第2章 常用逻辑用语（复习讲义）数学苏教版必修第一册

该高中数学讲义以“常用逻辑用语”为单元，通过表格系统梳理复习要点与重难点，分点呈现充分条件、必要条件、充要条件及量词命题的核心概念，结合要点速测即时巩固，构建“概念-判定-应用”的逻辑知识脉络，突出充分条件与必要条件的逻辑判定及集合关系转化的重难点。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，涵盖判断命题真假、根据充分必要性求参数等7类题型，如典例3通过具体不等式关系判断充分不必要条件，培养学生逻辑推理的数学思维。难点部分指导新定义问题转化为逻辑语言，基础达标与能力进阶练习满足不同层次学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用数学语言表达逻辑关系的能力。

第2章 常用逻辑用语 复习要点 【变式0-1】正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 复习重难点 重点：充分条件与必要条件的逻辑判定 难点：充分、必要条件和集合关系的转化 知识点 充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 要点速测使成立的一个充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解方程得或. 对于选项A，若，则且 ，解得且，能推出，因此选项A正确； 对于选项B，若，则且 ，解得且，不能推出，因此选项B错误； 对于选项C，若，则且，解得且，不能推出，因此选项C错误； 对于选项D，若，则或或；此时是的必要条件而不是充分条件，因此选项D错误. 知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定 1、全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立； 数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2、存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立； 数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 要点速测（2026·高二·浙江·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】全称量词改为存在量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“”. 要点速测 （2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 题型1 判断命题的真假 【典例1】（2026·高一·北京石景山·开学考试）下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】A选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，该菱形有一个角为直角，则为正方形，正确； D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，错误. 【变式1-1】Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【答案】B 【解析】假设论断1为假，即四个论断都是假的，但论断4若为假， 即四个论断都是真的，与假设矛盾，故论断1为真； 假设论断2为假，即至多有一个论断为真的，因为论断1为真， 则论断2、3、4为假，但论断3若为假，即至多有一个为假， 假设与论断3矛盾，故论断2为真； 假设论断3为假，即至多有一个为假，因为论断1、2为真， 故论断4也为真的，与假设符合，故论断3为假； 若论断4为假，即四个论断都是真的，但论断3为假的， 假设与论断3矛盾，故论断4为真； 综上，论断1、2、4为真，论断3为假. 【变式1-2】（2026·高一·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【解析】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 【变式1-3】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【解析】对于A项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，若，则对，则，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误. 故选：D 题型2 根据命题的真假求参数 【典例2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得， 若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-2】已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【解析】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-3】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是_______． 【答案】或 【解析】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 题型3 判断充分性与必要性 【典例3】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：若，根据等式的基本性质，等式两边同时乘任意实数，等式仍然成立，可得，因此充分性成立. 必要性：取，则满足条件，但不成立，因此必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【变式3-1】（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 【变式3-2】（2026·高二·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【解析】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 【变式3-3】（2026·高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【解析】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 题型4 根据充分性与必要性求参数 【典例4】（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，且等号不同时成立，解得， 综上可得. 【变式4-1】（2026·高二·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 【变式4-2】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 【变式4-3】已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】根据题意，设集合，集合，其中， 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 其次满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型5 判断全称（存在）量词命题真假 【典例5】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．例如，满足且，故选项A正确； B．因为集合中的元素都在集合中，所以不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； C．属于集合，也属于集合，故选项C错误； D．属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 【变式5-1】下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据偶数的定义可知①为真命题；为奇数但不能被整除，因此②为假命题；由可知③为真命题， 所以真命题的个数为，故C正确. 【变式5-2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， A．，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； B．，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； C．，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； D．，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 【变式5-3】（2026·高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 题型6 全称（存在）量词命题的否定 【典例6】（2026·高一·福建泉州·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是. 【变式6-1】（2026·高三·广东·开学考试）命题“，能被整除”的否定是（     ） A．，不能被整除 B．，能被整除 C．，不能被整除 D．，不能被整除 【答案】C 【解析】命题“，能被整除”的否定是： “，不能被整除”． 【变式6-2】已知命题：，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由命题：， 可得为. 【变式6-3】命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】原命题是存在量词命题，存在量词命题的否定为全称命题，量词改变，结论否定， 因此命题“，”的否定是， 题型7 根据命题的真假求参数 【典例7】若命题“，使得方程成立”是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】由题意得，关于x的方程有实数根， 当时，方程为，显然有实数根，满足题意； 当时，，解得，且. 综上知，实数a的取值范围是． 【变式7-1】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【解析】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 【变式7-2】（2026·高一·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 【变式7-3】设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 难点一 新定义问题 解决逻辑用语新定义题，首先读懂题目给出的全新定义，把陌生表述转化为熟悉的充分条件、必要条件、全称、特称等逻辑语言。其次分清条件与结论，找准命题中的 p、q，判断推出关系。遇到新概念时，多用举反例排除错误选项，反例要紧扣定义，否定命题只需一个反例即可。同时注意区分充分性与必要性，双向推导要分别验证。解题时还要结合集合思想，将逻辑关系转化为集合间的包含关系辅助判断。最后检验结果，对照新定义回看，避免受原有知识思维定式干扰。 难点精练 1．（2026·高一·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【解析】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 2．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【解析】（1）. （2）证明:先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 3．设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. (1)计算：； (2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； (3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 【解析】（1）. （2）交换律：，证明： 依题意，设，，则， ， 所以. （3）若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设， 即，则， 当时，显然有成立，即元素为A中任意元素， 当时，则，解得， 因此当，都有成立时，得， 反之，当时，，设，， 所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件， 元素. 4．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【解析】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. （3）由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 基础达标 1．两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 【答案】C 【解析】对于选项A：面积相等的两个三角形形状、边长不一定完全相同， 比如同底等高的锐角三角形和钝角三角形面积相等但不全等， 因此“面积相等”只是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项B：对应角相等只能说明两个三角形相似，边长可以成任意相同比例， 比如大小不同的两个等边三角形对应角相等但不全等， 因此“对应角相等”是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项C：根据三角形全等的判定公理，三角形的三边长度完全确定后， 三角形的形状和大小就被唯一确定，对应边相等的两个三角形必然全等； 反过来，全等三角形的对应边必然全部相等，因此“对应边相等”是两个三角形全等的充要条件. 对于选项D：三角形的对应外角相等等价于对应内角相等，和选项B性质一致，只能推出两三角形相似， 无法保证全等，属于必要不充分条件. 2．（2026·高一·甘肃武威·开学考试）“是钝角三角形”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出， 所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件； 若，则是钝角三角形， 所以“是钝角三角形”是“”的必要条件； 所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 3．（多选题）（多选）下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 【答案】ABD 【解析】对于A，该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题； 对于B，显然为真命题； 对于C，显然不成立，为假命题； 对于D，取，能使是整数，为真命题． 4．（多选题）（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【解析】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 5．（多选题）（2026·高一·湖南怀化·期末）下列说法中正确的有（    ） A．命题“”的否定为“” B．命题“任意三角形都不是中心对称图形”为真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件 【答案】BCD 【解析】对于A，因为命题“”的否定为“”，所以A错误， 对于B，因为不存在点，使任意三角形绕这个点旋转后与原三角形重合，所以任意三角形都不是中心对称图形，故B正确， 对于C，取，显然满足，但，所以推不出， 又由得，所以可以推出，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确， 对于D，由平行四边形的性质可知，平行四边形两组对边分别相等；若四边形两组对边分别相等，则这个四边形为平行四边形， 所以“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件，故D正确， 故选：BCD. 6．“”是“或”的　______　条件． 【答案】既不充分也不必要 【解析】∵或，并且或， ∴“”是“或”的既不充分也不必要条件． 7．（2026·高一·北京·期中）“若，则”为真命题，则实数的一个值为______. 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【解析】“若，则”为真命题，则， 可得，解得，例如. 故答案为：0（答案不唯一，满足即可）. 8．（2026·高一·安徽合肥·期中）命题“”是假命题，则取值范围为______． 【答案】（或） 【解析】根据题意，命题为假命题， 则其否定：“”为真命题，即方程有实数解， 必有，解得，即的取值范围为. 故答案为：． 9．用量词符号“”“”表述下列命题： (1)凸边形的外角和等于. (2)有一个有理数满足. (3)对任意角，都有. 【解析】（1）是凸边形，的外角和是； （2），； （3），. 10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 【解析】（1）若，则；反之，当时，或，因此是的充分不必要条件. （2）若是无理数，则不一定是无理数，如是无理数，而是有理数； 反之，若为无理数，则为无理数，因此是的必要不充分条件. （3）若，则；反之，若，则或，因此是的充分不必要条件. （4）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；反之，两个三角形的面积相等，这两个三角形不一定全等， 因此是的充分不必要条件. （5）若，，则；若，则，因此是的既不充分也不必要条件. 11．写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)； (2)所有的正方形都是矩形； (3)对任意，的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身． 【解析】（1）命题“”的否定是“”， 由于，则，所以原命题的否定是假命题. （2）命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“至少存在一个正方形不是矩形”， 由于所有的正方形都是矩形，所以原命题的否定是假命题. （3）命题“对任意，的个位数字不等于3”的否定是“至少存在一个，的个位数等于3”， 由于整数平方的个位数字只能是，不可能为，所以原命题的否定是假命题. （4）命题“正数的绝对值是它本身”的否定是“有的正数的绝对值不是它本身”， 由于所有正数的绝对值都等于它本身，所以原命题的否定是假命题. 12．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 【解析】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 13．（2026·高一·湖南永州·阶段检测）（1）已知集合，，若是的充分不必要条件，实数的取值范围. （2）关于的不等式组的最小整数解为，求符合条件的的取值范围. 【解析】（1）根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围； （2）根据不等式组的解集，列出不等式，求出参数范围. 【详解】 （1）由题意得，可得，所以实数的取值范围为. （2）有题意得，解得， 当最小整数解为时，，解得， 所以实数的取值范围为. 14．（2026·高一·福建福州·阶段检测）设命题，；命题，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若是真命题，则，得； （2）若是假命题，则，是真命题， ，得； （3）由（1）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则 所以若、至多一个为真命题，则. 15．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知全集，集合， (1)若，求和； (2)设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【解析】（1）全集，集合， 若，则，， 或，则； （2）设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，则需满足，且两等号不能同时取得，解得， 故实数a的取值范围为. 16．（2026·高一·山东临沂·阶段检测）已知集合或，，. (1)若，求集合及； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【解析】（1）当时， 又或，所以， 所以或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以真包含于，又， 当，即时，，符合题意； 当时，则或，解得或， 综上可得的取值范围为. 能力进阶 1．设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 2．（2026·高三·浙江·开学考试）若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 则由题意得，所以，解得． 3．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于图①，开关与另一开关并联. 若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，可能是另一开关闭合而断开，即， 故图①中是的充分不必要条件. 对于图②，开关与灯泡串联.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则电路必须接通，故必闭合，即， 故图②中是的充要条件. 对于图③，开关与另一开关串联.若闭合，另一开关断开，则电路不通，不亮，即； 若亮，则电路接通，两开关均须闭合，故必闭合，即， 故图③中是的必要不充分条件. 对于图④，开关在干路上.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则干路必须接通，故必闭合，即， 故图④中是的充要条件. 综上所述，满足条件的电路图是②④. 4．（2026·高二·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 5．（2026·高二·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 6．（2026·高二·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 7．（2026·高三·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】取，此时，但，故充分性不成立； 取，此时，但，故必要性不成立， 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 8．（2026·高二·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 9．（多选题）（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，整理可得， 且，， 所以当且仅当，即时，， 所以、不全为零是不等式成立的充要条件. 对于A，显然一定能推出， 但成立时，可以取此时推不出， 所以是充分不必要条件，故A正确； 对于B，当时，不等式不成立，推不出，所以B错误； 对于C，能推出、不全为零，但是、不全为零时可以、互为相反数推不出， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故C正确； 对于D，等价于且，能推出、不全为零， 但是、不全为零推不出且， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故D正确. 10．（多选题）（2026·高二·陕西安康·期末）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·云南文山·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C．若集合中只有一个元素，则 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】对于A，根据全称命题的否定要求，可得命题“，”的否定是“，”，即A错误； 对于B，因且且，可知集合A的真子集个数是，故B正确； 对于C，当时，方程即，只有1个实根为，满足条件，故C错误； 对于D，由，若，则，即“充分性”不成立；又由可得且，即由能推出，故“必要性”成立. 故“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 12．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 13．（2026·高一·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 14．设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【答案】 必要不充分 充分不必要 【解析】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 15．（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，结合， 则，，或，； （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 16．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 17．（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得 ， 经检验，时，，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语 复习要点 1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 复习重难点 重点：充分条件与必要条件的逻辑判定 难点：充分、必要条件和集合关系的转化 知识点 充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 要点速测使成立的一个充分条件是（　　） A． B． C． D． 知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定 1、全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立； 数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2、存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立； 数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 要点速测（2026·高二·浙江·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 要点速测 （2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 题型1 判断命题的真假 【典例1】（2026·高一·北京石景山·开学考试）下列说法不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【变式1-1】Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【变式1-2】（2026·高一·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【变式1-3】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 题型2 根据命题的真假求参数 【典例2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【变式2-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【变式2-2】已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 【变式2-3】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是_______． 题型3 判断充分性与必要性 【典例3】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2026·高二·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式3-3】（2026·高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 题型4 根据充分性与必要性求参数 【典例4】（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式4-1】（2026·高二·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式4-2】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【变式4-3】已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型5 判断全称（存在）量词命题真假 【典例5】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·江苏盐城·期末）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 题型6 全称（存在）量词命题的否定 【典例6】（2026·高一·福建泉州·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高三·广东·开学考试）命题“，能被整除”的否定是（     ） A．，不能被整除 B．，能被整除 C．，不能被整除 D．，不能被整除 【变式6-2】已知命题：，则为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 题型7 根据命题的真假求参数 【典例7】若命题“，使得方程成立”是真命题，求实数a的取值范围． 【变式7-1】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【变式7-2】（2026·高一·重庆·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【变式7-3】设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 难点一 新定义问题 解决逻辑用语新定义题，首先读懂题目给出的全新定义，把陌生表述转化为熟悉的充分条件、必要条件、全称、特称等逻辑语言。其次分清条件与结论，找准命题中的 p、q，判断推出关系。遇到新概念时，多用举反例排除错误选项，反例要紧扣定义，否定命题只需一个反例即可。同时注意区分充分性与必要性，双向推导要分别验证。解题时还要结合集合思想，将逻辑关系转化为集合间的包含关系辅助判断。最后检验结果，对照新定义回看，避免受原有知识思维定式干扰。 难点精练 1．（2026·高一·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 2．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 3．设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：. (1)计算：； (2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明； (3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I. 4．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 基础达标 1．两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 2．（2026·高一·甘肃武威·开学考试）“是钝角三角形”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选题）（多选）下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 4．（多选题）（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 5．（多选题）（2026·高一·湖南怀化·期末）下列说法中正确的有（    ） A．命题“”的否定为“” B．命题“任意三角形都不是中心对称图形”为真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件 6．“”是“或”的　______　条件． 7．（2026·高一·北京·期中）“若，则”为真命题，则实数的一个值为______. 8．（2026·高一·安徽合肥·期中）命题“”是假命题，则取值范围为______． 9．用量词符号“”“”表述下列命题： (1)凸边形的外角和等于. (2)有一个有理数满足. (3)对任意角，都有. 10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 11．写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)； (2)所有的正方形都是矩形； (3)对任意，的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身． 12．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 13．（2026·高一·湖南永州·阶段检测）（1）已知集合，，若是的充分不必要条件，实数的取值范围. （2）关于的不等式组的最小整数解为，求符合条件的的取值范围. 14．（2026·高一·福建福州·阶段检测）设命题，；命题，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 15．（2026·高一·四川成都·阶段检测）已知全集，集合， (1)若，求和； (2)设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16．（2026·高一·山东临沂·阶段检测）已知集合或，，. (1)若，求集合及； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 能力进阶 1．设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·高三·浙江·开学考试）若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 4．（2026·高二·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高二·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·高二·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高二·陕西安康·期末）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·云南文山·阶段检测）下列说法正确的有（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C．若集合中只有一个元素，则 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 12．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 13．（2026·高一·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 14．设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 15．（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $