专题 1：确定位置（思维拓展）人教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 1：确定位置 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：有序数对与图形平移 3 考点二：方向与距离确定位置 4 考点三：路线描述与计算 6 考点四：两种定位方法综合应用 7 第三部分 易错避坑指南 11 易错点 1：数对列行顺序颠倒 11 易错点 2：平移时列行增减方向错 11 易错点 3：相对方位参照点混淆 11 易错点 4：方向角基准分不清 11 易错点 5：路线描述不换参照点 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 12 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 12 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 14 一、能力进阶篇解析 14 二、思维拓展篇解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版六年级上册第一单元《确定位置》核心内容，以 “数对定位→方位定位→路线描述→综合拓展” 为主线，系统覆盖有序数对与图形平移、方向与距离定位、简单路线描述、方位综合推理与奥数拓展四大核心模块，渗透空间观念、对应思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从有序数对的意义入手，掌握 “先列后行” 的数对表示方法，能根据数对找位置、根据位置写数对，理解图形平移时数对的变化规律；再学习以参照点为中心，用方向（角度）和距离确定物体位置的方法，能根据描述在图中标出位置、描述简单的行走路线；最后结合两种定位方法解决综合问题，延伸数对规律、方位推理、路线优化等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，发展空间方位观念与几何推理能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 有序数对与图形平移 数对的意义与读写；列行对应规则；图形平移的数对变化 列行对应法、平移变化法 先列后行顺序颠倒；平移时列行增减方向混淆 方向与距离定位 参照点与方向角；距离换算；位置标注 方位参照法、角度度量法 参照点混淆；东偏北 / 北偏东概念混淆 简单路线描述 分段路线描述；参照点转换；路程计算 分段描述法、参照转换法 每段参照点不转换；方向描述颠倒 方位综合推理与拓展 数对规律探究；方位逻辑推理；路线优化计数 规律归纳法、逻辑推理法 规律找错；方位关系搞反 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 列行对应法 有序数对问题 ①数列数；②数行数；③先列后行写数对 竖列横行，先列后行 平移变化法 图形平移植数对 ①看平移方向；②列变左右移，行变上下移；③写新数对 右加左减列，上加下减行 方位参照法 方向距离定位 ①定参照点；②量角度；③算距离 定基准，量角度，算距离 分段描述法 路线描述题 ①逐段定起点；②说清方向距离；③连起来说全程 分段走，换参照，方向距离都说清 规律归纳法 数对规律题 ①算前几组；②找变化差；③推通项 算前项，找公差，推规律 三、数学思维提升 1. 空间观念 核心要点：建立平面内点的位置表象，理解列与行、方向与距离的空间意义，发展方位感知与空间想象能力。 专题示例：根据数对在方格图中找到对应点，想象物体的方位关系，就是空间观念的体现。 2. 对应思想 核心要点：建立 “数对 — 位置”“方向距离 — 位置” 的一一对应关系，能用数和形两种方式表示平面内点的位置，培养对应思维。 专题示例：一个位置对应唯一的数对，一个方位描述对应唯一的位置，就是对应思想的应用。 3. 推理思想 核心要点：根据已知的位置、方向、距离信息，推导未知的位置、路线或方位关系，培养逻辑推理与演绎能力。 专题示例：根据数对的规律推导第 n 个点的位置，根据方位描述推理相对位置，就是推理思想的典型体现。 4. 应用意识 核心要点：运用位置的知识解决生活中找位置、描述路线、导航等实际问题，体会数学的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：描述从家到学校的路线，在地图上找地点，就是应用意识的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：有序数对与图形平移 能力进阶（★★★）—— 图形平移的数对变化 题目：三角形 ABC 三个顶点的位置用数对表示分别是 A (3,5)、B (1,2)、C (4,2)。将三角形向右平移 4 格，再向上平移 3 格，平移后三个顶点的数对分别是多少？ 解题步骤： ① 明确平移时数对的变化规律：左右平移改变列数，向右平移列数增加，向左平移列数减少；上下平移改变行数，向上平移行数增加，向下平移行数减少。简称 “右加左减列，上加下减行”。 ② 向右平移 4 格，每个点的列数都加 4： A 列：；B 列：；C 列：。 ③ 再向上平移 3 格，每个点的行数都加 3： A 行：；B 行：；C 行：。 所以平移后 A (7,8)，B (5,5)，C (8,5)。 验证：在方格图中画出平移前后的三角形，位置对应正确。 【答案】A (7,8)，B (5,5)，C (8,5)。 【知识点睛】本题考查图形平移与数对变化的规律，对应教材核心重难点。 核心规律：平面内点左右平移，列数变、行数不变；上下平移，行数变、列数不变。 向右平移格，列数；向左平移格，列数； 向上平移格，行数；向下平移格，行数。 易错警示：把行和列的变化搞反，或者上下平移时列数变化。 思维拓展（★★★★）—— 数对的规律探究 题目：在方格图中，第 1 个点的位置是，第 2 个点是，第 3 个点是，第 4 个点是…… 照这样的规律，第 10 个点的位置用数对怎么表示？第个呢？ 解题步骤： ① 分别分析列数和行数的变化规律： 列数：第 1 个 1，第 2 个 2，第 3 个 3，第 4 个 4…… 依次增加 1，第几个点，列数就是几。 行数：第 1 个 1，第 2 个 3，第 3 个 5，第 4 个 7…… 依次增加 2，是连续奇数，公差为 2。 ② 推导第个点的行数：首项 1，公差 2，第项。 ③ 第 10 个点：列数是 10，行数，数对是。 验证：时，时 3，时 5，都符合规律。 【答案】第 10 个点；第个点。 【知识点睛】本题是数对规律的奥数题型，考查归纳推理与等差数列的结合。 解题方法：分别分析数对中列数和行数的变化规律，各自推导通项，再组合成数对。 拓展延伸：如果是斜向平移的点，列和行分别按各自的公差变化，分开找规律更清晰。 易错警示：只看列的规律忽略行的规律，或者行数的通项推导错误。 考点二：方向与距离确定位置 能力进阶（★★★）—— 根据描述标位置 题目：以学校为参照点，图书馆在学校的北偏东 30° 方向上，距离是 600 米；超市在学校的南偏西 45° 方向上，距离是 400 米。请在图中标出图书馆和超市的位置。（比例尺：图上 1 厘米代表实际 200 米） 解题步骤： ① 先确定参照点是学校，建立方向标（上北下南左西右东）。 ② 计算图上距离： 图书馆图上距离：厘米； 超市图上距离：厘米。 ③ 画角度、量长度： 图书馆：从正北方向向东偏 30° 画射线，量出 3 厘米，标出位置； 超市：从正南方向向西偏 45° 画射线，量出 2 厘米，标出位置。 验证：角度和距离都符合描述，位置正确。 【答案】标注见解题步骤。 【知识点睛】本题考查根据方向和距离确定物体位置，对应教材重难点。 操作步骤：定参照点→画方向标→算图上距离→量角度→画射线→截距离→标位置。 注意：描述方向时，通常以南北方向为基准，偏东西方向，角度一般不大于 45°；也可以东西为基准，注意区分 “北偏东” 和 “东偏北”。 易错警示：参照点选错，角度的一条边对错方向。 思维拓展（★★★★）—— 相对方位推理 题目：小明看小丽在南偏东 40° 方向上，距离是 50 米。那么小丽看小明在什么方向上？距离是多少米？ 解题步骤： ① 方位相对性：两个物体的相对位置，方向相反，角度相等，距离不变。 ② 小明看小丽，参照点是小明；小丽看小明，参照点是小丽，方向完全相反。 南的反方向是北，东的反方向是西，所以方向变成北偏西 40°。 ③ 距离不变，还是 50 米。 验证：画出两个点的位置，互换参照点后，方向相反角度相等，距离相同，符合结论。 【答案】北偏西 40° 方向，距离 50 米。 【知识点睛】本题是相对方位的奥数题型，考查位置的相对性。 核心规律：两个物体的相对位置，方向相反、角度相等、距离相等。 技巧总结：南对北，东对西，角度不变，距离不变。 易错警示：认为方向相同，或者角度也跟着变化。 考点三：路线描述与计算 能力进阶（★★★）—— 行走路线描述 题目：小明从家到书店的路线分为三段：家→邮局，东偏北 30°，200 米；邮局→超市，正东，300 米；超市→书店，南偏东 25°，150 米。说一说小明从家出发，怎样走才能到达书店？ 解题步骤： ① 路线描述要分段进行，每一段都要说清楚起点、方向和距离。 ② 第一段：从家出发，向东偏北 30° 方向走 200 米，到达邮局。 ③ 第二段：从邮局出发，向正东方向走 300 米，到达超市。 第三段：从超市出发，向南偏东 25° 方向走 150 米，到达书店。 验证：每段的起点是上一段的终点，参照点逐段转换，描述准确。 【答案】小明从家出发，向东偏北 30° 方向走 200 米到达邮局，再向正东方向走 300 米到达超市，最后向南偏东 25° 方向走 150 米到达书店。 【知识点睛】本题考查简单路线的描述，对应教材重难点。 描述要点：分段描述，每段明确起点、方向、距离；每到一个新的地点，参照点就转换为当前地点。 易错警示：全程用同一个参照点，不转换，导致方向描述错误。 思维拓展（★★★★）—— 往返路线与时间计算 题目：小明从家到书店的速度是每分钟走 50 米，按上面的路线，他从家到书店需要多少分钟？如果按原路返回，返回时的方向和路程分别是怎样的？ 解题步骤： ① 先计算总路程：米。 时间 = 路程 ÷ 速度：分钟。 ② 原路返回时，每一段的方向都和去时相反，距离不变。 从书店出发，向北偏西 25° 方向走 150 米到达超市； 再向正西方向走 300 米到达邮局； 再向西偏南 30° 方向走 200 米回到家。 验证：返回路程也是 650 米，方向全部相反，符合相对方位规律。 【答案】需要 13 分钟。返回路线：从书店出发向北偏西 25° 走 150 米到超市，再向正西走 300 米到邮局，最后向西偏南 30° 走 200 米到家。 【知识点睛】本题是路线与行程结合的奥数题型，考查路线往返的方位变化与行程计算。 解题核心：往返路线，路程不变，方向相反；时间 = 总路程 ÷ 速度。 易错警示：返回时方向只改一个，或者角度改变。 考点四：两种定位方法综合应用 能力进阶（★★★）—— 数对与方位结合 题目：在方格图中，每个小方格边长代表 100 米。点 A 的位置用数对表示是，点 B 在点 A 的东偏北 45° 方向 300 米处。点 B 的位置用数对怎么表示？ 解题步骤： ① 先算图上格数：格。 ② 东偏北 45° 方向，就是向东走 3 格，同时向北走 3 格（等腰直角三角形，横向纵向距离相等）。 ③ 点 A 列数 2，向东 3 格，列数：； 点 A 行数 3，向北 3 格，行数：。 所以点 B 的数对是。 验证：数对和，横向差 3，纵向差 3，对角线方向，距离 300 米，符合题意。 【答案】 【知识点睛】本题考查有序数对与方向距离的结合应用，对应教材综合重难点。 解题关键：将方向距离转化为列和行的变化，再用平移规律计算数对。 易错警示：东偏北 45° 只加列数不加行数，或者格数算错。 思维拓展（★★★★）—— 方格中的最短路线 题目：在方格图中，从点走到点，只能向东或向北走，一共有多少种不同的走法？ 解题步骤： ① 采用标数法：从起点开始，每个点的走法数等于它西边相邻点和南边相邻点的走法数之和。 ② 起点有 1 种走法；第一行所有点和第一列所有点都只有 1 种走法（只能一直向东或一直向北），依次标注 1。 ③ 逐点标数累加： 点：种 点：种 点：种 点：种 点：种 点：种 点：种 点：种 点：种 ④ 最终得到从走到一共有 35 种不同的走法。 ⑤ 验证：逐点累加无重复、无遗漏，结果正确。 【答案】35 种。 【知识点睛】本题是方格最短路线的奥数题型，考查组合计数与路径规划。 解题方法：标数法，每个点的走法 = 左边走法 + 下边走法；或用组合公式：横向步数 + 纵向步数，选其中一个方向的步数。 易错警示：漏算走法，或者方向走反。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：数对列行顺序颠倒 错误示例：第 3 列第 5 行，写成。 正确分析：数对的表示方法是先列后行，应该是。 修正方法：竖列横行，先列后行，记住 “列在前，行在后”。 易错点 2：平移时列行增减方向错 错误示例：向右平移 3 格，行数加 3。 正确分析：左右平移改列数，右加左减；上下平移改行数，上加下减。 修正方法：右加左减列，上加下减行，横向动列，纵向动行。 易错点 3：相对方位参照点混淆 错误示例：甲在乙的北偏东 30°，乙就在甲的南偏东 30°。 正确分析：相对位置方向相反，应该是南偏西 30°。 修正方法：南北对换，东西对换，角度距离都不变。 易错点 4：方向角基准分不清 错误示例：北偏东 30°，从正东方向向北量 30°。 正确分析：北偏东 30°，是从正北方向向东偏 30°，靠近正北方向。 修正方法：“偏” 字前面的是基准方向，向后面的方向偏。 易错点 5：路线描述不换参照点 错误示例：从家到邮局再到超市，全程都用家做参照点说方向。 正确分析：每到一个新地点，参照点就换成当前地点，再描述下一段的方向。 修正方法：分段走，换参照，每段起点是参照。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 第 4 列第 6 行的位置用数对表示是 ( , )；数对表示第 ( ) 列第 ( ) 行。 2. 点 A向右平移 2 格后的位置是 ( , )，向下平移 1 格后的位置是 ( , )。 3. 以广场为参照点，学校在广场北偏西 40° 方向 800 米处，那么广场在学校的 ( ) 偏 ( )( )° 方向 ( ) 米处。 4. 图上 1 厘米代表实际 50 米，实际 300 米在图上画 ( ) 厘米。 5. 小明从家出发，向东走 200 米，再向北走 300 米到学校，家在学校的 ( ) 偏 ( ) 方向。 6. 三角形三个顶点、、，向上平移 2 格后，顶点移到 ( , )。 7. 描述路线时，每一段的参照点是这一段的 ( ) 点。 8. 从到，是向 ( ) 平移了 ( ) 格。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 第 1 个点，第 2 个点，第 3 个点…… 第 8 个点的数对是多少？第个呢？ 10. 小丽在小强的东偏北 25° 方向 60 米处，小强在小丽的什么方向？距离多少米？ 11. 从点走到点，只能向东或向北走，一共有多少种不同走法？ 12. 一个点先向右平移 3 格，再向上平移 2 格后是，这个点原来的位置是多少？ 13. 在方格图中，每个小格边长 100 米。点 M，点 N 在点 M 的南偏东 45° 方向 200 米处，点 N 的数对是多少？ 14. 小明从家到学校每分钟走 60 米，路线是：从家向东走 300 米到邮局，再向北偏东 30° 走 240 米到学校。他从家到学校要走多久？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】；5，2 解题步骤： ① 先列后行，第 4 列第 6 行是； ② 对应第 5 列第 2 行。 【知识点睛】考查数对的意义。核心：先列后行。易错警示：行列颠倒。 2. 【答案】； 解题步骤： ① 右移 2 格列加 2：，行数不变，得； ② 下移 1 格行数减 1：，列数不变，得。 【知识点睛】考查平移的数对变化。核心：右加左减列，上加下减行。易错警示：行列变化搞反。 3. 【答案】南，东，40，800 解题步骤： ① 相对位置方向相反，角度距离不变；北对南，西对东。 【知识点睛】考查相对方位。核心：方向相反，角度距离不变。易错警示：方向只改一个。 4. 【答案】6 解题步骤： ① 厘米。 【知识点睛】考查比例尺计算。核心：实际距离 ÷ 比例尺 = 图上距离。易错警示：乘除搞反。 5. 【答案】南，西 解题步骤： ① 学校在家的东北方向，家就在学校的西南方向。 【知识点睛】考查相对方位。核心：方向相反。易错警示：说成东南。 6. 【答案】 解题步骤： ① 向上平移 2 格，行数加 2：，列数不变。 【知识点睛】考查图形平移。核心：上行加。易错警示：列数也加。 7. 【答案】起 解题步骤： ① 每段路线以起点为参照点。 【知识点睛】考查路线描述。核心：分段参照。易错警示：用终点做参照。 8. 【答案】东，3 解题步骤： ① 行数相同，列数从 2 到 5，增加 3，向东平移 3 格。 【知识点睛】考查数对与平移。核心：行同横向移。易错警示：说成向西。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】第 8 个；第个。 解题步骤： ① 列数：第个就是； ② 行数：2,4,6…… 公差 2，第项； ③ 第 8 个：，行数 16。 【知识点睛】考查数对规律。核心：分列行找规律。易错警示：行数算成。 10. 【答案】西偏南 25° 方向，距离 60 米。 解题步骤： ① 相对位置方向相反，东对西，北对南，角度距离不变。 【知识点睛】考查相对方位。核心：方向相反角度等。易错警示：方向对应错误。 11. 【答案】10 种。 解题步骤： ① 采用标数法：从起点出发，每个点的走法数等于西边相邻点和南边相邻点的走法数之和。 ② 起点标 1；第一行、第一列各点均只有 1 种走法，依次标注 1。 ③ 逐点标数累加： 点：种 点：种 点：种 点：种 点：种 ④ 最终一共有 10 种不同走法。 ⑤ 验证：逐点累加无重复，结果正确。 【知识点睛】考查最短路线计数。核心：标数法或组合法。易错警示：漏算重复。 12. 【答案】 解题步骤： ① 逆推：向左平移 3 格，列数；向下平移 2 格，行数。 【知识点睛】考查逆推平移。核心：倒过来方向相反，加减互换。易错警示：仍用加法计算。 13. 【答案】 解题步骤： ① 200 米对应 2 格，南偏东 45°，向东 2 格，向南 2 格； ② 列：，行：。 【知识点睛】考查方位与数对结合。核心：方向转行列变化。易错警示：向南走行数增加。 14. 【答案】9 分钟。 解题步骤： ① 总路程：米； ② 时间：分钟。 【知识点睛】考查路线与行程。核心：路程 ÷ 速度 = 时间。易错警示：只计算一段路程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $