状态的动量大小为 ⏳题型02 振动图与波形图的辨析 7．（2025·四川绵阳·三模）图甲为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时的图像，图甲中某质点的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．图乙可能是质点b的振动图像 B．再经1s质点a将沿x轴运动到x=2m处 C．质点a 的位移与时间的关系为 D．波在传播过程中，质点a在2s内运动的路程为0.8m 8．（2026·四川绵阳·三模）一列简谐横波沿x轴方向传播，在时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是（     ） A．该波沿x轴正方向传播 B．从开始，质点P比Q质点早回到平衡位置 C．质点P的平衡位置位于处 D．该波的波速为 9．一列简谐波沿x轴传播，某时刻其波形如图甲所示，平衡位置为的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．该列简谐波沿x轴正方向传播 B．无法确定该简谐波的波长 C．该质点的振动周期为 D．从该时刻起内质点经过的路程为 10．（2026·四川遂宁·一模）一条轻长绳放置在水平桌面上，俯视图如图甲所示，用手握住长绳的一端O，从t=0时刻开始用手带动O点沿垂直绳的方向（图甲中y轴方向）在水平面内做简谐运动，0~6s内O点的振动图像如图乙所示。t=5s时轻长绳上的波形图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2026·四川成都·三模）（多选）艺术体操的主要项目有绳操、球操、圈操、带操和棒操五项。图甲为某运动员进行带操比赛的照片。某段过程中彩带的运动可简化为沿轴方向传播的简谐横波，时的波形图如图乙所示，质点的振动图像如图丙所示。下列说法正确的是（     ） A．时点的位移为 B．时质点的加速度沿轴正方向 C．到的过程中质点通过的路程为50 cm D．质点的振动方程为 12．（2026·四川广元·二模）（多选）平衡位置位于O点的波源时刻沿y轴起振，形成一列沿x轴方向传播的简谐横波，时在区间内的波形如图甲所示，波源的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置位于处的质点沿y轴负方向起振 B．该波的波长为4.8m C．该波的波速大小为30m/s D．0~2.0s内，处的质点通过的路程为1m ⏳题型03 波的多解问题 13．（2026·四川泸州·一模）如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线表示0.2s后的波形图像，下列说法正确的是（     ） A．若这列波向右传播，则可求它的最大周期 B．若这列波向左传播，则可确定它传播的距离的大小 C．若波速是35m/s，则波的传播方向向右 D．不管波的传播方向如何，由图像都可以确定的质点在0.2s时间内的位移和路程 14．（2026·四川内江·三模）如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，图甲和图乙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且。下列说法中正确的是（    ） A．波沿x轴正方向传播 B．波长可能是6m C．波速可能是1.2m/s D．波速可能是3m/s 15．（2025·四川绵阳·三模）一列简谐横波沿轴正方向传播，轴上相距8.0m的甲、乙两质点的振动图像如图中实线、虚线所示，则该简谐横波波速可能是（　　） A．2m/s B．4m/s C．8m/s D．12m/s 16．一列简谐横波沿x轴的正向传播，振幅为2cm，周期为T。已知为t＝0时刻波上相距50cm的两质点a、b的位移都是1cm，但运动方向相反，其中质点a沿y轴负向运动，如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．该列简谐横波波长可能为150cm B．该列简谐横波波长可能为12cm C．当质点b的位移为＋2cm时，质点a的位移为负 D．在t＝时刻质点b速度最大 17．（2026·四川成都·一模）（多选）一列简谐横波沿x轴传播在t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.5s时刻的波形如图中虚线所示，虚线恰好过质点P的平衡位置。已知质点P平衡位置的坐标x=0.5m。下列说法正确的是（　　） A．该简谐波传播的最小速度为1.0m/s B．若波向轴正方向传播，质点P比质点Q先回到平衡位置 C．若波向轴负方向传播，质点P运动路程的最小值为5cm D．质点O的振动方程可能为 18．（2025·四川巴中·模拟预测）（多选）某介质中，一列沿x轴正方向传播的简谐横波，在0时刻的波形如图中实线所示，1s时的波形如图中虚线所示。关于该列简谐横波，下列说法正确的是（　　） A．波速可能为5m/s B．介质中质点的振动周期可能为6s C．介质中质点的振动频率可能为 D．1.5s时，平衡位置位于3m处的质点可能到达波峰 ⏳题型04 波的干涉与衍射 19．（2026·四川巴中·模拟预测）如图所示，均匀介质中的三个质点、、分别静止于直角坐标系平面内的、和处。时刻，波源从平衡位置开始垂直平面向上振动，振动周期为，形成向外传播的简谐横波，图中实线圆表示某时刻相邻的波峰，则（     ） A．该波的波速大小为 B．比先振动 C．从后，、的位移始终相同 D．从后，、的位移始终相同 20．（2026·四川宜宾·三模）如图所示，有两列简谐绳波沿同一段弹性绳相向传播，在时刻均刚好传到P点，甲波的振幅为2A，乙波的振幅为A。则（　　） A．两列波传播速度之比为 B．两列波能发生稳定的干涉现象 C．P点的起振方向为方向 D．P点偏离平衡位置的最大位移为3A 21．两列频率相同、振动方向和振幅相同的相干简谐横波，在同一均匀介质中发生稳定干涉，干涉图样如图乙所示（图中实线表示波峰，虚线表示波谷）。其中一列波在t=0时刻的波形图如图甲所示，已知该列波的周期T=0.4s，t=0时刻x=4m处的质点P沿y轴正方向运动。下列说法正确的是（　　） A．该波的波长为8m，沿x轴负方向传播 B．图乙中c点的最大位移为6cm C．图乙中a点为振动减弱点，始终保持静止 D．图乙中b点在0.2s内通过的路程为12cm 22．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在均匀介质中，时，位于A、B两点的两个波源同时由平衡位置开始向上振动，产生的两列简谐横波在该介质中的传播速度均为v，O是AB的中点，，C是AO线段上距O点最近的一个振动减弱点，下列说法正确的是（　　） A．O点始终位于波峰处 B．两列波的频率均为 C．A、B之间的连线上共有5个振动加强点 D．同时将两波源的频率增大一倍后，C点是振动加强点 23．（2026·四川绵阳·二模）（多选）如图甲所示，、是在轴上距离坐标原点等距离的两波源，的振动图像如图乙实线所示，的振动图像如图乙虚线所示，产生的简谐横波在同种介质中沿轴传播。则点（　　） A．是振动减弱点 B．是振动加强点 C．振幅为 D．振动周期为 24．（2025·四川成都·一模）（多选）一列简谐横波沿轴正向传播，时传至点，该波的波速，波形图如图（a）所示，此时处质点开始在同一平面振动，振动图像如图（b）所示。下列说法正确的是（　　） A．时质点向负方向振动 B．内质点经过的路程为 C．时，处质点位移为0 D．经过一段时间振动稳定后，间有3个振动减弱点 重难·创新演练 1．一轻质弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接着静止在水平地面上质量为的物块，如图所示。弹簧的劲度系数为，物块与水平地面间的动摩擦因数为，令最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现向左推动物块使弹簧压缩量达到在弹性限度内后再由静止释放，重力加速度，不计空气阻力，弹性势能公式：。下列说法正确的是（　　） A．物块最终停在弹簧的原长处 B．从静止开始释放，到最终停下，物块运动的总路程为30cm C．释放后瞬间重物的加速度大小为 D．物块第一次向右运动的最大距离为16cm 2．两名机器人手握一根轻绳的两端，以相同的频率，周期性上下抖动，振幅均为A=20cm，在绳子上形成了相向运动的简谐横波a和b，时刻，波形图如图所示，O、S两点为波源，已知，下列说法正确的是（     ） A．两列波的起振方向相同 B．两列波相遇后，波速变为 C．绳上P点的振幅始终保持为零 D．当b波传播到Q点时，Q点已经运动了2m 3．如图所示，P、Q分别为位于x=0和x=9 cm处同时起振的两个波源，其产生的简谐波沿x轴传播，某同学画出传播过程中振动和波的x-y-t图，其中波的图像①②③与xOy平面平行，④为波源的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．t=6 s时，x=3 cm处质点向上运动 B．x=2 cm和x=7 cm处质点的位移方向可能相反 C．0~2025 s内，x=6 cm处质点经过的路程为4 cm D．经足够长时间，0<x<2025 cm间有675个质点的振幅为4 cm 4．两波源分别位于和处，产生的简谐横波在同一均匀介质中沿x轴方向传播，左侧波源的振幅为2cm，波速为0.4m/s，右侧波源的振幅为3cm。如图所示为时刻两列相向传播的波形图（背向传播的波形未画出），此刻平衡位置位于和的两质点刚开始振动。下列说法正确的是（     ） A．处的质点为振动加强点，之后其位移大小为5cm保持不变 B．处的质点在时向y轴负方向振动 C．处的质点在时向y轴负方向振动 D．在0~2025s内处的质点运动的路程比的质点多6cm 5．（多选）湖面上，两个浮子做简谐运动，其频率均为，振幅均为，它们的平衡位置分别为、。以为原点，平行于湖面建立如图所示直角坐标系，在轴正半轴上（图中未画出）。时，两浮子同时从平衡位置垂直湖面向外起振，激起同心圆水波，规定垂直湖面向外为简谐运动的正方向；时，处浮子发出的波刚好传到了图中的虚线位置，且恰好与处浮子发出的波的最远波峰相遇，下列说法正确的是（     ） A．波的传播速度是 B．的坐标为 C．在轴上，和之间有2个振动加强点 D．时间内，处的质点运动的路程为 6．（多选）某均匀介质中两个频率为1Hz的波源S1，S2分别位于x1=-3m，x2=3m处，并先后在t1=0和t2=0.25s从平衡位置开始垂直纸面向外振动，S1与S2的振幅相等，形成简谐波在xOy平面内传播。平面内有两个质点P（0，4m）和质点Q（3m，8m），其中质点P在5.625s时第一次回到平衡位置。下列说法正确的是（　　） A．质点P在2.5s时起振 B．两列波的波长为1m C．PQ连线上有2个振动加强点 D．PQ连线上有3个振动减弱点 真题·实战演练 高频考点：振动图像与波形图、波的叠加 1．（2026·四川·高考真题）如图所示，空气中水平放置两端开口的圆柱形长管、管内有a、b、c三个位置，a、b距离为，c在b右侧。持续驱动活塞使其在a、b间做周期为的简谐运动，管内形成稳定机械波。声波在空气中的传播速度取，管足够长。则（     ） A．管内机械波为横波 B．管内机械波的振幅为 C．管内机械波的波长为 D．每秒有10个完整的波经过位置c 2．（2026·浙江·高考真题）一列波速为、沿轴正方向传播的简谐波，时刻的波形如图所示。A、B、C为传播方向上的三个质点，B、C所在的位置分别为和。则（     ） A．波的频率为0.5 Hz B．图示时刻，向轴正方向运动 C．当波从点传播到点，运动了1 m D．的振动方程为 3．（2026·湖南·高考真题）如图，均匀介质中有且仅有一个点波源产生简谐横波在xy平面内传播，A（4，3）、B（4，0）在xy平面内。某时刻，A处质点位于波峰，B处质点位于波谷。下列说法正确的是（   ） A．若波源在（0，0）处，波长可能为1m B．若波源在（0，0）处，波长可能为2m C．若波源在（0，3）处，波长可能为3m D．若波源在（0，3）处，波长可能为4m 4．（2026·山东·高考真题）（多选）波源在时开始振动，产生一列沿轴正方向传播的简谐横波。时质点刚好开始振动，质点与的平衡位置相距。某时刻的波形如图所示，下列说法正确的是（     ） A．波速为 B．波长为 C．从图示状态经过，M和速度相同 D．从图示状态经过，M和偏离平衡位置的位移相同 5．（2025·山东·高考真题）（多选）均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为，波速均为，M、N为介质中的质点。时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为。下列说法正确的是（    ） A．甲波的周期为 B．乙波的波长为 C．时，M向y轴正方向运动 D．时，N向y轴负方向运动 6．（2024·浙江·高考真题）（多选）在如图所示的直角坐标系中，平面为介质Ⅰ和Ⅱ的分界面（z轴垂直纸面向外）。在介质I中的（0，）处有一点波源，产生波长为、速度为v的波。波传到介质Ⅱ中，其速度为，图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，此时波源也恰好位于波峰。M为O、R连线的中点，入射波与反射波在O点相干加强，则（　　） A．介质Ⅱ中波的频率为 B．S点的坐标为（0，） C．入射波与反射波在M点相干减弱 D．折射角的正弦值 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 机械振动与机械波（简谐运动、波形图）（专项训练） 模拟·基础演练 ⏳题型01 机械振动 1 2 3 4 5 6 A C D B BD AD ⏳题型02 振动图与波形图的辨析 7 8 9 10 11 12 C D D D AD AB ⏳题型03 波的多解问题 13 14 15 16 17 18 A C C B AD BD ⏳题型04 波的干涉与衍射 19 20 21 22 23 24 C C C D AC AD 重难·创新演练 1 2 3 4 5 6 B C C D BD BC 真题·实战演练 1 2 3 4 5 6 D D B BD BD BD 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 机械振动与机械波（简谐运动、波形图）（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 简谐运动 2 知识点2 简谐运动的两种基本模型 3 知识点3 机械波的产生与传播 3 知识点4 波形图与振动图像的综合分析 4 模拟·基础演练 5 题型01 机械振动 5 题型02 振动图与波形图的辨析 10 题型03 波的多解问题 15 题型04 波的干涉与衍射 20 重难·创新演练 25 真题·实战演练 30 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 机械振动 —— —— 机械波 —— —— 考情分析 题型与考向：选择题常考查简谐运动的特征量（振幅、周期、频率、相位）、振动图像与波形图的识别与转换、波的传播方向与质点振动方向的互判、波速公式的应用（v = λ/T = λf）、波的多解性分析（双向传播、周期性导致的多解）。计算题较少单独出现，偶尔结合波的干涉、衍射等综合考查。 情境与立意： 1.生活实际类：弹簧振子、单摆的振动规律；地震波、声波在不同介质中的传播特点。 2.科技前沿类：超声波探测、声呐定位、振动监测与降噪技术中的波动原理。 3.物理学史类：简谐运动规律的发现、惠更斯原理对波动理论的贡献。 复习目标 1.简谐运动的基本规律：理解回复力特征，掌握简谐运动的位移-时间关系及各物理量含义，明确周期T与频率f的关系，熟悉弹簧振子周期公式和单摆周期公式及其适用条件。 2.振动图像与波形图的比较：振动图像（x-t图）反映同一质点位移随时间变化，可直接读A、T；波形图（y-x图）反映同一时刻各质点位移随位置变化，可直接读A、λ；掌握由波形图判断质点振动方向的方法（“上坡下振、下坡上振”或“同侧法”），并能由波速公式建立两图的联系。 3.波的传播规律与多解性：掌握波的传播特点——①波在均匀介质中匀速传播（v = λ/T）；②介质中各质点不随波迁移，仅在平衡位置附近振动；③波传播方向与质点振动方向垂直（横波）或平行（纵波）。理解波的多解性源于——波的传播方向不确定性（双向性）和振动时间与周期的关系（周期性），能通过分析通解表达式（如x = nλ + Δx或t = nT + Δt）求解所有可能值。 4.常见模型与易错点：掌握简谐运动的对称性（关于平衡位置对称的两点速度大小相等、加速度大小相等且方向相反）、波动中x轴与t轴物理意义的区分、Δx = v·Δt计算时方向符号的处理、波从一种介质进入另一种介质时频率不变（f不变，v和λ随介质改变）。 巩固·知识解构 知识点1 简谐运动 一、定义 物体在跟位移大小成正比、方向总指向平衡位置的回复力作用下的运动，叫做简谐运动. 二、简谐运动的运动特征 （1）位移x：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，方向始终背离平衡位置。 （2）加速度a：，方向始终指向平衡位置，大小与位移成正比。 （3）速度v：大小和方向均变化——靠近平衡位置时速度增大，远离平衡位置时速度减小。 三、简谐运动的三个重要特征量 （1）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，标量，表示振动强弱。 （2）周期T：振动物体完成一次全振动所需的时间，由系统本身性质决定。 （3）频率f：单位时间内完成全振动的次数，。 四、简谐运动的对称性 （1）在平衡位置两侧对称点上，位移大小相等、方向相反。 （2）对称点上加速度大小相等、方向相反。 （3）对称点上速度大小相等，方向可能相同或相反（视具体位置）。 （4）从平衡位置到最远点与从最远点回到平衡位置所用时间相等（） 五、简谐运动的能量 （1）简谐运动的总能量等于动能和势能之和，守恒。 （2）平衡位置处：动能最大，势能为零。 （3）最大位移处：势能最大，动能为零。 （4）能量表达式：。 知识点2 简谐运动的两种基本模型 一、弹簧振子（水平弹簧振子）： （1）回复力：弹簧弹力（k为劲度系数）。 （2）周期：（与振幅无关） （3）频率： （4）特点：弹簧振子的周期只由振子质量和弹簧劲度系数决定，与振幅无关（等时性）。 （5）平衡位置：弹簧处于原长时振子所在位置。 二、单摆 （1）回复力：重力沿切线方向的分力 （2）在（小角度）条件下，，回复力，为简谐运动。 （3）周期：（与摆球质量、振幅无关）。 （4）频率： （5）理解：单摆周期只由摆长l和重力加速度g决定。 （6）摆长l：悬点到摆球球心的距离（悬线长度 + 摆球半径）。 知识点3 机械波的产生与传播 一、机械波的产生条件 （1）波源（振动的物体）。 （2）介质（传播振动的物质，如空气、水、绳等）。 二、机械波的传播特点 （1）机械波传播的是振动形式和能量，介质本身不随波迁移（介质中各质点只在平衡位置附近振动）。 （2）波的传播方向与质点振动方向的关系： 横波：振动方向与传播方向垂直。 （4）各质点的振动周期（频率）均等于波源的振动周期（频率），与传播距离无关。 纵波：振动方向与传播方向平行。 （3）波在传播过程中，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。 （5）波速由介质决定，与波源的振动频率无关——同一介质中不同频率的波传播速度相同。 三、描述波的三个物理量 （1）波长λ： 定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 理解：一个完整波形的水平长度，或波在一个周期内传播的距离。 （2）波速v： 定义：波在介质中传播的速度，由介质性质决定。 公式： （3）周期T和频率f： 由波源决定，与介质无关。 波在传播过程中，周期和频率不变。 四、波的图像（波形图） （1）坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置（x），纵轴表示各质点偏离平衡位置的位移（y）。 （2）物理意义：表示某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。 （3）波形图与振动图像的区别： 振动图像 波形图 坐标轴 横轴为时间t，纵轴为位移y 横轴为位置x，纵轴为位移y 物理意义 一个质点在不同时刻的位移 不同质点在某一时刻的位移 信息 周期T、振幅A 波长λ、振幅A 作用 反映一个质点在不同时刻的位置关系 反应多个质点在同一时刻的位置关系 五、波的传播方向与质点振动方向的判断 （1）同侧法（上下坡法）：沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动，“下坡”的质点向上振动。 （2）带动法（微平移法）：将波形沿传播方向平移一小段距离，比较质点在原位置和新位置的位置关系，即可判断振动方向。 （3）三角形法：若波向右传播，取波峰左侧的质点向下振动，右侧质点向上振动（结合波形图具体判断）。 知识点4 波形图与振动图像的综合分析 一、由波形图求波速、波长、周期 （1）从波形图中可直接读出波长λ（相邻两个波峰或波谷间的距离）。 （2）从波形图中读出振幅A。 （3）若已知波速v，则 （4）若已知周期T，则 二、由波形图判断某质点的振动方向 （1）已知波的传播方向 → 由“同侧法”判断各质点振动方向。 （2）已知某质点振动方向 → 由“同侧法”反推波的传播方向。 （3）已知某时刻后某质点的振动情况（如经Δt 后到达波峰或波谷），可确定波的传播方向及周期。 三、波的多解问题 （1）传播方向不确定：波可能沿+x方向传播，也可能沿−x 方向传播 → 两个解。 （2）周期性不确定：波形图每隔一个周期重复出现。已知两个时刻的波形，Δt 与T的关系可能是整数倍加部分周期。 （3）波长不确定：已知两质点间距离及振动关系，波长可能取多个值。 （4）解题策略：先写出通式，再根据题目条件（如v的范围、T的范围等）确定n的值，得到唯一解或多解。 四、波的干涉与衍射 （1）波的叠加原理：几列波相遇时，每列波各自保持原来的传播方向继续传播，在重叠区域，各质点的位移等于各列波单独传播时位移的矢量和。 （2）波的干涉条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波相遇时，某些点振动加强（振幅最大），某些点振动减弱（振幅最小）。 （3）振动加强点/减弱点的判断方法 ①当两波源振动步调一致时 若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强； 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。 ②当两波源振动步调相反时 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则振动加强； 若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱。 （4）波的衍射条件：障碍物或孔的尺寸与波长差不多或比波长更小时，波能绕过障碍物继续传播。 模拟·基础演练 考查重点：机械振动中物理量计算、波形图与震动图辨析 ⏳题型01 机械振动 1．（2026·四川眉山·二模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平桌面上，一轻质弹簧一端固定在斜面顶端，另一端连着小球P（可视为质点），小球质量为、带电量为，在足够大的空间范围内，存在平行于斜面向下的匀强电场，电场强度大小。小球在斜面上做振幅为A的简谐运动，到达最高点时，弹簧恰好处于原长。已知弹簧的劲度系数为k，且始终处在弹性限度内，小球做简谐运动的周期，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球P的最大速度为 B．小球P在最低点时的加速度大小为 C．小球P从最高点运动到最低点的过程中，弹簧弹力对小球的冲量大小为 D．若小球P运动到最低点时电场突然反向（大小不变），此后小球做简谐运动的振幅为 【答案】A 【详解】A．小球P受沿斜面向下的电场力 则沿斜面向下的合力为 则平衡位置满足，因小球在平衡位置速度最大，则由能量关系 解得最大速度为，A正确； B．小球P在最高点时的加速度大小为 由对称可知，在最低点的加速度也为g，B错误； C．小球P从最高点运动到最低点的过程中，根据动量定理 其中，解得弹簧弹力对小球的冲量大小为，C错误； D．若小球P运动到最低点时电场突然反向（大小不变），则此时电场力和重力的分量的合力为零，小球只在弹力作用下做简谐振动，则此后小球做简谐运动的振幅为，D错误。 故选A。 2．（2026·四川攀枝花·二模）如图（a）所示的骨传导耳机作为一种独特的音频设备，受到越来越多的运动人士喜爱，它是通过颅骨将声音传递给听觉神经的设备，而无需将扬声器塞入耳道，其原理如图（b）所示。某同学在使用骨传导耳机听一段随身携带的手机中的音乐，若某段时间内接收到的声波引起耳蜗膜上某质点振动图像如图（c）所示，振幅为，已知声音在空气中传播的速度为，则下列说法中正确的是（　　） A．使用骨传导耳机时，声波在颅骨中的传播形式只能是横波 B．耳蜗膜上该质点在任意个周期内的路程均为 C．若该段音乐在空气中传播，其声波波长为 D．耳蜗膜上该质点的位移随时间变化的关系式为 【答案】C 【详解】A．声波在固体（颅骨）中传播时，既可以是横波也可以是纵波，并非只能是横波，A错误； B．简谐运动中，只有从平衡位置或最大位移处开始的周期内，质点路程才等于振幅，任意位置开始的周期路程不一定为，B错误； C．波的频率由振源决定，音乐在空气中传播时频率不变，由 解得 ，C正确； D．由图c知， 时质点在平衡位置，向正方向运动，位移关系式应为， D错误。 故选C 。 3．（2026·四川资阳·三模）如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），下列说法正确的是（　　） A．此单摆的摆长约为0.5m B．此单摆的固有周期约为0.5s C．若摆长变小，共振曲线的峰将左移 D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移 【答案】D 【详解】AB．由图像可知，此单摆的固有频率为，则固有周期约为，根据可得，此单摆的摆长约为L=1m，AB错误； C．若摆长变小，则固有周期减小，固有频率变大，则共振曲线的峰将右移，C错误； D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，根据，因月球上重力加速度较小，可知固有周期变大，固有频率减小，则共振曲线的峰将左移，D正确。 故选D。 4．（2026·四川成都·二模）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置下方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 【答案】B 【详解】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为，故A错误； B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，故B正确； C．由题图乙知，从至，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，故C错误； D．由题图乙知，周期，则角频率 则随变化的关系式为，故D错误。 故选B。 5．（2026·四川成都·二模）（多选）如图甲所示，单摆摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，最大摆角α为5°，悬点O处接有一力传感器，记录摆线拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．单摆的周期为1s B．单摆的周期为2s C．时刻，摆球在A点 D．时刻，摆球在B点 【答案】BD 【详解】AB．单摆摆球在最低点B时速度最大，由牛顿第二定律 可知此时拉力最大；在最高点A、C时速度为零，拉力最小。由图乙可知，拉力变化的周期为，而单摆在一个周期内两次经过最低点，拉力两次达到最大值，故单摆的周期，故A错误，B正确； C．由图乙可知，时拉力达到最大值，对应摆球经过最低点B，故C错误； D．由图乙可知，时拉力达到最大值，对应摆球经过最低点B，故D正确。 故选BD。 6．（2025·四川成都·一模）（多选）如图所示，将一轻质弹簧左端固定在墙上，右端连接质量为的小球静置于光滑水平面上。以弹簧原长时小球的位置为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标轴，给小球一向右的初速度，小球沿轴做往复运动，作出小球运动过程中动量随位置坐标变化的图像。小球的运动状态可用图像上各点的坐标表示，其中A状态的坐标为，B状态的坐标为，C、D状态的横坐标均为。已知弹簧的弹性势能，为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量。下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中的最大动能为 B．弹簧的劲度系数为 C．小球从C状态经B状态到D状态所经历的时间是其运动周期的四分之一 D．小球在C状态的动量大小为 【答案】AD 【详解】A．小球运动到平衡位置（即A状态）动能最大，由， 可得小球运动过程中的最大动能为，故A正确； B．小球由B到A的过程，根据能量守恒得 解得，故B错误； C．由题意可知，振幅 故小球的振动方程为 小球由A到C的过程有 解得 又因为 故 所以小球从C状态经B状态到D状态所经历的时间为 是其运动周期的三分之一，故C错误； D．小球由B到C的过程，根据能量守恒有 又 联立可得，故D正确。 故选AD。 ⏳题型02 振动图与波形图的辨析 7．（2025·四川绵阳·三模）图甲为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时的图像，图甲中某质点的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．图乙可能是质点b的振动图像 B．再经1s质点a将沿x轴运动到x=2m处 C．质点a 的位移与时间的关系为 D．波在传播过程中，质点a在2s内运动的路程为0.8m 【答案】C 【详解】A．根据“同侧法”（即波的传播方向和质点的振动方向，永远在波形曲线的同一侧）可知，质点在时刻由平衡位置向下振动，而乙图中某质点在时刻恰好由平衡位置向上振动，故乙图不可能是质点的振动图像，故A错误； B．质点只能在各自的平衡位置附近做简谐振动，而不会随着波迁移，故B错误； C．由图乙可知，质点做简谐运动的振幅为，周期为，则角频率为 由甲图可知，当时，质点经过平衡位置向上振动，故初相位为 所以质点的位移与时间的关系为，故C正确； D．由于该波的周期为，则质点在2s时间内恰好完成一个周期的振动，所以质点运动的路程为，故D错误。 故选C。 8．（2026·四川绵阳·三模）一列简谐横波沿x轴方向传播，在时的波形如图甲所示，M、N、P、Q是介质中的四个质点，已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16m，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是（     ） A．该波沿x轴正方向传播 B．从开始，质点P比Q质点早回到平衡位置 C．质点P的平衡位置位于处 D．该波的波速为 【答案】D 【详解】A．由图乙可知时刻，质点P沿y轴负方向运动，根据同侧法可知，该波沿x轴负方向传播，故A错误； D．N质点先向下运动至最低点再回到最高点，用时为，有 根据乙图可知波的周期为 时N点的位移为，振动方向向下，N质点的方程为 代入可得 当 计算可知时N点运动至最低点，可知N质点先向下运动至最低点的时间为，可知 联立可得该波的波速为，故D正确； B．从开始，质点Q第一次回到平衡位置所经历的时间为；P质点先向下运动至最低点再回到平衡位置，可知用时大于，可知质点Q比质点P早回到平衡位置，故B错误； C．P质点先向下运动至最低点再回到最高点的时间为，有 根据乙图可知P点振动方程为 可知时P点的位移为 又时P点运动至最低点，可知运动至最低点用时 可知 可得 可得，故C错误。 故选D。 9．一列简谐波沿x轴传播，某时刻其波形如图甲所示，平衡位置为的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ） A．该列简谐波沿x轴正方向传播 B．无法确定该简谐波的波长 C．该质点的振动周期为 D．从该时刻起内质点经过的路程为 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，时刻，处质点位移为，随后位移增大，说明质点沿轴正方向振动。根据波动的“上下坡法”可判断该波沿轴负方向传播，故A错误； B．由图甲可得 解得，故B错误； C．由图乙可得 解得，故C错误； D．，内运动路程为 之后内运动路程为 则运动总路程为，故D正确。 故选D。 10．（2026·四川遂宁·一模）一条轻长绳放置在水平桌面上，俯视图如图甲所示，用手握住长绳的一端O，从t=0时刻开始用手带动O点沿垂直绳的方向（图甲中y轴方向）在水平面内做简谐运动，0~6s内O点的振动图像如图乙所示。t=5s时轻长绳上的波形图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】BC．利用图乙可知t=4s后周期变小，波速不变，根据可知波长变短，故BC错误； AD．t=5s时O点位移为零，沿y轴负方向运动，从而得出波形图对应的质点起振方向也沿y轴负方向，根据“上下坡法”可知D正确，故A错误，D正确。 故选D。 11．（2026·四川成都·三模）（多选）艺术体操的主要项目有绳操、球操、圈操、带操和棒操五项。图甲为某运动员进行带操比赛的照片。某段过程中彩带的运动可简化为沿轴方向传播的简谐横波，时的波形图如图乙所示，质点的振动图像如图丙所示。下列说法正确的是（     ） A．时点的位移为 B．时质点的加速度沿轴正方向 C．到的过程中质点通过的路程为50 cm D．质点的振动方程为 【答案】AD 【详解】从波形图乙得，波长，振幅； 从振动图丙得，周期，角频率 时在平衡位置且向轴正方向运动，根据同侧法可 得波沿轴正方向传播 A．时的波形方程为，在处 代入得 ，A正确； B．时在平衡位置向上运动，经过 即时到达正向最大位移处，加速度指向平衡位置，故加速度沿轴负方向，B错误； C．到，时间间隔，一个周期路程为 初始位置不在平衡位置或最大位移处，剩余的路程不等于，总路程不是，C错误； D．设的振动方程为，， 由丙图，时，（向下运动） 得，，故，因此振动方程为，D正确。 故选 AD。 12．（2026·四川广元·二模）（多选）平衡位置位于O点的波源时刻沿y轴起振，形成一列沿x轴方向传播的简谐横波，时在区间内的波形如图甲所示，波源的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置位于处的质点沿y轴负方向起振 B．该波的波长为4.8m C．该波的波速大小为30m/s D．0~2.0s内，处的质点通过的路程为1m 【答案】AB 【详解】A．由波源的振动图像（图乙）可知，波源时刻从平衡位置向轴负方向起振，所有质点的起振方向都与波源相同，因此处的质点沿轴负方向起振，故A正确； B．时，波源振动了，由图乙得周期，因此 波源恰好位于负最大位移处，与图甲处一致。从（）到（），波形恰好对应个波长，即 解得，故B正确； C．波速 不是，故C错误； D．波传到处的时间 因此内该质点振动时间 由图可知振幅，则一个周期内质点路程为 不是，故D错误。 故选AB。 ⏳题型03 波的多解问题 13．（2026·四川泸州·一模）如图所示，实线是某时刻的波形图像，虚线表示0.2s后的波形图像，下列说法正确的是（     ） A．若这列波向右传播，则可求它的最大周期 B．若这列波向左传播，则可确定它传播的距离的大小 C．若波速是35m/s，则波的传播方向向右 D．不管波的传播方向如何，由图像都可以确定的质点在0.2s时间内的位移和路程 【答案】A 【详解】A．时间间隔 若波向右传播，可得时间关系 解得周期 当时，取得最大值 因此可以求出最大周期，故A正确； B．由图可得波长 若波向左传播，传播距离 取不同值时，不同，无法确定传播距离的大小，故B错误； C．若 ，内传播距离 符合波向左传播的距离规律，因此波向左传播，故C错误； D．由于周期不确定，所以无法确定的质点在时间内的路程，故D错误。 故选A。 14．（2026·四川内江·三模）如图所示，一列简谐横波在x轴上传播，图甲和图乙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且。下列说法中正确的是（    ） A．波沿x轴正方向传播 B．波长可能是6m C．波速可能是1.2m/s D．波速可能是3m/s 【答案】C 【详解】A．波可沿正方向也可沿负方向传播，无法确定一定沿正方向，故A错误； B．由振动图像可得：两质点振动周期；时刻，质点在平衡位置向下振动，质点在正最大位移（波峰）处。 若波沿轴正方向传播：到的距离满足 整理得 波速 若波沿轴负方向传播：到的距离满足 整理得 波速 若，代入两种波长表达式，得到的都不是非负整数，波长不可能为，故B错误； C．波沿轴正方向传播，当时， 因此波速可能为 ，故C正确； D．若，代入两种波速表达式，得到的都不是非负整数，波速不可能为，故D错误。 故选C。 15．（2025·四川绵阳·三模）一列简谐横波沿轴正方向传播，轴上相距8.0m的甲、乙两质点的振动图像如图中实线、虚线所示，则该简谐横波波速可能是（　　） A．2m/s B．4m/s C．8m/s D．12m/s 【答案】C 【详解】根据题目描述，甲、乙两质点相距，结合振动图像可知， 若乙振动传到甲的情况，有 甲、乙两质点之间的距离可以表示为，其中 所以有 解得 根据波速，其中周期 解得 若甲振动传到乙的情况，有 甲、乙两质点之间的距离可以表示为，其中 所以有 解得 根据波速，其中周期 解得 所以当是此时的速度，C选项符合题意。 故选C。 16．一列简谐横波沿x轴的正向传播，振幅为2cm，周期为T。已知为t＝0时刻波上相距50cm的两质点a、b的位移都是1cm，但运动方向相反，其中质点a沿y轴负向运动，如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．该列简谐横波波长可能为150cm B．该列简谐横波波长可能为12cm C．当质点b的位移为＋2cm时，质点a的位移为负 D．在t＝时刻质点b速度最大 【答案】B 【详解】AB．设质点的起振方向向上，则质点的振动方程为 且a、b中间的距离小于1个波长，对于b点有 解得 a点振动的时间比b点长，所以由 解得 a、b两个质点振动的时间差为 所以a、b之间的距离为 则通式为 （n=0，1，2，3） 则波长可以为 （n=0，1，2，3） 当n＝0时 λ＝150cm 由于n是整数，所以λ不可能为12cm，故A正确，不符合题意，B错误，符合题意； C．当质点b的位移为＋2cm时，即b到达波峰时，结合波形知，质点a在平衡位置下方，位移为负，故C正确，不符合题意； D．由 得 当 时质点b到达平衡位置处，速度最大，故D正确，不符合题意。 故选B。 17．（2026·四川成都·一模）（多选）一列简谐横波沿x轴传播在t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.5s时刻的波形如图中虚线所示，虚线恰好过质点P的平衡位置。已知质点P平衡位置的坐标x=0.5m。下列说法正确的是（　　） A．该简谐波传播的最小速度为1.0m/s B．若波向轴正方向传播，质点P比质点Q先回到平衡位置 C．若波向轴负方向传播，质点P运动路程的最小值为5cm D．质点O的振动方程可能为 【答案】AD 【详解】A．0.5s内波传播的最短距离为0.5m，故最小速度为1.0m/s，故A正确； B．若波向x轴正方向传播，波速为 若波向x轴负方向传播，波速为 波向x轴正方向传播，0时刻后质点P背离平衡位置运动，质点Q靠近平衡位置运动，故质点P比质点Q后回到平衡位置，故B错误； C．若波向x轴负方向传播，质点P向平衡位置运动，0.5s时质点P至少运动T，最短路程为25cm。故C错误； D．若波向x轴正方向传播，则周期 质点O的振动方程 若波向x轴负方向传播，则周期 质点O的振动方程，故D正确。 故选AD。 18．（2025·四川巴中·模拟预测）（多选）某介质中，一列沿x轴正方向传播的简谐横波，在0时刻的波形如图中实线所示，1s时的波形如图中虚线所示。关于该列简谐横波，下列说法正确的是（　　） A．波速可能为5m/s B．介质中质点的振动周期可能为6s C．介质中质点的振动频率可能为 D．1.5s时，平衡位置位于3m处的质点可能到达波峰 【答案】BD 【详解】ABC．从图中可知波在时间内传播的距离 根据波速 得 由 得 由 得，故B正确，AC错误； D．由 得 当时 位于的波峰传到处，D正确。 故选BD。 ⏳题型04 波的干涉与衍射 19．（2026·四川巴中·模拟预测）如图所示，均匀介质中的三个质点、、分别静止于直角坐标系平面内的、和处。时刻，波源从平衡位置开始垂直平面向上振动，振动周期为，形成向外传播的简谐横波，图中实线圆表示某时刻相邻的波峰，则（     ） A．该波的波速大小为 B．比先振动 C．从后，、的位移始终相同 D．从后，、的位移始终相同 【答案】C 【详解】A．由题意可知，波长，，故A错误； B．波传到A的时间，C到O的距离 波传到C的时间，A比C先振动时间，故B错误； C．A、C到波源的距离差 ，为波长的整数倍，说明两者振动相位相同，步调一致。时，A早已振动，波刚好传到C点，此后两质点振动同步，位移相同，故C正确； D、B到O点距离， ，为半波长奇数倍，因此A、B振动相位相反，步调完全相反，位移始终大小相同，方向相反，故D错误。 故选C。 20．（2026·四川宜宾·三模）如图所示，有两列简谐绳波沿同一段弹性绳相向传播，在时刻均刚好传到P点，甲波的振幅为2A，乙波的振幅为A。则（　　） A．两列波传播速度之比为 B．两列波能发生稳定的干涉现象 C．P点的起振方向为方向 D．P点偏离平衡位置的最大位移为3A 【答案】C 【详解】A．两列波在同一段弹性绳（同一介质）中传播，波速大小相等，因此传播速度之比为，故A项错误； B．发生稳定干涉的条件是两列波频率相同。由图可知：甲波波长，乙波波长，根据，v相等、λ不同，因此频率不同，不能发生稳定干涉，故B项错误； C．甲波向右传播，在P点由于同侧法可知，甲波带动P点向方向振动。乙波向左传播，在P点由于同侧法可知，乙波同样带动P点向方向振动。两列波在P点起振方向相同，所以P点的起振方向为方向，故C项正确； D．两列波频率不同，永远不会出现甲波和乙波的波峰（或波谷）同时到达P点的情况，因此P点偏离平衡位置的最大位移一定小于，故D项错误。 故选C。 21．两列频率相同、振动方向和振幅相同的相干简谐横波，在同一均匀介质中发生稳定干涉，干涉图样如图乙所示（图中实线表示波峰，虚线表示波谷）。其中一列波在t=0时刻的波形图如图甲所示，已知该列波的周期T=0.4s，t=0时刻x=4m处的质点P沿y轴正方向运动。下列说法正确的是（　　） A．该波的波长为8m，沿x轴负方向传播 B．图乙中c点的最大位移为6cm C．图乙中a点为振动减弱点，始终保持静止 D．图乙中b点在0.2s内通过的路程为12cm 【答案】C 【详解】A．由左图可知，该波的波长。时刻处的质点沿轴正方向运动，根据“上下坡法”或波形微平移法判断，该波沿轴正方向传播，故A错误； B．右图中 点是虚线与虚线的交点，即波谷与波谷相遇，为振动加强点。两列波振幅相同，均为，则点的最大位移为 故B错误； C．图乙中点是实线与虚线的交点，即波峰与波谷相遇，为振动减弱点。由于两列波的振幅相同，减弱点的合振幅为零，所以点始终保持静止，故C正确； D．图乙中点是实线与实线的交点，为振动加强点，其振幅 已知周期 时间 质点在一个周期内通过的路程为，则在半个周期内通过的路程 故D错误。 故选C。 22．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在均匀介质中，时，位于A、B两点的两个波源同时由平衡位置开始向上振动，产生的两列简谐横波在该介质中的传播速度均为v，O是AB的中点，，C是AO线段上距O点最近的一个振动减弱点，下列说法正确的是（　　） A．O点始终位于波峰处 B．两列波的频率均为 C．A、B之间的连线上共有5个振动加强点 D．同时将两波源的频率增大一倍后，C点是振动加强点 【答案】D 【详解】A． O是AB的中点，故O点到两波源距离相等，且两个波源同时由平衡位置开始向上振动，所以O点是振动加强点，但位移随时间变化，不是始终位于波峰处，故A错误； B． C是AO线段上距O点最近的一个振动减弱点，故C点到两个波源的路程差为 其中， 联立解得 根据 解得频率为，故B错误； C．设某振动加强点到A、B两波源的路程差为 根据振动加强点的条件有 联立解得 因取整数，则的取值范围为，可知一共有9个振动加强点，故C错误； D．同时将两波源的频率增大一倍后，波速不变，根据 可知波长变为原来的，即 在频率增大前，C点到两个波源的路程差为 联立可得，在频率增大后 故C点是振动加强点，故D正确。 故选D。 23．（2026·四川绵阳·二模）（多选）如图甲所示，、是在轴上距离坐标原点等距离的两波源，的振动图像如图乙实线所示，的振动图像如图乙虚线所示，产生的简谐横波在同种介质中沿轴传播。则点（　　） A．是振动减弱点 B．是振动加强点 C．振幅为 D．振动周期为 【答案】AC 【详解】A．由、的振动图像可知两波源的起振方向相反，点为两波源的中点，因此两波源在点引起的振动方向相反，为减弱点，故A正确，B错误； C．由上述分析可知点的振幅为,故C正确； D．点的振动周期与两波源、相同，为，故D错误。 故选AC。 24．（2025·四川成都·一模）（多选）一列简谐横波沿轴正向传播，时传至点，该波的波速，波形图如图（a）所示，此时处质点开始在同一平面振动，振动图像如图（b）所示。下列说法正确的是（　　） A．时质点向负方向振动 B．内质点经过的路程为 C．时，处质点位移为0 D．经过一段时间振动稳定后，间有3个振动减弱点 【答案】AD 【详解】A．周期，时刻质点向正向振动，经质点运动方向相反，故向负向振动，故A正确； B．经波在其传播方向传出，时质点位移为，故质点经过的路程为，故B错误； C．左侧波经传至处，质点负向起振，振动位移为，右侧波经传至处，质点正向起振，振动位移为，故时，处质点位移为，故C错误； D．为反步调振动的相干波源，波程差为0、处为减弱点，间有、、三个振动减弱点，故D正确。 故选AD。 重难·创新演练 1．一轻质弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接着静止在水平地面上质量为的物块，如图所示。弹簧的劲度系数为，物块与水平地面间的动摩擦因数为，令最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现向左推动物块使弹簧压缩量达到在弹性限度内后再由静止释放，重力加速度，不计空气阻力，弹性势能公式：。下列说法正确的是（　　） A．物块最终停在弹簧的原长处 B．从静止开始释放，到最终停下，物块运动的总路程为30cm C．释放后瞬间重物的加速度大小为 D．物块第一次向右运动的最大距离为16cm 【答案】B 【详解】C．由牛顿第二定律 得加速度，故C错误； D．释放后物块做简谐运动，平衡位置有 解得 弹簧处于压缩状态，向右运动的最大位移和释放点关于该平衡位置对称，所以物块第一次向右运动的最大距离为18cm，故D错误； AB．物块向左运动的过程中，在新的平衡位置有 解得，弹簧处于拉伸状态，所以物块向左运动10cm。 以此类推，物块第二次向右运动2cm后停下来，所以物块停在距离弹簧原长左侧1cm处，总路程为，故B正确，A错误。 故选B。 2．两名机器人手握一根轻绳的两端，以相同的频率，周期性上下抖动，振幅均为A=20cm，在绳子上形成了相向运动的简谐横波a和b，时刻，波形图如图所示，O、S两点为波源，已知，下列说法正确的是（     ） A．两列波的起振方向相同 B．两列波相遇后，波速变为 C．绳上P点的振幅始终保持为零 D．当b波传播到Q点时，Q点已经运动了2m 【答案】C 【详解】A．根据机械波传播特点是波形图在介质中沿传播方向向前平移（质点受迫振动导致的），即任何质点的起振方向与波源的起振方向相同，根据同侧法（上下坡法、微平移法）可知，a波的起振方向竖直向下，b波的起振方向竖直向上，A错误； B．由波形图可知波的波长为2m，根据 波速只与介质有关，且波的传播具有独立性，因此两波叠加不会改变传播速度，B错误； C．两列波的振动频率相同，因此当两波相遇后会发生干涉现象，根据速度时间关系可知，两波是同时到达P点，且振动方向恰好相反，即在P点发生干涉减弱现象，由两波振幅大小一样，因此P点振幅为零，一直处于平衡位置，C正确； D．根据速度时间关系，a波比b波先传播到Q点，且时间差恰好为0.4s（一个周期），故Q点是先以a波的振动规律振动一个周期，运动了，D错误； 故选C。 3．如图所示，P、Q分别为位于x=0和x=9 cm处同时起振的两个波源，其产生的简谐波沿x轴传播，某同学画出传播过程中振动和波的x-y-t图，其中波的图像①②③与xOy平面平行，④为波源的振动图像，下列说法正确的是（     ） A．t=6 s时，x=3 cm处质点向上运动 B．x=2 cm和x=7 cm处质点的位移方向可能相反 C．0~2025 s内，x=6 cm处质点经过的路程为4 cm D．经足够长时间，0<x<2025 cm间有675个质点的振幅为4 cm 【答案】C 【详解】A．由振动图像④得周期为，振幅，由波形图得波长为 处质点到两波源的距离之差为 则该质点处于振动减弱点，所以时，处质点处于平衡位置，不向上运动，故A错误； B．因为和处质点到两波源的距离差相等，均为，所以两位置处质点振动步调相同，任意时刻位移方向都相同，故B错误； C．波速 波源P产生的波传播到处需要，波源Q产生的波传播到处需要 该点波程差 处为振动减弱点，后质点不再运动，实际振动时间为 经过的路程为，故C正确； D．振幅为4cm的点是振动加强点，满足波程差（n=0，1，2…） 因为，所以 所以振动加强点为、、处质点，经足够长时间，间有3个质点的振幅为，故D错误。 故选C。 4．两波源分别位于和处，产生的简谐横波在同一均匀介质中沿x轴方向传播，左侧波源的振幅为2cm，波速为0.4m/s，右侧波源的振幅为3cm。如图所示为时刻两列相向传播的波形图（背向传播的波形未画出），此刻平衡位置位于和的两质点刚开始振动。下列说法正确的是（     ） A．处的质点为振动加强点，之后其位移大小为5cm保持不变 B．处的质点在时向y轴负方向振动 C．处的质点在时向y轴负方向振动 D．在0~2025s内处的质点运动的路程比的质点多6cm 【答案】D 【详解】A．由图可知两列波的波长均为，两波源到，处的波程差为 该处为振动加强点，两列波均到达后振幅为 但质点位移随时间周期性变化，并非保持不变，故A错误； B．处与处到右侧波源的距离相等，两处振动状态相同。由图中处为最大位移处， 时速度为， 并非沿轴负方向振动，故B错误； C．波的周期为 左、右两列波的波前到达，处所需时间分别为， 两列波到达时均使质点从平衡位置沿轴负方向开始振动，且。在时，右侧波已作用，质点正由负最大位移返回平衡位置，此时两列波均使质点沿轴正方向振动，与题述相反，故C错误； D．在时，与处的质点分别只受左、右两列波影响，另一列波到达各点所需时间均为 质点从平衡位置开始做简谐运动，在内的路程为，因此 由关系式 两列波均到达后，两点处两列波的波程差均为 两点均为振动减弱点，合振动的振幅均为 由于两点到右侧波源的波程相差 两点的合振动相位相反，任意时刻速率相等，所以此后相同时间内路程相等。故在内两质点的路程差为，故D正确。 故选D。 5．（多选）湖面上，两个浮子做简谐运动，其频率均为，振幅均为，它们的平衡位置分别为、。以为原点，平行于湖面建立如图所示直角坐标系，在轴正半轴上（图中未画出）。时，两浮子同时从平衡位置垂直湖面向外起振，激起同心圆水波，规定垂直湖面向外为简谐运动的正方向；时，处浮子发出的波刚好传到了图中的虚线位置，且恰好与处浮子发出的波的最远波峰相遇，下列说法正确的是（     ） A．波的传播速度是 B．的坐标为 C．在轴上，和之间有2个振动加强点 D．时间内，处的质点运动的路程为 【答案】BD 【详解】A．由图可知，时发出的波传播的距离为，根据波速定义 故A错误。 B．结合频率，得波长 两波源起振方向均为正方向（向外），的最远波峰是其起振后第一个到达波峰的位置起振后经到达波峰， 因此该波峰到的距离为 相遇点到的距离为，因此两波源间距 即坐标为，B正确。 C．两波源起振方向相同，频率相同，波叠加满足的条件为 设横坐标为x的点为振动加强点，则有 若k=0时， 若k=1时， 故两波源间有三个加强点。故C错误； D．处波程差为 即该点为振动减弱点，两列波传到此处后，质点合位移为0，故该点只在传到此处后在到达前振动，， 即 故该点路程为 故D正确。 故选BD。 6．（多选）某均匀介质中两个频率为1Hz的波源S1，S2分别位于x1=-3m，x2=3m处，并先后在t1=0和t2=0.25s从平衡位置开始垂直纸面向外振动，S1与S2的振幅相等，形成简谐波在xOy平面内传播。平面内有两个质点P（0，4m）和质点Q（3m，8m），其中质点P在5.625s时第一次回到平衡位置。下列说法正确的是（　　） A．质点P在2.5s时起振 B．两列波的波长为1m C．PQ连线上有2个振动加强点 D．PQ连线上有3个振动减弱点 【答案】BC 【详解】AB．点到两波源的距离均为。设发出的波到达点的时刻为，则发出的波在时到达点。波到达后到波到达前，点的振动相位由增至，位移始终为正，尚未回到平衡位置。两列波的周期均为 第二列波比第一列波晚起振，相位落后。波到达点后，设第一列波在点的相位为、每列波的振幅为，则点的合位移为 波刚到达时，此后第一次合位移为零时，故从到第一次回到平衡位置的时间为 由题意得，由匀速传播得，由波长、频率和波速的关系 整理得 上述结果表明点在时起振，且波长为，故A错误，B正确。 CD．在线段上任取一点，记， 波程差为 由于，，共线，从移到时，的增加量等于移动的距离，而由三角形两边之差小于第三边，的增加量小于移动的距离，所以连续且严格增大。端点处分别有， 第二列波相对第一列波的相位差为 振动加强的条件为，故 其中为整数。在内，对应的波程差为，，加强点共有2个。振动减弱的条件为 故 在内，对应的波程差为，，减弱点共有2个；结合前述加强点计数，故C正确，D错误。 故选BC。 真题·实战演练 高频考点：振动图像与波形图、波的叠加 1．（2026·四川·高考真题）如图所示，空气中水平放置两端开口的圆柱形长管、管内有a、b、c三个位置，a、b距离为，c在b右侧。持续驱动活塞使其在a、b间做周期为的简谐运动，管内形成稳定机械波。声波在空气中的传播速度取，管足够长。则（     ） A．管内机械波为横波 B．管内机械波的振幅为 C．管内机械波的波长为 D．每秒有10个完整的波经过位置c 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，管内机械波振动方向与传播方向平行，则管内机械波为纵波，故A错误； B．活塞在间做简谐运动，且间距离为，则管内机械波的振幅为，故B错误； C．管内机械波的波长为，故C错误； D．管内机械波的周期为，则每秒有个完整的波经过位置，故D正确； 故选D。 2．（2026·浙江·高考真题）一列波速为、沿轴正方向传播的简谐波，时刻的波形如图所示。A、B、C为传播方向上的三个质点，B、C所在的位置分别为和。则（     ） A．波的频率为0.5 Hz B．图示时刻，向轴正方向运动 C．当波从点传播到点，运动了1 m D．的振动方程为 【答案】D 【详解】A．从波形图可得波长，根据波速公式得频率，故A错误； B．波沿轴正方向传播，用上下坡法，质点A振动方向为轴负方向，故B错误； C．波从B传到C的距离 传播时间 该波周期 因此 质点B仅在平衡位置附近振动，半个周期内运动的路程为，故C错误； D．角频率，振幅； 图示时刻C点在平衡位置，波向右传播，可知此时C点向轴负方向振动，由于周期也为，故时的运动状态与图示时刻相同，则C的振动方程为，故D正确。 故选D。 3．（2026·湖南·高考真题）如图，均匀介质中有且仅有一个点波源产生简谐横波在xy平面内传播，A（4，3）、B（4，0）在xy平面内。某时刻，A处质点位于波峰，B处质点位于波谷。下列说法正确的是（   ） A．若波源在（0，0）处，波长可能为1m B．若波源在（0，0）处，波长可能为2m C．若波源在（0，3）处，波长可能为3m D．若波源在（0，3）处，波长可能为4m 【答案】B 【详解】已知某时刻A处质点位于波峰，B处质点位于波谷，因此A、B两点的波程差应满足半波长的奇数倍（n=0，1，2，…） AB．若波源在（0，0），由坐标可推得A点到波源距离 B点到波源距离 波程差 代入得 解得 当时，（非整数） 当时， 故A错误，故B正确； CD．若波源在（0，3），则A点到波源距离 B点到波源距离 波程差仍为，同样有 当时，，无整数解 当时，，无整数解 故CD错误。 故选B。 4．（2026·山东·高考真题）（多选）波源在时开始振动，产生一列沿轴正方向传播的简谐横波。时质点刚好开始振动，质点与的平衡位置相距。某时刻的波形如图所示，下列说法正确的是（     ） A．波速为 B．波长为 C．从图示状态经过，M和速度相同 D．从图示状态经过，M和偏离平衡位置的位移相同 【答案】BD 【详解】B．根据题图有 可得波长，故B正确； A．结合B项分析可知 所以该波的波速，故A错误； C．从题图示状态经过，则波沿轴正方向传播了，故从平衡位置运动到了波峰位置，速度为0，N从波谷位置运动到了平衡位置，速度最大，显然两点速度不同，故C错误； D．该波的周期 从图示时刻计时，的振动方程为 N的振动方程为 经后，，故D正确。 故选BD。 5．（2025·山东·高考真题）（多选）均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为，波速均为，M、N为介质中的质点。时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为。下列说法正确的是（    ） A．甲波的周期为 B．乙波的波长为 C．时，M向y轴正方向运动 D．时，N向y轴负方向运动 【答案】BD 【详解】A．根据题图可知甲波的波长 根据 可得 A错误； B．设左边在平衡位置的质点与质点平衡位置的距离为，根据题图结合 又 可得， B正确； C．时即经过，结合同侧法可知M向y轴负方向运动，C错误； D．同理根据 可得 根据同侧法可知时N向y轴负方向运动，时即经过时间，N仍向y轴负方向运动，D正确。 故选BD。 6．（2024·浙江·高考真题）（多选）在如图所示的直角坐标系中，平面为介质Ⅰ和Ⅱ的分界面（z轴垂直纸面向外）。在介质I中的（0，）处有一点波源，产生波长为、速度为v的波。波传到介质Ⅱ中，其速度为，图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，此时波源也恰好位于波峰。M为O、R连线的中点，入射波与反射波在O点相干加强，则（　　） A．介质Ⅱ中波的频率为 B．S点的坐标为（0，） C．入射波与反射波在M点相干减弱 D．折射角的正弦值 【答案】BD 【详解】A．波从一种介质到另一种介质，频率不变，故介质Ⅱ中波的频率为 故A错误； B．在介质Ⅱ中波长为 由于图示时刻介质Ⅱ中仅有一个波峰，与x轴和y轴分别交于R和S点，故S点的坐标为（0，），故B正确； C．入射波和反射波可等效为P和虚像发出的两列波，M是OR中点，坐标为 ，M到P和P'的距离相等，路程差 ；题目说明O点（路程差也为0）相干加强，因此M也相干加强，故C错误； D．根据 则 解得 故D正确。 故选BD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $