八年级数学上学期9月学情自测（新教材北师大版第一章～第二章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 2026-2027学年八年级数学9月学情自测，聚焦北师大版八上实数与勾股定理，通过攀岩路径、赵爽弦图等情境设计，融合基础运算与综合探究，考查抽象能力、几何直观及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数运算、勾股定理判定|数轴表示无理数（第6题）| |填空题|6/18|算术平方根、勾股树面积|楼梯地毯面积计算（第14题）| |解答题|9/72|动点问题、规律探究（穿墙数）|赵爽弦图与完全平方公式综合（第24题）|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 6 8 9 10 B A D B B C B C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.5 -3 12.7 13.16 14.51 15.34 16.6 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】()解：原式3-4+3 =3-2+3 =4.… 3分 (2)解：(+2}=9 x+2=±3」 x=1或x=-5 .6分 18. 【详解】(1) 证明：AB:BCCA=3:45. ∴设AB=3x,BC=4x,CA=5x AB2+BC2=(3x)2+(4x2=25x,CA=(5x)}2=25x2 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB2+BC2=CA2 △ABC是直角三角形：3分 (2)解：由(1)可知∠B=90. 根据题意得3x+4x+5x=36, 解得x=3」 ..4B=9(cm),BC=12(cm) 5分 PB=9-1×3=6(cm),BQ=2×3=6(cm) 当运动了3秒时， 6x6-18(cm2） :△BPQ的面积= 6分 19. 【详解】(1)解：①绝对值等于25的数为25，②8的立方根为2，③6=4 相反数是4：3分 -4-2.5-2 2.5 (2) -101 5分 (3)-4<-2.5<-2<2.5.… 6分 20. 【详解】(1) ①(x-1)2=16 x-1=±4， X=5或X=-3; 1分 ②(1+x)2=1.44 1+x=±1.2， x=0.2或x=-2.2: 3分 (2)①积的乘方： 4分 平方根的定义； 5分 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②原式V2×32×V3x27=4×9=36 .,6分 21 【详解】(1)解：设BC=x, AB-BC=2, .AB=x+2, 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2=AB, :62+2=(x+2y 解得：X=8,即BC=8;.3分 (2)解：由题意知BP=2t. ①当∠APB=90°时，如图1，点P与点C重合，BP=BC=8, .l=8÷2=4.5分 ②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP-BC=21-8,AC=6. 在Ra1CP中，MP=AC2+Cp2=62+(2-82 在R△BMP中， AP2=BP2-AB2=(21)2-102 2+(2t-8)2=(21)2-102 因此 解得125 4· 25 综上所述，当。ABP为直角三角形时，t的值为4或4· 8分 C(P) 图1 图2 22 3/9 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 6 【详解】(1)解：V35 =635 6 6×35+6 216 62×6 6 6 理由：V635 V35 =V35=V35 35.2分 n n+- n n n-n+n n2.n n n+ =n. 证明： m2-Vn-1 n2-1 7n2-1;5分 9 (3)解：+=a6, 〔a=9, ∴.根据(2)的规律可得a2-1=b. a=9, 解得b=80. .a+b=9+80=89. 8分 23. 【详解】(1)解：(1)①设正方形A的边长为m,正方形B的边长为n, ,两正方形A和B,它们的面积分别为acm和bcm2,且a=81,b=30, 419 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 :m=9cm), n=30 cm 1分 长方形的宽为m=9(m),长方形的长为m+n=9+V30 cm 2分 ·长方形的面积为9×9+30)=81+950 (cm2), ∴.阴影部分面积为： 81+9W30-81-30=9√30-30cm), 故答案为：9,9+V30.930-30 3分 ②不能，理由如下： 设长方形的长为3xcm,宽为2xcm, ,长方形的面积为60cm2, :3r2x=60 解得： x=t√10 x>0, *=vio 《 3W10 2W10 长方形的长为 ,宽为 :0>3 :31039 答：不能裁出符合要求的长方形： 5分 (2)如图2， Na 2 B B G 图2 ,两正方形A和B面积分别为acm和bcm2, 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a B 大正方形的边长为 ,小正方形边长为 :G冰a EG=Va L+√B 2 2 E-GFEG= V )2 2+ “.图2中右边的正方形的面积为2 +b+√ab .7分 ,图2中左边图形面积=右边正方形面积， .a+b= a=4b.8分 24. 【详解】(1)解：正方形4BCD的面积是(a+b l分 正方形WKL的面积是(a-b …2分 正方形EFGH的面积是a2+b, 玫答案为：（a+b）（a-b）a+b3 (2)解："正方形ABCD的面积是（a+b=45,正方形UKL的面积是a-b=5, :(a+b)+(a-b)}=45+5 a2+2ab+b2+a2-2ab+b2)=50 a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=50 2a2+2b2=50 a2+b2=25 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正方形 FGH 2+b2=25 的面积是 正方形EGH的边长为25=5： .6分 (3)解：设x=n-2023,y=2026-n,则x+y=n-2023+2026-n=3, (n-2023)2+(2026-n}=6 .x2+y2=6 .2y=(x+y}-(x2+y2）=32-6=3 a-2023X2026-）-=w=3: 9分 (4)解：设Rt△ABC的两直角边分别为a,b, AB=5,Rt△ABC的周长为11， ∴.a+b=11-5=6, 在RIAABC中，∠C=90°，AB=5, .BC2+AC2=AB2a2+b2=52=25 ，即 .2ab=(a+b)}2-(a2+b2)）=62-25=11 1 .RIABC的面积为7ab=)×)=4.12分 25. 1 【详解】(1)解：Vn+1+√n Vn+l-√n (n+i+n)(n+i-n) Vn+l-√n (n+-（ni Vn+1-Vn n+1-n 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =√n+i-√n …2分 1 1 1 (2)解：V2+1√3+V22+V5 +…+ √2026+√2025 2-1 5-V2 2-V5 √2026-√2025 (不2+1N2-可）(W5+2]N5-万2+52-月…+(226+V2025N2026-V22西-4分 V2-1,3-√2,2-√3 +2026-y2025 2-13-24-3 2026-2025 =2-1+√5-√2+2-V5++√2026-√2025 =-1+V2026 .6分 1 (3)解：a=37-6' 1 V37+6 a=57-637+657-6 =V37+6 ∴a-6=37 .8分 即a-62-37 ∴a2-12a+36=37 ∴a2-12a=1 ∴a3=12a2+a 10分 .a3-10a2-25a+3 =12a2+a-10a2-25a+3 =2a2-24a+3 =2(a2-12a+3 =2×1+3 …………… 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9/9 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A,，不符合题意； B, ，符合题意； C,，不符合题意； D,，不符合题意． 2．以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．5，12，13 C．3，4，5 D． 【答案】A 【详解】解：A. ，，，不能构成直角三角形， B. ，能构成直角三角形， C. ，能构成直角三角形， D. ，能构成直角三角形． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 4．已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5， 所以， 所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边， 所以直角三角形的面积． 故选：B 5．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 6．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 【答案】B 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是． 7．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 【答案】C 【详解】解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 8．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 9．如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ， 由折叠的性质可知 ， ， ， 点在的延长线上， ， 设，则 ， ， 在中，， 由勾股定理得即， 解得， ． 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 第1次操作后：，，，和； 第2次操作后：，，，，和； 第3次操作后：，，，，，和； 第4次操作后：，，，，，，和； 第5次操作后加项为，和； 第6次操作后加项为，和； 第7次操作后加项为，和； 第8次操作后加项为，和； 第次操作后的和的周期为． 验证①：第4次操作后和为，故①正确； 验证②：第7次操作后二次根式串为，，，，，，，，，不相同的二次根式共个，故②错误； 验证③：， ，故③错误； 综上，正确的结论只有1个． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．25的算术平方根是________，的立方根是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5，的立方根是． 12．在与之间的整数是__________． 【答案】7 【详解】解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 【答案】 【详解】解：设正方形，下方相邻的正方形面积为，正方形，下方相邻的正方形面积为， 根据勾股定理，直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积， ，， 正方形的面积． 14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 15．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 16．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求下列式子中x的值：． 【详解】（1）解：原式 ． 3分 （2）解：， ， 或． 6分 18．如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 【详解】（1） 证明：， 设． ． ． 是直角三角形； 3分 （2）解：由（1）可知． 根据题意得， 解得． ． 5分 当运动了3秒时，． 的面积． 6分 19．按要求完成下列各题： (1)求出下列各数：①绝对值等于的数；②的立方根；③的相反数； (2)将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上； (3)将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接． 【详解】（1）解：①绝对值等于的数为；②的立方根为；③的相反数是； 3分 (2) 5分 (3) 6分 20．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【详解】（1）， ， 或； 1分 ， ， 或； 3分 （2）积的乘方； 4分 平方根的定义； 5分 原式． 6分 21．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； 3分 （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． 5分 ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 8分 22．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【详解】（1）解：； 理由：； 2分 （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； 5分 （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 8分 23．如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 【详解】（1）解：（1）①设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵两正方形A和B，它们的面积分别为和，且，， ∴（），（）， 1分 ∴长方形的宽为（），长方形的长为（）， 2分 ∴长方形的面积为（）， ∴阴影部分面积为：（）， 故答案为：，，； 3分 ②不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∵长方形的面积为， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴， 答：不能裁出符合要求的长方形； 5分 （2）如图2， ∵两正方形和面积分别为和， ∴大正方形的边长为，小正方形边长为， ∴，， ∴， ∴图2中右边的正方形的面积为， 7分 ∵图2中左边图形面积=右边正方形面积， ∴， ∴． 8分 24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【详解】（1）解：正方形的面积是， 1分 正方形的面积是， 2分 正方形的面积是， 故答案为：，，； 3分 （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； 6分 （3）解：设，，则， ， ， ， ； 9分 （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 12分 25．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【详解】（1）解： ； 2分 （2）解： 4分 ； 6分 （3）解：， ， ， 8分 即， ， ， ， 10分 ． 12分 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．5，12，13 C．3，4，5 D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 5．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 7．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 8．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 9．如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（     ） A． B． C． D． 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．25的算术平方根是________，的立方根是________． 12．在与之间的整数是__________． 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是______． 14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 15．观察数表： 第1行：，2，；第2行：，，；第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 16．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求下列式子中x的值：． 18．如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度运动；点从点沿边向点以每秒的速度运动，两点同时出发， (1)求证：是直角三角形； (2)当运动了3秒时，求的面积． 19．按要求完成下列各题： (1)求出下列各数：①绝对值等于的数；②的立方根；③的相反数； (2)将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上； (3)将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接． 20．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ；． (2)求证：． 证明：∵是的平方根，∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________；依据：__________________． 计算：． 21．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 22．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 23．如图1，长方形内两正方形和，它们的面积分别为和． (1)当，时． ①则长方形的宽为_____________，长为____________，图中两块阴影部分的面积和为____________； ②若在正方形内沿边的方向裁剪一块长宽比为的长方形，其面积为，请问，能否裁出符合要求的长方形？试说明理由； (2)先在长方形内分别裁剪出正方形和，再按图2的方式把正方形裁剪成四个相同的直角三角形，它们恰好与正方形拼接成一个大正方形，请直接写出与的数量关系． 24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 25．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $