奥数培优 第12讲 巧用矩形面积公式（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数讲义★★★★★ 第12讲 巧用矩形面积公式 【课程信息表】 项目 内容 讲次 第12讲 专题 巧用矩形面积公式｜分割法、添补法求直角多边形面积 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 长方形、正方形周长与面积基础公式；整数四则运算 核心方法 分割法；添补法（大减小）；周长与面积辨析；长-宽和定值探究面积最值；方格图形周长面积转换 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 熟记长方形、正方形面积公式；掌握分割法、添补法两种求解直角多边形面积的核心手段；能区分周长与面积的不同含义；已知周长枚举整数长、宽，求解面积的多种可能、最大最小值；会处理方格拼接图形，由周长反推小正方形边长，再计算总面积。 过程与方法 经历"观察图形→选择分割/添补→分块计算→求和/求差→验算"完整解题流程；体会转化思想：把不规则直角多边形转化为若干标准长方形、正方形；学会枚举法探究定值条件下面积的变化规律。 思维品质 提升图形观察能力；做题分清求的是面积还是周长；同一个图形可以有多种分割方案，择优计算；养成单位书写规范，做完验算。 情感与应用 感受图形转化的妙处；明白复杂图形可以拆成简单图形来算；培养几何直观，避免周长、面积概念混淆。 【前言】 同学们，我们已经学过基础公式： 长方形面积 = 长 × 宽 正方形面积 = 边长 × 边长 但是现实题目里，很多图形不是完整长方形、正方形，是凹凸不平的直角多边形（所有角都是直角），不能直接套公式。 本讲学习两大法宝： 分割法：把大的不规则图形切成好几个小长方形、正方形，分别算面积，全部相加。 添补法（大减小）：给图形补上几块，变成一个完整大长方形，用大图形面积减去补上部分的面积。 特别提醒：周长算的是边线总长；面积算的是图形内部占的大小，二者含义完全不一样，单位也不同，做题一定要看清问题问什么。 一、知识导航 1. 基础公式 长方形：S = 长 × 宽；周长 = (长 + 宽) × 2 正方形：S = 边长 × 边长；周长 = 边长 × 4 2. 直角多边形面积两大解法 （1）分割法（拆分求和）：把凹凸直角多边形切割成若干个长方形/正方形，总面积 = S₁ + S₂ + S₃ + … 技巧：分割方式不唯一，优先选择数据齐全、计算最简单的切法。 （2）添补法（大减小）：给原图形补上若干小块，得到完整大长方形。总面积 = S大长方形 − S补上小块的面积总和 3. 周长定值，长、宽为整数的面积规律 长方形周长固定 → 长 + 宽 = 周长 ÷ 2（和固定） 长、宽都是正整数：长与宽的差距越小，面积越大；差距越大，面积越小。 4. 方格图形解题思路 ① 已知总面积，数方格个数，求单个小方格面积，再得到小方格边长； ② 已知拼接图形外围总周长，数外围包含多少段小正方形边长，反推单格边长； ③ 再用：单格面积 × 方格总个数 = 图形总面积。 5. 解题六步法 ① 读题，圈出问题：求面积还是求周长，看清单位； ② 观察直角多边形，选择分割法或者添补法； ③ 把图形拆/补成标准长方形、正方形； ④ 分别计算每一块的面积，求和或者做减法； ⑤ 涉及周长定值：先算出长+宽，再枚举整数长、宽； ⑥ 单位写完整，代入验算。 二、易错辨析 错误做法 正确做法 周长、面积概念混淆，公式乱用 面积：长×宽；周长：(长+宽)×2；看清问题问什么 分割图形，切出来的小块长、宽取值看错 每一小块图形的长宽，对照原图线段长度再确认一遍 添补法忘记减去全部补上的小块，只减其中一块 大长方形面积，减去所有补上部分的总面积 周长定值求长宽，忘记长+宽=周长÷2，直接拿周长去分配 先除以2，得到长加宽的和，再枚举整数 方格图形，直接拿总周长除以方格数量求边长 周长是外围边线，要数有几段小边长，再反推单格边长 计算完结果漏写单位，面积、周长单位混用 面积单位：平方厘米、平方米；周长单位：厘米、米 三、典例精讲 例1【直角多边形｜分割法、添补法两种思路】 题目：每个数字代表线段长度（单位：米），横向5、3、4；纵向2、3、2。求这个直角多边形面积。 分析：方案一分割成3块长方形求和；方案二添补成大长方形，减去空缺部分。 详解： 分割法一（自上而下）： S = 5×2 + (5+3)×3 + (5+3+4)×2 = 10 + 24 + 24 = 58（平方米） 分割法二（从左至右）： S = 5×(2+3+2) + 3×(2+3) + 4×2 = 35 + 15 + 8 = 58（平方米） 添补法（大减小）： 大长方形长 = 5+3+4 = 12，宽 = 2+3+2 = 7 S = 12×7 − 2×3 − (2+3)×4 = 84 − 6 − 20 = 58（平方米） 答：这个图形的面积是58平方米。 【方法点睛】 直角多边形分割方式不唯一，可以多种方法互相验算，结果应当相等。 例2【四周铺地砖｜大减小模型】 题目：长50米、宽25米游泳池，四周铺宽2米地砖。求游泳池面积、地砖面积。 详解： 游泳池本身面积：S泳池 = 50×25 = 1250（平方米） 地砖（阴影）用添补"大减小"： 外围大长方形长 = 50+2+2 = 54米， 宽 = 25+2+2 = 29米。 S地砖 = 54×29 − 50×25 = 1566 − 1250 = 316（平方米） 答：游泳池面积1250平方米，地砖面积316平方米。 【方法点睛】 四周都加宽，长、宽两边都要加上宽度，只加一边会算错。 例3【方格拼接图形，分割、数方格、挖空添补】 题目：每个小方格边长1厘米，求下面三个封闭图形面积。 (1) 五块2×2方块拼接；(2) 大长方形挖去4个小正方形；(3) 竖行分割"宝鼎形"。 详解： (1) 每一块2×2=4平方厘米，一共5块：4×5 = 20（平方厘米） (2) 大长方形7×6，挖掉4个2×2正方形： S = 7×6 − 4×(2×2) = 42 − 16 = 26（平方厘米） (3) 竖行分割五块，直接相加：S = 2+5+3+5+2 = 17（平方厘米） 答：三个图形面积分别为20、26、17平方厘米。 【方法点睛】 方格图形，既可以分割/挖空计算，也可以直接数完整小方格数量。 例4【周长固定，长、宽整数，求面积多种可能，最大最小】 题目：长方形周长22厘米，长、宽都是整数厘米。面积有多少种可能？最大、最小分别是多少？ 分析：周长固定，先求长+宽 = 22÷2 = 11厘米。长＞宽，都是正整数。 详解： 长 宽 面积（平方厘米） 10 1 10 9 2 18 8 3 24 7 4 28 6 5 30 一共5种可能值；最大面积30平方厘米；最小面积10平方厘米。 答：面积有5种可能值，最大30平方厘米，最小10平方厘米。 【方法点睛】 和固定，长与宽越接近，长方形面积越大。 例5【同长长方形，面积与宽的倍数关系】 题目：甲乙两块长方形，长度相等。 (1) 甲地面积是乙地2倍，甲地宽是乙地宽几倍？ (2) 甲地宽是乙地3倍，甲地面积是乙地几倍？ 详解： 长方形面积 = 长×宽；长相同，面积的倍数 = 宽的倍数。 (1) 面积2倍 → 宽为2倍； (2) 宽3倍 → 面积为3倍。 答：(1) 2倍；(2) 3倍。 【方法点睛】 长相等，面积之比等于宽之比；宽相等，面积之比等于长之比。 四、方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 直角多边形面积 图形凹凸不规则 分割法求和 / 添补法大减小 可以两种方法交叉验算，核对结果一致 四周加宽（铺地砖） 长宽两边同时增加宽度 外围大长方形减去内部原图 长、宽两边都要加上拓宽的数值 方格拼接图形 小方格边长已知/可求 分割、挖空、数方格 分清求的是面积还是外围周长 周长定值整数长宽 先算长+宽=周长÷2 枚举全部整数长、宽，计算面积 长大于宽，不重复枚举 长（宽）相等的长方形 面积倍数与边长倍数关系 长相同：面积倍数=宽倍数 注意前提：其中一条边长相等才成立 由总周长反推方格面积 数外围包含几段小边长 总周长÷段数=小方格边长 不要直接用总周长除以方格个数 五、解题口诀 矩形面积长乘宽，正方形把边长算； 直角多边形图难，分割添补两方案； 分割切成小长方，一块块来相加完； 添补先画大长方，减去空缺算得详； 长若相等看宽度，面积倍数一样算； 周长固定先除二，长宽之和记心上； 长宽越近面积大，差距越大面积降； 方格图形细观察，分清周长和面积； 单位千万不要乱，算完验算不要忘！ 六、习题分层训练 A组｜基础过关 A1. 甲、乙两块地都是长方形，且一样长。 (1) 如果甲地面积是乙地面积的2倍，那么甲地的宽是乙地的宽的多少倍？ (2) 如果甲地的宽是乙地的宽的3倍，那么甲地面积是乙地面积的多少倍？ A2. 求下列各图的面积。（单位：厘米） A3. 把边长为40米的正方形运动场扩为长60米、宽50米的长方形运动场。此运动场面积扩大了多少？周长增加了多少？ B组｜能力提升 B4. 一个正方形的面积是144平方米。如果它被分成六个相同的长方形，那么其中一个长方形的面积和周长各是多少？ B5. 游泳池长40米，宽20米，四周铺宽3米地砖。求地砖的总面积。 B6. 直角多边形（单位厘米），分别用分割法、添补法求面积。 C组｜挑战冲刺 C7. 图形总面积52平方厘米，全部由大小相同小正方形拼成，求图形外沿总周长。 C8. 11个完全相同小正方形拼成组合图形，外围总周长96厘米，求图形总面积。 C9. 用30根4厘米小棍摆直角多边形，已知图形面积；求用这些小棍摆出面积最大的直角多边形，求面积差。 七、参考答案与详细解析 A组 A1. (1) 2倍；(2) 3倍。 解析：长相等，面积倍数等于宽倍数。(1) 面积2倍→宽2倍；(2) 宽3倍→面积3倍。 A2. (1) 120平方厘米；(2) 60平方厘米。 解析：用分割法或添补法计算，两种方法结果应一致。 A3. 面积扩大1400平方米，周长增加60米。 解析：原正方形面积 = 40×40 = 1600；新长方形 = 60×50 = 3000；面积扩大 = 3000−1600 = 1400平方米。 原周长 = 40×4 = 160；新周长 = (60+50)×2 = 220；周长增加 = 220−160 = 60米。 B组 B4. 面积24平方米，周长20米。 解析：小长方形面积 = 144÷6 = 24平方米。 正方形面积144，边长 = 12米。均分后小长方形长 = 12÷2 = 6米，宽 = 12÷3 = 4米。 周长 = (6+4)×2 = 20米。 B5. 地砖总面积396平方米。 解析：外围大长方形长 = 40+3+3 = 46，宽 = 20+3+3 = 26。 地砖面积 = 46×26 − 40×20 = 1196 − 800 = 396平方米。 B6. 提示：分割、添补两种方法计算，两次结果必须相等，作为自我验算。 C组 C7. 外沿周长56厘米。 解析：52÷13 = 4，每个小方格面积4平方厘米，小方格边长2厘米。 数外围边线一共28段，周长 = 28×2 = 56厘米。 C8. 图形总面积176平方厘米。 解析：组合图形外围一共24段小正方形边长。小正方形边长 = 96÷24 = 4厘米。总面积 = 4×4×11 = 176平方厘米。 C9. 原图面积224平方厘米，最大面积896平方厘米，面积差672平方厘米。 解析：原图占14个单位正方形，每个单位边长4厘米，原图面积 = 14×4×4 = 224平方厘米。 小棍总数30根，摆最大长方形：长8份、宽7份。 最大面积 = 8×7×4×4 = 896平方厘米。面积差 = 896−224 = 672平方厘米。 八、本讲小结 基础公式： 长方形：S = 长×宽，周长 = (长+宽)×2 正方形：S = 边长×边长，周长 = 边长×4 直角多边形两大方法： 1. 分割法：切成若干长方形、正方形，面积全部相加。分割方案不唯一，可以互相验算。 2. 添补法（大减小）：补全成为大长方形，总面积减去空缺补上部分面积。 重要规律： 1. 长固定，面积倍数 = 宽的倍数；宽固定，面积倍数 = 长的倍数。 2. 长方形周长固定：长+宽 = 周长÷2；长宽越接近，面积越大；差距越大面积越小。 3. 方格拼接图形：可数方格，也可分割挖空；由外围周长反推小方格边长，要数外围有几段小边长。 解题流程：审题分清周长/面积→选择分割或添补→分块计算→求和求差→注意单位，验算结果。 九、易错警示 + 学习建议 易错警示 周长和面积混淆，乱用公式。 正确：面积是内部大小（长×宽）；周长是外围边线总长；看清题目问哪一个。 图形四周加宽，长、宽只加上一边的宽度。 正确：四周拓宽，长和宽两边都要加上拓宽的数值。 添补法只减去一部分空缺，漏掉部分小块。 正确：大长方形减去全部空缺小块面积总和。 已知周长求长宽，直接拿周长分配，忘记先除以2。 正确：长+宽 = 周长÷2，再枚举整数长、宽。 方格拼接图形，直接总周长除以方格数量求小正方形边长。 正确：数外围一共多少段小正方形的边，再用总周长÷段数，得到单格边长。 计算结果忘记写单位，面积周长单位混用。 正确：面积单位是平方；周长是长度单位，二者不能混用。 学习建议 遇到凹凸直角多边形，优先尝试两种方法（分割、添补），结果一样，代表计算大概率正确。 做铺地砖、四周加宽题型，草稿纸上画简易草图，标出长、宽变化。 周长固定求长宽，先算出长+宽，再有序枚举，不要乱试数字。 看到"长相等"或者"宽相等"，可以直接用边长倍数得到面积倍数，简化计算。 方格图形，数清楚外围边线段数，不要拿方格个数去除周长。 做完检查单位，分清"平方米""米"，不要漏写平方。 不规则直角多边形，巧用分割添补，把难题转化成长方形正方形来算！ 祝贺你完成本讲学习，你是最棒的！ 学科网（北京）股份有限公司 $