专题01 方程与解一元一次方程（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-解法-应用-拓展”为逻辑主线，通过14类分层题型系统构建一元一次方程解题方法体系，突出浙江本地化考情适配。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|4题型/4典例|定义三要素（整式/单变量/一次项系数非0）、等式性质双条件（同运算/除数非0）|从方程定义到等式性质，构建逻辑起点| |方程解法|4题型/4典例|列方程三步骤（设元-找等量-列式）、换元法整体代换、绝对值方程分段去符号|从基础求解到技巧优化，形成解法网络| |解的应用|5题型/5典例|参数求解代入法、整数解整除分析、错解问题还原法|以解为核心，拓展应用场景| |拓展创新|1题型/1典例|新定义运算转化策略|衔接代数抽象思维，培养创新意识|

专题01 方程与解一元一次方程 （题型突破·举一反三） 题型01 列方程 题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 题型03 根据一元一次方程的定义求参数 题型04 由等式的性质判断变形正误 题型05 由等式的性质比较大小 题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 题型07 解一元一次方程 题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型09 一元一次方程的整数解问题 题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 题型11 由一元一次方程解的情况求解 题型12 错看或错解一元一次方程的解 题型13 换元法解一元一次方程 题型14 解含绝对值的方程 ▌题型01 列方程 1）设未知数：设未知数可以直接设(求什么设什么)，也可以间接设，所设未知数要带单位. 2）分析题意：找出题中的数量关系及等量关系，用含有未知数的代数式表示出相应的数量关系。 3）列方程：根据等量关系列出方程. 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2021·浙江绍兴·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，则可列方程为（    ） A． B． C． D． ▌题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 【典例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程的解为，则 _______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）方程“”中的“”表示被覆盖的常数．若该方程的解为，则这个被覆盖的常数是___________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知为实数，关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为__________． ▌题型03 根据一元一次方程的定义求参数 一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1个未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值. 【典例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则代数式：_______． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）关于x的方程是一元一次方程，则_______． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则整数m的值是_____． 【变式3】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一元一次方程 (1)求m的值； (2)若是这个方程的解， ①求的值； ②若，求k的平方根． ▌题型04 由等式的性质判断变形正误 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 【典例4】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）若，则下列等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列解方程中，变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，，是实数，若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇____g，□=____g． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）解方程或比例． (1) (2) (3) ▌题型05 由等式的性质比较大小 【典例5】（23-24七年级上·浙江·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为________． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系：__________（填“”“”“”） 【变式3】（22-23七年级上·浙江台州·阶段检测）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． ▌题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 【典例6】（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【变式1】（22-23七年级下·浙江金华·期中）设“〇”“▱”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“〇”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是__________个． 本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【变式3】（2026七年级上·浙江·专题练习）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……__________ 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……__________ ▌题型07 解一元一次方程 【典例7】（26-27七年级上·浙江绍兴·开学考试）解方程或解比例． (1) (2) (3) 【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）解方程． (1) (2) (3) 【变式3】（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． ▌题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义运算：，例如：，，若，则x的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．2或0 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 【变式2】（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【变式4】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． ▌题型09 一元一次方程的整数解问题 先按照解一元一次方程的一般步骤解出含字母参数的一元一次方程的解，再根据这个解的特殊性(是整数、正整数、负整数等)和整除的特点，讨论字母参数的取值. 【典例9】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（    ） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于x的方程，求所有整数解的和________． ▌题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 【典例10】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）若关于的方程和有同一个整数解，则整数_________． 【变式1】（2025七年级上·浙江·专题练习）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于x的方程与方程是“致真方程”，求m的值； (2)若关于x的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·课后作业）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【变式4】（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【变式5】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若不论取什么数，关于的方程（、是常数）的解总是，求的值． 【变式6】（2025七年级上·浙江·专题练习）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． ▌题型11 由一元一次方程解的情况求解 【典例11】（23-24七年级下浙江绍兴·期末）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是________． 【变式1】（23-24七年级上·江西南昌·阶段检测）已知：，． (1)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值； (2)若关于的方程无解，有无数解，求的值． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）对于两个实数a、b，我们规定一种新运算“*”：a*b=2a（b -1） （1）解方程：3*x-2*4=0 （2）当a、b满足什么条件时，关于x的方程 ①无解； ②有唯一解； ③有无数个解． ▌题型12 错看或错解一元一次方程的解 将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 【典例12】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【变式1】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段检测）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【变式2】（25-26七年级上浙江绍兴·阶段检测）小琳在解关于x的方程时，把“”抄成了“”，求得方程的解为，求a的值和原方程的解． ▌题型13 换元法解一元一次方程 【典例13】（25-26七年级上·浙江·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）方程可以有多种不同的解法，其中有一种解法为换元法．观察此方程，设． (1)原方程可变形为：，解方程得： ，从而可得 ； (2)利用上述方法解方程：； (3)利用上述方法解方程：． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下面材料：解方程：， 解：设，则原方程可变形为，解得： 所以，解得：， 以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程： 【变式3】（23-24七年级下浙江衢州·阶段检测）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． ▌题型14 解含绝对值的方程 解形如的方程时，先分别令，，设这两个方程的解分别为，将x的范围分为三段，即，再分别根据这三种情况去原方程的绝对值符号，这样就将问题转化成了解常见的一元一次方程. 【典例14】（23-24七年级下浙江衢州·阶段检测）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【变式1】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01方程与解一元一次方程 (题型突破举一反三) 题型01列方程 典例精析 【典例1】D E举一反目 【变式1】B 【变式2】D 【变式3】(C 题型02根据方程的解求参数或代数式的值 典例精析 【典例2】 【答案】-2 举一反三 【变式1】 【答案】1 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】x=-2.5 【变式4】 【答案】 y=7 题型03根据一元一次方程的定义求参数 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 典例精析 【典例3】 【答案】-2 举一反三 【变式1】 【答案】-1 【变式2】 【答案】-3 【变式3】 【答案】(1)-1 (2)±2 【变式4】 【答案】(1)m=2 (2)①2021，②8 题型04由等式的性质判断变形正误 典例精析 【典例4】D 举一反三 【变式1】C 【变式2】C 【变式3】 【答案】 12.5 18.75 【变式4】 【答案】)r=14 16 2)x=9 3xs27 40 2/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05由等式的性质比较大小 三 典例精析 【典例5】 【答案】m>n/n<m 举一反三 【变式1】 【答案】a<b 【变式2】 【答案】< 【变式3】 【答案】(1)5m2-4m+2>4m2-4m-7 (2)a=b (3)m>n 题型061 由等式的性质解决天平等量代换问题 典例精析 【典例6】c 举一反三 【变式1】D 【变式2】 【答案】4 【变式3】 【答案】A,B 题型07解一元一次方程 三典例精析 【典例7】 5 【答案】（但）x= 2 3/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)x=3 (3)x=10 举一反三 【变式】 【答案】(1)x=0.5: 21x=17 【变式2】 【答案】(1)x=0.3 (2)x=0.6 (3)x=900 【变式3】 【答案】(1)-一 (2) 4x+13x-1 解： 3 2 =1， 去分母，得2(4x+1)-3(3x-1)=6. 去括号，得8x+2-9x+3=6, 移项，得8x-9x=6-2-3 合并同类项，得-x=1, 系数化为1，得x=-1 题型08与解一元一次方程有送的新定义问题 典例精析 【典例8】 【答案】D E 举一反三 【变式1】B 【变式2】 4/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】5 【变式3】 【答案】(1)ab-a-b 2)(-7)★2=-9,2★(-7)=-9 a★b=ab-a-b,b★a=ab-b-a=ab-a-b, ∴.a★b=b★a, ∴，新定义的运算“★”满足交换律，即a★b=b★a成立 (3)m=1 【变式4】 【答案】(1)-42 (2)b=-2 2023 (3)2 题型09一元一次方程的整数解问题 典例精析 【典例9】A 举一反三 【变式1】 【答案】-5 题型10根据两个一元一次方程解的送系求解 三 典例精析 【典例10】 【答案】3 举一反三 【变式1】 【答案】7或4或3或2 【变式2】 5/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)m=-12 3 3 (2)方程3x+m-2=0的解为x=7,方程x-5m+4=0的解为x= 【变式3】 【答案】6 【变式4】 5 【答案】(1)m= 3； (2)m=- 【变式5】 【答案】-0.5 【变式6】 【答案】(1)x=2或x=-1 (2)n=8或6 题型11由一元一次方程解的情况求解 E 典例精析 【典例11】 【答案】m=-2/-2=m 举一反三 【变式1】 【答案】(1)b=2 (2)1 【变式2】 1 【答案】()a=1或a= 5 (2)a=-1 (3)a=1 【变式3】 【答案】(1)=3：(2)①a=2,b≠1F②a≠2：③a=2,b=1 6/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型12错看或错解一元一次方程的邂 三 典例精析 【典例12】 【答案】 -17 2.5 举一反三 【变式1】 【答案】x=-3 【变式2】 13 【答案】a=1' 原方程的解为x= 5 题型13换元法解一元一次方程 典例精析 【典例13】 【答案】x=13 E 举一反三 【变式1】 【答案】(1)-3，-1： (2)y=1 31x=7 【变式2】 【答案】x=3 【变式3】 【答案】(1) 解：a=1+ 2 a q 1, 2 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1, :.2 解得：a=2 (2)y=1 题型14解含绝对值的方程 典例精析 【典例14】 【答案】(1)3，-4 2)当x<-4时，k-3到++4到=-2x-1:当-4≤x<3时，x-3+r+4=7:当x≥4时， x-3+hx+4=2x+1 (3)x=-5或x=4 (4)2025,2≤x≤3 举一反三 【变式1】 【答案】(13或-1 91 (2)x=2或2 【变式2】 【答案】x=号或= 17 3 6 4 (2)a=- 或a=-g 【变式3】 【答案】(1)x=6或x=-6 (2)x=5或x=-1 (3)x=3或x=0 8/8 专题01 方程与解一元一次方程 （题型突破·举一反三） 题型01 列方程 题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 题型03 根据一元一次方程的定义求参数 题型04 由等式的性质判断变形正误 题型05 由等式的性质比较大小 题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 题型07 解一元一次方程 题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 题型09 一元一次方程的整数解问题 题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 题型11 由一元一次方程解的情况求解 题型12 错看或错解一元一次方程的解 题型13 换元法解一元一次方程 题型14 解含绝对值的方程 ▌题型01 列方程 1）设未知数：设未知数可以直接设(求什么设什么)，也可以间接设，所设未知数要带单位. 2）分析题意：找出题中的数量关系及等量关系，用含有未知数的代数式表示出相应的数量关系。 3）列方程：根据等量关系列出方程. 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——销售问题，关键是严格依据题目给出的毛利率公式，理清进价、标价、售价之间的数量关系，建立方程． 【详解】解：已知一副耳机的进价为元， ∵按进价提高后标价， ∴标价为元； ∵再优惠元销售， ∴售价为元； 根据题意，得． 故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键． 【变式3】（2021·浙江绍兴·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“大马拉瓦+小马拉瓦=100”可以列出方程 ． 【详解】解：设大马有 x 匹，则由题意可得： ， 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握列方程的方法是解题关键． ▌题型02 根据方程的解求参数或代数式的值 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 【典例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程的解为，则 _______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程解的定义将代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）方程“”中的“”表示被覆盖的常数．若该方程的解为，则这个被覆盖的常数是___________． 【答案】1 【分析】本题考查方程的解，将方程的解代入原方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得； 故答案为：1 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义．将方程变形为，再根据表格中x与的对应关系，找到使成立的x值． 【详解】解：由方程，得． 由表可知，当时，，而， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知为实数，关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将第二个方程中的视为整体，通过变量代换，转化为与第一个方程相同的形式，利用已知解直接求解． 【详解】解：设，则关于y的方程化为，该方程与关于x的方程形式相同，且已知后者的解为， 因此，即， 解得． 故答案为：． ▌题型03 根据一元一次方程的定义求参数 一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有1个未知数且未知数的最高次数为1，一次项系数不为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值. 【典例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则代数式：_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程定义，求代数式的值；只含有一个未知数，且未知数的次数最高为一次的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）关于x的方程是一元一次方程，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值， 根据一元一次方程的定义列出，，即可求出m的值．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则整数m的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1且未知数的系数不等于零．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ，且， 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）若是关于的一元一次方程． (1)求________； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，平方根，熟练掌握相关定义，准确计算为解题关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，即可得出答案； （2）将代入式子求出结果，再求平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 又， ， ； （2）解：， ， ． 【变式4】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一元一次方程 (1)求m的值； (2)若是这个方程的解， ①求的值； ②若，求k的平方根． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出的值， （2）将的值代入方程，得，结合是这个方程的解，得，再分别代入①中的和②中的进行求解，即可作答． 本题考查了求一个数的平方根，已知式子的值 求代数式的值，一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次是次的整式方程即为一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程， ∴， 解得， （2）解：由（1）得， ∴ ∵是这个方程的解， ∴， ∴， ①； ②． ∴k的平方根是． ▌题型04 由等式的性质判断变形正误 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 【典例4】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）若，则下列等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、若，且，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则不一定成立，故本选项错误，不符合题意； C、若，若时，满足，但x不一定等于y，则不一定成立，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，故一定成立，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列解方程中，变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质在方程变形中的应用，关键是熟练掌握等式的两个性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘(或除以)同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：对于选项A，若，根据等式性质2，两边同时除以2，得，而非，故A选项变形错误； 对于选项B，若，等式两边同时除以2，得，而非，故B选项变形错误； 对于选项C，的分子分母同时乘，变形为是正确的，故C选项变形正确； 对于选项D，若，移项得，即，而非，故D选项变形错误； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，，是实数，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A，，等式两边同乘，即，等式两边同减，即，故A错误，不符合题意； 选项B，，等式两边同乘，即，等式两边同减，即，故B错误，不符合题意； 选项C，，等式两边同乘，即，等式两边同加，即，等式两边同乘，即，等式两边同除，即，故C正确，符合题意； 选项D，，等式两边同乘，即，等式两边同除以，当时，可得，但当时，分式无意义，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇____g，□=____g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·开学考试）解方程或比例． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为比例的基本性质为两内项之积等于两外项之积，所以先把比例形式转化为常规整式方程，再根据等式性质求解未知数； （2）把方程中的小数与分数混合运算统一成分数计算，最后根据等式性质把前的系数化为1求解 ； （3）先去括号，再移项求解未知数． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． ▌题型05 由等式的性质比较大小 【典例5】（23-24七年级上·浙江·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为________． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【详解】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质即可求解． 【详解】解：根据等式性质1： 的两边都加上，得，即， 根据等式性质2：的两边都除以3，得， 所以． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系：__________（填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于，被减数大于减数；两个数的差等于，被减数和减数相等；两个数的差小于，被减数小于减数． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 提取公因数得： 化简： 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级上·浙江台州·阶段检测）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． ▌题型06 由等式的性质解决天平等量代换问题 【典例6】（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克， ∴，， 相加得：， ∴． ∴需要在天平右盘中放入砝码250克， 故选：C． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 【变式1】（22-23七年级下·浙江金华·期中）设“〇”“▱”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“〇”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】设“〇”表示的数为x，“▱”表示的数是y，“△”表示的数为z，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设“〇”表示的数为x，“▱”表示的数是y，“△”表示的数为z， 根据题意得：， ， 即， 即“？”处应该放“〇”的个数为2， 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，能求出是解此题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是__________个． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴“？”处应放“■”的个数是4个， 故答案为：4． 【变式3】（2026七年级上·浙江·专题练习）学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……__________ 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……__________ 【答案】A ，B 【分析】本题主要考查了数学基本事实应用，根据2个苹果+1个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质；2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果+1个梨个梨， 等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质； 2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克， 运用了等量的等量相等； 故答案为：A，B． ▌题型07 解一元一次方程 【典例7】（26-27七年级上·浙江绍兴·开学考试）解方程或解比例． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ． 【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； 方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 【变式2】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ， 合并同类项得 ， 方程两边同时除以得 ； （2）解： 根据比例的基本性质得 ， 化简得 ， 移项得 ， 解得； （3）解：， 方程两边同时乘以， 去分母得， 移项合并同类项得． 【变式3】（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）略 ▌题型08 与解一元一次方程有关的新定义问题 【典例8】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义运算：，例如：，，若，则x的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．2或0 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程，以及乘方的意义，分①当时和②当时两种情况求解即可． 【详解】解：∵，且 ∴分两种情况讨论： ①当时， 解得，符合的条件． ②当时， 即 解得（不符合的条件，舍去）． 综上，的值为0或2． 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据新定义运算，将代入公式，得到方程，求解x即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【答案】5 【详解】解：根据题意得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， ∵， ， ∴， ∴新定义的运算“”满足交换律，即成立． (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是掌握新定义的运算法则； （1）根据给出的式子总结规律：，即可得到答案； （2）根据（1）中总结的规律进行计算和验证； （3）利用（1）中的规律列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2） ， ∴； （3）∵ ∴， 解得 【变式4】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、求代数式的值，理解题中的新运算是解此题的关键． （1）根据列式计算即可； （2）根据得出方程，解方程即可； （3）根据得出，整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 解得：； （3）解：，， ． ▌题型09 一元一次方程的整数解问题 先按照解一元一次方程的一般步骤解出含字母参数的一元一次方程的解，再根据这个解的特殊性(是整数、正整数、负整数等)和整除的特点，讨论字母参数的取值. 【典例9】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（    ） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1 【答案】A 【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，， 整数使关于的方程有整数解， 或或或， 解得：或或或0， 和为， 故选：A． 【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于x的方程，求所有整数解的和________． 【答案】 【分析】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的性质和解一元一次方程的能力． 分、和三种情况分别求解可得． 【详解】解：当时，，解得，不符合条件，舍去； 当时，， 解得，此范围恒成立， 符合条件的整数为、、、0； 当时，， 解得， 方程的所有整数解的和为：， 故答案为：． ▌题型10 根据两个一元一次方程解的关系求解 分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 【典例10】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）若关于的方程和有同一个整数解，则整数_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解，解题的关键是直接解方程进而利用整数的定义分析即可得出答案． 【详解】解：， 解得：， ∵是整数， ∴或， ∴，，或， ∵， 解得：， 当时，方程的解：，方程的解：，符合题意； 当时，方程的解：，方程的解：，不符合题意； 当时，方程的解：，方程的解：，不符合题意； 当时，方程的解：，方程的解：，不符合题意； 综上所述，整数． 故答案为：． 【变式1】（2025七年级上·浙江·专题练习）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于x的方程与方程是“致真方程”，求m的值； (2)若关于x的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2)方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的值，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，根据新定义，得到关于的方程，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据新定义，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解，得； 解，得； 由题意，，解得； （2）解：解，得； 解，得， 由题意，，解得， ∴方程的解为，方程的解为． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·课后作业）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】解第一个方程，得，把代入第二个方程，得，解得． 本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 由方程与关于的方程的解相同， 得， 解得． 【变式4】（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【答案】（1）；（2）m 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值； （2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值． 【详解】解：（1）方程， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）， 移项得：， 系数化为一得：x， ， 移项得：， 系数化为一得：， ∴， 解得：m． 【变式5】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若不论取什么数，关于的方程（、是常数）的解总是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代入法、一元一次方程的解法，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．首先把根代入原方程中得到一个关于的方程，再根据方程与无关的应满足的条件求出、的值，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入 不论取什么数，上式都成立，那么有 【变式6】（2025七年级上·浙江·专题练习）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的求解，把含绝对值的一元一次方程化为不含绝对值的一元一次方程是解题关键． （1）根据绝对值的意义把原方程化为两个一元一次方程即可得解； （2）先求得的值然后代入，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 或， 或； （2）解：， 或， 或， 当时，，， 当时，，， 或． ▌题型11 由一元一次方程解的情况求解 【典例11】（23-24七年级下浙江绍兴·期末）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解． 依据题意，由一次方程无解，从而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·江西南昌·阶段检测）已知：，． (1)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值； (2)若关于的方程无解，有无数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）把结果化简后，根据值为定值，确定出的值即可； （2）由方程有解和无解的条件得出的值，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ， ∵无论取任何数值，它的值是一个定值， ，即； （2）解：∵关于的方程无解，有无数解， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于x的方程 (1)当a取何值时，方程的解是； (2)当a取何值时，方程无解； (3)当a取何值时，方程有无穷多个解． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程． （1）将代入可得关于的方程，解出即可得出的值； （2）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程无解，列式求解即可； （3）将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程，根据，时，方程方程有无穷多个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：将代入可得：， 整理得， 当时，，解得． 当时，，解得， 故或时，方程的解是； （2）解：整理得， 当且时，方程无解， 解得， 故时，方程无解； （3）解：整理得， 当且时，方程有无穷多个解， 解得， 故时，方程有无穷多个解． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）对于两个实数a、b，我们规定一种新运算“*”：a*b=2a（b -1） （1）解方程：3*x-2*4=0 （2）当a、b满足什么条件时，关于x的方程 ①无解； ②有唯一解； ③有无数个解． 【答案】（1）x=3；（2）①，；②；③， 【分析】（1）方程利用新运算法则整理后，求出解即可； （2）已知方程利用新运算整理后，根据方程无解，有唯一解，有无数个解确定出a与b的关系式即可． 【详解】解：（1）方程整理得：， 去括号得：， 解得：； （2）已知方程整理得：， 整理得：， ①当方程无解时，，且，即，， ②当方程有唯一解时，，即， ③当方程有无数个解时，，． 【点睛】本题考查了实数的运算，以及一元一次方程的解，弄清题中的新运算是解本题的关键． ▌题型12 错看或错解一元一次方程的解 将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 【典例12】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，正确掌握解法是解题的关键，先根据题意去分母，将代入求出a的值，再将a代回原方程求出方程的解． 【详解】解：∵方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项， ∴去分母得， 将代入，得， 解得， ∴原方程为， 解得 故答案为，． 【变式1】（24-25七年级上·浙江衢州·阶段检测）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式2】（25-26七年级上浙江绍兴·阶段检测）小琳在解关于x的方程时，把“”抄成了“”，求得方程的解为，求a的值和原方程的解． 【答案】，原方程的解为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，通过错误方程的解求出a的值，再代入原方程求解． 【详解】解：小琳抄错的方程为， ∵错误方程的解为， ∴代入得， 解得：， ∴原方程为， 整理得， 两边同乘6得， 展开得， 即， 移项得， 即， ∴． ▌题型13 换元法解一元一次方程 【典例13】（25-26七年级上·浙江·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键． 利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值． 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）方程可以有多种不同的解法，其中有一种解法为换元法．观察此方程，设． (1)原方程可变形为：，解方程得： ，从而可得 ； (2)利用上述方法解方程：； (3)利用上述方法解方程：． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握换元法解方程是解题关键． （1）直接根据解一元一次方程的方法得出，再得出，进而可求出； （2）设，则原方程可变形为关于t的方程：，解出方程； （3）设，则原方程可变形为关于y的方程：，解出方程； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）设，则原方程可变形为关于t的方程：， 去分母为：， 解得：， ∴， 解得：； （3）设，则原方程可变形为关于y的方程： ， ， ， ， ∴， ∴． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下面材料：解方程：， 解：设，则原方程可变形为，解得： 所以，解得：， 以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握换元法，准确计算． 【详解】解：设，则原方程可变为：， 解得：， ∴， 解得：． 【变式3】（23-24七年级下浙江衢州·阶段检测）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1) 解：， ∴， ∴， 解得：． (2) 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）略 （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． ▌题型14 解含绝对值的方程 解形如的方程时，先分别令，，设这两个方程的解分别为，将x的范围分为三段，即，再分别根据这三种情况去原方程的绝对值符号，这样就将问题转化成了解常见的一元一次方程. 【典例14】（23-24七年级下浙江衢州·阶段检测）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【答案】(1)3， (2)当时，；当时，；当时， (3)或 (4)2025， 【分析】（1）令和，再解方程可得答案； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （3） 分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程，再解方程即可； （4）先求解零点值，，，，再分五种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 故答案为：，； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为： ，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 【点睛】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式1】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 【变式3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $