专题 10：复习与关联（思维拓展）人教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 10：复习与关联 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：分数运算与应用综合 3 考点二：几何与方位综合 4 考点三：百分数与统计综合 6 考点四：跨模块拓展与实践 7 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：单位 “1” 混淆 10 易错点 2：几何公式混淆 10 易错点 3：百分率统计错误 10 易错点 4：综合题条件遗漏 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 11 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 11 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版六年级上册全册《复习与关联》核心内容，以 “运算梳理→几何整合→统计应用→跨模块综合” 为主线，系统覆盖分数运算与应用综合、几何与方位综合、百分数与统计综合、跨模块拓展与实践四大核心模块，渗透整合思想、数形结合思想、建模思想、应用意识等核心数学素养。 专题立足全册知识关联，系统梳理分数乘除法运算、负数的意义、圆的周长与面积、百分数的应用、确定位置、鸽巢原理等核心知识，沟通知识间的内在联系；通过综合题型训练，巩固运算能力，提升几何推理、统计分析与跨模块问题解决能力，完善知识体系。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，实现全册知识的融会贯通。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 分数运算与应用综合 分数乘除法计算；混合运算与简便计算；分数乘除实际问题；工程问题 运算法则、量率对应法 运算顺序错误；单位 “1” 混淆；分配律错用 几何与方位综合 有序数对定位；方向与距离定位；圆的周长与面积；圆环与阴影面积 数形结合法、公式法 数对行列颠倒；周长面积公式混淆；阴影面积重复计算 百分数与统计综合 百分数互化；百分率计算；折扣与利率；数据统计与分析 量率对应法、统计分析法 百分率单位 “1” 找错；统计总量与部分量混淆 跨模块拓展与实践 负数与运算结合；圆与百分数结合；鸽巢与统计结合；方案优化设计 综合建模法、方案对比法 模块衔接条件遗漏；方案对比维度不全 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 量率对应法 分数、百分数应用题 ①找关键词定单位 “1”；②对应量 ÷ 对应分率 = 单位 1；③列式计算 找单位，定对应，知乘知除分清楚 数形结合法 几何与方位题 ①画图标条件；②对应公式计算；③验证结果 画图形，标条件，用公式，准计算 综合建模法 跨模块综合题 ①拆分知识点模块；②分别建模求解；③关联整合得结果 拆模块，分别解，合起来，得结论 方案对比法 方案优化题 ①分别算各方案指标；②对比成本收益；③选最优方案 算方案，比优劣，选最优 统计分析法 数据统计题 ①整理数据；②算统计量；③分析决策 理数据，算指标，做分析 三、数学思维提升 1. 整合思想 核心要点：将分散的知识点整合关联，建立知识网络，运用多模块知识解决综合问题，培养整合思维与系统认知能力。 专题示例：解决圆与百分数结合的问题，既用到圆的面积公式，又用到百分数的计算，就是整合思想的体现。 2. 数形结合思想 核心要点：将数的问题与形的问题结合，用图形辅助理解数量关系，用数精确计算图形问题，培养数形结合与几何直观能力。 专题示例：用数对表示圆心位置，计算圆的周长面积，就是数形结合思想的应用。 3. 建模思想 核心要点：将实际问题抽象为数学模型，运用对应模型解题，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：工程问题、折扣问题、鸽巢问题都有固定的数学模型，直接套用即可解题，就是建模思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：综合运用全册知识解决生活中的实际问题，体会数学的实用价值，培养实践应用与综合问题解决能力。 专题示例：设计购物方案、计算节水效益、规划运动场地，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：分数运算与应用综合 能力进阶（★★★）—— 工程问题综合 题目：一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作 2 天后，剩下的由甲队单独做，还要几天完成？ 解题步骤： ① 把工作总量看作单位 “1”，甲队工作效率，乙队工作效率。 两队合作 2 天完成的工作量： ② 剩下的工作量： ③ 剩下的甲队单独做的时间：（天） 验证：甲一共做天，完成；乙做 2 天完成，一共，正确。 【答案】还要天。 【知识点睛】本题考查工程问题的综合应用，对应全册复习重难点。 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间；合作效率 = 效率和。 解题关键：先算合作完成的工作量，再求剩余工作量，最后除以对应效率得时间。 易错警示：直接用总工作量除以甲的效率，忽略已经合作的部分。 思维拓展（★★★★）—— 分数错中求解（乘除混合） 题目：小马虎计算一道分数混合运算题时，把一个数除以看成了乘，得到的结果是。正确的结果应该是多少？ 解题步骤： ① 先根据错误的运算求出不变的那个数： 错误算式： 这个数： ② 再用这个数进行正确的运算：正确算式： ③ 验证：，符合错误结果，计算正确。 【答案】正确的结果是。 【知识点睛】本题是分数乘除错中求解的奥数题型，考查逆推思想与分数运算综合。 解题方法：抓住不变的数，根据错误的运算逆推出原数，再用原数计算正确结果。 易错警示：直接用错误结果除以就认为是正确答案，忽略是乘除看错。 考点二：几何与方位综合 能力进阶（★★★）—— 数对与圆的结合 题目：方格图中，圆心 O 的位置用数对表示是，圆的半径是 2 格。将这个圆向右平移 4 格，再向上平移 3 格。 （1）新圆心的位置用数对怎么表示？ （2）新圆的周长和面积分别是多少？（每格边长 1cm） 解题步骤： ① （1）圆平移时圆心平移，半径不变。向右平移 4 格列加 4，向上平移 3 格行加 3： 列：；行： 新圆心数对： ② （2）半径还是 2cm，计算周长和面积： 周长：（cm） 面积：（cm²） ③ 验证：画出平移前后的圆，圆心位置正确，半径长度不变，计算正确。 【答案】（1）；（2）周长 12.56cm，面积 12.56cm²。 【知识点睛】本题考查数对、图形平移与圆的公式综合，对应全册几何复习重难点。 核心规律：圆平移，圆心位置变，半径大小不变；右加左减列，上加下减行。 易错警示：平移后半径也跟着变大，混淆平移与放大。 思维拓展（★★★★）—— 阴影面积与百分数结合 题目：边长为 10 厘米的正方形内画一个最大的圆。 （1）圆的面积占正方形面积的百分之几？ （2）边角部分的面积占正方形面积的百分之几？ 解题步骤： ① 正方形里最大的圆，直径等于正方形边长，半径厘米。 正方形面积：（平方厘米） 圆的面积：（平方厘米） ② （1）圆占正方形的百分比：%=% （2）边角部分占比： ③ 验证：边角面积平方厘米，，正确。 【答案】（1）78.5%；（2）21.5%。 【知识点睛】本题是外方内圆与百分数结合的奥数题型，考查几何面积与百分数的综合应用。 核心结论：外方内圆中，圆的面积始终是正方形面积的 78.5%（π 取 3.14 时），边角部分占 21.5%。 易错警示：把正方形边长当成圆的半径，面积计算错误。 考点三：百分数与统计综合 能力进阶（★★★）—— 百分率统计 题目：科技小组做两次种子发芽实验，第一次用了 50 粒种子，发芽率 90%；第二次用了 30 粒种子，全部发芽。这两次实验的总发芽率是多少？ 解题步骤： ① 分别算出两次发芽的种子数： 第一次发芽：%=45（粒） 第二次发芽：30 粒 总发芽数：（粒） ② 总试验种子数：（粒） ③ 总发芽率：%=93.75% 验证：总发芽数 75，总种子 80，发芽率 93.75%，符合计算。 【答案】93.75% 【知识点睛】本题考查百分率的统计计算，对应全册统计复习重难点。 核心公式：总发芽率 = 总发芽数 ÷ 总试验数 ×100%。 易错警示：直接用两个发芽率的平均数，，忽略种子总数不同。 思维拓展（★★★★）—— 折扣与利润综合 题目：一件商品按进价加价 20% 定价，再打八折出售，结果亏损了 16 元。这件商品的进价是多少元？ 解题步骤： ① 设进价为单位 “1”，定价是进价的%=1.2。 打八折后的售价是定价的 80%，即进价的：0.96 ② 亏损的 16 元对应进价的。 进价：（元） ③ 验证：定价元，售价元，亏损元，符合题意。 【答案】进价是 400 元。 【知识点睛】本题是折扣与利润的奥数题型，考查单位 “1” 的变化与百分数综合应用。 解题方法：把进价看作单位 “1”，先求出售价对应进价的百分率，再根据亏损的量求出单位 “1”。 易错警示：认为加价 20% 再打八折，结果等于原价，忽略单位 1 的变化。 考点四：跨模块拓展与实践 能力进阶（★★★）—— 负数与收支统计 题目：小明家本月的收支记录如下（收入为正，单位：元）：，，，，。 （1）本月结余多少元？ （2）支出占总收入的百分之几？（百分号前保留一位小数） 解题步骤： ① （1）分别算总收入和总支出： 总收入：（元） 总支出：（元） 结余：（元） ② （2）支出占总收入的百分比： ③ 验证：所有数相加：，结余正确。 【答案】（1）2250 元；（2）约 57.5%。 【知识点睛】本题考查负数的意义与百分数统计综合，对应跨模块复习重难点。 核心方法：正负数表示相反意义的量，求占比用对应量 ÷ 单位 “1” 的量。 易错警示：支出占比用支出除以结余，单位 “1” 找错。 思维拓展（★★★★）—— 方案优化综合 题目：学校要买 60 个足球，甲、乙两个商店的足球单价都是 25 元。 甲店：买 10 个送 2 个； 乙店：打八折销售。 哪个商店更省钱？能省多少钱？ 解题步骤： ① 甲店：买 10 送 2，即 12 个为一组，60 个需要： （组） 只需买：（个） 花费：（元） ② 乙店：八折花费： （元） ③ 对比：，乙店更省钱。 省：（元） 验证：甲店买 50 个送 10 个，共 60 个，花费 1250 元；乙店 60 个 1200 元，正确。 【答案】乙店更省钱，能省 50 元。 【知识点睛】本题是方案优化的奥数题型，考查百分数与方案设计的综合应用。 解题方法：分别计算两个方案的实际花费，再对比选择最优方案。 易错警示：甲店直接用 60×25×80%，忽略买送的优惠方式。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：单位 “1” 混淆 错误示例：甲比乙多 20%，乙就比甲少 20%。 正确分析：两句话单位 “1” 不同，乙比甲少约 16.7%。 修正方法：比谁谁是单位 “1”，分率对应单位 “1” 的量。 易错点 2：几何公式混淆 错误示例：圆的周长，面积。 正确分析：周长是长度单位，；面积是平方单位，。 修正方法：周长 2πr，面积 πr 平方，单位区分清。 易错点 3：百分率统计错误 错误示例：两次发芽率分别是 90% 和 100%，总发芽率 95%。 正确分析：总发芽率 = 总发芽数 ÷ 总种子数，不是发芽率的平均数。 修正方法：百分率统计，总部分 ÷ 总整体。 易错点 4：综合题条件遗漏 错误示例：方案对比只算商品价格，忽略数量、运费等其他条件。 正确分析：综合题要全面考虑所有条件，完整计算后再对比。 修正方法：读题圈条件，逐项都考虑，计算要完整。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 计算：( )。 2. 一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 12 天完成，两队合作( )天完成。 3. 圆心数对，向右平移 2 格后的圆心数对是( )。 4. 半径 4 厘米的圆，面积是( )平方厘米。 5. 50 克盐溶于 200 克水中，盐水的含盐率是( )%。 6. 一件商品原价 200 元，先涨价 10%，再降价 10%，现价是( )元。 7. 小明家本月收入 3000 元记作 + 3000，支出 1800 元记作( )，结余( )元。 8. 把 7 支铅笔放进 2 个文具盒，总有一个文具盒至少有( )支。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎计算分数除法时，把除数的分子分母看颠倒了，得到的商是。正确的商是多少？ 10. 外圆内方，圆的直径是 10 厘米，正方形的面积占圆面积的百分之几？（百分号前保留一位小数） 11. 一批零件，师傅单独做 8 小时完成，徒弟单独做 12 小时完成。两人合作 2 小时后，剩下的徒弟做，还要几小时完成？ 12. 学校买 40 个篮球，每个 50 元。甲店打九折，乙店每满 200 元减 30 元。哪个店更省钱？省多少？ 13. 一个半圆的直径是 10 厘米，它的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？ 14. 任意给出多少个不同的整数，其中至少有两个数的差是 8 的倍数？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】 解题步骤： ① 原式。 【知识点睛】考查分数乘除混合运算。核心：从左到右，除转乘。易错警示：先算后面的除法。 2. 【答案】4 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，效率和； ② 合作时间：天。 【知识点睛】考查工程问题基础。核心：工作总量 ÷ 效率和。易错警示：直接天数相加除以 2。 3. 【答案】 解题步骤： ① 右移 2 格列加 2，，行不变。 【知识点睛】考查数对平移。核心：右加左减列。易错警示：行也加。 4. 【答案】50.24 解题步骤： ① 平方厘米。 【知识点睛】考查圆的面积。核心：。易错警示：用直径直接算。 5. 【答案】20 解题步骤： ① 盐水总质量克； ② 含盐率：。 【知识点睛】考查百分率计算。核心：盐 ÷ 盐水。易错警示：除以水的质量。 6. 【答案】198 解题步骤： ① 涨价后：元； ② 降价后：元。 【知识点睛】考查连续涨跌。核心：分步算，单位 1 变。易错警示：认为价格不变。 7. 【答案】；1200 解题步骤： ① 支出为负，记作； ② 结余：元。 【知识点睛】考查负数意义。核心：收入正支出负。易错警示：结余算成 4800。 8. 【答案】4 解题步骤： ① ； ② 至少数：支。 【知识点睛】考查鸽巢原理。核心：商 + 1。易错警示：填 3 支。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的商是。 解题步骤： ① 除数看颠倒后为，被除数 = 错误除数 × 错误商 = ； ② 正确的商 = 被除数 ÷ 正确除数 = 。 【知识点睛】考查错中求解。核心：先求不变的被除数。易错警示：直接用商乘除数比例。 10. 【答案】约 63.7%。 解题步骤： ① 圆半径 5 厘米，面积平方厘米； ② 正方形面积：平方厘米； ③ 占比：63.7%。 【知识点睛】考查外圆内方与百分数。核心：正方形面积 = 直径 × 半径。易错警示：边长乘边长。 11. 【答案】还要 7 小时。 解题步骤： ① 合作 2 小时完成：； ② 剩下：； ③ 徒弟时间：小时。 【知识点睛】考查工程问题变式。核心：先算合作量，再算剩余时间。易错警示：直接用总时间减 2 小时。 12. 【答案】乙店更省钱，省 100 元。 解题步骤： ① 总价：元； ② 甲店：=1800元； ③ 乙店：，优惠元，实际元； ④ ，乙店省钱，省元。 【知识点睛】考查方案优化。核心：分别算花费再对比。易错警示：只算折扣不算满减。 13. 【答案】周长 25.7 厘米，面积 39.25 平方厘米。 解题步骤： ① 半圆弧长：厘米，周长：厘米； ② 面积：平方厘米。 【知识点睛】考查半圆周长面积。核心：周长加直径，面积折半。易错警示：周长漏加直径。 14. 【答案】9 个。 解题步骤： ① 除以 8 余数有 8 种，8 个抽屉； ② 至少需要个。 【知识点睛】考查余数鸽巢。核心：余数种类 + 1。易错警示：填 8 个。 1 学科网（北京）股份有限公司 $