1.4.2空间向量的应用：空间角问题（知识清单）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学资料聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心梳理空间角问题。从异面直线夹角、线面角、二面角及两平面夹角的向量求法公式与范围入手，通过题型分类构建学习支架，衔接空间向量基础与立体几何综合应用。 知识链路按“概念—方法—应用”逻辑清晰呈现，各题型配有规律总结与典型例题，习题涵盖证明、计算及存在性、最值探究。通过向量法转化空间角为代数运算，培养数学思维（推理与逻辑）和数学语言（符号表达），助力学生形成空间观念与问题解决能力。

第一章 空间向量与立体几何 第05讲 空间向量的应用：空间角问题 用空间向量方法求空间角 1、 求异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）．范围： 2、 求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．范围： 3、 求二面角的平面角 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。范围： 4.夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 结论：空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 题型一：空间向量求异面直线夹角 规律与方法： 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解. 2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角. 1.（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.    (1)求证：平面； (2)若，求与所成角的余弦值. 题型二：用空间向量求线面角 规律与方法： 利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A.120° B.60° C.30° D.60°或30° 3.（广东揭阳部分高中2026-2027学年高三上学期开学摸底调研数学试题）如图所示为四棱锥，已知底面为矩形，底面且，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型三：用空间向量求二面角 规律与方法： 1.二面角的求法 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角 2. 面面角：设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知四棱锥，平面，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2.（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 3.（26-27高三上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． (1)证明：是棱的中点； (2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 题型四：利用空间向量研究存在性问题 规律与方法： 1.解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在． 2.在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围． 3.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理． 1.（2026·四川巴中·模拟预测）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． (1)求证：平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 2.如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 3.（26-27高三上·河南信阳·开学考试）在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型五：利用空间向量研究最值问题 规律与方法： 1.线段和的最值问题，求解时采用了化空间为平面，化折为直的重要手段； 2.体积最值：观察法或者函数法。 3.解决空间角的最值问题，求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用． 1．（湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题）如图，在长方体中，. (1)证明：点在平面内； (2)设，若平面，求的值； (3)在侧面内，设为过点且平行于的直线，是上一点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，试探究点的位置. 2.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥M­ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 3.（多选 26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 课后作业： 1.（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·广西贺州·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4.（多选 26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 5.（多选 26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点. 下列结论正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面夹角的余弦值为 6.（多选 26-27高二上·浙江·开学考试）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 7.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________. 8.（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知等边的三个顶点都在平面的同一侧，且三条边在上的射影长分别为，，，则所在平面与所成的二面角的正弦值为_________． 9.（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，，均为等腰三角形，，，，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10.如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2. ①求二面角A­PE­D的余弦值； ②点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． 11.（26-27高三上·山东滨州·开学考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 12.如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点． (1)求证：平面BEF⊥平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 第05讲 空间向量的应用：空间角问题 用空间向量方法求空间角 1、 求异面直线夹角 两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）．范围： 2、 求线面角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．范围： 3、 求二面角的平面角 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。范围： 4.夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 结论：空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 题型一：空间向量求异面直线夹角 规律与方法： 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解. 2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角. 1.（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 2．（25-26高二上·山东·月考）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 3.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.    (1)求证：平面； (2)若，求与所成角的余弦值. 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）通过已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两直线所成角的余弦值即可. 【解答过程】（1）证明：因为底面是菱形， 所以， 又平面，平面 所以， 又，平面，平面， 所以平面. （2）设 因为， 所以 以为坐标原点,射线分别为轴,轴的正半轴 建立空间直角坐标系， 如图：    则， 所以 ， 设与所成角， 所以 ， 即与所成角的余弦值为. 题型二：用空间向量求线面角 规律与方法： 利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析　设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1). 令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋y＝0，n·＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.答案　B 2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A.120° B.60° C.30° D.60°或30° 解析　设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ. 则sin β＝|cos γ|＝|cos 120°|＝.又0°≤β≤90°，∴β＝30°.答案　C 3.（广东揭阳部分高中2026-2027学年高三上学期开学摸底调研数学试题）如图所示为四棱锥，已知底面为矩形，底面且，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由四边形为矩形，且平面，又平面， 得，又， ，，平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）由四边形为矩形，平面， 所以，，， 以A为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，． 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，故． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 题型三：用空间向量求二面角 规律与方法： 1.二面角的求法 若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角 2. 面面角：设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知四棱锥，平面，，，且. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 且为等腰直角三角形，，所以， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 2.（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）在四棱锥中，平面，，，． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)记的中点为，连，， 由、分别为、的中点，所以且， 又且，所以且，     所以四边形为平行四边形，所以，     又平面，且平面，所以平面． （2）由平面，，则、、两两垂直， 则以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 则、、、， 所以，， 设面的法向量为， 由，取，则，，则， 易知平面的一个法向量为， 记平面与平面所成锐二面角为，则， 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 3.（26-27高三上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面． (1)证明：是棱的中点； (2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)证明：如图，连接MO， 在平行四边形ABCD中，因为O为AC与BD的交点，所以O为BD的中点， 平面MAC，平面PBD，平面平面， 所以． 所以,则， 所以是棱的中点． （2）法一（几何法）：如图，过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE， 因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以． 又，又OE，平面OPE，所以平面OPE． 又平面OPE，所以， 所以为二面角的平面角． 因为四边形ABCD是菱形，，， 所以是等边三角形，所以，， 所以，所以． 在中，． 法二（坐标法）：设， 以为轴，以为轴，以为轴，如图建系． ，，，， ，． 设平面ADP的法向量为， 由， 令得一个法向量． 取平面ADC的一个法向量为， 则， 则． 题型四：利用空间向量研究存在性问题 规律与方法： 1.解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在． 2.在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围． 3.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理． 1.（2026·四川巴中·模拟预测）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． (1)求证：平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为，所以，又，点是的中点， 在中，，，所以， 因为是边长为2的等边三角形，点是的中点， 所以， 已知，在中，， 因为，所以， 因为平面，所以平面 （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 点是线段上一点，设,所以， ，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 因为二面角为，所以， 即，解得， 于是，，， 设直线与平面所成角为，所以 2.如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置； 【解答过程】（1）过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面．    （2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点．    3.（26-27高三上·河南信阳·开学考试）在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)因为，且，， 可得，， 又因为，， 所以，则， 因为平面平面BCD，平面平面，且平面BCD，所以平面ABD， 又因为平面ABD，所以； （2）因为平面ABD，且平面ABD，所以， 如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，，所以，, 设平面ACD的法向量为，则, 令，可得，，所以 假设存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°， 设，(其中)，则，， 所以 , 整理得，解得或(舍去)， 所以在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，此时． 题型五：利用空间向量研究最值问题 规律与方法： 1.线段和的最值问题，求解时采用了化空间为平面，化折为直的重要手段； 2.体积最值：观察法或者函数法。 3.解决空间角的最值问题，求解时采用了把空间角的余弦三角函数值表示为参数λ的二次函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用． 1．（湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题）如图，在长方体中，. (1)证明：点在平面内； (2)设，若平面，求的值； (3)在侧面内，设为过点且平行于的直线，是上一点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，试探究点的位置. 【答案】(1)证明见解析； (2)2 (3)点为靠近点的三等分点. 【分析】（1）建系，由即可求解； （2）求得直线方向向量，和平面法向量，由向量位置关系即可求解； （3）由线面夹角公式结合二次函数求最值即可求解. 【详解】（1） 连接，以为原点，以为轴，建系， 则，， 因为， 所以，即四点共面， 故点在平面内； （2）， 设平面的法向量为， 则，取，则， 即， 因为平面， 所以， 解得 （3）设，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以当时，取得最大值， 此时，即时，直线与平面所成角的正弦值最大. 即点为靠近点的三等分点. 2.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥M­ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． [解]　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM. 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz. 当三棱锥M­ABC体积最大时，M为的中点．由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)， ＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0)． 设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即 可取n＝(1，0，2)．是平面MCD的法向量，因此cos〈n，〉＝＝， sin〈n，〉＝.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是. 3.（多选 26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【难度】0.41 【知识点】立体几何中的轨迹问题、棱柱的展开图及最短距离问题、异面直线夹角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，可得，.对于A：根据线面平行结合空间向量确定点P的轨迹，进而求出轨迹长度；对于B：利用向量的方法求出异面直线所成角的取值范围；对于C：求平面的法向量，利用空间向量怎么面面垂直；对于D：利用空间几何体的展开图求出的最小值． 【详解】如图以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，分别为边，的中点，则，， 可得，， 因为，即，. 对于选项A：因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 又因为平面，则，可得， 可知点P，B，D三点共线，所以点P的轨迹为线段，且， 所以若直线平面，点P的轨迹长度为，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 因为，， 设与所成角为， 则， 因为，则， 可得，即， 且，可得， 所以直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于选项C：因为，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 当时，则，可得，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于选项D：当时，点，， 设关于平面的对称点， 连接交平面于点，连接，则， 因为，由图知， 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D错误． 课后作业： 1.（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 2.（25-26高二上·广西贺州·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，连接，由线面垂直及面面垂直的性质可得，，从而以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】在中，，， 所以， 过作于， 则， 所以， ， 连接， 则四边形为矩形，其中， 因为平面，平面平面 所以平面， 又因为平面 所以， 又， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为轴垂直于平面， 所以取平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：A. 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)， ∴＝(0，1，－1)，＝， 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得 ∴n1＝(1，2，2). ∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴ cos〈n1，n2〉＝＝. 即所成的锐二面角的余弦值为.答案　B 4.（多选 26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 【答案】BCD 【难度】0.62 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算判断A；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断B；根据三棱锥的体积公式即可判断C；根据线面夹角的坐标公式即可判断D． 【详解】如图以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，取平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角正弦值为，故D正确． 5.（多选 26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点. 下列结论正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求线面角、面面角的向量求法、线面角的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】利用向量法，分别计算线面平行的条件、异面直线夹角、线面角以及二面角的余弦值，逐一判断选项. 【详解】在直三棱柱 中， ，所以， 以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 因为为的中点，所以， 对于A，因为平面，所以为平面的一个法向量， 又， 所以，又不在平面内，所以平面，A正确； 对于B，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 ，B正确； 对于C，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则， 所以， 所以， 所以直线与平面 所成角的正弦值为，C错误； 对于D，，设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 ，D正确. 6.（多选 26-27高二上·浙江·开学考试）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 【答案】AC 【难度】0.62 【知识点】线面垂直证明线线垂直、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】A选项，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，找到外接球球心，求出外接球半径，进而求出表面积；C选项，将平面折到同一平面，进行求解即可；D选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，因为底面为正方形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，设，取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 又因为底面为正方形，所以， 即即为四棱锥的外接球球心， 因为，，所以，， 所以四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球表面积为，B错误； C选项，其中，，， 故，故， 将平面与平面展开到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时取得最小值， 最小值为，C正确； D选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，，， 则， 所以，故， 故，， 所以，其中， 设与所成角为，则， 当时，， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即，时， 取得最大值，最大值为， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即时， 取得最大值，最大值为， 综上，与所成角的余弦最大值为，D错误 7.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________. 解析　延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示. 设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角. ∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.答案　 8.（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知等边的三个顶点都在平面的同一侧，且三条边在上的射影长分别为，，，则所在平面与所成的二面角的正弦值为_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】面面角的向量求法 【分析】设等边的边长为，在上的投影分别为，作，，，，根据求出，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【详解】如图，在上的投影分别为， 不妨设，，， 作，，，， 设等边的边长为， 则， ， ， 由得，， 化简得，解得， 又，所以， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量， 则， 令，则，， 则， 则， 由题意得平面的一个法向量， 设所在平面与所成的二面角为， 则， 所以， 即所在平面与所成的二面角的正弦值为. 9.（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，，均为等腰三角形，，，，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：设中点为，连接，， 因为，均为等腰三角形，则，， 所以，，， 故，所以， 又且，平面，则平面， 又平面， 所以平面平面 （2）以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 为中点，即，为中点，即， ，，． 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则． 10.如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2. ①求二面角A­PE­D的余弦值； ②点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． [解]　①因为PA⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，AB⊂平面ADE，所以PA⊥AD，PA⊥AB， 又因为AB⊥AD，所以PA，AD，AB两两垂直． 以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A­xyz，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． 因为PA⊥AD，AD⊥AE，AE∩PA＝A，所以AD⊥平面PAE， 所以是平面PAE的一个法向量，且＝(0，2，0)． 易得＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2)． 设平面PED的法向量为m＝(x，y，z)．则即 令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1，1，1)是平面PED的一个法向量， 所以cos〈，m〉＝＝，所以二面角A­PE­D的余弦值为. ②＝(－1，0，2)，故可设＝λ＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)．又＝(0，－1，0)，所以＝＋＝(－λ，－1，2λ)．又＝(0，－2，2)，所以cos〈，〉＝＝. 设1＋2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2〈，〉＝＝≤， 当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|的最大值为. 因为y＝cos x在上是减函数，所以当λ＝时直线CQ与DP所成角取得最小值． 又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝. 11.（26-27高三上·山东滨州·开学考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】(1)是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，则， 记直线与平面所成角为，则，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 12.如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点． (1)求证：平面BEF⊥平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明　∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC， ∴PA⊥BE，∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC，∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC. (2)解　由(1)知，PA⊥BE，PA⊥AC，点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC， 又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直，以点E为原点，分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，设＝λ＝(－2λ，－2λ，2λ)，λ∈[0,1]， ∴＝＋＝(2(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，＝(－2，2,0)，＝(0,4，－2)， 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则 ⇒令x＝1，则y＝，z＝2，∴n＝(1，，2)． 由已知＝⇒＝⇒λ＝或(舍去)，故λ＝. 故线段PB上存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为， 此时G为线段PB的中点． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $